32湖北省武漢市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年湖北省武漢市部分學(xué)校九年級(jí)（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列標(biāo)志圖中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；B．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故B正確；C．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤；D．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．2.從左面觀察如圖所示的幾何體，看到的平面圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)從該幾何體的左面看到的圖形，即可得到左視圖．【詳解】解：由圖可得，幾何體的左視圖是：故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，解題時(shí)注意：視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一個(gè)平面上．3.一元二次方程的根的情況為（）A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)拫根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】求出判別式的值，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式．熟練掌握判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．4.下列圖形中，一定相似的是（）A.一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形B.有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)等腰三角形C.兩個(gè)長(zhǎng)方形D.有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)菱形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似多邊形的判定方法分別判斷即可．【詳解】解：A．平行于三角形一邊的一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，即相似，故選項(xiàng)不符合題意；B．有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；C．兩個(gè)長(zhǎng)方形不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；D．有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)菱形一定相似，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了相似多邊形，熟練掌握相似多邊形的定義是解題的關(guān)鍵．5.下列四個(gè)命題中不正確的是（）A.直徑是弦 B.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等C.頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角 D.半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧【答案】C【解析】【分析】用弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定義及等圓的概念分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】A、直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，正確；B、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，正確；C、頂點(diǎn)在圓周角上且兩邊都與圓相交的角是圓周角，故錯(cuò)誤；D、半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定義及等圓的概念等知識(shí)．6.下表中所列的x，y的6對(duì)值是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若(x1，y1)，(x2，y2)是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，根據(jù)表中信息，以下論斷正確的是（）A.當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2B.當(dāng)y1＞y2時(shí)，x1＜x2C.該函數(shù)的最小值為3D.當(dāng)x1＝1+n，x2＝1﹣n時(shí)（n為常數(shù)），y1＝y(tǒng)2【答案】D【解析】【分析】由拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸來(lái)確定增減性，并進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得：拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大，故A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；根據(jù)表格可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的值為最小值，最小值不是3，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；∵＝1，∴y1＝y(tǒng)2，故D選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7.如圖所示，某幼兒園有一道長(zhǎng)為16米的墻，計(jì)劃用32米長(zhǎng)的圍欄靠墻圍成一個(gè)面積為120平方米的矩形草坪ABCD．則該矩形草坪BC邊的長(zhǎng)是（）A.12 B.18 C.20 D.12或20【答案】A【解析】【分析】設(shè)草坪BC長(zhǎng)為x米，則寬為，根據(jù)面積為120平方米，列方程求解．【詳解】設(shè)草坪BC的長(zhǎng)為x米,則寬為，由題意得,，解得：，∵墻為16米，∴x=20不合題意故x=12.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列一元二次方程.8.如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角為20°的滑雪道，滑雪道的長(zhǎng)AC為100米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）A. B. C.1OOcos20° D.100sin20°【答案】D【解析】【詳解】∵sin∠C=，∴AB=AC?sin∠C=100sin20°，故選D．9.如圖，弧長(zhǎng)為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在．將弓形沿x軸正方向無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出一個(gè)周期圓心走的路程，即可求出圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為時(shí)圓心的位置，故可求解．【詳解】如圖，圓心在，可得r=2∴OA=，AB=2r=4，BC=，==∴一個(gè)周期圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為OA++BC=4，∴C（4+2，0），故當(dāng)圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為時(shí)，÷4=505…1∴圓心的橫坐標(biāo)是505×（4+2）+=故選D．

【點(diǎn)睛】此題主要考查弧與坐標(biāo)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出一個(gè)周期圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．10.如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF平分∠BCD，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且BC＝4，CD＝2，給出下列結(jié)論：①∠BAE＝∠CAD；②∠DBC＝30°；③AE＝；④AF＝，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【詳解】在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADB，∵∠CAD＝∠ADB，∴∠BAE＝∠CAD，故①正確；∵BC＝4，CD＝2，∴tan∠DBC＝＝，∴∠DBC≠30°，故②錯(cuò)誤；∵BD＝，∵AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE＝；故③正確；∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝45°，∴∠ACF＝45°﹣∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BAE＝∠ACB，∴∠EAC＝90°﹣2∠ACB，∴∠EAC＝2∠ACF，∵∠EAC＝∠ACF＋∠F，∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC，∵AC＝BD＝，∴AF＝，故④正確；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11.若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，則m的值是______．【答案】6【解析】【分析】把代入一元二次方程中即可解得m的值．【詳解】解：把代入一元二次方程中得：，解得．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定，掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．12.已知與相似，并且點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，其中，，則______度.【答案】40【解析】【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形內(nèi)角和等于180°列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，

∴∠B＝∠B′＝60°，

∴∠C＝180°?∠A?∠B＝180°?80°?60°＝40°．

故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．13.如圖，，是的兩條弦，且，點(diǎn)D，P分別在，上，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】##110度【解析】【分析】連接，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：連接，∵，四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，又，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加輔助線，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵．14.如圖，半圓O中，C為半圓O上一點(diǎn)，AB為直徑，∠ABC=60°，以O(shè)A為直徑作半圓D，若AB=4，則圖中陰影部分面積為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．【詳解】如圖，連接OC．∵AB=4，∴OA=OB=2，OD=AD=1．∵∠ABC=60°，OB=OC，∴∠BOC=60°，∴S弓形BC=S扇形OBC﹣S△OBC．∵S半圓AOD，S半圓ABO2π∴S陰影=S半圓ABO﹣S半圓AOD﹣S弓形BC=2π（）．故答案．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積的相關(guān)計(jì)算，熟練運(yùn)用割補(bǔ)法和扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．15.二次函數(shù)y=x2+bx的圖像如圖所示，對(duì)稱軸為x=2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t為實(shí)數(shù))在-1＜x＜6的范圍內(nèi)無(wú)解，則的取值范圍是___.【答案】t＜-4或t≥12.【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)解析式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，仔細(xì)觀查圖象，最后根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系得到結(jié)果.【詳解】對(duì)稱軸為x=-解得b=-4，

所以，二次函數(shù)解析式為y=x2-4x一元二次方程x2-4x-t=0(t為實(shí)數(shù))

x=-1時(shí)，y=5x=6時(shí)，y=12x=2時(shí)，y=-4

∵x2+bx-t=0相當(dāng)于y=x2+bx與直線y=t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

∴當(dāng)--4≤t＜12時(shí)，在-1≤x＜6的范圍內(nèi)有解則當(dāng)t＜-4或t≥12時(shí)，在-1≤x＜6的范圍內(nèi)無(wú)解故答案為t＜-4或t≥12【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程的解的綜合應(yīng)用能力，把握在一定范圍內(nèi)有解和無(wú)解的解法是解題的關(guān)鍵.16.在平行四邊形ABCD的邊AB和AD上分別取點(diǎn)E和F，使，，連接EF交對(duì)角線AC于G，則的值是_____________．【答案】【解析】【詳解】解：如圖，在AD上取點(diǎn)H，使，連接BH交AC于O，則，即，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，∴△AOH∽△COB，∴，，所以.故答案為：．考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.平行四邊形的性質(zhì)．三、計(jì)算題：本大題共1小題，共8分．17.為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，黔南州近期舉辦了中小學(xué)生“國(guó)學(xué)經(jīng)典大賽”．比賽項(xiàng)目為：A．唐詩(shī)；B．宋詞；C．論語(yǔ)；D．三字經(jīng)．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．（1）小麗參加“單人組”，她從中隨機(jī)抽取一個(gè)比賽項(xiàng)目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是多少？（2）小紅和小明組成一個(gè)小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊(duì)員的比賽項(xiàng)目不能相同，且每人只能隨機(jī)抽取一次，則恰好小紅抽中“唐詩(shī)”且小明抽中“宋詞”的概率是多少？請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法進(jìn)行說(shuō)明．【答案】(1)；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先畫樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好小紅抽中“唐詩(shī)”且小明抽中“宋詞”的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）她從中隨機(jī)抽取一個(gè)比賽項(xiàng)目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率=；（2）畫樹(shù)狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好小紅抽中“唐詩(shī)”且小明抽中“宋詞”的結(jié)果數(shù)為1，所以恰好小紅抽中“唐詩(shī)”且小明抽中“宋詞”的概率=．四、解答題：本題共7小題，共64分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．18.計(jì)算：（1）；（2）解方程：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）原式第一項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，第三項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）方程移項(xiàng)后，利用因式分解法求出解即可．【小問(wèn)1詳解】原式；【小問(wèn)2詳解】方程移項(xiàng)得：，分解因式得：，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．19.如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，，．求的半徑；求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）的半徑為；（2）．【解析】【分析】（1）連接OC，OD，利用垂徑定理得CP=2，AP=3x，PB=x，則AB=4x，OC=2x，OP=x，利用勾股定理可得結(jié)果；

（2）根據(jù)OP=2，OC=4，利用直角三角形的性質(zhì)易得∠COD=120°，利用扇形和三角形的面積公式，求得陰影部分面積．【詳解】連接，，如圖所示：設(shè)，，則，，，∵，∴，∴，解得：或（舍去），∴，∴的半徑為；∵，，∴在中，，，∴，∵，∴陰影部分的面積為：．【點(diǎn)睛】考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)和扇形面積公式，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．20.如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與l關(guān)于直線對(duì)稱．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求圖中陰影部分的面積．（3）已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)另一點(diǎn)B，P在在平面內(nèi)，若以點(diǎn)A，B，P，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）7（3）所有符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，．【解析】【分析】（1）根據(jù)，，算出點(diǎn)A坐標(biāo)，再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即可解答．

（2）根據(jù)題意求出直線的解析式，結(jié)合圖形陰影部分面積直線、直線與x軸圍成的三角形面積直線與x軸、y軸圍成的三角形面積，算出直線、直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解答．（3）分三種情況討論，即以、、為對(duì)角線三種情況，再根據(jù)中點(diǎn)公式即可解答．【小問(wèn)1詳解】解：直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，把代入，得：，，將代入反比例函數(shù)，得：，，反比例函數(shù)的解析式為．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)直線，可得直線與x軸的交點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與l關(guān)于直線對(duì)稱，直線與x軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線，將，代入解析式得：，解得，直線，直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合圖形陰影部分面積直線、直線與x軸圍成的三角形面積直線與x軸、y軸圍成的三角形面積，．【小問(wèn)3詳解】解：直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)另一點(diǎn)B，可列方程，解得：或，，設(shè)，①當(dāng)以點(diǎn)A，B，P，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形以為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知的中點(diǎn)與的中點(diǎn)相同，根據(jù)中點(diǎn)公式，可得方程，解得，；②當(dāng)以點(diǎn)A，B，P，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形以為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知的中點(diǎn)與的中點(diǎn)相同，根據(jù)中點(diǎn)公式，可得方程，解得，；③當(dāng)以點(diǎn)A，B，P，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形以為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知的中點(diǎn)與的中點(diǎn)相同，根據(jù)中點(diǎn)公式，可得方程，解得，；綜上所述，所有符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合的綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，經(jīng)過(guò)四個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過(guò)程中起輔助作用的用虛線表示，畫圖．結(jié)果用實(shí)線表示，并用黑色水筆描黑）（1）如圖1，判斷圓心______（填“是”或“不是”）在格點(diǎn)上，并在圖1中標(biāo)出格點(diǎn)；（2）在圖1中畫出的切線（為格點(diǎn)）；（3）在圖2中畫出中點(diǎn)；【答案】（1）是，圖見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，涉及垂徑定理，切線的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）畫出弦，垂直平分線可得答案；（2）連接，取格點(diǎn)，使即可；（3）由方格的特征，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，即得的中點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，，圓心在弦，的垂直平分線上，由圖可知，是在格點(diǎn)上，故答案為：是；【小問(wèn)2詳解】解：如圖：即為所求，；【小問(wèn)3詳解】解：如圖，，由方格的特征，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．22.如圖，在中，D，E分別是上的點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知和角平分線的定義即可證明；（2）利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例即可列式求解．【小問(wèn)1詳解】證明：平分，，又，；【小問(wèn)2詳解】解：，，，，又，，．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．23.用一條直線截三角形的兩邊，若所截得的四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則稱該直線為三角形第三條邊上的逆平行線．如圖，為的截線，截得四邊形，若，則稱為邊的逆平行線；如圖，已知中，，過(guò)邊上的點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作邊的逆平行線，交邊于點(diǎn)．（1）求證：是邊的逆平行線．（2）點(diǎn)是的外心，連接，求證：．（3）已知，，過(guò)點(diǎn)作邊的逆平行線，交邊于點(diǎn)．①試探索為何值時(shí)，四邊形的面積最大，并求出最大值；②在①的條件下，比較大小關(guān)系．（“或”）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①，最大值；②=【解析】【分析】（1）由條件可證得∠B＝∠ACB，則∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，結(jié)論得證；（2）連接AO，BO,證得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，證出，即CO⊥FE，（3）①設(shè)FC＝x，則BF＝6?x，證△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四邊形AGFE的面積可表示為S△ABC?S△EFC?S△BFG，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大值，得到點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接DF，根據(jù)EF為AB邊的逆平行線，可證得DF為AC邊的逆平行線，得到G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)；②由①知G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，故可得到AD＋BG＝AB．【詳解】（1）證明理由如下：邊是的逆平行線；（2）如圖1，連接，BO是邊的逆平行線點(diǎn)是的外心=BO，，AO=AO∴△ABO≌△ACO，；（3）如圖2，作AQ⊥BC∵AB=AC，∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3∴AQ=S△ABC===12,①設(shè)，，∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，∴△FEC∽△ABC．，同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC∴△FBG∽△ABC∴＝?(x?3)2＋，當(dāng)