2023-2024學(xué)年浙江省嘉興市高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省嘉興市高二上冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若直線/的斜率為G，則該直線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【正確答案】C

【分析】根據(jù)斜率的定義求解.

【詳解】由定義：斜率左=tanO,其中。為直線/的傾斜角，.?.tane=7^,

又0,404180',；.6=60,；

故選：C.

2.已知等差數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式?！?-3〃+5,則它的公差為（）

A.3B.-3C.5D.-5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)公差的定義求解.

【詳解】由題意：公差"=。向—q,=—3（w+l）+5-（-3〃+5）=-3；

故選：B.

3.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為耳（0,3）,瑞（0,-3）,p是雙曲線上一點(diǎn)且歸耳|-|尸引=4,

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【正確答案】C

【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為r-，=ig>（）,b>0）,由雙曲線的定義知c=3,。=2,

即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/■-捺=1（承>0,6>0）,半焦距為c,

則由題意可知c=3,24=4,即”=2,故/=c2-/="4=5,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為片-《=1.

45

故選：c.

4.數(shù)列｛《,｝中，%+2=%+|+%，4=3,%=5,則。4=（）

A.-3B.9C.-5D.13

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，分別令〃=1,〃=2,代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閝=3,“2=5,B.a?+2=a?+l+a?,

令〃=1,則％=%+%=8，

令〃=2,則。4=4+4=8+5=13.

故選:D

5.若圓￡:（x-iy+（y-2）2=4與圓。2：（工+。）2+3+1）2=9外切，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.3B.5C.3或-5D.5或-3

【正確答案】C

【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】解：因?yàn)閳AG：（X-iy+（尸2）2=4與圓。2：&+〃）2+3+1）2=9外切，

所以J（l+a）2+（2+1）2=3+2,

解得a=3或a=-5,

故選：C

6.若直線xcos?+ysin6=l（eeR）與圓/+^=4相交于點(diǎn)尸，。，則|「。|=（）

A.1B.V3C.20D.25/3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，求圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓相交弦長公式

求解即可.

【詳解】直線xcose+ysin6>=l（eeR）與圓》2+/=4相交于點(diǎn)尸，Q,

則圓心（0,0）到直線A-COS。+ysin9=1（。GR）的距離為d=1曰，=1,

Vsin20+cos20

所以|P0|=2>/4^T=2V3.

故選：D.

7.拋物線/=4x上一點(diǎn)尸到點(diǎn)的距離與點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離之和的最小值是()

A.7?B.72C.72-1D.V2+1

【正確答案】B

【分析】先求出焦點(diǎn)廠坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的

距離等于到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)P,F,4三點(diǎn)共線時(shí)所求距離之和最小.

【詳解】對(duì)于_/=4x,2P=4,5=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,0),準(zhǔn)線方程為X=-1,

則產(chǎn)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=|尸可，顯然當(dāng)尸，尸，/三點(diǎn)共線時(shí)，并且尸在4尸之間時(shí)歸曰+四|

最小，如下圖：

.??1^1+1^1的最小值=歸/|=，石了=0;

故選：B.

8.如圖，橢圓A/:￡+4=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，巴，兩平行直線44分別過

ab~

耳，巴交M于4B,C,。四點(diǎn)，且N打，。外,|，巴卜4|。鳥|,則M的離心率為()

D.1

CI3

【分析】設(shè)⑷周=x,則|/q=4》，由橢圓定義得|/6|=2"4》，由橢圓的對(duì)稱性可知

怛耳KPB|=X,連接B苞,則|叫|=2a-x.又l\〃l?AFRDF”利用勾股定理可得答案.

【詳解】設(shè)|。用=孫則|/6|=4',由橢圓定義得用=2a-4x,由橢圓的對(duì)稱性可知

\BF\=\DF^x,連接8中,則此|=2a-x.又I、〃12訪工DF2,

所以N4Xg=N/KZ)=9(y,在M中，\BF2f=\AB^+\AF2f,

所以(2a-34+(4x)2=(2a-x)?,解得

所以的=等,網(wǎng)=?,Rt/用中，|"『+/「=閨可，

所以仔)+仔)=(2c＞，得5a、%2,所以M的離心率6，=冬

故選：D.

二、多選題

9.下列各結(jié)論，正確的是()

A.直線x-y-l=O與兩坐標(biāo)軸交于48兩點(diǎn)，則|力四=&

B.直線2x—y=0與直線2x—y_&=0之間的1?巨離為石

C.直線J1x+y-2=0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小為1

D.點(diǎn)D-L1)與點(diǎn)3(2,0)到直線X-尸0的距離相等

【正確答案】ACD

【分析】由兩點(diǎn)間、點(diǎn)到直線，平行線的距離公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,直線x-y-l=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)力(0,-1),8(1,0),

則|/8|=五,故A正確；

對(duì)于B,直線2x-y=()與直線2x-y-6=0之間的距離為

”=J叫.=1,故B不正確;

V4+1

對(duì)于C,直線gx+”2=0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小為

原點(diǎn)到直線6-"2=0的距離即4=需喜

=1,故C正確;

對(duì)于D,點(diǎn)力(-1,1)到直線x-y=0的距離為上口=后

與點(diǎn)8(2,0)到直線x-y=0的距離為2*=0.

J2

所以點(diǎn)4(7,1)與點(diǎn)8(2,0)到直線x-y=0的距離相等，故D正確.

故選：ACD.

2a,,〃為奇數(shù)

10.設(shè)數(shù)列｛““｝的前〃項(xiàng)和為5,，且滿足q=1,4川=<,,〃為偶數(shù)，則下列說法中正確的

有()

A.%=2B.數(shù)列m｝為遞增數(shù)列C.a2022=1

D.S20=22.5

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)題意，分別求得％,出，/，%，4，…，得到數(shù)列｛““｝構(gòu)成以1,2,；』為周期的周期

數(shù)列，逐項(xiàng)判定，即可求解.

2%,〃為奇數(shù)

【詳解】由題意，數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=l,%+i=,J_〃為偶數(shù)，

4,

11

當(dāng)〃=1時(shí)，〃2=2%=2；當(dāng)〃=2時(shí)，生=7=5；當(dāng)〃=3時(shí)，。4=2%=1；

當(dāng)〃=4時(shí)，a5=~~=h當(dāng)〃=5時(shí)，。6=2%=2;當(dāng)〃=6時(shí)，ai=~~=~；，

。4。62

歸納可得數(shù)列｛凡｝構(gòu)成以1,2,；』為周期的周期數(shù)列，所以%=%=2,A正確，B不正確;

又由。2022=。5053+2=。2=2,所以C不正確；

199

因?yàn)閝+%+%+。4=2+]+1+1=§,所以S2。=5XQ=22.5,所以D正確.

故選：AD.

11.己知直線/:3+了+3〃一0=0和圓C:f+y2=i2,則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（3,-瓜）

B.直線/與圓相切時(shí)，m=-^3

C.若直線的傾斜角為120°,則直線/與圓相交所得弦長為6

D.若直線/與圓相交所得弦的長為2仃，則該弦45在x軸上的投影長為3

【正確答案】BCD

r-x+3=0

【分析】對(duì)A,通過將直線整理為加（x+3）+y-6=0,則得至解出即可，對(duì)

B,利用圓心到直線的距離等于半徑即可得到方程，解出即可，對(duì)C,求出機(jī)代入直線，利

用弦長公式即可，對(duì)D,根據(jù)弦長求出旭，得到直線傾斜角，即可求出答案.

【詳解】對(duì)A,直線/的方程化為：加（x+3）+y-6=0,

x+3=0

則故直線/恒過定點(diǎn)卜3,道），故A錯(cuò)誤;

解得1

對(duì)B,由題得圓心（0,0）到直線/的距離等于半徑，而圓C的半徑為26，

2工,化簡得（加+石）=0,解得故B正確;

對(duì)C,若直線的傾斜角為120，，則左=tanl20°=-6=-m，解得加=百，

則直線/的方程為:怎+夕+26=0,

M「廠

設(shè)圓心到直線/的距離為d,則㈣2.=73<273,

則直線/與圓相交所得弦長為24々2=2/2-（例2=6,故C正確;

對(duì)D,若圓心到直線/的距離為d,根據(jù)弦長2，六-的,

「I------隘-

則有2泰=2，12-7,則d=3,則有I：J=3

yjm2+1

化簡得片?=-1,解得加=一］，則勺=乎，設(shè)直線的傾斜角為a,

?/k,=tana=——，且0°Wa<180°,貝！Ja=30°，

/3

所以該弦N8在x軸上的投影長為2石xcos30°=26'x也=3,故D正確.

2

故選：BCD.

12.設(shè)點(diǎn)尸為拋物線C：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸斜率為％的直線/與拋物線C交于

兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限），直線/交拋物線C的準(zhǔn)線于點(diǎn)P,若|標(biāo)卜3|麗|=4,則下

列說法正確的是（）

A.p=4B.FP+FM=0

C.k=y/3D.△A/CW的面積為40（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

【正確答案】BC

【分析】設(shè)加（占,凹）山（匕,必），利用焦半徑公式求出國=4-舁2=，勺進(jìn)而求出

%2=80-p2，W='-p2,并結(jié)合耨=耨|1=3,求出P,即可判斷A；求出尸,P,例三

點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量而，麗的坐標(biāo)，即可判斷B；已知E"兩點(diǎn)坐標(biāo)，且左="的，

利用斜率公式可得左，即可判斷C；由S0MN=S8M+S。q，求出△MON的面積，即可判

斷D.

如圖,設(shè)收（再,必）,“（々,力），

.??療=8。-

MF=\MMt\

X-NF|MV,|

:Sp-p_

??.4=9,即8P,

y2y-p'

解得：P=2；

故選項(xiàng)A不正確;

由上述分析可知加（3,2百）

133J

又容易知廣。,0）產(chǎn)卜1,-2萬），

則涔=（-2,-273）,FM=（2,2⑹,

故所+廂=0成立;

故選項(xiàng)B正確;

273-0

k=%==y/3;

3-1

故選項(xiàng)C正確;

=ixlx2^+lxlx答*

S4OMN=SAOFM+SMfFN

故選項(xiàng)D不正確;

故選：BC.

三、填空題

13.圓的方程為x2+/+2x+2y+l=0,則該圓的半徑為—

【正確答案】1

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出圓的半徑.

【詳解】由V+_/+2x+2y+l=0可得（》+1）2+（夕+1）。=1,

所以圓心坐標(biāo)為半徑r=l.

故1

14.記邑為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，已知S$=I5,則如

【正確答案】3

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式求解.

【詳解】設(shè)公差為d,

因?yàn)镾5=5%+10d=15,所以％+25=3,即%=3,

故答案為3

15.己知片，心分別是雙曲線±-￡=1的上、下焦點(diǎn)，過心的直線交雙曲線于4、8兩點(diǎn),

若|/8|=9,則|/鎮(zhèn)+忸用的值為.

【正確答案】29

【分析】根據(jù)雙曲線方程及已知有4B在雙曲線的下支上，應(yīng)用雙曲線定義及|/8|=9,即

可求目標(biāo)式的值.

【詳解】由題設(shè)2。=10>9,故48在雙曲線的下支上，如下圖示，

根據(jù)雙曲線定義：|“片卜|/周=忸用-|8同=2。=10,

所以|力4|+忸胤=4〃+(以周+|8用)=20+|/同=29.

故29

16.在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)4-2,-3)出發(fā)，爬到夕軸后又爬到圓。：。+3)2+(尸2)2=2上,

則它爬到的最短路程是.

【正確答案】472

【分析】求得點(diǎn)4-2,-3)關(guān)于歹軸的對(duì)稱點(diǎn)為0(2,-3),結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由圓C:(x+3)2+a-2)2=2,得圓心坐標(biāo)。(-3,2),半徑為血，

求得點(diǎn)/(-2,-3)關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)為力'(2,-3),

可得“目="C|-r=J(-3-2>+(2+3尸_忘=4五.

如圖所示，可得爬到的最短路程為4VL

故4立

四、解答題

17.已知直線/”4x+2y+6=0和直線/2.x+(。-l)y+。--1=0

(1)當(dāng)。/〃2時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)當(dāng)"JJ2時(shí)，求實(shí)數(shù)”的值.

【正確答案】(1)-1；(2)j.

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可；

(2)根據(jù)兩直線垂直的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可.

【詳解】解：由題意得：

(1)(方法1)當(dāng)a=l時(shí),h：x+2y+6=0,l2-x=0,"不平行于歷

當(dāng)a=0時(shí)，"：y=-3,h：x—y—1=0,//不平行于〃；

當(dāng)今1且存。時(shí)，兩直線可化為。：y=-^x-3tl2：y=±x-(a+l)

a_1

“〃2時(shí),421-a解得〃=-1

-3工-(a+1)

綜上可知，當(dāng)。=-1時(shí)，hllh

(方法2)??Z/〃2

[tz(a-l)-lx2=0(a2-(7-2=0.

/.5解得〃=—1

[a(a2-1)-1x6w0a(a26

故當(dāng)Q=-l時(shí)，Z////2.

(2)(方法1)當(dāng)〃=1時(shí)，x+2y+6=0,b：x=0,//與/2不垂直，故a=l不成立;

當(dāng)a=0時(shí)，//:y=-3,I2-x—y—1=0,//不垂直于歷故“=0不成立；

v

當(dāng)今1且存00h//：y=-^-x-3,l2：y=x-(a+l)由=T，='1

21-aI2J\-a3

2

(方法2)..Z，，2,：.a+2(a~\)=0,解得a=]

18.已知圓C:x2+(y-2>=1,

(1)若。(LO)，直線。/、。8分別與圓C相切于48兩點(diǎn)，求這兩條切線的方程;

(2)若。(3,0),過點(diǎn)。且斜率為T的直線交圓C于M,N兩點(diǎn)，求CMN的面積.

【正確答案】(l)3x+4y-3=0或x=l

⑵3

【分析】(1)根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線的距離等于半徑即可求解；

(2)利用直線被圓截得的弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式求解.

【詳解】(1)由題意，過點(diǎn)。(L0)且與x軸垂直的直線為x=l,與圓陽相切,

此時(shí)，切線方程為x=l,

當(dāng)過點(diǎn)。(1,0)的直線不與x軸垂直時(shí),

由"=1

設(shè)其方程為V=即依-y-A=0,

a+1

3

解得人-“此時(shí)切線方程為3—=。.

綜上所述，這兩條切線的方程為x=l或3x+4)，-3=0.

(2)因?yàn)橹本€過。(3,0)且斜率為-1,則直線方程為x+y-3=0

|0+2-3|_y/2

圓心C到直線的距離為"=

Vi+T—2

則|"N|=2ylr2-d2=72,

SACMN=；\MN\d=；xCq=g

19.如圖1,太陽灶是一種將太陽光反射至一點(diǎn)用來加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面

形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分(如圖2),盛水或食物的容器放在拋物線的隼

卓處，該容器由6根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐(圖中尸點(diǎn)為放置容器處，其余6

個(gè)焊點(diǎn)在鏡口圓上).已知鏡口圓的直徑為12dm,鏡深2dm.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若把盛水或食物的容器近似地看作點(diǎn)，試求支撐容器的架子所用鐵筋的層饞廖(單位

dm).

【正確答案】(l)/=18x,尸(4.5,0)

(2)架子所用鋼筋總長度為39dm

【分析】(1)先建立直角坐標(biāo)系，得到Z點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線方程進(jìn)而求得。的值，從

而可以確定拋物線的方程和焦點(diǎn)的位置.

(2)根據(jù)盛水或食物的容器在焦點(diǎn)處，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得每根鐵筋的長度.

在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，

使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于鏡口直徑.由已知，得力點(diǎn)坐

標(biāo)是(2,6),

設(shè)拋物線方程為/=2px(p>0),則36=2px2,解得p=9,

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=18x,

焦點(diǎn)坐標(biāo)是R(4.5,0).

(2)因?yàn)槭⑺娜萜髟诮裹c(diǎn)處，所以力、尸兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長，

所以每根鐵筋長為2+與=2+4.5=6.5dm,

所以架子所用鋼筋總長度為6.5x6=39dm.

20.己知｛q｝是等差數(shù)列，%+6=8,其前5項(xiàng)和Ss=40.

(1)求｛與｝的通項(xiàng)見；

(2)求｛%｝前〃項(xiàng)和S”的最大值.

【正確答案】(1)?！?—2〃+14

(2)42

【分析】(1)設(shè)｛%｝的公差為d,結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得d,進(jìn)而求

得通項(xiàng)公式；

(2)結(jié)合等差設(shè)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)直接求解即可.

【詳解】(1)?.?｛%｝為等差數(shù)列，5s=40,.-.5S=5a3=40,%=8.又知+&=8,即

%+d+/+"=8,解得d=—2>故?！?。3+(〃—3)d=8—2(〃—3)=—2〃+14,即an=—In+14

(2)因?yàn)闉?-2〃+14,隨著"的增大而減小，且%=0,4=-2<0,故當(dāng)〃=6或〃=7時(shí)，

S,有最大值S7=7%=7(-2x4+14)=42.

21.已知點(diǎn)在拋物線C:/=2px(p>0)上.過點(diǎn)尸(3,-1)的直線/與拋物線C交于/,

B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)M).

⑴若/的傾斜角為45。，求弦長|/8|；

(2)試探究直線力”與2例的斜率之積是否為定值：若為定值，求出該定值，若不是，說明理

由.

【正確答案】(1)A

【分析】(1)根據(jù)題意可得拋物線的方程，然后聯(lián)立拋物線與直線方程結(jié)合弦長公式，即可

得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，分直線/斜率存在與不存在討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方

程結(jié)合韋達(dá)定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C：y2=2"(p>0)上，

所以2P=1,

所以C：V=》.

因?yàn)?:y=x-4.

Wx2-9x+16=0，設(shè)/（占,珀,3（孫％）

則xx+x2=9,X（X2=16,

所以|力81=^（1+1）（92-4X16）=A/34

（2）假設(shè)存在該定值.

若直線/_Lx軸，

則/:x=3此時(shí)/（3,百）,8（3,-C）

所以3”?％=3二1

AMDM222

解法一：

若直線/斜率存在，設(shè)為工一3=加（歹+1）,且4（菁,耳）,8（工2，%），

v2=X

則由°

x=即+加+3

可得y2_叩_加_3=0,

所以必+、2=根，必夕2=_〃？_3

而k一必一18_1_必一1%T_1

所以44W■《BM~77~~―7'~~7一''"T

2-1x2-1y]-1y2-1必必+必+%+1

=----7----7=一:為定值.

-m一3+機(jī)+12

解法二:

若直線/斜率存在，設(shè)為y+l=A（x-3）,且/（片,凹）,5（%,%），

y2-x

則由

y=kx-3k-l

可得42工2-(642+24+l)x+(34+1)2=0,

uuz6k2+2k+l(3%+1)2

所以%+%=----p----，%%=-p—

kk一%T_)1TI

所以kAM?----―—~?——■~-7~7w~T\

X]_lx2-1必一1y2-1(必+1)3+1)

_________1___________________1_________________________]

2

一^(X,-3)(X2-3)--2[中2-3(X]+々)+9]―(3)+1)2—3(6女2+24+1)+9公

=-g為定值.

2=1（。＞1）的左、右頂點(diǎn)，離心率為日

（2）過M點(diǎn)作兩條互相垂直的直線M4,仞3與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，求D48面積的最大值.

丫2

【正確答案】⑴3+/=1；

/64

⑵后

【分析】（1）由離心率及〃=1聯(lián)立方程求解即可；

（2）設(shè)18的直線方程為：x=w+m,/（xqJ,B（x2,y2）,聯(lián)立直線與橢圓方程，由一元

TT

二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及UMB=|可利用向量數(shù)量積為0化簡求出m,據(jù)此可得三角形

的面積｛2-對(duì)，化簡后換元利用均