2023年高考數(shù)學(xué)試題解析新高考Ⅱ卷

1.在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3—i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】（l+3i）（3—i）=3—i+9i+3=6+8i,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)第一象限，故

選A.

【方法總結(jié)】利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟

（1）找對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z=a+6i（a,6dR）可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b）

來表示，是解決此類問題的根據(jù).

（2）列出方程：此類問題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程（組）或不等式（組）

求解.

2.設(shè)集合A={0,—a},6={l,a—2,2a—2},若A口3,貝！|a=（）.

2,

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】74口_8則。-2=0且2。一2=—。，止匕時a=2

或。一2=-。且2a-2=0,則。=1,顯然AaB,故選B.

（解后反思］利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)

（1）分析集合間的關(guān)系時，首先要分析、簡化每個集合.

（2）此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，

還要注意驗證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤.一般含“=”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“=”用空心圈表示.

（3）此類問題還要注意“空集”的情況，因為空集是任何集合的子集.

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C窯。-C器種B.CMc機(jī)種

C.C落.C北種D.C2C禽種

【答案】D

【解析】初中部和高中部總共有400+200=600（人），

按照分層抽樣的原理，應(yīng)從初中部抽取60=40（人）,

600

從IWJ中部抽取---x60=20（人），

600

第一步：從初中部抽取40人，有C%種方法,

第2步：從高中部抽取20人，有C落種方法,

根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有C禽-C落種方法；故選：D.

【解題規(guī)律】有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類

⑴“含,，與“不含,，問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去

掉再取，分步計數(shù).

(2)“至多，，”至少，，問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不

漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏.

2x-1

4.若/('=@+4)111汽門為偶函數(shù)，則。=().

,1

A.-1B.0C.-D.1

2

【答案】B

【解析】方法一：函數(shù)“X)的定義域為(—8,—g)(；,+8)，因/(X)是偶函數(shù)，

不妨令x=l,則有/(-I)=/(I),/.(-1+Q)In3=(1+Q)Ing,，-1+a=-1一a,:,a=0.

方法二：發(fā)現(xiàn)g(x)=ln」一是奇函數(shù)，而/(x)=(x+a)g(x)為偶函數(shù)，

2元+1

有/(-X)=(-x+a)g(-X)=-(r+a)g⑴=(x+a)g(x)=/(x),

故x-a=x+a,則a=0.選B.

【解后反思】利用奇偶性求值的常見類型(1)求參數(shù)值：若解析式含參數(shù)，則根據(jù)八一X)

=-7(x)或八-x)=?x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義

域關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用區(qū)間的端點(diǎn)和為0求參數(shù).

(2)求函數(shù)值：利用八一元)=—/(x)或八一求解，有時需要構(gòu)造奇函數(shù)或偶函數(shù)以便于

求值.

5.己知橢圓=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線丁=%+機(jī)與C交于A,B

兩點(diǎn)，若△EA5面積是△6A3面積的2倍，則機(jī)=().

【答案】C

42_[

【解析】由＜3+'，可得4J?+6wx+3/一3=0

y=x+m

橢圓與直線y=與C交于A,B兩點(diǎn)，可得一2＜相＜2

丫2LL

設(shè)橢圓、+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為《(-V2,0),F2(0,0)

到直線y=x+m的距離分別為4、d],

-V2+m|

由點(diǎn)到直線的距離公式可知4=

~~JT~

因為sAFiAB=2SAF2AB，所以有g(shù).IA=g.|A4d2，

I-V2+/n||V2+m|

即d.=2d,,J——廣~=2J~

12g垃

兩邊平方解得〃2=----,故選C.

3

【解后反思】解決直線與橢圓的綜合問題，要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

6.己知函數(shù)/(x)=ae*—Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A.e~7B.eC.e_1D.e_9

【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)=ae「Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增

等價于/'(x)=aH—工之0在區(qū)間(1,2)上恒成立，即。，工],

XI%，/max

設(shè)g(%)=%",則在(1,2)上恒有g(shù)'(jv)=(x+l)/>0,

所以g(耳＞8編=6,貝Ia

即a2e-i,故選C.

【解后反思】利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路

①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即了(尤巨0(或/㈤成)恒成立，利用分離參

數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取"='’時是否滿足題意.

②先令/(x)＞0(或/(x)＜0),求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取"=''時段)是否滿足題意.

1+A/5..CL

7.已知a為銳角，cosa=-----，貝！Jsin—=().

42

人3-新-1+石3-逐-[+非

A.-----D.C.D.

8844

【答案】D

a

r1c.20/口.2I-COSaIf11+45}3-石

【角星析】由coso=l—2sin一得，sin一二--------=一I-

2222I4J8

八冗。兀一、、.a八bli-a—I+y/5n-、r

又因為0<a<&則0<±<&所以sin—>0,所以sin—=——―,故答案為D.

2,24,224

【解后反思】利用半角公式求值的思路

(I)看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時常常借助半角

公式求解.

(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)

半角的范圍.

zyqina1—COSCk

⑶選公式：涉及半角公式的正切值時，常用ta2n1士十cosa=Fsin—a，其優(yōu)點(diǎn)是計算時可

1—COSCk

避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常先利用sin]=-2—

/1+cosa

cos2=---2--葉舁?

8.記5“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，若其=—5,S6=21S2,則4=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】方法一(基本量法)：如果q=l,則§6=6%,S?=2囚與題意不符合，所以qwl,

由Sf=21S?得邛二^=21q二所以1—46=(1—42)(1+42+44)=21(1—42),

貝I/+“2—20=0,解得/=4.由已知~U=-5而

i—q

方法二(性質(zhì)法)：由等比數(shù)列性質(zhì)：%為等比數(shù)列,^Sn,S2n-Sn,Sin-S2n.依次成

等比數(shù)列，當(dāng)

〃=2時，M，S4-SzS-S4q-S6成等比數(shù)列.設(shè)公比為

所以52+54_32+56_34=52(1+0+02)=2152，所以1+0+02=21,0=4,

—5,$2=T,

S2+S4-S2=(l+Q)S2=5S2=所以

所以58=52+（54—32）+（56—54）+（58—36）=52（1+!2+。2+03）=—85,故選（2.

【解后反思】處理等比數(shù)列前〃項和有關(guān)問題的常用方法

⑴運(yùn)用等比數(shù)列的前"項和公式，要注意公比g=l和兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）

時，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.

⑵靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì).

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,A8為底面直徑，ZAPB=12Q°,E4=2,點(diǎn)C

在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=2A/2D.△K4C的面積為石

【答案】AC

【解析】由題意，可得尸0,平面49C,ZAPO=-ZAPB=6Q°,

2

所以PO=PAcosNAPO=1,AO=PAsinNAPO=石.

如圖，取AC的中點(diǎn)。，連接尸￡>,（?￡>,則P￡）J_AC,O￡）J_AC,

所以ZPDO即為二面角P-AC-0的平面角，所以ZPDO=45°.

因為ODu平面49C,平面49C,

所以所以為等腰直角三角形，

所以O(shè)￡）=PO=1,PD=亞.

對于A,圓錐的體積V=；S/z=；7ix（G）2xl=7i,故A正確；

對于B,圓錐的側(cè)面積5=?！?兀XJ§X2=26兀，故B不正確;

對于C,AC=2^AO--OD2=2V2,故C正確；

對于D,SAP.r=-xACxPD=-x2V2xV2=2,故D不正確.

"AC22

綜上所述，故選AC.

【解后反思】1.圓錐的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算，而

表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.

2.求幾何體的體積時，要注意利用好幾何體的軸截面，準(zhǔn)確求出幾何體的高和底面積.

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=—九一1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C

交于N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則().

Q

A.p=2B.\MN\=~

C.以MN為直徑的圓與/相切D.△OMN為等腰三角形

【答案】AC

【解析】對于A,在y=—6(九—1)中令y=0,得x=l,

所以拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),所以六1,所以0=2,故A正確;

對于B,由A知，拋物線的方程為/=4x,

1

x=一

評3一x=3

則由</-或〈

y2=4x2V3y=-2yf3'

y=—

3

不妨設(shè)M

則由拋物線的定義，得|MN|=XM+XN+p=g，故B不正確;

Q

對于C,由B知，以上W為直徑的圓的圓心為,半徑為2.

3

又拋物線的準(zhǔn)線I的方程為％=-e=-1,

2

CQ

圓心到準(zhǔn)線/的距離為1-(-!)=］，所以以兒W為直徑的圓與/相切，故C正確;

對于D,因為|ON|=’32+-26丫=嫡。|,|，

則由拋物線的對稱性知AOMN不是等腰三角形，故D不正確.綜上所述，故選AC.

【解后反思】解決拋物線綜合問題的基本策略

對于拋物線的綜合問題，可以從直線、拋物線的方程出發(fā)，結(jié)合解一元二次方程，經(jīng)過邏輯

推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，從代數(shù)法的角度推證結(jié)論.

11.若函數(shù)〃x)=alnx+2+三(awO)既有極大值也有極小值，貝U().

XX

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】由函數(shù)"x)=alnx+2+W，

XX

得函數(shù)/(x)的定義域為(0,”)，="“=-2°?

因為函數(shù)〃尤)既有極大值也有極小值，所以g(x)=ar2-法一2c在(0,+8)上，有兩個

不同的零點(diǎn).

A=Z?2+Sac>0

b

因為。/0,所以《%+/=一>0，

a

2c

%入2=---->0

a

所以/+8ac>0,且">0,ac<0,bc<0,

所以A不正確，B,C,D正確.故選BCD.

【解后反思】根據(jù)函數(shù)既有極大值又有極小值求參數(shù)的取值范圍問題的常用方法為：首先對

函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)函數(shù)既有極大值又有極小值可以得到導(dǎo)函數(shù)為的方程有兩個不等的

實(shí)數(shù)根，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在兩個零點(diǎn)問題求解.

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立,發(fā)送0時，收到1的概率為a(O<a<l),

收到0的概率為1—夕；發(fā)送1時，收到0的概率為乃(0(乃<1),收到1的概率為1—〃.考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指

每個信號重復(fù)發(fā)送3次，收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即

為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,

則譯碼為1)().

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(1-,)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為尸(1—分)2+(1—月)3

D.當(dāng)0<】<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

【答案】ABD

【解析】設(shè)事件“發(fā)送信號o收到0”為事件4，設(shè)事件“發(fā)送信號o收到1”為事件A,

設(shè)事件“發(fā)送信號1收至U0”為事件B。,設(shè)事件“發(fā)送信號1收至U1”為事件Bo,

由題知，P(4)=1-a,尸(A)=以尸(珞)=尸,P(旦)=1一￡,

且事件4,A，穌,用互相獨(dú)立，

考察選項A,所求事件為444，

2

所以P(B1AoBJ=尸(旦)P(4)P(B1)=(1-￡)(1-a)(l-/7)=(1-a)(l-/7),所以A正確

考察選項3,所求事件為耳穌耳，

所以尸(片為4)=P(B,)P(B0)P(B1)=(1-/)尸(1一尸)=尸(1-￡)2,所以3正確；

考察選項c,所求事件為444+月線4+4耳4+44居，

又P(用旦耳)=P(即尸(旦)P(即=(1-￡)3,

所以P(B,B,B0+B}BOBX+穌44+444)=(1-/)3+36(1一尸)2,所以C錯誤；

考察選項。，采用三次傳輸，事件為44A+AAA+AAA+444，

所以尸(44A+4A4+444+444)=3a(1—a)~+(I—a)3,

米用單次傳輸，P(4)=l-a.

所以尸(44A+4A4+A44+A4A))一尸(4)=3a(i—a)2+(i—(z)3—(1—a)

=(1_?)[3a(l-a)+(l-a)2-1]

=(1-a)[3a(l-a)+(l-a)2-1]

=(1—a)(6z—2a~)

=a(l-a)(l-2ar)

因為0<cr<0.5,所以dz(l-tz)(l—2tz)>0.

所以采用三次傳輸?shù)母怕蚀笥趩未蝹鬏數(shù)母怕?，所以選項。正確.

【方法點(diǎn)撥】(1)本題需要準(zhǔn)確理解題意，梳理清楚發(fā)送和接收信號的異同各自的概率是

什么；

(2)總體上設(shè)發(fā)送0為事件A,接收0為事件4,接收1為事件A；設(shè)發(fā)送1為事件3,

接收0為事件鳥，接收1為事件4；,則能清楚地分辨各個事件概率之間的關(guān)系；

(3)特別的，發(fā)送。收到0的概率小于0.5,以及正確接收信號的概率小于0.5,多次傳輸

會使得信號傳輸正確的概率變大，非常符合直覺。此選項也可以由直覺直接判斷正誤.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,小滿足心一耳=百，卜+耳=|2?—4,則網(wǎng)=.

【答案】G

||-2??-2-?-2-2

【解析】由K—母=石，得a-2a-b+b=3,即2a+b-3①.

又由卜+目=|2。-目，得a+2a-b+b=4a-4a-b+b，

一2-一,-2/.2-2\

即3。-6a-b=0,代入①，得3a-3?+b-3=0,

整理，得廣=3,所以M=

【解后反思】求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用。2=同2,即⑷=4層，勿忘記開方.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】如圖所示，。分別為棱臺上、下底面的中心，由題意，得A5=4,AB'=2,

PC，CH'Q9

PO'=3.易知APOH?APOH,所以——=——，即一=-,解得PO=6,所

POOHPO4

以00=尸0—尸0'=3,所以該正四棱臺的體積是V=gx3xQ2+2x4+42)=28.

【解后反思】求幾何體體積的常用方法

15.已知直線x—陽+1=0與，C:(x—1)2+丁=4交于A,8兩點(diǎn)，寫出滿足“△A3。面

Q

積為g”的m的一個值______.

【答案】2答案不唯一，可以是土;,士2中任意一個

2

【解析】由條件知圓心C(l,o),到直線/的距離

\AB\=2^R2-d2=2/4-f2f=胴.

丫vVl+m2JJ1+.2

小c_8汨14|m|2_8

由as。——>何一X.-X.-=—，

52VIWA/1W5

整理，得2m?—5]時+2=0,解得加=±2,或加=±5,不妨取m=2.

【方法點(diǎn)撥】直線被圓截得的弦長的相關(guān)問題，通常利用幾何法解決，即直線被圓截得的半

弦長;、弦心距d和圓的半徑「構(gòu)成直角三角形，且/=](1+儲，可以知二求一，或者

結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建關(guān)系式求解參數(shù).

16.已知函數(shù)/(X)=sin(&w+0),如圖A,8是直線y與曲線y=/(x)的兩個交點(diǎn)，

若|AB|=F，則/(兀)=.

【答案】一孝

【解析】對比正弦曲線y=sinx的圖象易知，點(diǎn)|彳:五點(diǎn)法”中的第五點(diǎn)，所以

2?co

3co~\~(p—27r①.

由圖象知|4-4=工，線段A3的垂直平分線對應(yīng)于正弦曲線y=sinx的第1條對

6

稱軸x=X

2

71

叫+。二7

所以由sin(ox+0)=g,得v兩式相減,

5%

coXg(p--6

得。(招一/)="，即工0=也，解得69=4,

yBAJ666

代入①，得"=—考，所以/(x)=sin[4x—2乃

所以/(7i)=sin14兀一1.InA/3

=-sin——=------

32

【方法點(diǎn)撥】由函數(shù)y=Asin(m+0)的圖象確定的題型，常常以“五點(diǎn)法”中的第

一零點(diǎn)￡'°]作為突破口，要從圖像的升降情況找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的位置.要善于抓住特殊

量和特殊點(diǎn).

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.記△A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,C,己知△ABC面積為有，若D為BC

中點(diǎn)，且AD=1.

7T

(1)若NADC=—,求tanB；

3

(2)^b2+c2—8,求b,c.

【思維導(dǎo)引】(1)△ABC面積為6一4csinB=2g一AABD中正弦定理一

csmB-———＞求〃

2

AADB中余弦定理求c—＞A/4BD中余弦定理求cos5—＞求13115

（2）中線定理一4￡）2+5。2=4一求q一面積公式及余弦定理聯(lián)立一人二女一面

3

積公式列方程求6,c

【解析】（1）（方法）由AABC面積為有，可知

SAABC=gacsin3=2后，...acsinB=2』,

Ar>

又在AABD中，有*AB

sinBsinZADB

JT1

由NADC=—,可得

3S1"sinT

故csinB=3，代入或^115=26可得0=4

2

，77"

在MDB中，由余弦定理可得AB~=c2=BD2+AD--2BD-ADcos——

3

即°?=F+2?-2xl*2*cos^^=7,解得c=V7

3

AB-+AD--BD1AB2+AD2-BD27+4-15C

在AABD中，cosB=------------...........=-----=--->Q

2AB-AD2AABB-AAD2.77x22用

故Bw，有sin3=,tan3=

21s-5

（方法二）D為BC中點(diǎn)，5AAsc=6，則SMCD=當(dāng)

過A作垂足為E,

在石中，DE=-,AE=^-,

22

S^CD=~—CD,:.CD=2

:.BD=2,BE=-,:.tanB=—=—

2BE5

(2)在△ABC中，由中線定理可得〃+c2=2(4。2+5。2)

即32+5。2=4,所以30=6，a=2#)

由S=—bcsmA^Ob2+c2-a1=2bccosA

2

S=—(b2+c2-a2)tanA,所以tanA=-A/3<0

4

又Ae(工，1)，A=—

23

又5=工人。5也4,be=4

2

因萬2+。2=8,可得>=c=2.

【解后反思】三角形面積計算的依據(jù)和解題策略

(1)依據(jù)：一般用公式S=5bsinC=]bcsinA=]acsinB進(jìn)行求解；

(2)解題策略：①若所求面積為不規(guī)則圖形，可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化

為求三角形的面積;②若所給條件為邊角關(guān)系，則需要運(yùn)用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，

再利用三角形面積公式進(jìn)行求解.

18.已知｛%｝為等差數(shù)列，“為偶數(shù)，記%，分別為數(shù)列｛4｝，也｝的

刖"項和，=32,丁=]6.

(1)求｛?！保耐椆剑?/p>

(2)證明：當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

【思維導(dǎo)引】(1)設(shè)公差2—求邑,刀一列方程求求｛4｝

2

(2)求和Sn=n+4〃一>n為奇數(shù)求，一為偶數(shù)求，一>做差(-S“一>證明〃>5時

不等式成立

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為小

an-6,“奇

由""=〈m，得4=%-6,8=2G=2(q+d),4=%-6=%+2d-6,

偶

-4x3

4a+----xd=32ra,=5

則由$4=32,7；=16,得|"2,解得《：,

(弓-6)+23+1)+(4+21—6)=161"=2

所以為=〃]=2幾+3.

〃[5+（2〃+3）]=/+4〃

(2)由(1)可得S〃=

2

當(dāng)“為奇數(shù)時，

Tn=%—6+2a2+。3—6+2%+%—6+2%++an_2—6+2a+cin—6

（-1+14）+（3+22）+（7+30）++［（2“-7）+（47?+2）］+2”-3

=［-1+3++（2n-7）+（2n-3）］+［14+22++（4?+2）］

廳（-1+2〃-3）〈（14+4/+2）

2+2

_3n2+5〃-10

2,

止。2HH八

UET3n+5n-10（2A\"―3〃—10（-5）（+3Z）

當(dāng)〃>5時，Tn-Sn=——------（/+4"）=——-=~>0，

所以北〉，.

當(dāng)幾為偶數(shù)時，（—6+2a2+%—6+2%+%—6+2,++—6+261n

=（-1+14）+（3+22）+（7+30）++［（2?-5）+（4n+6）］

=［-1+3++（2?-5）］+［14+22++（4/1+6）］

|（-1+2H-5）|（14+4n+6）

2+2

_3?2+7〃

2--

22

wT03H+ln（2）\n-nn（n-l）

當(dāng)〃>5時,Tn-Sn=------（獷+4"）=^—=—^>0,

所以7；〉S”.綜上可知，當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

【解后反思】若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，

則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)

過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于

或等于C的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為式C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)

生的頓率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值C和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=Mc)+q(c)，當(dāng)ce［9函數(shù)5］時,求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)

間［95,105］的最小值.

【思維導(dǎo)引】(1)患病者與未患病者頻率分布直方圖；

(2)漏診率p(c),誤診率q(c)的含義；

(3)函數(shù)/(c)的定義，利用分段函數(shù)求函數(shù)/(c)的解析式.

【解析】(1)當(dāng)p(c)=0.5%時，由已知患病直方圖的第一個小矩形面積為

0.002x5=0.01,c=95+100=97.5.

2

由未患病直方圖可得q(c)=0.010(97.5—95)+0.002x5=0.35.

(2)由已知

①當(dāng)ce［95,100］時，/?(c)=0.002(c-95),q(c)=0.01(100—c)+0.002x5,

.?./(c)=0.002(c-95)+0.01(100-c)+0.002x5=-0.008c+0.82.

(易錯提醒：誤把小矩形的高度——頻率/組距當(dāng)作小矩形的面積)

②當(dāng)ce［100,105］時,/7(C)=0.002X5+0.012(C-100),^(c)=0.002(105-c),

/(c)=0.002x5+0.012(c-100)+0.002(105-c)=0.01c-0.98.

，0.008c+0.82(ce[95,100)),

綜上可得：/(c)=<

0.01c-0.98(ce[100,105]).

/(c)在[95,100)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.?.當(dāng)c=100時，/(c)取最小值0.02.

20.三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60°,E為

8c中點(diǎn).

(1)證明：BC±ZM；

(2)點(diǎn)F滿足EF=DA,求二面角O—AB—尸的正弦值.

【思維導(dǎo)引】(1)E為BC中點(diǎn)-5C_LDE-AACD為等邊三角形-6cf6C，

平面

(2)求DEt求AEtAE,BC,DE兩兩垂直一建坐標(biāo)系-求點(diǎn)的坐標(biāo)一平面ABD法向

量一平面AB/法向量一二面角￡)一AB—尸的正弦值

【證明】。8=。。，石為6。中點(diǎn)，二5。，。石.(等腰三角形性質(zhì)——“三線合一”,

是解題的關(guān)鍵)

DA=DB=DC,NADB=ZADC=60°,△ABD,△ACD均為等邊三角形，

:.AB=AC,又E為BC中點(diǎn),:.BC±AE,

,.AE,u平面ADE,AEDE=E,:.BC1平面ADE,

又ADu平面ADE,.?.BCLZM.(證明異面直線垂直基本方法是：轉(zhuǎn)化為線面垂直)

二少

E'

(2)設(shè)3c=2,由己知可得DA===J5.

DE為等腰直角三角形斜邊8C上中線，.DE=1.

由已知可得AB=AC=0,AB2+AC2=BC2,

所以△A3c也為等腰直角三角形，.?.AE=1,

AE2+DE2=AD2,AELDE,

由（1）BCLDE,NCLAE,.BC,DE兩兩垂直，

如圖2,以E為原點(diǎn)，ED,EB,EA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則A（0,0,1）,B（0,1,O）,C（O,-1,O）,D（1,0,0）,￡（0,0,0）,/.AB=（0,1,-1）.

m-AB=0,

設(shè)平面ABD的法向量/n=（九，y,z）,貝k

m-DA-0,

y-z=0,X=z

即＜解得1'令z=l,得平面A5D的一個法向量=

—x+z—0,、y=z,

n-AB-0,

設(shè)平面ABF的法向量"=（a,v,w）,則《

n?BF-0,

v—w=0,[w=0,/、

即1解得〈令w=l,得平面AB廠的一個法向量〃=（0,1,1）.

-w-v+w=0,[v=w,

設(shè)二面角。一A8—尸的平面角大小為0,

則由4=酎==父：=^^旦

11\m\-\n\V3.V233

【易錯提醒】二面角平面角的大小與兩平面法向量的夾角有可能相等，也有可能互補(bǔ)

【解后反思】1.用法向量求二面角：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后

通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳二

面角還是鈍二面角.

2.我與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的

兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜2君,0）,離心率為百.

（1）求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,過點(diǎn)(—4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，

M在第二象限，直線跖K與N4交于點(diǎn)P-證明：點(diǎn)尸在定直線上.

【思維導(dǎo)引】(1)左焦點(diǎn)求C-離心率求。一。之二儲+尸關(guān)系求6T雙曲線方程

(2)方法一：分析直線的斜率情況，并設(shè)出當(dāng)斜率存在時直線"N的方程—根據(jù)直線

"N與雙曲線相交聯(lián)立得方程組一消元，得x的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理一寫出直線

\M,直線&N的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表達(dá)式為非對稱的，因

此需要利用韋達(dá)定理將其齊次化，化簡、整理，最后約分得結(jié)果；

方法二：分析直線"N的斜率情況，并設(shè)直線"N的點(diǎn)參式方程-根據(jù)直線"N與雙曲線

相交聯(lián)立得方程組

一消元，得y的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理一寫出直線-A1,直線4N的方程，聯(lián)立求

得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表達(dá)式為非對稱的，因此需要利用韋達(dá)定理將其齊次化，化簡、整理，最

后約分得結(jié)果

22

【解析】(I)設(shè)雙曲線c的方程為卞一方=1(。＞°，匕＞°),

由已知c=2百，e=—=V5,tz=2,

a

22

222xy

.?.A=C—a=16,.?.雙曲線C的方程為二一2=1.

4lo

(2)證法一:

當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線"N的方程為：y=k(x+4),

y=3+4),

設(shè)〃(石，x)，N1,%)，(%>0)，<VJ2

--------二L

1416

_-8k2

X]+x2

7肖去y得：(％?—4)兀2+8左2%+16左2+16=0

16產(chǎn)+16

左2—4

又4(-2,0),A(2,0),

y1

從而直線AM直線&N的方程分別為尸市(x+2),y=^-(x-2),

42一,

%

聯(lián)立，消去y：

再+2……得「*）

—8左3-32k

由%=左(％+4),%=M9+4),得X+%=左(玉+X2+8)=^^^+8左=^^^①,

32k3+32k—321^32k

xry2+%2M=x]k(x2+4)+%2左(％1+4)=2kxxx2+4左(玉+x2)=上2—4+左2—4一左2—4

②，

—%%=而2(玉+4)一依(%2+4)=4M9—%)③,

乂一%=左(%1-％2)④,

64左

+44（石一尤2）

r-4

把①，②，③，④代入（*）得Xp=u―----=—1

64%'

左2—4

當(dāng)勺/N存在時，點(diǎn)尸在定直線X=-1上.

22

xy1

（ii）“Nx=-4,代入--------1

當(dāng)上不存在時，直線上W方程為代人416，

得/卜4,4君），吊―4,—4百），又4（—2,0）,4(2,0),

_2y/3(X-2)

直線AM,4N方程分別為y=—2g（x+2）,

廠3

y=-2?x+2),

聯(lián)立，得12A/3（X-2）解得馬=T

)=

3

此時尸也在定直線x=-1上.

綜上可得P在定直線X=-1上.

【解法二】由于直線"N與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，.?.左MN，°，

x+4=my.

設(shè)直線MN方程為x+4=ay,與雙曲線方程聯(lián)立，得2

----------=1.

1416

消去X,得（4"-l）y2—32陽+48=0,

32m

4m-1

設(shè)N（%,%），（K>°），則'

48

4m-1

/、/、y（尤+2）

又4（—2,0）,4（2,0）?.直線AM,直線4N的方程分別為y=-'）

X]"iz

%(x-2)

y=-o

尤2一2

X(x+2)

y=

石+2

-2(x1y2+々％)+4(%一%)

聯(lián)立＜消去y,得馬=(**)

%(x-2)(々%一石％)-2(%+%)

y=

%2一2

由玉=加%一4,%=陽2—4,得

%%=（加%