2024山西天一大聯(lián)考·高三階段性測試（定位）數(shù)學試題含答案

絕密★啟用前 【山西專版】天一大聯(lián)考2023—2024學年高三年級階段性測試（定位）數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設全集，集合，，則=A． B． C． D．2．的展開式中常數(shù)項為A．112 B．56 C．28 D．163．已知函數(shù)若對任意，，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數(shù)a=A．0 B．1 C．2 D．34．干支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，依此類推．已知2024年是甲辰年，則2124年為A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年5．將一個圓臺的側(cè)面展開，得到的扇環(huán)的內(nèi)弧長為4π，外弧長為8π，外弧半徑與內(nèi)弧半徑之差為m，若該圓臺的體積為，則m=A．4 B．3 C．2 D．16．設非零復數(shù)和在復平面內(nèi)對應的向量分別為和，其中O為原點，若為純虛數(shù)，則A． B．C． D．7．已知α，β，γ均是銳角，設的最大值為，則=A． B． C．1 D．8．已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知拋物線C：的焦點為F，點在C上，若∠MOF=45°（O為坐標原點），則A． B． C． D．10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A．B．C．的圖象關(guān)于點對稱D．不等式的解集為11．在四棱錐中，已知，，且，則A．四棱錐的體積的取值范圍是B．的取值范圍是C．四棱錐的外接球的表面積的最小值為8πD．PB與平面PAD所成角的正弦值可能為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知圓C經(jīng)過點，且有一條直徑的兩個端點分別在x，y軸上，則圓C的面積的最小值為______．13．甲、乙兩名足球運動員進行射門比賽，約定每人射門3次，射進的次數(shù)多者贏，一樣多則為平局．若甲每次射門射進的概率均為，乙每次射門射進的概率均為，且每人每次射門相互獨立．現(xiàn)已知甲第一次射門未射進，則乙贏的概率為______．14．已知橢圓C：的左、右焦點分別是，，斜率為的直線l經(jīng)過點且交C于A，B兩點（點A在第一象限），若的面積是的面積的3倍，則C的離心率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）某學校準備訂做新的校服，有正裝和運動裝兩種風格可供選擇，為了解學生和家長們的偏好，學校隨機調(diào)查了200名學生及每名學生的一位家長，得到以下的2×2列聯(lián)表：更喜歡正裝更喜歡運動裝家長12080學生16040（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認為學生與家長對校服風格的偏好有差異；（Ⅱ）若從家長中按不同偏好的人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取5人進行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中更喜歡正裝的家長人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．附：．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82816．（15分）如圖，A是以BC為直徑的圓O上的點，PA⊥平面ABC，D，E分別是線段PA，PB上的點，且滿足，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若二面角的正弦值為，求λ的值．17．（15分）已知雙曲線C：的漸近線與圓的一個交點為．（Ⅰ）求C的方程．（Ⅱ）過點A作兩條相互垂直的直線和，且與C的左、右支分別交于B，D兩點，與C的左、右支分別交于E，F(xiàn)兩點，判斷能否成立．若能，求該式成立時直線的方程；若不能，說明理由．18．（17分）已知函數(shù)，，．（Ⅰ）若，，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（Ⅱ）設t為常數(shù)，若”’是“在R上具有單調(diào)性”的充分條件，求t的最小值．19．（17分）對于數(shù)列，若存在，使得對任意，總有，則稱為“有界變差數(shù)列”．（Ⅰ）若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列為有界變差數(shù)列，求其公比q的取值范圍；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，且，證明：是有界變差數(shù)列；（Ⅲ）若，均為有界變差數(shù)列，且，證明：是有界變差數(shù)列．天一大聯(lián)考2023—2024學年高三年級階段性測試（定位）數(shù)學（山西專版）答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．答案C命題意圖本題考查集合的表示與運算．解析由已知易得，所以．2．答案A命題意圖本題考查二項式定理的應用．解析常數(shù)項為．3．答案C命題意圖本題考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的奇偶性．解析由題意知為偶函數(shù)，則．4．答案D命題意圖本題考查等差數(shù)列的應用．解析天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，故100年后天干為甲，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為“辰”后面第四個，即“申”，所以2124年為甲申年．5．答案B命題意圖本題考查圓臺的有關(guān)計算．解析易知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為4，母線長為m．設圓臺的高為h，根據(jù)題意可知該圓臺的體積為，解得，則．6．答案D命題意圖本題考查復數(shù)的幾何意義以及平面向量的運算．解析設，，，其中a，b，c，d，，且a，b不同時為0，c，d不同時為0，，由題意，所以，所以．7．答案B命題意圖本題考查三角恒等變換及基本不等式的應用．解析由基本不等式可得，，，三式相加，可得，當且僅當α，β，γ均為時等號成立，所以，則．8．答案C命題意圖本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的綜合性質(zhì)．解析由已知得，，．令，則，顯然，即單調(diào)遞減，所以，即，亦即，．由，可得，而，所以，所以．綜上可知．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．答案AC命題意圖本題考查拋物線的方程與性質(zhì)．解析若∠MOF=45°，則，又，解得或，故A正確，B錯誤；由拋物線的定義，得，故C正確；由余弦定理得，故D錯誤．10．答案ABD命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解析設的最小正周期為T，由圖象可知，解得，故，則，將代入解析式，得，所以，所以，故A，B正確；，故C錯誤；即為，得，得，得，故D正確．11．答案BCD命題意圖本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)以及棱錐與球的綜合問題．解析由已知可得，四邊形ABCD是上底為1，下底為2，底角為60°的等腰梯形，所以，．對于A，當PD⊥底面ABCD時，四棱錐的體積最大，最大體積為，故A錯誤；對于B，在中，，，，用余弦定理可知的取值范圍是，故B正確；對于C，當PD⊥平面ABCD時，四棱錐的外接球的半徑等于的外接圓的半徑，此時外接球的半徑最小，為，故外接球的表面積的最小值為，故C正確；對于D，設PB與平面PAD所成角為θ，當PD⊥平面ABCD時，計算可得，當P靠近平面ABCD時，θ趨向于0，所以存在某個P點，使得，故D正確．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．答案25π命題意圖本題考查圓的方程與性質(zhì)．解析因為圓C的一條直徑的兩個端點分別在x，y軸上，所以該圓一定過原點O．又圓C經(jīng)過點，所以當OM為圓C的直徑時，圓C的面積最小，又．所以圓C的面積最小值為．13．答案命題意圖本題考查概率的乘法公式．解析若乙射進1次，則他贏的概率為；若乙射進2次，則他贏的概率為；若乙射進3次，則他贏的概率為．故乙贏的概率為．14．答案命題意圖本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系．解析因為的面積是的面積的3倍，所以．設C的半焦距為，則直線l：，聯(lián)立方程可得消去x得，則，，又，即，化簡可得，得，解得．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．命題意圖本題考查獨立性檢驗的應用以及超幾何分布．解析（Ⅰ）由題可知，因為，所以有99%的把握認為學生與家長對校服風格的偏好有差異．（Ⅱ）座談的家長中更喜歡正裝的人數(shù)為，更喜歡運動裝的人數(shù)為．由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，則，，，故X的分布列為X012P所以X的數(shù)學期望．16．命題意圖本題考查空間位置關(guān)系的推理與證明、二面角的計算．解析（Ⅰ）因為A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的點，所以，因為PA⊥平面ABC，所以．又，所以AB⊥平面PAC，因為，所以，所以DE⊥平面PAC，因為平面PAC，所以．（Ⅱ）分別以AC，AB，AP所在的直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設，，則點，，，，，則，，，設平面CDE的法向量為，則?。O平面BCE的法向量為，則?。驗槎娼堑恼抑禐?，所以，解得或（舍去）．17．命題意圖本題考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線與直線的位置關(guān)系．解析（Ⅰ）由題可知，，，故C的方程為．（Ⅱ）不能成立．顯然直線，的斜率均存在，設直線的方程為，直線的方程為，，．（6分）聯(lián)立與C的方程可得得，因為與C的左、右支分別相交，所以，同理，解得或．（*）因為，所以，同理可得．若，則，只需即可，解得，，顯然，都不符合（*）．所以不能成立．18．命題意圖本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．解析由題可知，即．（I），，則．由得，即或；由得，即．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）若具有單調(diào)性，則不變號．設，則，即不變號，由于，因此是二次函數(shù)．若在恒成立，則即由于，，所以該情形不成立．若在恒成立，則或即或a．由于，因此恒成立當時，（當時等號成立），當時，，因