余弦函數圖像

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高中課程標準?數學必修4

1.4.1正弦函數、余弦函數的圖像

一、教學內容及其解析

1、內容：

本次課主要內容是教同學畫出正弦函數、余弦函數的圖像外形，采納類比，突出兩種曲線的相同與不同之處。

2、解析：

本節(jié)課是高中數學教材必修41.4《正弦函數、余弦函數的圖像和性質》的第一節(jié)，是同學在已把握了一些基本函數的圖像及其畫法的基礎上，進一步討論三角函數的畫法。其中要了解利用正弦線畫出函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像，并利用正弦曲線和誘導公式畫出余弦曲線。會用“五點法”畫出正弦函數、余弦函數的簡圖。為今后學習正弦型函數y?Asin(?x??）的圖像及運用數形結合的思想討論正、余弦函數的性質打下基礎。

二、教學目標及解析

1、目標：

《課程標準》對本模塊、本章和本節(jié)的內容要求是：

（1）了解如何利用正弦線畫出正弦函數的圖像，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數的圖像。

（2）把握“五點法”畫出正弦函數、余弦函數的簡圖。

（3）體會探究利用“五點法”畫與正弦函數、余弦函數有關的某些簡潔函數在[0，2?]的簡圖。

（4）體驗利用圖像變換作圖的方法，體會整體劃歸的思想。

2、目標解析：

依據《課程標準》對本模塊、本章和本節(jié)的內容提出要求，結合教科書對當前內容和后續(xù)內容的分析，這兩節(jié)課的教學目標定位應當是：

（1）利用誘導公式，由正弦函數的圖像通過平移法得到余弦函數圖像，培育同學應用分析、探究、化歸、類比、數形結合等數形思想方法在解決問題中的應用力量。

2.體會“五點法”作圖給我們學習帶來的好處，并會嫻熟地畫出一些簡潔的函數圖像，進一步了解從特別到一般，從一般到特別的辯證思想方法。

3.通過試驗、作圖，使同學感受波形曲線的流暢美、對稱美，使同學體會事物周期變化的神秘，培育同學自主探究和學習的力量。

三、教學問題診斷分析

這節(jié)課同學可能遇到的困難是：利用正弦線畫出函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像，把握“五點法”畫出正弦函數、余弦函數的簡圖。在這里，幾何描點法中，單位圓中的三角函數線是一些有向線段，它們可以用來表示單位圓中的三角函數值，這種思路是同學不簡單想到的，需要適當引導。畫正弦函數圖像的“五點法”中的五點選取可以是不一樣的，依據各自的取值區(qū)間，只要都是一個周期內的圖像均可。在觀看正弦函數圖像向左或向右平移時，同學不簡單想到相關的誘導公式，這就要求老師的引導，也要求充分復習正弦線、函數圖

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像的變換等學問，體現了學問間的聯系。在作圖時，仔細梳理好講解的挨次，采納類比，突出兩種曲線的相同與不同之處，并讓同學充分參加。

四、教學支持條件

收集“簡諧運動”的試驗裝置。利用多媒體、實物教具等手段可關心同學更直觀地熟悉正弦、余弦函數曲線，以及它們之間圖像變換。

五、教學過程設計

（一）教學基本流程

（二）教學情境

1.探究這些函數圖像的畫法

問題1：（1）我們可以用單位圓中的三角函數線來刻畫三角函數，那是否可以用它來關心作正弦函數圖像呢？如何畫出函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像呢?

設計意圖：體會用學過的粗略描點法作正弦函數圖像的麻煩和不精確?????。建立單位圓的三角函數線與三角函數圖像之間的聯系，引出用正弦線作正弦函數圖像的方法。進一步明確如何利用單位圓中的正弦線畫正弦函數圖像。

師生活動：留意引導同學分析圖像上的點與單位圓中的圓心角及其所對應的正弦線之間的關系。根據教科書敘述的步驟，指導同學動手操作，描出12個點，做出y?sinx，x?[0，2?]的圖像。形成對正弦函數圖像的感知。

作圖過程：

（1）在直角坐標系x軸上任意取一點O1,以為圓心作單位圓；

（2）從圓O1與x軸的交點起A把圓分成12等份（份數宜取6的倍數，份數越多，畫出的圖像越精確?????）；

（3）再把x軸上從0到2?這一段（?6,28）分成12等份；

(4)把圓O1上的各分點作x軸的垂線,可以得到對應于0，?,2?,3?

666,??,等角的正

弦線；

（5）把角x的正弦線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合；

（6）再用光滑的曲線把這些正弦線的終點連接起來，就得到函數y?sinx，x

?[0，

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2?]的圖像。

問題2：如何作出函數y?sinx，x?[2k?，2(k?1)?),k?Z且k?0的圖像。設計意圖：引導同學利用誘導公式（一），只要將函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像左、右平移（每次2?個單位長度）就可以得到y(tǒng)?sinx，x?R的圖像。

師生活動：因為終邊相同的角有相同的三角函數值，三角函數值有周而復始的變化規(guī)律。所以函數y?sinx在x?[2k?，2(k?1)?),k?Z且k?0的圖像與函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像的外形完全一樣，只是位置不同，于是只要將函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像左、右平移（每次2?個單位長度）就可以得到y(tǒng)?sinx，x?R的圖像，即正弦曲線

2余弦函數圖像

問題3：以正弦函數的圖像為基礎，怎樣通過適當的圖形變換得到余弦函數的圖像嗎？設計意圖：使同學從函數解析式之間的關系思索函數圖像之間的關系，進而學習通過圖像變換畫余弦函數圖像的方法，讓同學感受有了一個函數圖像作為基礎時，可以通過函數圖像變換得到另一個函數的圖像，降低作圖的難度。

師生活動：由誘導公式cosx??

2?x)知，把正弦函數的圖像向左平移?

2個單位即

得余弦函數y?cosx,x?R的圖像，叫做余弦曲線

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3.五點畫圖法

問題4：在作出正弦函數的圖像時，應抓住哪些關鍵點？

設計意圖：從對圖像的整體觀看入手，引出“五點法”。

師生活動：觀看正弦函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像，起關鍵作用的點有以下五個：(0,0),(?

2,1),(?,0),(3?

2,?1),(2?,0)。在精確度要求不高的狀況下，我們經常線找

出這五個關鍵點，正弦函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像外形就基本上確定了。這種近似的“五點畫圖法”是特別有用的。

探究：類似于正弦函數圖像的五個關鍵點，你能找出余弦函數圖像的五個關鍵點嗎？請將它們的坐標寫出來，然后作出函數y?cosx,x?[0,2?]的簡圖。

4.例題講解

例1：畫出下列函數的簡圖

（1）y?1?sinx，x?[0，2?]；

（2）y??cosx,x?[0,2?]。

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解：

（1）y?1?sinx，x?[0，2?

]；

（2）y

??cosx,x?[0,2?]

思索：你能否從函數圖像變換的角度動身，利用函數y?sinx，x?[0，2?]的圖像來得到y(tǒng)?1?sinx，x?[0，2?]的圖像？同樣的，你能否從函數y?cosx,x?[0,2?]圖像得到函數y??cosx,x?[0,2?]的圖像？

設計意圖：使同學從圖像變換的角度熟悉函數之間的關系。

師生活動：老師提出問題，同學獨立完成，回答問題。

補充例題：畫出函數y?sin(2x??

3)，x?R.的簡圖

5.課內目標檢測

課本P34頁第1題；

6.課堂小結

問題6：通過這次課的