2022年河北省承德市通事?tīng)I(yíng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2022年河北省承德市通事?tīng)I(yíng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“?x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（）A．?x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立 B．?x0∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立C．?x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立 D．?x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立參考答案：D【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行判斷即可．【解答】解：命題是特稱命題，則命題的否定是全稱命題，即?x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立，故選：D2.在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)的概率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C3.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．以上都有可能參考答案：B【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】證明題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)三角形的重心定理，可得SG1=SM且SG2=SN，因此△SMN中，由比例線段證出G1G2∥MN．在△ABC中利用中位線定理證出MN∥BC，可得直線G1G2與BC的位置關(guān)系是平行．【解答】解：∵△SAB中，G1為的重心，∴點(diǎn)G1在△SAB中線SM上，且滿足SG1=SM同理可得：△SAC中，點(diǎn)G2在中線SN上，且滿足SG2=SN∴△SMN中，，可得G1G2∥MN∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴MN∥BC因此可得G1G2∥BC，即直線G1G2與BC的位置關(guān)系是平行故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題給出三棱錐兩個(gè)側(cè)面的重心的連線，判定它與底面相對(duì)棱的位置關(guān)系，著重考查了三角形重心的性質(zhì)、比例線段的性質(zhì)和三角形中位線定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4.數(shù)列{an}滿足an+1=，若a1=，則a2015=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，推出數(shù)列是周期數(shù)列，然后化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：a1=，代入到遞推式中得a2=，同理可得a3=，a4=，a5=；因此{(lán)an}為一個(gè)周期為4的一個(gè)數(shù)列．∴a2015=a4×503+3=a3=．故選：B．5.如圖所示，已知正四棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（

）A．90°

B．60°

C．45°

D．30°參考答案：B略6.觀測(cè)兩個(gè)相關(guān)變量，得到如下數(shù)據(jù)：x-1-2-3-4-554321y-0.9-2-3.1-3.9-5.154.12.92.10.9則兩變量之間的線性回歸方程為A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則?等于（）A． B．1 C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】直接利用向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則?=||?||cos＜，＞==1．故選：B．8.程序：M=1

M=M+1

M=M+2

PRINTM

END

M的最后輸出值為（

）A．1

B．2

C．

3

D．4參考答案：D9.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，E是直線y=x+2與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)|EF1|+|EF2|取得最小值時(shí)橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2．|EF1|+|EF2|取得最小值，求出m．由此能求出橢圓離心率．【解答】解：由題意，m＞0知m+1＞1，由得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△=16（m+1）2﹣12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m﹣2）≥0，解得m≥2，或m≤﹣1（舍去）∴m≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，|EF1|+|EF2|取得最小值：2．此時(shí)a=，c=，e=．故選：D．10.已知,則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過(guò)（

）A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長(zhǎng)，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是______________參考答案：12.已知某種新產(chǎn)品的編號(hào)由1個(gè)英文字母和1個(gè)數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E這5個(gè)字母中的1個(gè)，數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，則共有__________個(gè)不同的編號(hào)（用數(shù)字作答）.參考答案：45【分析】通過(guò)分步乘法原理即可得到答案.【詳解】對(duì)于英文字母來(lái)說(shuō)，共有5種可能，對(duì)于數(shù)字來(lái)說(shuō)，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個(gè)不同的編號(hào).【點(diǎn)睛】本題主要考查分步乘法原理的相關(guān)計(jì)算，難度很小.13.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則其離心率為

．參考答案：2或【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先由雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，得雙曲線的兩條漸近線的斜率±或，由于不知雙曲線的焦點(diǎn)位置，故通過(guò)討論分別計(jì)算離心率，由或，再由雙曲線中c2=a2+b2，求其離心率即可【解答】解：∵雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，且漸近線關(guān)于x、y軸對(duì)稱，若夾角在x軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為30°，150°，斜率為若夾角在y軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為60°，120°，斜率為①若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2②若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2綜上所述，離心率為2或

故答案為2或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，由漸近線的斜率推導(dǎo)雙曲線的離心率是解決本題的關(guān)鍵14.已知圓C：x2+（y﹣2）2=1，P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA，PB分別切圓C于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=，則直線CP的方程為．參考答案：2x+y﹣2=0【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】如圖所示，由切線長(zhǎng)定理得到Q為線段AB中點(diǎn)，在直角三角形ACQ中，利用勾股定理求出|CQ|的長(zhǎng)，再利用相似求出|CP|的長(zhǎng)，設(shè)P（p，0），利用勾股定理求出p的值，即可確定出直線CP方程．【解答】解：如圖所示，|AC|=r=1，|AQ|=|AB|=，在Rt△ACQ中，根據(jù)勾股定理得：|CQ|=，∵△ACQ∽△PCA，∴=，即|CP|=3，設(shè)P（p，0）（p＞0），即|OP|=p，在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：9=4+p2，解得：p=，即P（，0），則直線CP解析式為y=（x﹣），即2x+y﹣2=0，故答案為：2x+y﹣2=0【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：切線長(zhǎng)定理，切線性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及直線的兩點(diǎn)式方程，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．15.

如圖，是一程序框圖，則輸出結(jié)果為_(kāi)_______．參考答案：16.在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，則異面直線PC與AB所成角的大小是

▲

．參考答案：60°

17.若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其體積為，則

.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(12分)求經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn)且平行于直線的直線方程

參考答案：且直線的斜率k=-2，

----------8分故所求直線為----------10分即26x+13y-29=0----------12分19.已知函數(shù)f（x）=（x+a）2+lnx．（1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值；（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1∈（0，），證明：f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2．參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則………………2分∴在上遞增，………4分（2），………………5分∵在上遞增，∴在上恒成立，∴在上恒成立，即，而，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，∴…………………………8分（3）的定義域?yàn)椋吆瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，∴、是方程的兩根，∴，，且，，………10分∴……………12分令)∴在上單調(diào)遞減，∴……14分略20.如圖，橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4．（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由題意將點(diǎn)P（1，）代入橢圓的方程，得到，再由離心率為e=，將a，b用c表示出來(lái)代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）方法一：可先設(shè)出直線AB的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=，，再求點(diǎn)M的坐標(biāo)，分別表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值；方法二：設(shè)B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直線FB的方程為，由此方程求得M的坐標(biāo)，再與橢圓方程聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，由此表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值【解答】解：（1）橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，），可得①由離心率e=得=，即a=2c，則b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故橢圓的方程為（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x﹣1）③代入橢圓方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k），從而，，=k﹣?zhàn)⒁獾紸，F(xiàn)，B共線，則有k=kAF=kBF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常數(shù)λ=2符合題意方法二：設(shè)B（x0，y0）（x0≠1），則直線FB的方程為令x=4，求得M（4，）從而直線PM的斜率為k3=，聯(lián)立，得A（，），則直線PA的斜率k1=，直線PB的斜率為k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常數(shù)λ=2符合題意21.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。參考答案：解：……3分（1）……7分（2）令解得令，解得故的遞增區(qū)間是……12分22.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入到f（x）中得到切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線切線，即可求出切線方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0時(shí)x的值，分0＜a≤2和a＞2兩種情況討論函數(shù)的增減性分別得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，聯(lián)立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3