銳角三角函數(shù)（第一課時(shí)）（分層作業(yè)）【解析版】

基礎(chǔ)訓(xùn)練1．已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定義解答，正弦定義是在中，，∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦．【詳解】解：∵中，，，，∴,故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)中的正弦，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦的定義．2．在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（

）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】直接利用銳角的正弦的定義求解．【詳解】解：∵∠C＝90°，∴sinA＝∠A的對(duì)邊與斜邊的比，∵△ABC的三邊都縮小5倍，∴∠A的對(duì)邊與斜邊的比不變，∴sinA的值不變．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．3．如圖，在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦的定義即可得到答案．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦，解題的關(guān)鍵是熟知：在直角三角形中，任意一銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作．4．在中，，、、所對(duì)的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊求解即可．【詳解】解：如圖，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊．5．如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接（圖先詳解），構(gòu)造直角三角形，利用直接求出的值．【詳解】解：如圖，連接，由網(wǎng)格可得出，則，，故．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)的定義并能構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，解題的關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，在中，利用勾股定理求得線段AC的長(zhǎng)，再按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，則，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，若，則的長(zhǎng)為（

）A．8 B．12 C． D．【答案】C【分析】利用正弦的定義得出AB的長(zhǎng)，再用勾股定理求出BC.【詳解】解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC，∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是先求出AB的長(zhǎng).9．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)在格點(diǎn)上，以為直徑的圓過(guò)兩點(diǎn)，則的值為．【答案】/0.6【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠BCD=∠BAD，在網(wǎng)格中利用勾股定理可得AB，利用等角的正弦值相同即可得出結(jié)果．【詳解】解：由圖可得∠BCD=∠BAD，在?ABD中，AD=4，BD=3，∴AB=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，勾股定理、解三角形及正弦的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)求解．10．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長(zhǎng)和sinA的值．【答案】AC=4，sinA=【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵．能力提升1．如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為(

)

A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，根據(jù)作圖可得是的角平分線，進(jìn)而設(shè)，則，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，，∴，根據(jù)作圖可得是的角平分線，∴設(shè)，∵∴解得：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，正弦的定義，勾股定理解直角三角形，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)，．若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值等于（

）A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求k的值．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)，∴，∵．∴，∴∴點(diǎn)C坐標(biāo)∵若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C坐標(biāo)．3．如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線，分別交、于點(diǎn)D、E，連接，若，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得，DE是線段AC的垂直平分線，AE=CE，DE是的高，根據(jù)銳角三角函數(shù)得，即可得，過(guò)點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)F，根據(jù)銳角三角函數(shù)得，即可得，用的面積減去的面積即可得．【詳解】解：由題意得，DE是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，DE是的高，CD=DA=，∴，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)F，∵，，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)并能想到用的面積減去的面積即可得的面積．4．如圖，在矩形中，，垂足為點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】在中，由正弦定義解得，再由勾股定理解得DE的長(zhǎng)，根據(jù)同角的余角相等，得到，最后根據(jù)正弦定義解得CD的長(zhǎng)即可解題．【詳解】解：在中，在矩形中，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、正弦、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．如圖，在的外接圓中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，則的直徑為．【答案】//2.5【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)正弦函數(shù)可求得半徑，即可求解．【詳解】解：連接，則，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴的直徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正弦函數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．6．如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若．，則．

【答案】5【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得，，設(shè)，則，利用勾股定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)折疊可知，可知，，則，在中，，則，∴，則，設(shè)，則，在中，，即：，解得：，即：，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．如圖，在平行四邊形中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，平行四邊形的周長(zhǎng)為28，面積為40，．求：(1)的長(zhǎng)；(2)的值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由，求出，，再根據(jù)平行四邊形面積公式求解即可；（2）先證明，在中，，則．【詳解】（1）解：∵平行四邊形中，，，平行四邊形的周長(zhǎng)為28，∴，又∵，∴，，∵，∴；（2）解：∵在四邊形中，，，，∴，又∵在平行四邊形中，，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，求角的正弦值，四邊形內(nèi)角和定理等等，熟知平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．拔高拓展1．如圖，在四邊形中，，平分．若，，則．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．2．如圖，矩形中，點(diǎn)G，E分別在邊上，連接，將和分別沿折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若，則．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE，BC=AD=8，證得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】矩形中，GC=4，CE=3，∠C=90，∴GE=，根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE=∠C=90，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，∴DE=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識(shí)等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．3．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與直