矩陣線性方程組

第二章線性方程組的解

高斯消元法通知：11月15日的課換到11月5日上午上課時(shí)間不變，地址：東2-201教室；下午上課時(shí)間不變，地址：東2-103教室我們以往求解方程組，方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)總相等，但實(shí)際問(wèn)題中，兩者不一定相等。求解方程組的方法通常是消元法，即高斯消元法。求解過(guò)程中，實(shí)際上利用了三種行初等變換，并且總是詳細(xì)地寫(xiě)出方程組。行初等變換保證了方程組總是同解的，但每一步都詳細(xì)地寫(xiě)出方程組則是不必要的。早在漢朝的《九章算術(shù)》實(shí)際上就用了增廣矩陣初等變換法，這正是本章要論述的。下面我們討論一般線性方程組.n個(gè)未知量的線性方程組的一般形式為：其中未知量第i個(gè)方程第j個(gè)未知量xj的系數(shù)常數(shù)項(xiàng)全為0齊次線性方程組否則為非齊次線性方程組上述線性方程組表示成矩陣形式為系數(shù)矩陣未知量列向量常數(shù)項(xiàng)列向量問(wèn)題：(1)方程組是否有解?(2)如果有解,它有多少解?如何求出它的所有解?為增廣矩陣

高斯消元法就是對(duì)方程組作初等行變換,等價(jià)于上述矩陣方程左乘初等矩陣，由于

初等矩陣的可逆性，這是一個(gè)同解過(guò)程。

實(shí)際上是對(duì)增廣矩陣作初等行變換的過(guò)程。例1解線性方程組解初等行變換

因此

例2解線性方程組解初等行變換以A1的非零行為增廣矩陣的線性方程組為可以看出,每給定x2一個(gè)值,唯一的求出x1,x3的一組值,而x2可取任意實(shí)數(shù),所以方程組有無(wú)數(shù)解.自由未知量那么這個(gè)解的幾何意義是什么呢？每一個(gè)方程都表示三維空間中的一張平面，取兩張平面的交集，就是一條直線。所以，方程組的解表示一條直線上的所有點(diǎn)，因此，解有無(wú)數(shù)個(gè)。方程組的所有解可表示為:自由未知量例3解線性方程組解初等行變換以為增廣矩陣的線性方程組的最后一個(gè)方程為0=1這是一個(gè)矛盾方程,因此原方程組無(wú)解.

綜上所述,線性方程組的解有三種可能的情況:唯一解,無(wú)解,無(wú)窮多解.

一般地，給出線性方程組Ax=b，用初等行變換和列互換把其增廣矩陣化為階梯形矩陣.r(A)=r其中思考題：為何列互換可以，但是其余的兩種列變換卻不可以？提示：1，從方程組的等價(jià)性考慮，作其余兩種列變換是否改變了方程組；2，作列互換的時(shí)候，方程組形式上發(fā)生了改變，但是本質(zhì)上沒(méi)有發(fā)生變化。不過(guò)需要注意什么？1，當(dāng)dr+1=0且r=n時(shí)，此時(shí)，不失一般性，未知量編號(hào)仍按原次序，則方程組有以下唯一解：此時(shí)，易寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的方程組。不過(guò)由于進(jìn)行了列互換，對(duì)應(yīng)方程組中的未知量編號(hào)次序會(huì)有差別，但方程組仍然同解。顯然，方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)

r(A)=r()

。下分幾種情況討論.r(A)=r()=n。2，若dr+1=0,且r＜n時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的方程組為＜n

移項(xiàng)可得

其中是自由未知量,共有(n-r)個(gè),當(dāng)這(n-r)個(gè)自由未知量取不同的值時(shí),就得到方程組Ax=b

不同的解.若令其中為任意實(shí)數(shù),則方程組Ax=b

有無(wú)窮多解,這些解的全體，即通解可表為.此時(shí)，

綜上,可得如下定理(線性方程組有解的判定定理)線性方程組Ax=b有解的充要條件是當(dāng)＜n時(shí),方程組有無(wú)窮多解;當(dāng)＝n時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)時(shí)，無(wú)解.3，若dr+1≠0,方程組中出現(xiàn)矛盾，故無(wú)解。推論1齊次線性方程組Ax=0一定有零解;如果r(A)=n,則只有零解;它有非零解的充分必要條件是r(A)＜n.

推論2若齊次線性方程組Ax=0中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù),即m＜n

,則它必有非零解;若m=n,則它有非零解的充要條件是|A|=0.例4解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為最簡(jiǎn)形:r2-2r1r3-r1r3-r2r2÷

(-3)

r1-2r2由最簡(jiǎn)形矩陣得原方程組的同解方程組為由此可得x3,x4為自由未知量,可取任意實(shí)數(shù).令x3=c1,,x4=c2,寫(xiě)成向量形式為：例5解齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣A施行初等行變換r2-3r1r3-2r1r3-r2r(A)=2,r(B)=3,故方程組無(wú)解.例6設(shè)有線性方程組問(wèn)λ取何值時(shí),此方程組(1)有唯一解;(2)無(wú)解;(3)有無(wú)窮多解?并在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解.解(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時(shí),r(A)=r(B)=3,有唯一解.(2)當(dāng)λ=0時(shí),r(A)=1,r(B)=2,方程組無(wú)解.(3)當(dāng)λ=-3時(shí),r(A)=r(B)=2＜3,有無(wú)窮多解.當(dāng)λ=-3時(shí)由此可得通解(x3為自由未知量)注本例中矩陣A是一個(gè)含參數(shù)的矩陣,由于λ+1,λ+3

等因子可以等于0,故不宜做諸如這樣的變換.如果作了這種變換,則需對(duì)λ+1=0(或λ+3=0