2023-2024學年福建省永春高一年級下冊期初考試數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年福建省永春高一下冊期初考試數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1.設全集。=R,集合/={沖。<4},集合8={x［0<x<2},則集合4nM）='）

A.（1,2）B.（1,2］C.（2,4）D.［2,4）

【正確答案】D

【分析】利用補集和交集的定義可求得結果.

【詳解】由已知可得電8={x|xK0或xN2},因此，Nc電6={x|2Kx<4},

故選：D.

2.已知函數(shù)/（x）的圖像是連續(xù)的，根據(jù)如下對應值表：

X1234567

/（X）239-711-5-12-26

函數(shù)在區(qū)間［1,6］上的零點至少有（）.

A.5個B.4個C.3個D.2個

【正確答案】C

【分析】利用零點存在性定理即可求解.

【詳解】函數(shù)/（x）的圖像是連續(xù)的，/（2）/（3）=-63<0；

43）/（4）=-77<0；

/（4）/（5）=-55<0,

所以/（X）在（2,3）、（3,4）,（3,4）之間一定有零點,

即函數(shù)在區(qū)間［1,6］上的零點至少有3個.

故選：C

3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期為兀的函數(shù)是（）

A.y=tan2xB.y=sin^2x-i-yI

C.y-|sinx|D.y=cos（1■乃一2x）

【正確答案】D

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再求函數(shù)的周期，然后確定選項.

7T

【詳解】J=tan2x是最小正周期為一的奇函數(shù)，故A錯誤；

2

TT

y=sin（2x+5）=cos2x的最小正周期是兀是偶函數(shù)，故B錯誤；

y=|sinx|是最小正周期是兀是偶函數(shù)，故C錯誤；

y=cos（學37r-2x）=-sin2x最小正周期為兀的奇函數(shù)，故D正確.

故選：D.

4.設a=3°7,b=,c=log07（）.8,則的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<C<aD.c<a<b

【正確答案】D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出凡b,c的大小關系.

【詳解】因為a=3°,>l，

=3°8>3°7=4，

c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<6.

故選：D.

本題考查的是有關指數(shù)塞和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應值的范圍.

比較指對幕形式的數(shù)的大小關系，常用方法：

（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=ax,當?！?時，函數(shù)遞增；當0<。<1時，函數(shù)遞減；

（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=lQg〃X，當。>1時，函數(shù)遞增；當0<。<1時，函數(shù)遞減；

(3)借助于中間值，例如：0或1等.

7T71?

5.已知函數(shù)/(x)=2+bg6tanx,xe,則函數(shù)y=/'(x)的值域為()

_63；

A.[1,3]B.[1,3)C.[2,3]D.[2,3)

【正確答案】B

【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求解.

【詳解】因為尸tanxj=log0X,在xw專,。)上都是增函數(shù)，

jrjrA

由復合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)/(x)=2+log有tanx,在xe上為增函數(shù)，

_63)

所以函數(shù)夕=f(x)的值域為［1,3),

故選：B

6.素數(shù)也叫質(zhì)數(shù)，部分素數(shù)可寫成"2"-1”的形式(〃是素數(shù))，法國數(shù)學家馬丁?梅森就是研究素

數(shù)的數(shù)學家中成就很高的一位，因此后人將"2"-1”形式(〃是素數(shù))的素數(shù)稱為梅森素數(shù).2018

年底發(fā)現(xiàn)的第51個梅森素數(shù)是P=282589933_J,它是目前最大的梅森素數(shù).已知第8個梅森素數(shù)

為尸=231—1，第9個梅森素數(shù)為0=261—1,則夕勺等于(參考數(shù)據(jù)：愴2=0.3)()

A.io7B.io'C.io9D.io10

【正確答案】C

【分析】根據(jù)尸，。兩數(shù)遠遠大于1,義的值約等于雪，設<=人,運用指數(shù)運算法則，把指數(shù)式轉(zhuǎn)

P231231

化對數(shù)式，最后求出左的值.

6161

【詳解】因為P,。兩數(shù)遠遠大于1,所以O卷的值約等于7金，設7%=%n2，°=左n1g230=1gA,

因止匕有301g2=lgA：=>lgA：=9=>^=109.

故選C

本題考查了數(shù)學估算能力，考查了指數(shù)運算性質(zhì)、指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，屬于基礎題.

7.設p：關于》的方程4“一2'+|-4=0有解；4：函數(shù)/(x)=log2(x+a-l)在區(qū)間(0,+oo)上恒

為正值，則p是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也

不必要條件

【正確答案】B

【分析】先化簡p，4,再利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】因為方程4、—2川—a=0有解,即方程。=(2'1—2-T有解，

令f=2'>0,則歹=/一2"。-1)2-1€[—1,+8),即1,+8)；

因為函數(shù)/(%)=log2(x+a-l)在區(qū)間(0,+oo)上恒為正值，

所以x+a-1〉1在區(qū)間(0,+8)上恒成立，即a〉-X+2在區(qū)間(0,+oo)上恒成立，

解得a22，

所以P是g的必要不充分條件，

故選：B

,、fsinx,0<x<

8.已知函數(shù)/(x)=<，若b,c互不相等，且〃a)=/(6)=/(c),

l°g2022(%—"+>71

則〃+力+。一2〃的取值范圍是()

A.(0,2021)B,(0,2022)C.(1,2022)D,[0,2022]

【正確答案】A

【分析】畫出圖像，利用正弦函數(shù)的對稱性求出a+b，再結合c的范圍即可求解.

不妨設a<b<c,畫出“X)的圖像，/(a)=/(6)=/(c)即丁=/8)與丁=加有3個交點，由圖像

jr

可知，關于x=,對稱，即。+6=萬，令log2（）22（x-萬+D=1，解得x=2021+%,所以

乃<c<2021+乃，故2萬<。+6+。<2021+2%，0<a+b+c-27r<2021.

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列運算中正確的是（）

兒”1。&5B,

晦5[27）2

______/1、一噫7

C.J（3_J）2=3-nD.I—I+ln（lne）=7

【正確答案】BD

【分析】利用指數(shù)、對數(shù)、根式的運算法則化簡即可.

【詳解】因為警j=log58*lo&5,所以A錯誤;

1%5

因為償野同號’所以B正確;

因為J（3-萬）?=|3—乃|=乃一3。3—萬,所以C錯誤；

/]、一晦7

+ln(lne)=20°g”)+lnl=7+0=7,所以D正確.

故選：BD.

10.在下列四個命題中，正確的是（）

A.命題“mxeR,使得f+x+lvO”的否定是“VxeR,都有f+x+lNO”

4

B.當x>l時，T+——的最小值是5

x—1

C.若不等式ax?+2x+c>0的解集為何一1<x<2},則。+c=2

D.“a〉1"是」<1”的充要條件

a

【正確答案】ABC

【分析】利用特稱命題的否定為全稱命題可判斷A,利用基本不等式可判斷B,利用二次不等式

的解法可判斷C,利用充分條件必要條件定義可判斷D.

【詳解】對于A,命題“mxeR,使得V+x+ivO”的否定是“\/xeR,都有故

A正確；

44I4-4

對于B,當x〉l時，x+—=x-l+—+l>2j(x-l)--+1=5.當且僅當X-1=——，

x-1x-1V'x-1x-1

即x=3時，等號成立，故B正確；

.、2c

對于C,由不等式ax2+2x+c〉0的解集為{x|-1<X<2},可知一1+2=--,(-1)x2=-,

?'.Q=-2,c=4,a+c=2,故C正確；

對于D,由“a〉1”可推出由!<1,可得a〉l或"0,推不出“a〉l”，故D錯誤.

aa

故ABC.

11.下列命題中正確的是()

A.在zvlBC中，cos(?i+5)=cosC

a

B.若角。是第三象限角，則丁可能在第三象限

3

2

C.若tan6=2,則sii?。-2cos?。1

D.銳角。終邊上一點坐標為尸(一cos2,sin2),則。=乃一2

【正確答案】BCD

a

【分析】選項A在三角形中由誘導公式可判斷；選項B求出一的范圍從而可判斷；選項C由

3

sin26—2cos?0=‘a(chǎn)n?-2可判斷;選項D由三角函數(shù)的定義可得

tan-6+1

sin2

tana=——=tan(〃一2)可判斷.

-cos2

【詳解】選項A.在zUB。中，cos(y4+5)=cos(^-C)=-cosC,故選項A不正確.

3汽

選項B.若角a是第三象限角，即2左萬+%<a<2左萬+—,左eZ

2

2k兀7ia2k兀乃,?

所以----+—<—<----+—,k&Z

33332

a

當斤=3%〃EZ時，；為第一象限角.

3

a

當％=3〃+l,〃wZ時，—為第三象限角.

3

當左=3〃+2,〃EZ時，區(qū)為第四象限角，所以選項B正確.

3

海京c1+.，acecri.2zic2zisin_0—2cos_0tan"0—2.4-22.、土

選項C.由tan。=2,所以snr6-2cos28=——----------=——-----=----=一,故選

sin2^+cos26>tai？8+14+15

項C正確.

選項D.銳角a終邊上一點坐標為尸(-cos2,sin2),則

sin2、/

tana=------=-tan2=tanpr-2

-cos2

又%-2,a均為銳角，所以a=萬一2,故選項D正確.

故選：BCD

12.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①DxeR,

/(-x)=/(x)；②VX],A：2e(0,+8),當玉/馬時，，(*)_/(玉)>0；③/(一1)=0.則下

X2~X\

列選項成立的是()

A./(-3)</(-4)B.若—1)<〃2),則加?-?),3)

C.若^^>0,則xe(—l,0)U(l,+8)D,VXGR,m/weR,使得/(x)N加

x

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件探求出函數(shù)/")的奇偶性和在(0,+s)的單調(diào)性，再逐一分析各選項的條件,

計算判斷作答.

【詳解】由VxeR,/(r)=/(x)得：函數(shù)/⑺是R上的偶函數(shù)，

由VX1,X2W(0,+W，X,*X2,\\"〉0得:/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X2-Xj

對于A,/(-3)=/(3)</(4)=/(-4),A正確;

對于B,/(團一1)</(2)=/(|〃?一1|)</(2),又函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)不斷的,

則有I加一1|<2,解得-1<機<3,B不正確；

對于C,由/(x)>0及/(-1)=0得，/(|x|)>/(l)o|x|>l,解得x<—l或x>l,

由/(x)<0得：/(|x|)</(l)=|x|<l,解得

/(X)[f[x)>0f/(x)<0/、/、

化為：《：或《：，解得x>l或一l<x<0,即xe(—l,0)u(l,+o)),C

x[x>0[x<0

正確；

對于D,因R上的偶函數(shù)/(x)的圖象連續(xù)不斷，且"X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因此，VxeR,/(x)N/(0),取實數(shù)加，使得加=/(0),則VxeR,/(x)N加，D正確

故選：ACD

思路點睛：解涉及奇偶性的函數(shù)不等式，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用

其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號了'，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若左)為偶函數(shù)，則道-x)=/(x)=/(M).

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，其中有這樣一個問題：'‘今有宛田，下周

三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑

為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為平方步.

【正確答案】120

【分析】利用扇形的面積公式求解.

【詳解】由題意得：扇形的弧長為30,半徑為8,

所以扇形的面積為：5=-7r=-x30x8=120,

22

故120

14.若函數(shù)/(x)=a-+2x_l在區(qū)間(一8,6)上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】一二,0

【分析】按。值對函數(shù)/(X)進行分類討論，再結合函數(shù)/(X)的性質(zhì)求解作答.

【詳解】當4=0時，函數(shù)/(x)=2x-l在R上單調(diào)遞增，即"X)在(-00,6)上遞增，則。=0,

當時，函數(shù)“X)是二次函數(shù)，又/(X)在(-00,6)上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)知，a<0,

----261

則有<a，解得—K。<0,

a<06

所以實數(shù)。的取值范圍是一’,0.

6

故-go

_6_

15.若函數(shù)/⑶是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(x+%)=/(x),當xe°，、)時，

f(x)=2sinx,則一+.

［正確答案］-J3+V2##V2-V3

【分析】由/(x+%)=/(x),可得函數(shù)/(X)是以左為一個周期的周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的周

期性和奇偶性將所求轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間即可得解.

【詳解】解：因為/(x+—)=/a),

所以函數(shù)/(x)是以"為一個周期的周期函數(shù)，

又因為函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù),

所以/

所以/

故答案為.-6+近

16.已知函數(shù)/'(x)=lg(or-3)的圖象經(jīng)過定點(2,0),若左為正整數(shù)，那么使得不等式

2/(x)>1g依2)在區(qū)間［3,4］上有解的k的最大值是.

【正確答案】1

Q12

【分析】由/(2)=0可得出。=2,由已知不等式結合參變量分離法可得出左<=--+4,令

XX

f="，求出函數(shù)g(7)=9/-12f+4在上的最大值，即可得出實數(shù)左的取值范

圍，即可得解.

【詳解】由已知可得〃2)=lg(2a—3)=0,則2。-3=1,解得。=2,故/(x)=愴(2%-3),

由2/(x)>1g依2)得lg(2x-3)2〉lg依2),

oio

因為x￡［3,4］,則依2<4工2_12x4-9，可得％<二-----F4,

xx

令f=,g(f)=9『一12/+4,則函數(shù)g(/)在上單調(diào)遞減,

(］、25

所以，g⑺3=g|j卜記k二

16

因此，正整數(shù)左的最大值為1.

故答案為.1

四、解答題(第17題10分，第18-22題每題12分，共6小題70分)

17.已知基函數(shù)/(x)=(m2-3m+3)￡"的圖象關于V軸對稱，集合Z={x|l-“<x?3a+l}.

(1)求〃？的值；

「后

(2)當xe—,21時，/5)的值域為集合B,若xeB是xe/成立的充分不必要條件，求實

數(shù)”的取值范圍.

【正確答案】(1)m=2

(2)a>\

【分析】(1)根據(jù)基函數(shù)的定義可得〃3加+3=1，求出加的值，再檢驗即可得出答案.

(2)先求出函數(shù)/(x)的值域，即得出集合8,然后由題意知8=/,根據(jù)集合的包含關系得到不

等式組，從而求出答案.

【小問1詳解】

由事函數(shù)定義，知〃/一3加+3=1，解得他=1或〃？=2,

當〃?=1時，/(x)=x的圖象不關于了軸對稱，舍去，

當〃？=2時，/*)=X2的圖象關于y軸對稱，

因此加—2.

【小問2詳解】

當xe[—l,2]時，/⑴的值域為1,4,則集合8=；,4,

1-a<3?+1

由題意知8A,得|\-a<-,解得a?l.

2

3a+l>4

sin(27t-?)tan(7r+a)sin|-|

18.已知/(a)=-------7-----r-------------.

sinI(2--Itan(371-6Z)

(1)若ae(O,27t),且/((/)=—；,求a的值.

(2)若/(?)-/(萬+&]=，，且了)，求tana的值.

【正確答案】(1)&=?或&=坐；

66

【分析】(1)利用誘導公式結合tana=3吧化簡/(a),再解方程結合ae(0,2兀)即可求解;

cosa

(2)結合(1)中/(a)將已知條件化筒可得sina+cosa=(,再由同角三角函數(shù)基本關系即

可求解.

【小問1詳解】

sin(27T-(z)tan(7r+a)sin-----a

一sinatana?(一cosa)

,㈤=---------7-----------

一coscrtan(-a)

sina-]Jtan(3兀一a)

.sina

sma-cosa-

__________cosasin2a.

------=sina.

sina

cosa------sina

cosa

所以/(a)=sina=—；，因為二￡(0,2兀)，則二=1，或三

【小問2詳解】

由(1)知：/(a)=sina,

.(3K.1

所以+a二=sina-sm----\-a=sina+cosa=一

I25

即sina+cosa=一，所以sina=——cosa,

55

所以COS2Q+cosaj=1，即(5cosa-4)(10cosa+6)=0,

_43

可得cosa=二或cosa=

兀371311/3、4

因為aw,貝i」cosa=——,所以sin。=——cosa=——一一=—

29T555{5)5

叱…sina4(5)4-4

所以tana二-----=—x=——,故tana=——.

cosa5I3j33

19.已知函數(shù)/(、)=&,g(x)=|x-2|.

?----1-----1-----rT----

r

r「4-

?I??

i-----1-----1------r-J"

3；4

(1)求方程/(x)=g(x)的解集；

,、\a,a>b丫、,、

(2)定義.max{a,b}=,bq<6已知定義在[0,+°0)上的函數(shù)〃(x)=max{/(x),g(x)},求函

數(shù)A(x)的解析式；

(3)在(2)的條件下，在平面直角坐標系中，畫出函數(shù)力(x)的簡圖，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)方(X)

的單調(diào)區(qū)間和最小值.

【正確答案】(1){1,4}

2-x,0<x<1

(2)h(x)=<4x,\<x<4

x-2,x>4

(3)圖象見解析，單調(diào)遞減區(qū)間是［0』，單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8),最小值為1

【分析】(1)根據(jù)題意可得五=卜-2|,平方即可求解.

(2)由題意比較正與卜-2|的大小，從而可得出答案.

(3)由(2)得到的函數(shù)關系，作出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.

【小問1詳解】

由=得/一5X+4=0且xN0，解得X]=l,*2=4;

所以方程/(x)=g(x)的解集為{1,4}

【小問2詳解】

2-%,0<x<1

，/、Iy/x,4x>|x-2|

由己知得力(x)=(,/-,=y/x,l<x<4.

|x-2|,Vx<|x-2|

Ix-2,x>4

【小問3詳解】

函數(shù)人(x)的圖象如圖實線所示：

函數(shù)人(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8),其最小值為1.

20.已知函數(shù)/(x)=Zsin((ax+0)+@/>0,①>0,|0|<—的部分圖象如圖所示.

\2)

(2)先把〃x)的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，若當

JTJT

xe—9—時，求g(x)的值域.

71k7l71八/,?、

【正確答案】(1)/(x)=2sin(2x+y)-l,了一石'一1(丘Z)

(2)[0,2]

【分析】(1)先根據(jù)圖象得到函數(shù)的最大值和最小值，由此列方程組求得43的值，根據(jù)周期求

得0的值，根據(jù)/(展)=1求得夕的值，由此求得了(x)的解析式，進而求出/(x)的對稱中心;

(2)根據(jù)三角變換法則求得函數(shù)g(x)的解析式，再換元即可求出g(x)的值域.

【小問1詳解】

A+B=\

由圖象可知:一/+6=-3'解得：』=2,八一1,

又由于工=衛(wèi)—C,可得：T=%，所以。=至=2

21212T

由圖像知/(今)=1，sin(2x^|+e)=l,又因為一?<7+0(年

7T7L7T7C

所以2乂5+夕=5,8=§?所以/(x)=2sin(2x+§)-l

._7T..t./rkjT乃/f,\

令2xH—=/CTT(kwZ),得:x-------(ZrGZ)

326

k兀71八/,丁、

所以/(x)的對稱中心的坐標為彳一%,-1"cZ)

【小問2詳解】

乃+1=2sin(2x+'^)「、，RR

依題可得g(x)=/X~\—,因為——-

6496

人c22萬乃71

令2x+——=tW——,71，所以sinfe[0,l],即g(x)的值域為[0,2].

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21.上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后,

地鐵的發(fā)車時間間隔，（單位：分鐘）滿足2V/W20,/eN*，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客

量與發(fā)車時間間隔t相關，當10W20時地鐵可達到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當2Wf<10

時，載客量會減少，減少的人數(shù)與（10-。的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為

560人,記地鐵載客量為回?）.

（1）求p?）的解析式;

（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為0=4⑺;336（）―360（元），問當發(fā)車時間間隔為多

少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？

-10/2+200?+200,2</<10

【正確答案】（1）p（t）=<(twN*)；(2)6分鐘.

1200,10W20

【分析】（1）2?/<10時，求出正比例系數(shù)阮寫出函數(shù)式即可得解;

（2）求出每一段上的最大值，再比較大小即可得解.

'nQ0-k(\Q-t)2,2<t<lQ

【詳解】（1）由題意知P?）=(/eN*),1為常數(shù)),

1200,10<Z<20

因2(2)=1200—左(10—2)2=1200—64左=560,貝巾左=io,

-10r2+200/+200,2</<10

所以〃(/)=<(teN*)；

1200,10<Z<20

6(-10r+200z+200)-3360_3602^<1()

(2)由Q=6p。)-3360—360得0=]'

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