2023-2024學(xué)年四川省成都市成華區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市成華區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)Jr(i為虛數(shù)單位)的共輒復(fù)數(shù)是()

1-1

A1L11.11.11.

A.------1BD.-+—1C.——+—1D.---------1

22222222

【正確答案】A

【分析】先將工化簡(jiǎn)后，再求出其共軌復(fù)數(shù)即可.

1-1

【詳解】因?yàn)橐?丁號(hào)不二十3，

1-1(I-1)(1+1)22

所以其共物復(fù)數(shù)為g-Ji.

故選：A.

2.已知向量a/滿(mǎn)足=且同=2忖=2,則|一4=()

A.75B.GC.1D.

【正確答案】B

【分析】轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積可求出結(jié)果.

【詳解】自一0=J(a-b')2=7kl2-2a-b+\b\i=>/4-2xl+l=6.

故選：B

3.設(shè)“，”是兩條不同的直線(xiàn)，區(qū)戶(hù)是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若機(jī)〃”,〃〃a,5PJmllaB.若機(jī)〃a,〃〃a,則m〃〃

C.去m"a、〃"B、貝i]a〃￡D.若加1夕,々1夕，則

【正確答案】D

【分析】由空間中的線(xiàn)面關(guān)系，結(jié)合特例法判斷ABC,根據(jù)兩平面的法向量的位置關(guān)系判斷兩直

線(xiàn)的位置關(guān)系判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若相〃”,〃〃￡,則加〃a或機(jī)ua,錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若加〃a,〃〃a,北〃的位置關(guān)系不確定，可以平行、相交、異面直線(xiàn)，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加〃”,他〃a,〃〃尸，則a〃尸或者a,尸相交，錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若〃可得小”的方向向量分別是a,/?的法向量，因?yàn)閍_L￡,所以a,力的法

向量垂直，所以相，”的方向向量垂直，則〃7-L”,正確.

故選：D.

4.在_筋。中，AB=2,AC=&,8=30,則4=()

A.120或30B.120C.105或15D.1()5

【正確答案】C

【分析】由余弦定理求出2C,再由余弦定理求出C,根據(jù)三角形內(nèi)角和可得答案.

【詳解】由余弦定理得AC2=AB2+BC2_2AB.8CCOS30，

所以2=4+BC2-4BC.且，WBC2-2>/3BC+2=0,

2

得BC=G+I或BC=G-I,

(6+『+2-4_&

BC2^AC2-AB2

當(dāng)8C=g+l時(shí),cosC=

28。AC2x&x(追+1)-2

因?yàn)?<C<180,所以C=45，A=105,

_8c2+3-6=(百T)+2-4=_也

當(dāng)時(shí)，

BC=6T2BCAC2XV2X(V3-1)~-

因?yàn)?<C<180,所以C=135,A=15,

所以A=105或A=15.

故選：C

5.在平行四邊形ABC。中，E為對(duì)角線(xiàn)AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)OE交8C于F,則

()

A.AB--ADB.AB+-AD

22

C.-AB-ADD.-AB+AD

22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)三角形相似推出廠為8c的中點(diǎn)，再根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得答案.

CFCE11

【詳解】易知，！ADE!CFE,所以萬(wàn)廠77=彳，又BC=AD,所以。下=不5。，即方為"的

/>￡?/\tL，2.

中點(diǎn)，

__,__,___,___1_1

所以DF=AF_A￡)=AB+BF-AO=AB+'AD-A。=

故選：A

6.在-他C中，若sin2A=sin2C-sin28,AB=2(BC-ACcosC),則_ABC的形狀為()

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.鈍角三角形D.有一個(gè)內(nèi)角為60的直角三角形

【正確答案】D

【分析】由正弦定理推出C=90,結(jié)合他=2(3C-ACcosC)推出AB=2BC,5=60,可得答

案.

【詳解】由sinhusirc—sin*以及正弦定理得8c2=AB2-AC2,BPBC2+AC2=AB2,則

BC±AC,C=90,cosC=0,

又A3=2(BC-ACcosC),所以AB=28C,cosB=—=-,8=60,即qABC的形狀為有一個(gè)

AB2

內(nèi)角為60"的直角三角形.

故選：D.

7.在直三棱柱ABC-A4G中，ZC4B=90,AB=242,AC=\,AA,=2,則直線(xiàn)AQ與8入所成角

的余弦值為()

A2百R2>/?5「46口\/\5

915915

【正確答案】B

【分析】連接AG、4。交于。，取8C的中點(diǎn)E,連OE、AE,可得/短>￡(或其補(bǔ)角是直線(xiàn)

AG與BA所成的角)，計(jì)算可得答案.

【詳解】連接AG、AC交于。，取BC的中點(diǎn)E,連￡>E、AE,

則DE//BA,，則或其補(bǔ)角是直線(xiàn)AC,與BAt所成的角，

在直三棱柱ABC-ABG中，\ALAB,因?yàn)槿?=2,AB=2五,

所以8A/M+A"=,DE=；BA=>5,

在直三棱柱ABC-ASG中，A,A±AC,因?yàn)椋?1A=2,AC=1,

所以AC=>/^=石，AD=g,

?3

因?yàn)镹CAB=9(),A8=2&,AC=1,所以BC=^7T=3,AE=-BC^-,

59

AD2+DE2-AE2_2V15

在VA￡>￡中，cosDADE=

2ADDE2x9百15

所以直線(xiàn)AG與BA所成角的余弦值為誓.

故選：B.

8.如圖，設(shè)。x,Qy是平面內(nèi)相交成60°的兩條數(shù)軸，烏建2分別是與*軸，丫軸正方向同向的單位

向量，若向量。尸=不日,則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量op在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)，記作

uuu，兀3兀、1

OP=(x,y).^OP[=(cos0,\\OP2=(],sin0),0e\-,—\,OPlOP2=--,則。的值為()

【正確答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得e「小的值，由題意得出

O^=cos3et+e2,OP,=et+s\n0e2,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得答案.

【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得4烏=同間cos60=l2xl=l,

由題意可得O[=(cosai),O6=(l,sin，),

OPx=cosOe{+e?QP?=e,+sin^e2

-

所以，OP]OP2=(coseq+62)(4+sin%2)=cos6q+(sin6cose+l)qe2+sin^e2

=sin6+cos6+g(sinecose+1)=-g

設(shè)f=sin<9+cos0=夜sin(8+()，

兀3兀TT3兀7兀

因?yàn)楣?'萬(wàn),所以"片T?T

兀[-到，

犯4一用,X

由sin9+cose+g(sin6cos，+1)=-g

1、

可得,++1=—=>f2+4z+3=0,

22

解得，二一3（舍去）,t=-l,

由sin6?+cos。=-1=1+2sin^cos。=1=sin0cos8=0,

兀3兀

因?yàn)?'萬(wàn)，所以。=兀,

故選:B.

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)4=l-i,Z2=-2+3i,i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是（）

A.馬+4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

B.若Z]（a+i）=Z2+bi（a力wR）,則"=-3

C.若4是關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p,qeR）的一個(gè)根，則p+q=0

D.若向量04。2分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為4/2，則向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-4i

【正確答案】BC

【分析】對(duì)于A,求出4+Zz,根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相

等的條件可得B正確；對(duì)于C,將4代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得C正確；對(duì)于D,根據(jù)

復(fù)數(shù)的向量表示可得D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,ZI+Z2=-l+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1,2)位于第二象限，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由z/a+i)=Z2+歷得(1一)(a+i)=-2+3i+歷,得a+l+(l-a)i=-2+(J+3)i,

。+1=—2

得｛,得a=—3,b=\,所以必二—3,故B正確；

1一。=。+3

對(duì)于C,因?yàn)閆1=l-i是關(guān)于X的方程Y+px+quOSMeR)的一個(gè)根，

所以(l_i『+p(l_i)+q=0,即p+q—(2+p)i=0,得P+4=0,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)橄蛄?4,08分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為IQ,

所以AB=O8-OAz2-4=-2+3i—(l-i)=-3+4i,

AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.已知。為一ABC的外接圓圓心，AB+AC=2AO]AO\=\AC\,下列說(shuō)法正確的是()

A.8,0,C三點(diǎn)共線(xiàn)

B.8=60

C.AB=43AC

3uun

D.向量54在向量8c上的投影向量為；BC

4

【正確答案】ACD

【分析】作出圖，根據(jù)平面向量的基本定理運(yùn)算判斷選項(xiàng)A,利用圓周角的性質(zhì)判斷得

ZBAC=90,再結(jié)合AOC是等邊三角形，可判斷得乙4。3=60,從而得NABC=30可判斷選

項(xiàng)B,在直角三角形中，利用三角函數(shù)列式計(jì)算可判斷選項(xiàng)C,根據(jù)投影的概念，再結(jié)合三角函

數(shù)計(jì)算可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】如圖，根據(jù)平行四邊形法則A8+4C=+=AO=2AO，ERAD=2AO,

所以。為AO的中點(diǎn)，即。為A￡＞與8c的交點(diǎn)，

所以。為8C的中點(diǎn)，所以8,0,C三點(diǎn)共線(xiàn)，故A正確；

因?yàn)?。為MC的外接圓圓心，所以8c為圓。的直徑，

所以NBAC=90,所以,0卜；忸4，

又卜0卜,4,所以/0C是等邊三角形，

所以NAC8=60,ZABC=30,故B錯(cuò)誤;

\AB\,,y-,,

在RtAABC中，j^[=tan60,所以|A同二g|AC|,故C正確;

作BC于點(diǎn)E,則向量BE為向量BA在向量BC上的投影向量,

BA

因?yàn)?sin60,所以忸A(yù)|=BC\,|BE|=|BA|xcos30==2

BC

3Q岫

所以公產(chǎn)，即向量仍在向量8c上的投影向量為嚴(yán)，故D正確.

A>0,G>0,冏的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是

函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=3對(duì)稱(chēng)

B.

O

?5

C.函數(shù)在上單調(diào)遞增

2x

D.將函數(shù)/的圖象向左平移已個(gè)單位后得到函數(shù)g（X）的圖象，則g（X）為偶函數(shù)

co

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)圖象求出Aq9,得A正確；由〃x）=2sin（2心以及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得B

不正確；C錯(cuò)誤；根據(jù)圖象變換規(guī)律得D正確.

【詳解】由圖可知4=2,滑-5=所以7=1，。=與=與=2兀，

由五點(diǎn)作圖法可得2a七+8=］，得9/，

Aco_2?2兀

所以不一12＞兀一，故A正確；

3

由以上知，，(x)=2sin(27tx+1),/(1)=2sin^27t--|+^=2sin2K=0,

所以函數(shù)/(x)的圖象不關(guān)于直線(xiàn)x==對(duì)稱(chēng)，故B不正確；

6

,2557i,3Ji17K..5it17兀.

由得§W2心+§K7—,因xl為y=sinx在—上不v單倜，

一25"

所以函數(shù)/(%)在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；

信)=吟=2而色+3

將函數(shù)/'(m)=2sin(2x+1)的圖象向左平移方個(gè)單位后得到函數(shù)

g(x)=2sin21+總+；=2cos2x的圖象，則g(x)為偶函數(shù)，故D正確.

故選：AD

12.魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽解釋了《九章算術(shù)-商功》中記錄的空間幾何體“塹堵、陽(yáng)馬、鱉嚅”

的形狀和產(chǎn)生過(guò)程，即：“邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉麝，陽(yáng)馬居二，鱉

腌居一，不易之率也”，其意思是：把正方體或長(zhǎng)方體斜向分解成兩個(gè)塹堵，再把塹堵斜向分解得

到一個(gè)陽(yáng)馬和一個(gè)鱉膈，兩者的體積比為定值.如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-AAGR被平面A8GA截

得兩個(gè)“塹堵”,其中一個(gè)“塹堵”BCC「ADD,又被平面RBC截為一個(gè)“陽(yáng)馬”D,-ABCD和一個(gè)“鱉

膈“R-BCG，則下列說(shuō)法正確的是()

A.“陽(yáng)馬”R-A8C。是一個(gè)底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉

臊“D,-BCC,為四個(gè)面全是直角三角形的三棱錐

B.“陽(yáng)馬”D,-ABCD的體積是“鱉）jFR-BCC、的體積的2倍

C.“陽(yáng)馬”RMB。的最長(zhǎng)棱和“鱉腌”R-8C￡的最長(zhǎng)棱不相等

D.若/W=l,“鱉膈”R-BCG的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的表面積為5兀，則長(zhǎng)方

體A8C￡>-AB|GA的體積的最大值為2

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和判定分析判斷，對(duì)于B,根據(jù)棱錐的

體積公式計(jì)算判斷，對(duì)于C,計(jì)算出各個(gè)棱長(zhǎng)后分析判斷，對(duì)于D,根據(jù)鱉嚅“A-8CG的外接

球就是長(zhǎng)方體ABCD-AAGA的外接球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)樗倪呅蜛fiCD是矩形，平面ABCD,所以“陽(yáng)馬”。-A8CO是一個(gè)

底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，

因?yàn)?，平面BCCf,BGu平面BCGB一所以RG*LBG，同理可得BCLRC,

又因?yàn)镽G，CG，BC1QC,所以BCG，BCD,,BCQ.￡>CC都為直角三角形，

所以“鱉腌"R-BCG為四個(gè)面全是直角三角形的三棱錐，正確，

對(duì)于B,設(shè)AB=a,AO=6,AA,=c,則V0rApc。,Oq匕c,

VDc

D,-BcctBCC,ii=-x-bca=-abc,

所以“陽(yáng)馬”。-ABC。的體積是“鱉席"R-BCG的體積的2倍，正確，

對(duì)于C,設(shè)AB=a,40=6,44,=c,則“陽(yáng)馬”Q-ABCD的最長(zhǎng)棱為QB=&+/+°2,“鱉

222

脯"Dy-BCC］的最長(zhǎng)棱為RB=yja+b+c,

所以“陽(yáng)馬”。-ABCD的最長(zhǎng)棱和“鱉牖”。-8CG的最長(zhǎng)棱相等，錯(cuò)誤，

對(duì)于D,設(shè)“鱉瞰R-BCG的外接球的半徑為R,則由“鱉席-8CG的外接球的表面積為5兀,

得4兀/?2=5兀，解得R

2

因?yàn)椤镑M膈"R-BCG的外接球與長(zhǎng)方體ABCD-ABCP的外接球是同一個(gè)球，所以

DtB=2R=yl5,

設(shè)BC=x,AA=y,則/+;/+1=5,x2+y2=4,所以4=f+y?22孫，即孫42,當(dāng)且僅當(dāng)

x=y=y/2時(shí)取等號(hào)，

則長(zhǎng)方體ABCO-ABGR的體積為丫=孫42,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=夜時(shí)取等號(hào)，

所以長(zhǎng)方體48C￡)-AB|GA的體積的最大值為2,正確，

故選：ABD

三、填空題

13.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,高為4,則該圓錐的側(cè)面積為.

【正確答案】15%

【分析】求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)即可得側(cè)面積.

【詳解】由題意底面半徑為r=3,高為/7=4,則母線(xiàn)長(zhǎng)為/=爐方=5，

所以側(cè)面積為S=G7=IX3X5=15;T.

故15萬(wàn).

14.若復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yeR,i為虛數(shù)單位)，Kx2+/=1,則|z-3i|的最小值為.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閨2|=百萬(wàn)=1，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是單位圓，

又|Z-3i|的幾何意義是圓f+y2=l上的動(dòng)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)Q3)之間的距離，

所以|z-3i|的最小值為Jo?+32_1=2.

故答案為.2

15.已知函數(shù)〃x)=sin(s+T(0eN)在［0㈤上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則0的值為.

【正確答案】1

【分析】令0x+；=E,keZ,求出x,再根據(jù)f(x)在［0,勸上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)列式可求出結(jié)

4

果.

【詳解】令口工+巴=而，ZeZ,得4，kwZ,

4工=-----

co

因?yàn)楹瘮?shù)/（"=可但縱。卻在［0㈤上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

7T

n——

——~<na<7

。,得黃Y，

所以

~兀44

2?！?/p>

----->兀

co

又swN,所以口=1.

故答案為.1

16.已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ND43=30,E是邊AD所在直線(xiàn)上的一點(diǎn)，則的取

值范圍為_(kāi)________

【正確答案】［0,+。）

【分析】取3c的中點(diǎn)Q,連接E。，利用平面向量的運(yùn)算可得EB.EC=34|EQ『-|CB『），結(jié)合菱

形的幾何性質(zhì)可得答案.

【詳解】

取3c的中點(diǎn)Q,連接EQ,則E8+EC=2EQ,

所以￡8&=1（砧+陽(yáng)2_（即附］=；（4阿-阿）=網(wǎng)_］,

當(dāng)且僅當(dāng)E0J_8C時(shí)，EQ有最小值，則阿有最小值，

此時(shí)菱形的面積EQx8C=2x：xA8xA￡）xsin30=>EQx2=2x-^x2x2x-^=>EQ=I,

|EQ|T最小值為1-1=0,

因?yàn)镋是邊AD所在直線(xiàn)上的一點(diǎn)，所以E。無(wú)最大值，,。『-1無(wú)最大值,

EB?EC的取值范圍為［。，+8），

故［0，+巧

四、解答題

17.已知向量a=（4,m）,6=（2,-l）,-eR.

(1)若a_L"求加;

（2）若a與匕的夾角為銳角，求加的取值范圍.

【正確答案】（1）機(jī)=8

（2）〃?<8且mw-2.

【分析】（1）由心6=0可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)“.〃>（）且。、6不共線(xiàn)列式可求出結(jié)果.

【詳解】（1）若。_1_/?，則a?b=O，即8-加=0,加=8.

（2）若“與b的夾角為銳角，則4力>0且4、〃不共線(xiàn)，

由a力>0，得8—〃?>0,即〃?<8,

假設(shè)d、b共線(xiàn)，則Y=2m,即機(jī)=一2,

所以當(dāng)a與，的夾角為銳角時(shí)，機(jī)<8且〃?#-2.

18.已知且sina+cosa=^^^.

（1）求tana的值；

（2）若尸e（0,兀）,tan（2a+/7）=-3,求a+夕的值.

【正確答案】（1）：

（2）。+尸=一37r

4

【分析】（1）根據(jù)己知條件求出sina和cosa,可得tanc；

（2）根據(jù)tan（2a+￡）=tan［（，+Z?）+a］求出tan（a+〃），再根據(jù)角的范圍可得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)閟ina+cosa=2叵3

所以（sina+cosa『化簡(jiǎn)得2sinacosa=《,

5

因?yàn)閍e（0，E）,所以cosa>sina,

所以coscr-sincr=

2函x/io2V10回

所以，+虧3710,.又rVio,

cosa=--=------sma=--------=-----

210510

Vio

sinor

所以tana=io-i

cosa3而3

10

1/、「/、itan(a+￡)+tana

(2)由(1)知，tana=-,所以tan(2a+￡)=tan|(e+/7)+cr|=■；---------------

3L7J]-tan(a+夕)tana

?tan(a+/7)+-

所以一；=―,--------上，解得tan(a+/)=-1,

l--tan(a+0)

7T37r

因?yàn)椤！慈f(wàn)〈兀，0<a<-,所以

所以a+左牛

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，ZABC=90,AB=l,BC=2,。在AC上，且BOIAC.

(1)求三棱錐尸-AB。與三棱錐尸-BCO的體積之比;

(2)若點(diǎn)。在PC上，且PO=《PC.證明：0。〃平面總8.

【正確答案】(1)1:4.

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)轉(zhuǎn)化為底面積之比可求出結(jié)果;

(2)由0。/〃%,可得8//平面

【詳解】(1)因?yàn)镹ABC=90,48=1,BC=2,所以4c=

因?yàn)锽01AC,所以」ABBC='BO.AC,所以8。=空變=犀=述

22AC455

所以A0="公-附邛，"3乎=竽,

所以S：ABO-u!BCO=40:0C=1:4,

—1-4

所以Vp-ABO'Vp-BCO=S]AB04.BCO一J?V

(2)由(1)知，AO=(AC,又PD=gpC

所以O(shè)3//PA,又O￡)U平面R鉆，24u平面PAB,

所以8//平面上4B.

20.已知函數(shù)f（x）=Gsin（x+：）sin（x-：）+siiucosx.

⑴求〃x）的最小正周期和對(duì)稱(chēng)中心；

（2）已知銳角_43C的三個(gè)角ARC的對(duì)邊分別為q,6,c,若/（4）=正,“=4,求_43C周長(zhǎng)的最

大值.

【正確答案】（D〃x）的最小正周期為兀，對(duì)稱(chēng)中心為仁+加（丘2）.

⑵12

【分析】（D化簡(jiǎn)Ax）,根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期公式和對(duì)稱(chēng)中心可求出結(jié)果；

（2）由/（A）=*,A為銳角得A：］，根據(jù)B的范圍求出sinB+sinC的最大值后可得周長(zhǎng)的最大

值.

【詳解】(1)/(x)=6sin(x+：)sin(九一：)+siiucosx

n:(.兀.KV.兀.兀1.

=，3sinxcos—+cosxsin—sinxcos——cosxsin—+sinxcosx

I44人44)

=yJ3\——smx+——cosx——smx------cosx4-smxcosx

I22人22J

=#卜in,x-cos2x)+sinxcosx

6o1?G

=------cos2x+—sin2x

22

=sin(2x-y).

f(x)的最小正周期為T(mén)=

令2x—w=E,k￡Z,得工=--1—tkwZ,

326

所以f(x)的對(duì)稱(chēng)中心為(g+e，0,&eZ).

(2)由/(A)=且，得sin(24-q)=且，因?yàn)閍4?C為銳角三角形,7T

0<A<-,

2322

?、?兀047T2兀ll!\?c*兀兀.7T

所以_鼻<24_鼻<彳，所以2人一W=可，A=-.

asinB4sinB8A/3.點(diǎn).「

因?yàn)樗?一一立一，同理得

a=4,A=|,sinA3'----sinC,

3

T

所以sin8+sinC=sin8+sin［丁-8J=sin3+sinwcosB-cos—sinB

=sinZ?+^-cosB+—sinB=—sinB+^-cosB=6sin(8+$］,

2222I6J

因?yàn)?<C=仝-8<2,且0<8<2,所以?<8<四，

32262

所以弓<8+g<§,

363

所以當(dāng)8+F=5,即B=［時(shí)，sin8+sinC取得最大值為G，

623

從而a+/>+c=4+^^(sin8+sinC)取得最大值為12.

即..ABC周長(zhǎng)的最大值為12.

21.如圖，已知正方體A8CD-AEGR的棱長(zhǎng)為2,日尸分別為8C,8的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面。OE；

(2)記直線(xiàn)。/與平面￡>QE所成角為4,直線(xiàn)RA與平面QQE所成角為%,求〃+%的余弦值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵萼

【分析】(1)利用平面幾何知識(shí)推出AF1DE，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定得AFL平面ROE,最后

根據(jù)面面垂直的判定定理得平面RAFJ?平面DXDE.

(2)根據(jù)AP_L平面DQE,得f)FD,G=q,DADtG=02,在△AC尸中，由余弦定理可求出結(jié)果.

【詳解】(1)在正方形A6CO中，設(shè)AF與OE交于G,

因?yàn)镋，尸分別為8C,8的中點(diǎn).所以tanNDA尸=1，tanZ￡DF=1,

22

■jr

所以的4尸=EDF,所以徒AF+ADG=^EDF+ADG^-,

jr

所以DAGO=],即M10E，

在正方體A2C3-A4G。中，因?yàn)槠矫鍭BC。，AFu平面ABCD,

所以RL?，AF,又。。DE=D,?！?。6<=平面4?！?

所以4尸_1_平面。。E,又AFu平面AAF,

所以平面DtAF±平面D,DE.

(2)由(1)知，4尸工平面。。后，所以DFRG=q,BADtG=02,

因?yàn)檎襟wA8CD-ABCQ的棱長(zhǎng)為2,所以AR=2應(yīng)，RF=5AF<,

UUI、I<aa\nAnr-+DF~—AF~8+5-5710

所以cos（G+a）=cosDADF=-}

t\左——2x2>/2x^5=丁

22.高新體育中心體育館(圖1)是成都大運(yùn)會(huì)乒乓球項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，該體育館屋頂近似為正六

邊形ABCDEF,屋底近似為正六邊形AAGREE.

(1)如圖2,已知該體育館屋頂上有A,M,N三點(diǎn)用電纜圍成了三角形形狀，測(cè)得NM4N=75,

NAMN=45,AM=50米，求該電纜的長(zhǎng)度;

(2)如圖3,若在建造該體育館時(shí)在館底瓦，2,用處的垂直方向上分別有1,2,3號(hào)塔吊，若1號(hào)塔吊

（點(diǎn)4處）駕駛員觀察2號(hào)塔吊（點(diǎn)口處）駕駛員的仰角為30,2號(hào)塔吊駕駛員觀察3號(hào)塔吊（點(diǎn)

員處）駕駛員