山東省煙臺市2022-2023學(xué)年高三年級上冊期末數(shù)學(xué) 含解析

2022-2023學(xué)年度高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)

書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符

合題目要求.

1.若集合〔>>,II，，則A()

A.{x[0<x<l}B.1x|O<x<C.{x[O<x<2}D.{乂O〈x<2}

【答案】D

【解析】

分析】分別求出集合43,求出交集即可.

[詳解]A={x|y=?}=[0,+8),

X?-x—2<0(x+l)(x—2)<0,-1<x<2

故8=卜苗7_2<0}=(_1,2),

r.Ac8={x|0<x<2}.

故選：D.

2.已知“，heR,則“。>6”的一個充分不必要條件為()

A.a2>b2B.lna>ln/?C.—>—D.2">2'

ba

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，利用特殊值法判斷AC,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域判斷

B,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D即可.

【詳解】選項A：取a=—2,b=\,滿足。2>/,但不成立，A錯誤；

選項B：由對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可知若Ina>lnZ?,則。>6；若Ina,In?？赡軣o意義，所以

lna>lnb是“〉萬的充分不必要條件，B正確;

選項C：取a=-2,b-\,滿足但a>b不成立，C錯誤；

ba

選項D：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得若2">2"，則。>分；若a>b,則2">2"，所以2">2"是”>人的充

要條件，D錯誤：

故選：B

3.過點(diǎn)（0,3）且與曲線y=d—2x+l相切的直線方程為（）

A.x-y-3=0B.x-y+3=0C,x+y+3=0D,x+y-3=0

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線斜率，得到切線方程，代入切線過的點(diǎn)，求出未知數(shù)即可得到

方程.

【詳解】由y=/-2x+l,則y=3_?-2，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（飛，玉）3-2%+1），則切線的斜率左=3々；一2,切線方程為

x2

y~（o~2%0+1）=（3x0—2）（x—拓）,

由切線過點(diǎn)（0,3）,代入切線方程解得飛=-1,則切線方程為y-2=x+l,即x-y+3=0.

故選：B

4.米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、

糧店等廣泛使用.如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長分別為3（）cm、20cm,

側(cè)棱長為5jHcm，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重0.8千克，

A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克

【答案】C

【解析】

【分析】計算出米斗的高，進(jìn)而可求得出該米斗的體積，結(jié)合題意可求得該米豆所盛大米的質(zhì)量.

【詳解】設(shè)該正棱臺為ABCD—4耳GD,其中上底面為正方形ABCD,取截面A4CC，如下圖所

易知四邊形441GC為等腰梯形，且AC=30五，4G=20E，44=。0=5布,

分別過點(diǎn)4、G在平面A4GC內(nèi)作AELAC,QF1AC,垂足分別為點(diǎn)￡、F，

由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得A4,=CG，又因為NAAE=ZC,CF,NAE4,=ZCFC,=90,

所以，RtAA^^RtACC.F,所以，AE=CF,

因為4G//AC,易知NE4G=NAM=NEFC]=ZA,CtF=90,

lAC-EFr-

故四邊形為矩形，則"=AG=2O0,=b一=5V2,

所以，4E=爐=15,故該正四棱臺的高為15cm,

所以，該米斗的體積為V=；x(202+3()2+A/202X302)X15=9500cm3,

所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為9.5x0.8=7.6kg.

故選：C.

y2

5.設(shè)AB分別為橢圓C:，+l(a>0>0)的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)尸為C的右焦點(diǎn)，若尸到直線A3

F

的距離為方，則該橢圓的離心率為()

A.包B.73-1C1D.V2-1

2-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到A,3,f的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式可得到直線AB的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的

距離公式和橢圓的離心率求解即可.

【詳解】由題意可得A(-a,0),5(0,6),F(c,0),

所以直線A3的方程/為T=整理得ay-法一。力=0,

0-b-a-Q-

\-cb-ah\cb+ab

所以尸到直線AB的距離d=j丁（京",所以9+。=，/+/①,

/a2+b2

又因為橢圓中a2=/+c2②，e=￡③，

a

-1±V3

所以聯(lián)立①②③得2/+2e—1=0,解得e

2

又因為e>0,所以e=Yl二1,

2

故選：A

6.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作

一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知4B=2，P為

弧AC上的點(diǎn)且NP5C=45°,則8RCP的值為（）

A.4—>/2B.4+V2C.4—25/2D.4+2及

【答案】C

阿斤】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為X軸，垂直于BC方向為y,建立平面直角坐標(biāo)系,

因為NPBC=45°,m=2,所以P(2cos45,2sin45),即尸(虛,0),

且B(0,0),C(2,0),所以8尸=(?夜),CP=(0-2,何,

所以BP-CP=2-20+2=4-20，

故選:C.

7.過直線2%-〉+1=0上一點(diǎn)「作圓（%—2）2+丁=4的兩條切線24,PB,若PAPB=O，則點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)為（）

33D.+巫

A.0B.—C.±—

55一5

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得，△P4C三△PBC,則|A4=AC=2,儼。|=正+22=2及，設(shè)尸(a,2a+l),

由兩點(diǎn)間的距離公式代入解方程即可得出答案.

【詳解】如下圖，過直線2x-y+l=0上一點(diǎn)p作圓（x—2p+y2=4的兩條切線Q4,PB，

設(shè)圓心C（2,0）,連接AC,CB,PA±AC,PBA.BC,

可得△PACM^PBC,PAPB=。，則NAPC=NBPC=45°,

所以|R4|=|AC|=2,所以|PC|=j22+22=2a,

因為點(diǎn)P在直線2x-y+l=0上，

所以設(shè)P（a,2a+1）,C（2,0）,

1Pq=J（a—2y+（2a+l）2=2血，解得：。=±半.

故選：D.

42x-y+l=0

TT

-8sinx,---W工(0

8.己知定義在R上的函數(shù)/（x）滿足：/卜一^）為偶函數(shù)，且/（力=<2;函數(shù)

—>0

^(x)=lgx+—,則當(dāng)xe[-4?,3句時，函數(shù)y=/(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和為()

A-7"B.-6兀C.------D.-3%

2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意畫出/(x),g(x)的圖象，由圖知，/(x),g(x)均關(guān)于％=對稱，/(x)，g(x)有14

個交點(diǎn)，即可求出函數(shù)y=/(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和.

【詳解】因為—為偶函數(shù)，所以/(X)關(guān)于x=-1對稱，

所以當(dāng)一匹0)時，/(x)=-8sinx,

當(dāng)工￡(0㈤時，工一乃￡(一匹0),/(x)=g?[-8sin(x-〃)]=4sinx,

當(dāng)兀,2兀)時，彳一萬￡(0㈤,"X)=g(4sin(x-?)]=-2sinx,

當(dāng)了￡(21,3?)時，x-?！?兀,2兀),/(x)=^-[-2sin(x-^)]=sinx,

當(dāng)—乃,0)時，工+乃￡(0,"),/(x)=^-[-8sin(x+^)]=4sinx,

函數(shù)g(x)=igx+g為y=ig|x|的圖象向左平移3個單位,

/(x),g(x)的圖象如下圖所示,

/。)送(6均關(guān)于彳=一/對稱，/(x),g(x)有14個交點(diǎn)，

所以函數(shù)y=/(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和為：7{-5x2)=-74.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.如圖是某正方體的平面展開圖，則在該正方體中（)

B.AB//平面AC2

與平面AB、C所成角的正弦值為且

C.48與cq所成角為60。D.

3

【答案】BC

【解析】

【分析】利用ABHCD、即可判斷A,B選項，證明.Bg為正三角形即可判斷C,建立空間直角坐標(biāo)系,

利用空間向量法求出線面夾角的正弦值即可.

【詳解】將展開圖合成空間圖形如下圖并連接AD1,CD,,AC,8Q,

?;AD,//AD,A,D,=AD,AD//BC,AD=BC,

AD/BC,4。=BC,四邊形A,BCR為平行四邊形，ABHCD\,

若AB"C'D,則C"〃G。，顯然不成立，故A錯誤,

aBHCD\,CD,u平面ACD},A8Z平面ACR,

.??48〃平面4。2,故B正確,

設(shè)正方體棱長為i,則℃=C4=4A=0,故一qc。為正三角形,

故NBC9=60",而45〃C。，...48與C4所成角為60',故C正確,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,

則A(l,0,0),C(0,1,0),與(1,1,1),4(1,0,1),8(1,1,0),

則AC=(-1,1,0),儆=(O,l,l)，A5=(O,l,-l),

ACm=Q

設(shè)平面ABC的一個方向量=則，

''[A]B-m=0

一x+y=0

即〈.八，令y=l,則x=l,z=-l,則根

y+z=0

設(shè)AB與平面A4c所成角為a,

,.m-AtB

則sina=cos（m,AB）=----廠?廠=,故D錯誤.

'/可n取6x03

故選：BC.

10.已知函數(shù)/（%）=5皿%—4（305%（4€?.）的圖象關(guān)于直線》=一看對稱，則（）

A./（X）最小正周期為2兀

JTTT

B./（x）在一上單調(diào)遞增

C./（力的圖象關(guān)于點(diǎn)（方,0）對稱

Ojr

D.若）+"w）=0,且/'（X）在（玉,當(dāng)）上無零點(diǎn)，則k+q的最小值為彳

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/（0）=/上熱解得a=JL求出/（x）=2sin[x-1）由T=2?？膳袛郃；求出x—1

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；計算/(三)=0可判斷C；2sin(七一三)=一2411］々一三

可得內(nèi)一§=—*2+Q+左兀或內(nèi)—§=—工2+§+兀+E，可得I3+的最小值為可判斷D.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=sinx-acosx(aeR)的圖象關(guān)于直線*=一四對稱，

6

所以/(0)=/(_三)，即_Q=sin(-；卜acos(_；),解得”=百，

c1.

f(x)-sinx-y/3cosx=2—sinx-——COSX

22

\

且/2sin瀉7,

對于A,T-2n,故A正確;

1.71717兀12,712.7兀17i1t

對于B,XG--,所以x——丁‘°'因為y=sinx在xw—飛,-3上單調(diào)遞減，在

3332

71

xe--,0上單調(diào)遞增，故B錯誤；

對于C,/f^=2sinf^--y1=0,故C正確;

對于D,若/(玉)+/(%2)=0，則2sin|x-^J=-2sin[x2-^)=2sin|-4+1

71兀，、.兀兀r

可得%—~=—%2+§+4口或者X—§=—x,+§+兀+4"，女eZ,

27r.__5兀.

%+%=可+%兀或%+%=耳+E，KeZ,

2JT

且/'(x)=2cos的半周期為兀，在(％,W)上無零點(diǎn)，則|%+&|的最小值為丁，故D正確.

故選：ACD.

11.已知a>0,6>o,且。+a=1,貝I()

,/11」,

A.ab<—B.—1-——->4C.sina~+2b<\D.In6/-e^<-l

8a2b+l

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)均值不等式和常見的不等式放縮即可求解.

【詳解】。>0,Z>>0,且a+2/?=l,

所以加7=」人28竺]=]，故選項A正確；

22(2J8

fl1]卜貴)["儂+1)]If2HlaJ

>V2+r

[a2b+\)221a2b+\)

故選項B錯誤；

要證sina2+2b<l>

證sina2<l—2b>

即證sina2<a,

由a>0,b>0,且a+2〃=l,知0<a<i,

22

所以/(a)=a-sina2>a-sin?>0,

故選項C正確；

要證Ina—e^v—l，

即證lna+1<e"T，

因為InxKx—1<x<x+1<e*，

所以lna+l<a<ea~'>

前后取得等號條件分別是a=0和a=1,

所以不同時取得等號，故D選項正確；

故選：ACD.

12.已知過拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)F的直線/交。于4,3兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)其中B點(diǎn)在線段

AM上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線/的斜率為A,則()

A.當(dāng)％=1時，AB=8B.當(dāng)攵=2正時,忸叫=陷

C.存在k使得ZAOB=90D.存在k使得乙403=120°

【答案】ABD

【解析】

【分析】特殊值法分別令4=1和女=2近代入直線/，再由拋物線的定)認(rèn)過拋物線的焦點(diǎn)的弦長

|AB|=X|+X2+P,選項得解，由ZAOB=90，則。4-08=玉々+乂％=°，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)

定理，可判斷選項C,若Z4OB=120°,cosAAOB=.OAOB；.=-1聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理，可判

\OA\-\OB\2

斷選項D.

【詳解】對于選項A.當(dāng)k=l時，過拋物線丁二叔的焦點(diǎn)F(1,O)的直線方程為：y=x-1,設(shè)該直

線與拋物線交于4(%,弘)，B(與，必)兩點(diǎn)，

y=x-l

聯(lián)立方程組424，整理可得：f一6工+1=0,則百+々=6,

y=4x

由拋物線的定義：|45|二芯+々+〃=6+2=8,故A正確.

對于選項B.當(dāng)k=2y[2時，過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(l,0)的直線方程為：y=2j，(x—1),設(shè)該

直線與拋物線交于A(%，x),兩點(diǎn)，

聯(lián)立方程組|>=20(x—1),整理可得：2/—5犬+2=0,則內(nèi)=2,&=,，則氏+&=2，

y=4x22

所以4(2,2血),8(；,—夜),由拋物線的定義：|AB|=x+/+p=g+2=g,

又因為直線y=2j5(x—1)與拋物線的準(zhǔn)線尤=一1交于點(diǎn)M(-1,-472),

則忸M=+(-4及+及)2=|,即故B正確.

對于選項C.設(shè)過拋物線V=4x的焦點(diǎn)尸(1,0)的直線方程為：y=I)與拋物線交于

),鞏聲,必)兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組\2_4x，整理可得：

、y

/九2-(2&2+4)尤+公=0,則玉+尤2=2+W，玉冗2=1，

=/(%T)(WT)=公[中2—(王+工2)+1]=%2(1_2-\+1]=一4，

所以玉w+y%=1-4=一3.若ZAOB=90,則。4-。8=%%+%%=。，故不存在左，使得

ZAOB=90，故C不正確.

對于選項D.設(shè)過拋物線>2=4》的焦點(diǎn)尸(1,0)的直線方程為：y=《(x-1)與拋物線交于

A（^,yI）,B（x2,y2）兩點(diǎn),

<H"-D，整理可得：標(biāo)(2公+4卜+々2=0,則%+々=2+二,七工2=1，

聯(lián)立方程組

y=4xk

=長（與22

y%-1）（^-1）=/:[X1X2-（XI+X2）+1]=A:H-2--^-+lU-4,

若NAO8=120°,因為。4.O8=g+y%=—3,Cos4。*器僚廣即10Al-|。3|=6,

則（6+犬）（￥+￡）=36,即：儲+4%J（x；+4馬）=36,可得：為芻&+4）（/+4）=36,

lx(l+8+工+16)=36,解得：父=甘,解得:

即：%工2[工1工2+4（X+9）+16]=36,則

k=土巫

11

故存在k使得ZAOB=120",故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與直線方程的位置關(guān)系，解方程組，焦點(diǎn)弦的應(yīng)用，對與本題，運(yùn)算能力,

數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵，屬于較難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知2"=3"=6，則工+4=.

ab

【答案】1

【解析】

【分析】

首先利用指數(shù)和對數(shù)互化得到。=bg26,^=log36,再利用換地公式即可得到答案。

【詳解】由2a=3"=6可知a=log26,b=log36,

所以，+?=log62+k)g63=log66=l.

ab

故答案為：1

14.已知向量〃=(sinacos。)，Z?=(3,l),若a〃b、則sin?。+sin2。的值為.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】根據(jù)題目條件可得sine=3cos6,代入sii?6+sin26=出二絲刎絲爾化簡即可.

sin?。+cos?6

【詳解】已知向量a=（sinacos。），Z?=（3,l）,若“〃〃，則有sin6=3cos。，

.._?sin?e+2sin6cos69cos2^+6cos20153

??sin2_0+sin20=--------；--------=----------—=——=一.

sirr，+cos~69cos2cos-0102

3

故答案為：一

2

15.“0,1數(shù)列”是每一項均為0或1的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛.設(shè)A是一個“0,1數(shù)列“，定義數(shù)列

/（A）：數(shù)列A中每個0都變?yōu)榱Γ?,1”,A中每個1都變?yōu)椤?,1,0”，所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列A：

1,0,則數(shù)列f（A）：0,1,0,1,0,1.己知數(shù)列A：1,0,1,0,1,記數(shù)列=/（4）,k=T,2,

3,則數(shù)列A4的所有項之和為.

【答案】67

【解析】

【分析】根據(jù)題意，依次討論A，4,4，A4中o與1的個數(shù)，從而得解.

【詳解】依題意，可知經(jīng)過一次變換/（A）,每個1變成3項，其中2個0,1個1；每個0變成3

項，其中2個1,1個0,

因為數(shù)列A：1,0,1,0,1,共有5項，3個1,2個0,

所以&=/（4）有5x3項，3個1變?yōu)?個0,3個1；2個0變?yōu)?個1,2個0；故數(shù)列為中有7個

1,8個0；

A=/'（A2）有5x32項，7個1變?yōu)?4個0,7個1；8個。變?yōu)?6個1,8個0；故數(shù)列A3中有23個

1,22個0；

A=.f（A）有5x33項，23個1變46個0,23個1；22個。變?yōu)?4個1,22個0；故數(shù)列中有67

個1,68個0：

所以數(shù)列A的所有項之和為67.

故答案為：67.

16.在直四棱柱A3CO-ABC。中，底面ABCZ）是邊長為1的正方形，側(cè)棱A&=2,M為側(cè)棱BB1

的中點(diǎn)，N在側(cè)面矩形ADD|A內(nèi)（異于點(diǎn)。），則三棱錐N-MC。體積的最大值為.

W=舊山，

max62

故答案為：y

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間點(diǎn)到平面距離公式是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,且acosC+csinA=/?.

（1）求A；

（2）AD=2DC，BD=3,求一ABC面積的最大值.

【答案】（1）A=：

4

627（-+1）

8

【解析】

【分析】（1）由acosC+csinA=8,利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，得到

sinAsinC=cosAsinC求解.

（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到A"A。wKlEl，再利用三角形面積公式求解.

一2

【小問1詳解】

解：由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sin3,

因為A+B+C=i,

所以sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）,

即sinAcosC+sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

整理得：sinAsinC=cosAsinC,

因為0<。<兀，所以sinCwO,

所以tanA=l,

因為0<A<TC,所以A=二.

4

【小問2詳解】

在△ABO中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA

即9=AB2+AZ)2-夜

整理得,48,4ZJW、），當(dāng)且僅當(dāng)A6=AO時，等號成立，

2

△AB。2444

因為4D=2DC，

327（V2+1）

所以q=—S<、______L，

-24ABD一g

所以.ABC面積的最大的為27（>+l）.

8

18.已知數(shù)列｛4｝和也｝的各項均不為零，S,是數(shù)列｛叫的前〃項和，且4=2%=2,anan+i=2S?,

粼也用，〃eN*.

（1）求數(shù)列｛為｝和也｝的通項公式；

（2）設(shè)c“=a,/,,求數(shù)列｛c,｝的前〃項和7；.

【答案】（1）a,,=n,bn=2"

（2）7；,=（H-1）X2,,+I+2

【解析】

【分析】⑴由用=2S,,得出數(shù)列｛對｝的特征求出通項，由0。=%,,得出數(shù)列出｝的特征求

出通項公式.

（2）由數(shù)列｛c“｝的特征，運(yùn)用錯位相減法求前〃項和

【小問1詳解】

因為=2S,（〃eN*）,所以an_xan=2S?_,（H>2）,

兩式相減得an（4+1—a,i）=2a“（n>2）.

又因為4力0,所以-4T=2（〃22）,

所以數(shù)列｛4,1｝和｛4“｝都是以2為公差的等差數(shù)列.

因為4=1,所以在44+1=2S〃中,令〃=1,得電=2,

所以=1+2(〃-1)=2〃-1,生〃=2+(〃—1)x2=2〃,

所以a“=〃.

對于數(shù)列｛4｝,因為%=伉也=2",且內(nèi)產(chǎn)0,所以，iJZSeN*),

所以數(shù)列｛仇｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以2=2".

【小問2詳解】

由c“=a?”=〃-2"，

有T"=1X2+2X2~+3x2，+...+〃x2",

27；,=1X22+2X23+3X24+.+(〃-1)x2"+〃x2””，

no〃+i

兩式相減得，—(=2+22++2"_〃x2"i=—〃x2"+i=-2—(〃—l)x2"+l

所以<=(〃-1)X2"M+2.

19.如圖，_A8C是以BC為斜邊的等腰直角三角形，△8C。是等邊三角形，BC=2,AD=>J1.

A

(1)求證：BCLAD-.

(2)求平面的與平面BCD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

力3回

31

【解析】

【分析】(1)取中點(diǎn)。，在_ABC與△88中分別得到。4,5C,OD±BC,根據(jù)線面垂直的

判定定理及性質(zhì)定理即可證明；

(2)在△AQD中，利用余弦定理可得NAO￡>=150°,以04,0B及過。點(diǎn)垂直于平面ABC的方向為

x,九z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。一個z,求出兩個平面的法向量即可求解.

【小問1詳解】

取BC中點(diǎn)。，連接OA,0D,

因為一A5C是以8c為斜邊的等腰直角三角形，所以。4LBC.

因為△8C。是等邊三角形，所以。?！繠C.

OA07）=0,Q4u平面A8,OOu平面AOD,

所以BCJ,平面AOD.

因為AZ>u平面A8,故BC_LAQ.

【小問2詳解】

在△AOO中，AO=1,0D=5AD=幣，由余弦定理可得,

cosZAOD,故ZAOD=150°.

2

如圖，以。4,。8及過。點(diǎn)垂直于平面ABC的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

可得^高。孝(35.ULUI

,所以50=--,-1,^-,Cfi=(0,2,0),AS=(-1,1,0),

I22J

設(shè)”=（5,X,Z］）為平面ABD的一個法向量,

-玉+

n-AB=OX=0

則〈，即?3工0一二

n-BD=0一萬玉f+彳4=o

令》=百，可得"=（6,百,5）.

設(shè)〃?=（/,%，Z2）為平面BCD的一個法向量,

2y2=。

m-cn二u

則〈一建-%+旦2=0，

m?BD-0

令占=6，可得加=(6,0,3).

GrN/\3+0+153回

'/731x71231

故平面43。與平面BCO夾角的余弦值為名醫(yī).

31

ZA

20.某工廠擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，

該容器的體積為史竺立方米，且/26廠.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面

3

的建造費(fèi)用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用為根（加＞2.25）千元.設(shè)該

容器的建造費(fèi)用為V千元.

（1）寫出了關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時的r.

【答案】（1）y=3萬（加―1）產(chǎn)+絲區(qū)，（）＜r＜2（2）見解析

【解析】

【分析】（1）由圓柱和球的體積的表達(dá)式，得到和廠的關(guān)系.再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表

達(dá)式中的/用/表示，并注意到寫定義域時，利用/之2r,求出自變量廠的范圍.

（2）用導(dǎo)數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0,2］中，極值末必存在，將極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)

間外進(jìn)行分類討論.

【小問1詳解】

2

設(shè)該容器的體積為V,則丫=乃//+—4/，

3

又丫=圖乃，所以/1602

3

因為/26廠，所以0<rW2.

所以建造費(fèi)用y+3?！?71,

因此y=3萬（巾一1）/+240",0<r<2.

【小問2詳解】

由（1）得y=6乃（加一l）r----=————-Ir------1,0<r<2.

9

由于加>一，所以〃2-1>0,

4

即〃?>6,當(dāng)時，y>0,

y(r)為增函數(shù),此時r也是最小值點(diǎn).

若:旦22,即g<mW6,當(dāng)re(O,2］時，/<0,y(r)為減函數(shù)，此時廠=2是y(r)的最小值點(diǎn).

V-14

9/40

綜上所述，當(dāng)一<m<6時，建造費(fèi)用最小時尸=2；當(dāng)機(jī)>6時，建造費(fèi)用最小時r二；——.

4Vm-1

22

21.己知雙曲線C：2■一方=1(4>01>0)的焦距為26，A,8為。的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為C上異于

A,8的任意一點(diǎn)，滿足左八戶?原戶=；.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過。的右焦點(diǎn)/且斜率不為。的直線/交C于兩點(diǎn)"，N,在x軸上是否存在一定點(diǎn)。，使得

DM-DN為定值?若存在，求定點(diǎn)。的坐標(biāo)和相應(yīng)的定值；若不存在，說明理由.

9

【答案】(1)--^2

4

775，。，使得麗?麗為定值得

(2)存在定點(diǎn)。

~8~

阿斤】

【分析】（1）根據(jù)心」可得4=工，結(jié)合c=有即可求解；（2）利用韋達(dá)定理表示出￡>〃.ON即

4礦4

可求解.

【小問1詳解】

設(shè).,。），蛇,。），始內(nèi)），則配囁=鋁*合=春=；

22

又因為點(diǎn)尸（3,y）在雙曲線上，所以駕一與=1

6rb

于是犬一?=勺￥—〃，對任意恒成立,

b21

所以:=_L,即/=4。2.

a24

又因為c=逐，c2=a2+b2,

2

可得。2=4，6=1,所以雙曲線。的方程為土?—：/=]

4

【小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為：x=ty+>/5,〃（％3，%），"（王，%），由題意可知「。±2,

2

X2_]

了一）",消X可得，（/一4）;/+28+1=0,

聯(lián)立《

X=ty+y[s

則有％+”=31，％”1

-2

t—4?-4

假設(shè)存在定點(diǎn)￡>（m,0）,

則DM-DN=（%,一機(jī)）（/一m）+y3y4=（“3+石一加）（y+逐一根）+y3y4

=（產(chǎn)+1）%%+（百一/"），（%+5）+（有一加『

r+12V5—rnjt,2"-4）r2Y4m2&西〃+19）

一+（6一時

「一4/一4t2-4

7V5

令4機(jī)2-