例談兩個(gè)在同一直線上的焦半徑的四則運(yùn)算

精品文檔-下載后可編輯例談兩個(gè)在同一直線上的焦半徑的四則運(yùn)算在最近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中,經(jīng)常出現(xiàn)與圓錐曲線在一條直線上的兩個(gè)焦半徑的四則運(yùn)算(其中典型情況是積與商)密切相關(guān)的試題.這類問題若從極坐標(biāo)的角度出發(fā),很多結(jié)果還是容易理解的,但對于沒學(xué)過極坐標(biāo)的同學(xué)而言,就要繞很大的彎路，甚至難以求出最后結(jié)果.本文針對圓錐曲線的一般情形,從定義出發(fā),得出幾個(gè)通用公式,再與用極坐標(biāo)法求出的結(jié)果對照(二者結(jié)果一致),最后應(yīng)用這些結(jié)論解決幾個(gè)相關(guān)的問題.

圖1

如圖1，是一個(gè)一般的圓錐曲線(部分),其中F為焦點(diǎn),直線l是相應(yīng)的準(zhǔn)線,K是F到l的垂足，過焦點(diǎn)F的直線與圓錐曲線交于A,B兩點(diǎn),設(shè)從KF方向到BA方向，即以射線FK的反向射線為始邊，線射FA為終邊的角為θ圖1中是0

由圓錐曲線的第二定義，有|AF||AD|=e,|FB||BC|=e,在RtABE中，有|AE||AB|=cosθ,即|AD|－|BC||AB|=cosθ,于是ρ1－ρ2ρ1+ρ2?1e=cosθ,從而有ρ1ρ2=1+ecosθ1－ecosθ①.這個(gè)結(jié)果可以從0＜θ＜π2的情況推廣到0＜θ＜2π的所有情況.

而這個(gè)結(jié)果用極坐標(biāo)法求幾乎是顯然的(以F為極點(diǎn),KF方向?yàn)闃O軸正方向),易知圖1中圓錐曲線上任一點(diǎn)滿足極坐標(biāo)方程ρ=ep1－ecosθ（p為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離），從而ρ1=ep1－ecosθ,ρ2=ep1－ecos(θ±π),立得①式,同時(shí)可得ρ1ρ2=e2p21－e2cos2θ②，ρ1+ρ2=2ep1－e2cos2θ③.

特例：對于拋物線，有離心率e=1,故①、②、③式分別退化為ρ1ρ2=1+cosθ1－cosθ④，ρ1ρ2=p21－cos2θ=p2sin2θ⑤，ρ1+ρ2=2p1－cos2θ=2psin2θ⑥.

有了這些結(jié)果,下面幾個(gè)問題的求解就易如反掌了.

例1(2022年全國Ⅱ理科卷)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交C于A，B兩點(diǎn),設(shè)|FA|>|FB|,則|FA|與|FB|的比值等于.

簡解

本題離心率e=1,題意隱含θ=π4,于是|FA||FB|=ρ1ρ2=1+cosθ1-cosθ=3+22.

例2（2022年江西理科卷）過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)），則|FA||FB|=.

簡解

本題離心率e=1，題意隱含θ=90°+30°=120°，于是|FA||FB|=1+cos120°1-cos120°=13.

圖2

例3

如圖2，設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn),F為焦點(diǎn),且PQ為過點(diǎn)F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求OPQ的面積.

簡解

顯然本題中e=1,p=2a,于是由⑥式得|PQ|=b=2psin2θ=4asin2θ,于是sinθ=2ab,

則SOPQ=12(a|FP|+a|FQ|)sinθ=ab2?2ab=aab.

例4(2022年重慶理科卷)過雙曲線x2－y2=4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為105°的直線,交雙曲線于P，Q兩點(diǎn),則|FP|?|FQ|的值為.

簡解

本題離心率e=2,定點(diǎn)到相應(yīng)定直線的距離p=b2c=2,且θ=105°，于是由②式得|FP|?|FQ|=e2p21－e2cos2θ=41－2cos2θ=－4cos2θ=833.

例5

(2022年安徽文科卷)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其相應(yīng)于焦點(diǎn)F(2,0)的準(zhǔn)線方程為x=4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知過點(diǎn)F1(－2,0)且傾角為θ的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，求證：|AB|=422－cos2θ；

（3）過點(diǎn)F1(－2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A,B和D,E，求|AB|+|DE|的最小值.

簡解

（1）x28+y24=1.（過程從略）

（2）用極坐標(biāo)思路最簡單（第二定義次之；直線方程與橢圓方程聯(lián)立最麻煩但最具一般性，乃是萬不得已時(shí)的“萬能思路”），易知本題中e=22，p=2，于是由③式得|AB|=2ep1－e2cos2θ=422－cos2θ.

在此基礎(chǔ)上，

第（3）問就沒有什么實(shí)質(zhì)性的困難了，有|AB|+|DE|=422－cos2θ+422－sin2θ，化簡后易知θ