武漢市武昌區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期月考試題與參考答案

武漢市武昌區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期月考試題與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合是和的公倍數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】分析可得，利用交集的定義可求得集合.【詳解】由題意可知，由，可得，由得，因此，.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.4 B. C.16 D.17【答案】D【分析】解方程求，再求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由余弦和差公式及齊次式化弦為切即可求.【詳解】.故選：D4.紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國(guó)，也叫甘薯、番薯等.紅薯耐旱耐脊、產(chǎn)量豐富，曾于數(shù)次大饑荒年間成為不少人的“救命糧食”，現(xiàn)因其生食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛(ài)的美食甜點(diǎn).小澤和弟弟在網(wǎng)紅一條街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準(zhǔn)備分著吃，如圖，該紅薯可近似看作三部分：左邊部分是半徑為的半球；中間部分是底面半徑為、高為的圓柱；右邊部分是底面半徑為、高為的圓錐，若小澤準(zhǔn)備從中間部分的甲、乙、丙、丁四個(gè)位置選擇一處將紅薯掰成兩塊，且使得兩塊的體積最接近，則小澤選擇的位置是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【分析】算出分別從甲乙丙丁處分兩塊的體積之差，比較大小即可.【詳解】若從甲處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，若從乙處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，若從丙處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，若從丁處分為兩塊，則左側(cè)體積為，右側(cè)體積為，兩者體積差為，故從乙處掰成兩塊，體積最接近，故選：B.5.在中，，，，若點(diǎn)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量轉(zhuǎn)化為基地進(jìn)行表示即可求解.【詳解】.故選：C.6.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先通過(guò)變形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較，，的大小，再通過(guò)觀察三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此進(jìn)行比較得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以只需要比較，，的大小即可，令，則，因?yàn)椋?，則，所以在上單調(diào)遞增，故，則，即，所以；令，則，因?yàn)椋?，，所以在上單調(diào)遞增，故，即，即，所以；綜上：.故選：A.7.已知隨機(jī)事件，，滿足，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.不可能事件與事件互斥B.必然事件與事件相互獨(dú)立C.D.若，則【答案】D【分析】根據(jù)事件的概念，以及實(shí)踐之間的關(guān)系，和條件概率的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椴豢赡苁录c事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以互斥，A正確；因?yàn)?所以，所以必然事件與事件相互獨(dú)立，B正確；因?yàn)?，且不?huì)同時(shí)發(fā)生，所以，C正確；例如，拋擲一枚骰子1次的試驗(yàn)，設(shè)事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于4，事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于2，則，但，D錯(cuò)誤，故選:D.8.已知A是橢圓：的上頂點(diǎn)，點(diǎn)，是上異于A的兩點(diǎn)，是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.若滿足條件的有且僅有1個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意聯(lián)立方程求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由結(jié)合弦長(zhǎng)公式整理可得關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)解，分類討論運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，∵直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線，聯(lián)立方程，消去y得：，解得或（舍去），即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，同理可得：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，由題意可得：，即，整理得：，由題意結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得：關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)解，則有：當(dāng)是方程的根，即，則，若，則有且僅有一個(gè)解，即符合題意；當(dāng)不是方程的根，則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，∵，則的對(duì)稱軸，∴，解得；綜上所述：，故橢圓離心率.故選：B.二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的有（）A.是遞減數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABC【分析】對(duì)于A，利用作差法判斷即可；對(duì)于BCD，利用與的關(guān)系求得，從而對(duì)選項(xiàng)逐一分析檢驗(yàn)即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故，則，所以是遞減數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.在正方體中，點(diǎn)在線段上，且，動(dòng)點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.若直線平面，則C.不存在點(diǎn)使平面平面D.存在點(diǎn)使直線與平面所成角為【答案】AB【分析】選項(xiàng)A連接，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，說(shuō)明平面，可說(shuō)明點(diǎn)到平面的高度為定值，為定值，利用等體積法即可說(shuō)明，選項(xiàng)B建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可，選項(xiàng)C，當(dāng)處于處時(shí)即可判斷，選項(xiàng)D借助選項(xiàng)B中的相關(guān)結(jié)論，假設(shè)存在點(diǎn)使直線與平面所成角為，根據(jù)假設(shè)條件，表示出線面角，列出等式，推出結(jié)論即可.【詳解】選項(xiàng)A，連接，如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，即平面所以直線上的所有點(diǎn)到平面的距離都相等都等于正方體的棱長(zhǎng)為定值，所以點(diǎn)到平面的高度為，由為定值，所以為定值，故A正確，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且，所以在線段的中點(diǎn)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，由，設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，所以直線平面，所以，即，解得，，故B選項(xiàng)正確，當(dāng)處于點(diǎn)時(shí)，平面即為平面，而在正方體中平面平面，故存在點(diǎn)，使得平面平面，故C錯(cuò)誤，由B選項(xiàng)知，由平面,所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，由線面角的性質(zhì)有：，假設(shè)存在點(diǎn)使直線與平面所成角為，則，即，因?yàn)?，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在點(diǎn)使直線與平面所成角為，故D選項(xiàng)不正確，故選：AB.11.已知點(diǎn)是曲線：上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.原點(diǎn)在曲線上B.曲線圍成的圖形的面積為C.過(guò)至多可以作出4條直線與曲線相切D.滿足到直線的距離為的點(diǎn)有3個(gè)【答案】ACD【分析】分類討論后，根據(jù)對(duì)稱性畫(huà)出函數(shù)圖像，從而可以進(jìn)一步求解.【詳解】對(duì)于A：將原點(diǎn)坐標(biāo)代入，正確，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，曲線：，即，即，第一象限內(nèi)曲線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為，所以總面積為：.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由函數(shù)圖像知過(guò)至多可以作出4條直線與曲線相切，故選項(xiàng)C正確；原點(diǎn)到直線的距離為：滿足到直線的距離為的點(diǎn)有共3個(gè)，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.聲音中包含著正弦函數(shù)，周期函數(shù)產(chǎn)生了美妙的音樂(lè).若我們聽(tīng)到的聲音的函數(shù)是，則（）A.的最小正周期是B.是的最小值C.是的零點(diǎn)D.在存在極值【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的最小正周期，可判斷A選項(xiàng)；利用特值法可判斷B選項(xiàng)；計(jì)算出的值，可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，且，因此，函數(shù)的最小正周期是，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，故不是的最小值，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意的，，故是的零點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，令可得，所以，，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，因此，在存在極值，D對(duì).故選：ACD.三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若平面上有7條直線，其中沒(méi)有兩條平行，也沒(méi)有三條交于一點(diǎn)，則共有______個(gè)交點(diǎn)（用數(shù)字作答）.【答案】21【分析】每?jī)蓷l直線確定一個(gè)點(diǎn)，只要求出7條直線任取兩條的方法數(shù)即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫔嫌?條直線，其中沒(méi)有兩條平行，也沒(méi)有三條交于一點(diǎn)，所以任意兩條直線確定一個(gè)交點(diǎn)，則共有個(gè)點(diǎn)，故答案：21.14.若圓與圓外離，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)圓心距大于半徑和求解即可.【詳解】解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，故圓心為，半徑為；將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，故圓心為，半徑為；因?yàn)閳A與圓外離，所以，即，即，解得或，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：15.已知的展開(kāi)式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則正整數(shù)______.【答案】14或23【解析】【分析】根據(jù)第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列可得，化簡(jiǎn)得即可求解【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中，第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)可得解得或，故答案為：14或2316.某校采用分層隨機(jī)抽樣采集了高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如下：項(xiàng)目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差高一100167120高二100170150高三100173150則總的樣本方差______.【答案】146【分析】由分層抽樣后的樣本方差公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意知，總的樣本平均數(shù)為，∴總的樣本方差為：故答案為：146.四、解答題共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且（1）求；（2）若，的面積為，求，.【答案】（1）（2）【分析】（1）已知等式由正弦定理邊化角，再由兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，可求角.（2）由三角形面積公式和余弦定理，列方程組求，.【小問(wèn)1詳解】已知，由正弦定理得：，故，由，得：，代入上式，于是，由，得，從而上式消去得，于是，即，由得.【小問(wèn)2詳解】由的面積為得：，代入，得：①，由余弦定理得，代入，，，得：②，由①②解得.18.已知數(shù)列滿足，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求證：（2）求使得成立的正整數(shù)的最大值【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）11【分析】（1）根據(jù)累加法即可證明；（2）結(jié)合數(shù)列特點(diǎn)根據(jù)窮舉法即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：由得累加得于是.【小問(wèn)2詳解】解：由，，得：對(duì)任意，，進(jìn)而，故數(shù)列單調(diào)遞增，由（1）可知，故，于是只需求使得最大的正整數(shù)，從而只需求使得最大的正整數(shù)，由，，列舉得：，，，，，，，，，，，結(jié)合數(shù)列單調(diào)遞增，于是使得最大的正整數(shù)為11.19.“惟楚有材”牌坊地處明清貢院舊址，象征著荊楚仕子朱衣點(diǎn)額的輝煌盛況和江城文脈的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，某學(xué)生隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了來(lái)此參觀的名游客，其中名女性中有名在“惟楚有材”牌坊下拍照，名男性中有名在“惟楚有材”牌坊下拍照.（1）用女性拍照的頻率估計(jì)概率，若再來(lái)名女性（是否拍照互相之間不影響）中至少有名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析游客在“惟楚有材”牌坊下拍照是否與性別有關(guān)附：，其中【答案】（1）（2）游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別有關(guān).【分析】（1）根據(jù)頻率可計(jì)算出每名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；根據(jù)獨(dú)立事件概率公式依次計(jì)算出再來(lái)名女性，分別有名女性拍照的概率，加和即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知可得列聯(lián)表，計(jì)算得到，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可得結(jié)論.小問(wèn)1詳解】由頻率估計(jì)概率可知：每名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；則再來(lái)名女性，其中名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為；名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為；名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為；至少名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為.【小問(wèn)2詳解】由已知可得列聯(lián)表如下：男性女性合計(jì)拍照不拍照合計(jì)零假設(shè)：游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別無(wú)關(guān).，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，錯(cuò)誤，即游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別有關(guān).20.在三棱錐中，，平面，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求二面角的余弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）作，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，易證得為等腰直角三角形，由此可得坐標(biāo)，根據(jù)可證得結(jié)論；（2）用表示坐標(biāo)，將表示為關(guān)于的二次函數(shù)，由此可確定時(shí)，最小，進(jìn)而得到坐標(biāo)；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，使得點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)，平面，平面，平面，，，則兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，；由得：，，為等腰直角三角形，；同理可得：為等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，，，分別是中點(diǎn)，，，，，，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，，，為等腰直角三角形；，，則；當(dāng)時(shí)，最小，分別是中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.21.已知點(diǎn)是拋物線：上一點(diǎn)，斜率為2的動(dòng)直線交于，（異于）的兩點(diǎn)，直線，的傾斜角互補(bǔ).（1）求拋物線的方程；（2）若，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線可得，根據(jù)直線，的傾斜角互補(bǔ)可得到，計(jì)算即可求解；（2）利用弦長(zhǎng)公式可得，繼而可得到，，然后利用數(shù)量積的夾角公式即可求解【小問(wèn)1詳解】由直線的斜率為2，設(shè)直線：，，聯(lián)立，消去得：，，由韋達(dá)定理得：，由直線，的傾斜角互補(bǔ)且，為