北京市景山中學(xué)2022~2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

北京景山學(xué)校2022-2023學(xué)年第一學(xué)期

八年級數(shù)學(xué)期末試卷

注意事項

1、請用黑色字跡簽字筆答卷，畫圖用2B鉛筆.

2、認真審題，字跡工整，卷面整潔.

3、本卷共8頁，共三道大題，28道小題.

4、本卷滿分100分，考試時間100分鐘.

一、選擇題

1.下列圖案是歷屆冬奧會會徽，其中是中心對稱圖形的是()

【答案】A

【解析】

【詳解】解：A、是中心對稱圖形，此項符合題意；

B、不是中心對稱圖形，此項不符題意；

C、不是中心對稱圖形，此項不符題意；

D、不是中心對稱圖形，此項不符題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形，熟記中心對稱圖形的定義(在平面內(nèi)，把一個圖形繞

某點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個圖形重合，那么這兩個圖形互為中心對稱圖

形)是解題關(guān)鍵.

2.把一元二次方程/一2%—4=0配方后，下列變形正確的是()

A.(X-2)2=5B.(%-2)2=3C.(X-1)2=5D.

(x-1)2=3

【答案】C

【解析】

【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案.

2

【詳解】X-2X-4=0.

/-2尤+1-1-4=0，

(1)2=5,

故選C.

【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，準確掌握方法是本題的關(guān)鍵.

3.若點4-3,%)，8(1,%)都在直線>=%+5上，則為與必的大小關(guān)系是()

A.y>y2B.y=%C.x<y2D.無法比

較大小

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性：當左>0時，y隨X的增大而增大；當％<0時，y隨X的

減小而減小；即可作答.

【詳解】解：???左=1>0,

隨x的增大而增大；

：-3<1,

M<%?

故選：C

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性，熟練掌握一次函數(shù)的增減性的判斷是解題的關(guān)

鍵.

4.如圖，將一ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100。，得到VAOE.若點。在線段的延長線

上，則的度數(shù)為()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出43=4)，ZBA￡>=100。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì):

等邊對等角，可求出的大小.

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB=AD，NR4￡>=10()。，

ZABD=ZADB=1(180°-l00°)=40°.

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合，利用等腰三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

5.在“雙減政策”的推動下，某校學(xué)生課后作業(yè)時長有了明顯的減少.去年上半年平均每

周作業(yè)時長為4分鐘，經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次調(diào)整后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時長比

去年上半年減少了70%,設(shè)每半年平均每周作業(yè)時長的下降率為x,則可列方程為()

A.a(l+x)2=70%aB.a(l-x)2=70%a

C.a(l+x)2=(l—70%)aD.a(l—x)2=(l—70%)a

【答案】D

【解析】

【分析】每半年平均每周作業(yè)時長的下降率為x,根據(jù)“經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩

次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時長比去年上半年減少了70%”，即可得出關(guān)于的一元二次

方程，此題得解.

【詳解】解：設(shè)每半年平均每周作業(yè)時長的下降率為x,

去年上半年平均每周作業(yè)時長為〃分鐘，

去年下半年平均每周作業(yè)時長為。(1一%)分鐘，

今年上半年平均每周作業(yè)時長為4(1一了)2分鐘，

現(xiàn)在平均每周作業(yè)時長比去年上半年減少了70%,

—x)2=(l-70%”，故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確地列出一

元二次方程是解題的關(guān)鍵.

6.在5次英語聽說機考模擬練習(xí)中，甲、乙兩名學(xué)生的成績(單位：分)如下：

甲3237403437

乙3635373537

若要比較兩名學(xué)生5次模擬練習(xí)成績誰比較穩(wěn)定，則選用的統(tǒng)計量及成績比較穩(wěn)定的學(xué)生

分別是()

A.眾數(shù)，甲B.眾數(shù)，乙C.方差，甲D.方差，

乙

【答案】D

【解析】

【分析】判斷成績的穩(wěn)定性，選用的統(tǒng)計量是方差，再計算出方差比較即可.

【詳解】解：判斷成績的穩(wěn)定性，選用的統(tǒng)計量是方差，

——1

A；p=-(32+37+40+34+37)=36(分)，

—1

歷=一(36+35+37+35+37)=36(分)；

乙5

,1

席=1[(32-36)2+(37-36)2+(40-36)2+(34-36)2+(37-36)2]=7.6,

1

5￡7=-[(36-36)2+(35-36)2+(37-36)2+(35-36)2+(37-36)2]=0.8,

7.6>0.8,

所以乙的成績更穩(wěn)定，

故選：D.

【點睛】本題考查方差與平均數(shù)，一般地設(shè)〃個數(shù)據(jù)，XI,X2,…X”的平均數(shù)為最，則方差

^-[(XI-X)2+-X)2+…+(X?-X)2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越

n

大，波動性越大，反之也成立.熟練掌握方差的定義是解題的關(guān)鍵.

7.若關(guān)于x的一元二次方程/+%+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則根的值可以是()

A.4B.2C.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=『_4">0,然后解關(guān)于m的不等式，最后對各選項

進行判斷.

【詳解】解：根據(jù)題意得△=--4〃7>0，

解得：m<~,四個選項中符合要求的只有-1,故D正確.

4

故選：D.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ox?+加+c=o(aRO)的根與

△=〃-4ac有如下關(guān)系：當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0時，方程

有兩個相等的實數(shù)根；當八<0時，方程無實數(shù)根.

8.如圖，在長方形ABCQ中，A8=6,AO=4,DM=2,動點尸從點A出發(fā)，沿路徑

ATBTCTM運動，則△AMP的面積y與點尸經(jīng)過的路徑長x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示

大致是()

【解析】

【分析】根據(jù)題意找到點P到達D、C前后的一般情況，列出函數(shù)關(guān)系式即可.

【詳解】解：由題意可知

當0WxK6時，y=；?AP=；-4x=2x,

當6WxW10時,

當10WxW14時，y=；x4（14-x）=28-2x.

根據(jù)函數(shù)解析式，可知D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查列函數(shù)關(guān)系式以及函數(shù)圖象性質(zhì)，解答關(guān)鍵是確定動點到達臨界點

前后的圖形變化規(guī)律.

二、填空題

9.一元二次方程X2-4=0的解是.

【答案】x=±2

【解析】

【詳解】移項得X2=4,

.*.x=±2,

故答案是：x=±2.

10.已知正比例函數(shù)^=丘的圖象經(jīng)過第二，四象限，請寫出一個符合條件的函數(shù)表達式

【答案】y=-2x（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得出K0求解即可.

【詳解】解：???正比例函數(shù)產(chǎn)射的圖象經(jīng)過第二，四象限，

：.k<0,

，函數(shù)解析式為：y=-2x,

故答案為：尸-2x（答案不唯一）

【點睛】本題主要考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

11.若關(guān)于X的一元二次方程依2+云+1=0（。。0）的一個解是x=],則2022-。一。的

值是.

【答案】2023

【解析】

【分析】把x=l代入方程得到關(guān)于“，。的等式，再整體代入求值.

【詳解】解：把x=l代入方程得：a+b+1^0,

即a+b=-l,

原式=2022-（a+匕）=2022-（-1）=2023.

故答案為：2023.

【點睛】本題考查一元二次方程的解的定義，聯(lián)系代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是利用整體代入

的思想求出代數(shù)式的值.

12若點人（4,〃）與點3（〃?,2）關(guān)于原點對稱，則機+〃=.

【答案】-6

【解析】

【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)（橫坐標、縱坐標均互為相反數(shù)）得出，"，"的

值，進而得出答案.

【詳解】解：???點A（4,〃）和點6（加,2）關(guān)于原點對稱，

/.m=-4,〃=—2,

,\m+n=-4+（—2）=-6.

故答案為：-6.

【點睛】本題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的符號關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

13.甲、乙、丙、丁四人參加滑雪比賽，經(jīng)過三輪初賽，他們的平均成績相同，方差分別

是吊=0.2,S2=0.15,*=0.25,《=0.4,你認為成績更穩(wěn)定的是.

【答案】乙

【解析】

【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定即可求解.

【詳解】解:甲2=0.2,s42=0.15,s丙2=0.25,s丁2=0.4,

方差最小的為乙，

二成績更穩(wěn)定的是乙.

故答案為：乙.

【點睛】本題考查了方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表

明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)

據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

14.如圖，△COD是繞點。順時針旋轉(zhuǎn)40。后得到的圖形，若點C恰好落在A8

上，且N48的度數(shù)為90°,則/A的度數(shù)是，的度數(shù)是.

【答案】①.70°##70度②.600##60度

【解析】

【分析】根據(jù)△C8是.AQB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)40。后得到的圖形，可得

ZAOC=ABOD=AO°,AO=CO,求出NBOC=10°,ZACO=10°,運用外角性

質(zhì)求出的度數(shù)，即可求出NT）的度數(shù).

【詳解】解：COO是以O(shè)B繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，

...ZAOC=Z5OD=40°,AO=CO,ZD=/B，

ZA=ZACO=1(180°-40°)=70°

ZAOD=90°

ZBOC=90°—40°x2=10°,

:"B=ZACO-/BOC

=70°-10°

=60。，

...ZT>=ZB=60°.

故答案為：70°；60°.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角

的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是抓住變換過程中不變量，靈活運用外角性

質(zhì)解答.

15.若某等腰三角形的底和腰的長分別是一元二次方程f一9%=一14的兩根，則這個等腰

三角形的周長是.

【答案】16

【解析】

【分析】先利用因式分解法解方程得到m=7,2=2,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出底

和腰，然后計算三角形的周長即可.

【詳解】解：？-9x=-14.

/一9%+14=0，

(x-7)(x-2)=0,

x-7=0或無-2=0,

X]=7,4=2,

?；等腰三角形的底和腰的長分別是一元二次方程X2-9X=-14的兩根，

又?；2+2=4<7,不符合三角形的三邊關(guān)系，

等腰三角形的底為2,腰是腰

則等腰三角形的周長為：7+7+2=16.

故答案為：16.

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)

系，解得關(guān)鍵是利用因式分解法求出方程的兩個根玉=7,X,=2.

16.如圖，在RMA8C中，/4CB=90。，AC=4,8C=3,點。是AC的中點，將C￡>繞著

點C逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中點。的對應(yīng)點為點E,連接4瓜BE,則A4EB面積的

最小值是.

【答案】1

【解析】

【分析】作CH_LA5于”，如圖，先利用勾股定理計算出A6=5,再利用面積法計算

12

出C”=不，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=2,然后利用E點在線段"C上時，點E到AB

的距離最小，從而可計算出的面積的最小值.

【詳解】解：作C"_LA3于4,如圖，

ZACB=9G°,AC=4,BC=3,

,-.AB=V32+42

.-CH.AB^-AC.BC,

22

."迎=”，

105

點。是AC的中點，

..8=2,

將8繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中點D的對應(yīng)點為點E，

；.CE=2,即點E在以C為圓心，2為半徑的圓上，

點E在線段HC上時，點E到AB的距離最小，

II?

.?.AAEB的面積的最大值為5、（了-2）X5=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連

線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了勾股定理.

三、解答題

17.解方程：

(1)x+2=x(x+2)

(2)2X2-7X+6=0

【答案】(1)為=-2,x2=1

3

(2)々=2,x2=—

【解析】

【分析】(1)利用因式分解法求解可得;

(2)利用因式分解法求解可得.

【小問1詳解】

解：x+2=x(x+2),

(x+2)-+2)-01

(x+2)(l-x)=0,

.*.x+2=0或l—x=O,

；.&=-2,—I;

【小問2詳解】

2/-7x+6=0，

(%-2)(2%-3)=0,

x—2=0或2x~3-0,

【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方

法是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，將格點繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)角a(0<a<180°)

得到格點-ECD,點A與點E,點。與點C,點B與點。是對應(yīng)點.

（1）請通過畫圖找到旋轉(zhuǎn)中心，將其標記為點M,并寫出點M的坐標;

（2）直接寫出旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù).

【答案】（1）畫圖見解析，M（2,2）

（2）90°

【解析】

【分析】（1）畫出對應(yīng)點連線段AE和OC的垂直平分線的交點例，即為旋轉(zhuǎn)中心，從而得

到坐標；

（2）根據(jù)對應(yīng)點A和E與旋轉(zhuǎn)中心M的連線所成的角即為旋轉(zhuǎn)角，由圖像可直接得出.

【小問1詳解】

解：如圖，旋轉(zhuǎn)中心M即為所求，

M（2,2）；

【小問2詳解】

旋轉(zhuǎn)角為a=NAME=90。.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)畫圖，旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，解題的關(guān)鍵是理解對應(yīng)點連線段的垂

直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心.

19.如圖，在一ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB邊上一點（點。與A,B不重

合)，連接CO,將線段CO繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接OE交3C于點尸,

連接3E.

C

(1)求證：YACD^VBCE；

(2)當N3DE=25°時，求ZBED的度數(shù).

【答案】(1)見解析(2)ZBED=65°

【解析】

【分析】(1)由題意可知：CD=CE,NDCE=90，由于NACB=90，從而可得

ZACD=ZBCE,根據(jù)SAS即可證明NACD^/BCE；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NA=NA6C=；x(180°—90°)=45°,再由全等三

角形的性質(zhì)得出NC5E=NA=45°,求出NA5E=NA3C+NC8E=90°,根據(jù)直角三

角形兩銳角互余即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：CD=CE,NDCE=90，

ZACB=90.

ZACD+ZDCB=ZBCE+ZDCB=90°,

:.NACD=NBCE,

在，ACO與，BCE中，

AC^BC

<ZACD=NBCE,

CD=CE

：.AACD也ABCE(SAS)；

【小問2詳解】

解：VZACB=90°,AC=BC,

ZA=ZABC=-x(180°-90°)=45°

2

,/△ACO也△BCE,

NCSE=ZA=45°,

，ZABE=ZABC+NCBE=90°,

???ABDE=25°,

：.ABED=90°-25°=65°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).

20.在平面直角坐標系xOy中，已知直線A6與x軸交于點A(2,0),與y軸交于點8(0,1).

(1)求直線A3的解析式；

(2)若x軸上有一點C,且〃ABC=2，求點C的坐標.

【答案】(1)y=--x+\

2

(2)點C的坐標(6,0)或(一2,0)

【解析】

【分析】(1)設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,把點A(2,0)與點6(0,1)代入解方程組

即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)點C的坐標(a,0),根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

解：設(shè)直線A8的解析式為：y=kx+b,

(2k+b=Q

把點A(2,0)與點3(0,1)代入得，〈

b=l

k=-L

：.<2

b=1

直線AB的解析式為：y=--x+\；

2

小問2詳解】

解：設(shè)點C的坐標(。,0),

??V=2

.,--|a-2|xl=2,

211

解得：。=6或。二一2,

.?.點C的坐標(6,0)或(一2,0).

V

【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與三角形面積的應(yīng)

用，利用三角形面積公式建立等式求出C的橫坐標是解題的關(guān)鍵.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程X2+(2/〃+l)x+m2=0有實數(shù)根.

(1)求，*的取值范圍；

(2)若該方程的兩個根都是擎藜，寫出一個符合條件的機的值，并求此時方程的根.

【答案】(1)m>—

4

(2)當加=2時，方程的兩個整數(shù)根為玉=-4,x2=-l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)根的判別式即可求出”的取值范圍；

(2)根據(jù)題意寫一個的值，然后代入方程求出方程的根即可.

【小問1詳解】

解：???關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+l)x+根2=o有實數(shù)根，

，△=—4?c>0>

即(2m+1)2-4m220,

解得：m>—.

4

【小問2詳解】

.-2m-1±V4/71+1

解：?x=-----------------，

2

由題意，A=4〃z+1是平方數(shù)，

設(shè)加=2,

原方程為f+5x+4=0，

即(x+l)(x+4)=0,

x+4=0或x+l=0,

解得：%=-4,x2=-1.

...當m=2時，方程的兩個整數(shù)根為玉=-4,x,=-l.

【點睛】本題主要考查的是一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法，掌握當

△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，是解題的關(guān)鍵.

22.2022年冬奧會吉祥物冰墩墩深受人們喜愛，冬奧會特許商店將進貨價為每個30元的冰

墩墩飾品以40元的價格售出，平均每月能售出600個，調(diào)查表明：這種冰墩墩飾品的售價

每上漲1元，其銷售量就減少10個，同時規(guī)定售價在40?60元范圍內(nèi)，為了實現(xiàn)銷售這種

飾品平均每月10000元的銷售利潤，每個飾品應(yīng)定為多少元？

【答案】每個飾品應(yīng)定為50元

【解析】

[分析】設(shè)每個飾品應(yīng)定為x元，根據(jù)總利潤10000元=每個的利潤x銷售量列出方程,

解方程即可.

【詳解】解：設(shè)每個飾品應(yīng)定為x元，根據(jù)題意得：

(x-30)[6(X)-K)(x-40)]=1000(),

解得：%=50,x2=80,

規(guī)定售價在4()?60元范圍內(nèi)，

...々=80舍去，

答：每個飾品應(yīng)定為50元.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

總利潤10000元=每個的利潤x銷售量，列出方程.

23.在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)丁="+仇攵。0)圖象平行于直線y=

且經(jīng)過點A(2,2).

(1)求這個一次函數(shù)的表達式：

(2)當x<2時，對于x的每一個值，一次函數(shù)>="+僅%H0)的值大于一次函數(shù)

y=如一1(加。0)的值，直接寫出機的取值范圍.

【答案】(1)y=

13

(2)—<m<—

22

【解析】

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)圖象平移時力不變可知A=再把點4(2,2)代入求出人

2

的值，進而可得出結(jié)論.

(2)由函數(shù)解析式y(tǒng)=1(m*0)可知其經(jīng)過點(0,-1),由題意可得臨界值為當

x=2,兩條直線都過點A(2,2),將點A(2,2)代入到一次函數(shù)>=如一1(機。0),

可求出，〃的值，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)即可得出m的取值范圍.

【小問1詳解】

解：..,一次函數(shù)丫=履+"伙工0)的圖象與函數(shù)y=gx的圖象平行，

k=—,

2

,.,一次函數(shù)y=+b的圖象過點A(2,2),

2——x2+/??

2

/.Z?=1,

這個一次函數(shù)的表達式為y=1；

【小問2詳解】

對于一次函數(shù)丁=3一1(加。0),當％=0時，有y=—l,可知其經(jīng)過點(0,-1).

當x<2時，對于x的每一個值，一次函數(shù),=依+伙左。0)的值大于一次函數(shù)

y=如一1(〃2。())的值，即一次函數(shù)y=依+8伏。())圖象在函數(shù)y=如一1(m。0)的圖

像上方，由下圖可知：

臨界值為當x=2時，兩條直線都過點4(2,2),

將點A(2,2)代入到函數(shù),=如一1中

3

可得2=2〃?-1,解得加=—,

2

3

結(jié)合函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，當x<2,—時，一次函數(shù),=丘+。伏。0)的值大于一

2

次函數(shù)>=〃a-1（機。0）的值，

又?..如下圖，當加<0時，，根據(jù)一次函數(shù)的圖象可知，不符合題意.

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，熟

練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題是解題關(guān)鍵.

24.某年級共有300名學(xué)生，為了解該年級學(xué)生A,8兩門課程的學(xué)習(xí)情況，從中隨機抽取

60名學(xué)生進行測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分

析.下面給出了部分信息.

".A課程成績的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成6組：40<X<50.50<x<60,60<x<70,

c.A,B兩門課程成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

課程平均數(shù)中位數(shù)方差

A75.8m4.5

B72.2709.8

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

（I）寫出表中機的值；

(2)在此次測試中，某學(xué)生的A課程成績?yōu)?6分，8課程成績?yōu)?1分，這名學(xué)生成績排

名更靠前的課程是(填“A”或"B”)，理由是；

(3)假設(shè)該年級學(xué)生都參加此次測試，估計A課程成績超過乃.8分的人數(shù).

【答案】(1)加=78.25

(2)該學(xué)生的成績小于4課程的中位數(shù)，而大于8課程的中位數(shù)

(3)該年級學(xué)生都參加測試，估計A課程分數(shù)超過75.8的人數(shù)為170人

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)的概念直接進行計算即可；

(2)根據(jù)成績和中位數(shù)的關(guān)系即可知道排名更靠前的課程；

(3)用總?cè)藬?shù)300乘以抽取的學(xué)生中4課程成績超過75.8分的比例即可.

【小問1詳解】

解：課程總?cè)藬?shù)為2+8+12+14+18+6=60(人)，

中位數(shù)為第30、31個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第30、31個數(shù)據(jù)均在704x<80這一組，

.?.中位數(shù)在704x<80這一組，

；704x<80這一組的是：707171717676777878.578.579797979.5,

78+78S

.??A課程的中位數(shù)為------=78.25,即加=78.25；

2

【小問2詳解】

解：???該學(xué)生的成績小于A課程的中位數(shù)，而大于B課程的中位數(shù)，

???這名學(xué)生成績排名更靠前的課程是8，

故答案為：B；該學(xué)生的成績小于A課程的中位數(shù)，而大于8課程的中位數(shù).

【小問3詳解】

解：抽取的60名學(xué)生中.A課程成績超過75.8的人數(shù)為34人.

34

A—x300=170(人)

60

答：該年級學(xué)生都參加測試，估計4課程分數(shù)超過75.8的人數(shù)為170人.

【點睛】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，用樣本估計總體，熟練掌握中位數(shù)的計

算方法和意義是解題的關(guān)鍵.

25.閱讀材料：把形如qf+法+c的二次三項式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方

法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a?+2ab+b2=(a+.

例如：①我們可以將代數(shù)式。2+6“+1()進行變形，其過程如下：

片+6。+10=(片+6小10=(/+6。+9)+1()-9=3+3)2+1

V(a+3)2>0,

(a+3)2+l>l,

因此，該式有最小值1.

材料二：我們定義：如果兩個多項式A與8的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱A是8的

“雅常式”，這個常數(shù)稱為4關(guān)于B的“雅常值”.如多項式4=爐+2%+1,

B=(x+4)(x2),

A-fi=(x2+2x+l)-(x+4)(x-2)=(x2+2x+l)-(x2+2x-8)=9,

則A是B的“雅常式”，A關(guān)于B的“雅常值”為9.

(1)己知多項式1，D=(%+2)(x-l),則C關(guān)于。的'‘雅常值”是

(2)已知多項式M=(x-a)2,N=x2-2x+h(m6為常數(shù))，M是N的'‘雅常

式”，且N的最小值為—2,求M關(guān)于N的“雅常值”.

【答案】(1)1(2)M關(guān)于N的“雅常值”為2

【解析】

【分析】(1)先計算C一。=1，再根據(jù)“雅常式”定義即可判斷C是。的“雅常式”，

并求出C關(guān)于。的“雅常值”；

(2)先求出M-N=(-2a+2)x+a2-8,由M是N的“雅常式”，得出一2。+2=0,

得出。=1,由x為實數(shù)時，N的最小值為一2,得出一1+8=-2,求出人=-1,進而求出

M-N=2.

【小問1詳解】

解：■:C—D—+x—1—(x+2)(x—1)

=(爐+x-1)-任+X-2)

—%2+x—1-%2—x+2

=1,

???C關(guān)于。的“雅常值”是1；

故答案為：1.

【小問2詳解】

解：???M是N“雅常式”，

：.M-N=(x-6z)"_(犬2_2x+Z?)

=(12_2cix+a』)—(12—+b)

—f—2tzx+cr—+2x—h

—(—2Q+2)x+a2—b,

—2ci+2=0,

??ci=1?

VN=x2-2x+b=(x—l)2—l+b，且N的最小值為一2，

—1+Z?=-2,

Z?=-1,

：.M-N=cr-b=\-{-\)=2,

關(guān)于N的“雅常值”為2.

【點睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用、整式的加減運算、新定義運算，理解A是8的

“雅常式”的定義是解決本題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標系xO)，中，直線=與坐標軸分別交于A(2,0),8(0,4)兩

點.將直線4在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余的部分保持不變，得到一個新的圖形，

這個圖形與直線l2：y=s(x-4)(加豐0)分別交于點C,D.

(1)求&,b的值；

(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記線段AC,CD,D4圍成的區(qū)域(不含邊界)

為W.

①當m=\時，區(qū)域W內(nèi)有個整點；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有3個整點，直接寫出，〃的取值范圍.

伏=—2

【答案】(1)〈，”

"4

(2)1；\<m<-

4

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求得直線4：y=&+人的解析式；

(2)①畫出圖象，確定點B關(guān)于x軸的對稱點及與直線/2：丁=加(％-4)(機工0)的交點

C,根據(jù)圖象可求解；②利用圖象找到區(qū)域W內(nèi)恰好有1個整點和恰有3個整點時的〃?的

取值即可求解.

【小問1詳解】

?.?直線/,:y=履+人與坐標軸分別交于A(2,0),8(0,4)兩點，

2%+8=0

[b=4

k=-2

解得《，且y=—2x+4.

。=4

【小問2詳解】

如圖所示，點B關(guān)于x軸的對稱點坐標為(0,-4)

當帆=1時，直線/2的解析式為y=x-4,恰好過(0,-4),即為交點C,此時區(qū)域W內(nèi)有1

個整點E,

故答案為：1

如圖所示，當機=1時.，直線/2的解析式為y=x-4,恰好經(jīng)過整點G,F,

當直線/2：)?=根(％—4)(m彳0)恰好經(jīng)過整點〃時，區(qū)域W內(nèi)恰有3個整點，此時把整點

”的坐標(0,-5)代入4：，=加。-4)(加工0)得，-4/n=-5,

解得m=-,

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用圖象求解問題，通過畫圖象確定臨界點

是解題的關(guān)鍵.

27.在_ABC中，ZABC=90°,BA=BC,點、D為線段AC上一點，將線段BD繞點、B

順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE,連接。E.

D,D,

CUCB

備用圖

（i）①請補全圖形：

②直接寫出CD,AD,&）之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）取AD中點F，連接防、CE,猜想CE與防的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）圖見解析，AD2+CD2=DE2

（2）CE=2BF,CE工BF,證明見解析

【解析】

【分析】（1）如圖，連接AE,證明一BC哈-8AE,得到，AE=CD,ZBAE=ZC,

推出ZDAE=90°,即可得出C￡>,AO,之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖，設(shè)BF交CE于H,延長防至G,使GF=BF,連接AG,證明

BCD^&LE（SAS）和_G48絲EBC（SAS）,即可得證.

【小問1詳解】

解：①補全圖形如下：

V將線段BD繞點、8順旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BE,

:.ADBE=90°,BD=BE，

■：NCBA=90°,

，ZCBD+/DBA=ZABE+/DBA,

：.ZCBD=ZABE,

又???AB=BC,

；-BCD^_BAE(SAS),

：.AE=CD,ZBAE=NC,

?：NC+NC4B=90。，

AZBAE+ZC4B=90°,即：ZT>AE=90°,

AD2+AE2^DE2>

:.AD2+CD2=DE\

【小問2詳解】

CE=2BF,CE上BF,證明如下：

如圖，設(shè)BF交CE于H,延長防至G,使GF=B/，連接AG,

：尸是45中點，

：.AF=DF，

?:FG=BF,ZAFG=ZDFB,

：.,AFG"DFB(SAS),

:./GAF=/FDB,AG=BD,

；BD=BE，

：.AG=BE,

VZABC=90°,BA=BC,

：.6c￡>=NC4B=45°,

二/FDB=ZDBC+ZDCB=N0BC+45。,

/.ZGAF^ZDBC+45°,

；?/GAB=ZGAF+ABAC=ZDBC+450+45°=ZDBC+90°

???NCBE=ZDBC+ZDBE=Z￡>SC+90°

.??NGAB=/CBE,

■：AB=BC,

：..GAB^,EBC(SAS),

；.BG=CE,ZABG=NBCE,

BG=2BF,

：.CE=2BF,

,/ZABG+ZGBC=90°.

/BCE+/GBC=90°，

：./BHC=90。,

：.CE±BF.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握旋轉(zhuǎn)