2023屆云南省玉溪市澄江縣一中高三第六次質(zhì)量考評(píng)數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆云南省玉溪市澄江縣一中高三第六次質(zhì)量考評(píng)數(shù)學(xué)試題試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在等腰直角三角形A8C中，NC=^,C4=2后，。為A3的中點(diǎn)，將它沿CO翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)3間的距離

2

為2出，此時(shí)四面體A8CO的外接球的表面積為（）.

A.5兀B.迎叵兀C.12萬(wàn)D.20%

3

2.已知函/(九)=(sinx+cosx)?+2cos?x,xs,則/（力的最小值為（)

A.2-72B.1C.0D.-V2

x>0

y>0

3.已知x,y滿足不等式,且目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則f的取值范圍（)

x+2y<t

2x+y<4

A.[2,4]B.[4,6]C.[5,8]D.[6,7]

4.為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)繪制如圖，其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù).若

該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.該市總有15000戶低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶

C.在該市無(wú)業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶

D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶

5.單位正方體耳G2,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段白螞蟻爬

地的路線是441-401一黑螞蟻爬行的路線是A8-8W--,它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段

所在直線必須是異面直線（延尸）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞

蟻的距離是（）

A.1B.y/2C.百D.0

6.設(shè)過(guò)點(diǎn)P（x,y）的直線分別與x軸的正半軸和），軸的正半軸交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于，軸對(duì)稱，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若BP=2PA，且0Q-A3=l,則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

33

A.^x2+3y2=l（x>0,^>0）B.^-x2-3y2=l（x>0,y>0）

33

C.3x2-^y2=l（x>0,^>0）D.3d+萬(wàn),2=]（x〉o,y〉o）

7.若函數(shù).丫=25山（2乂+e）|同<1^的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（看,0],則函數(shù)/（x）=s譏（2x—°）+cs（2x一夕）圖象的一條

對(duì)稱軸的方程可以為（）

7T37417413?

A.X=-------B.x=------C.x=------D.x=--------

24242424

y=lgsinx+79-x2j,則/(x)=cos2x+2siru,

8.已知集合A=xXGA的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.Ll-4D.,2

9.如圖，長(zhǎng)方體ABCO-A耳G2中,2AB=3AA]=6,AP=2PB~點(diǎn)丁在棱AA上，若7PL平面P5C.則

tilluuu

TP?B、B=()

C.2D.-2

/（%）是定義在（0,+“）上的增函數(shù)，且滿足：/（X）的導(dǎo)函數(shù)存在，且犬則下列不等式成立的是（

10.

A.”2)<2/(1)B.3/(3)<4/(4)

C.2/(3)<3/(4)D.3/(2)<2/(3)

11.已知底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1的直四棱柱A8CO-A4G。中，尸是上底面A/|GR上的動(dòng)點(diǎn).給

出以下四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①與點(diǎn)。距離為G的點(diǎn)p形成一條曲線，則該曲線的長(zhǎng)度是]；

②若DP〃面ACB,,則OP與面ACGA所成角的正切值取值范圍是半，、回；

③若DP=5則DP在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為60.

A.0B.1C.2D.3

12.已知i是虛數(shù)單位，則三?三=（）

A.4二B.：——二C.+二D.二

JJIJ21JJ

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；

隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金.若隨機(jī)變量卻和晶分別

表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則O（酊）=,E（酊）-E（&）=.

14.如果拋物線V=2內(nèi)上一點(diǎn)A（4,m）到準(zhǔn)線的距離是6,那么山=.

x-l<0

15.變量工，）’滿足約束條件,x+y+120,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是一.

[x-y+3>0

16.如圖，在菱形48co中，43=3,ZBAD=60°,E,尸分別為8C,C。上的點(diǎn)，CE=2EB,CF=2FD,若線段E尸

上存在一點(diǎn)M,使得AM=xA3+gAD（xeR）,貝口=,AMBD=.（本題第1空2分，

第2空3分）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

8

X---------

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為2,（/為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正

4f

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2sin8.

（1）求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程;

TT

(2)若射線e(2>0)與/和C分別交于點(diǎn)A8,求|AB|.

4

22

18.(12分)已知橢圓E：「+與=](。>力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳和尸2,右頂點(diǎn)為A,且|人耳|=3,短軸

a~b~

長(zhǎng)為2vL

(1)求橢圓E的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)A作垂直x軸的直線/,點(diǎn)T為直線/上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn)，過(guò)F?作"；的垂線交橢圓￡于點(diǎn)P和

Q,當(dāng)幽=述時(shí)，求此時(shí)四邊形7P耳。的面積.

\PQ\24

19.(12分)記拋物線。：丁=2內(nèi)5>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。,E在拋物線C上，且直線DE的斜率為1,當(dāng)直線OE

過(guò)點(diǎn)F時(shí)，1。后卜4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若G(2,2),直線DO與EG交于點(diǎn)H,D/+EI=0,求直線印的斜率.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且點(diǎn)(〃,S,,)(〃eN*)在函數(shù)丫=2川—2的圖像上；

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足：4=0,%+2=%，求也｝的通項(xiàng)公式；

(3)在第(2)問(wèn)的條件下，若對(duì)于任意的〃eN*,不等式包<九〃川恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍；

21.(12分)如圖，在四棱錐fi48C￡>中，RiJ_平面A5cO,ZABC=ZBAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為

PC的中點(diǎn).

(1)求異面直線AP,5"所成角的余弦值；

4

(2)點(diǎn)N在線段上，且AN=2,若直線MN與平面所成角的正弦值為不，求2的值.

22.(10分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會(huì)上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張

明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個(gè)人擊中鼓則得積分100分，沒(méi)有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計(jì)分.

已知張明每次擊中鼓的概率為士3，王慧每次擊中鼓的概率為2一；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設(shè)張明

43

和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.

(1)若家庭最終積分超過(guò)200分時(shí)，這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)，問(wèn)張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全

自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是多少？

(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和百的分布列和數(shù)學(xué)期望E記).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

如圖，將四面體ABC。放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.

【詳解】

A4BC中，易知AB=4,CD=AD=BD=2

翻折后AB=2y/3,

22+22-（273）2

￡

cos/ADB=

2x2x22

ZADB=120，

設(shè)MDB外接圓的半徑為r,

2百

=2r=4：.r=2,

sin120

如圖：易得CO，平面曲，將四面體ABC。放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體

外接球的半徑為R,

2222

7?=/+1=2+1=5，

四面體A3CD的外接球的表面積為S=4兀R2=2()4.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,

比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.

2、B

【解析】

/(x)=V2sin(2x+-)+2,xe,一工42x+土〈紅利用整體換元法求最小值.

4L44J444

【詳解】

由已知，/(X)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=0sin(2x+?)+2,

一兀,兀乃一?！?7171兀，c,、,

又—<x<—,：.——<2x+—<一，故當(dāng)2x+—=——,即》=——時(shí)，/(x)min=L

44444444

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.

3、B

【解析】

作出可行域，對(duì)，進(jìn)行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值，即可求解.

【詳解】

當(dāng)k2時(shí)，可行域即為如圖中的AO4M,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y在A（2,0）取得最大值Z=18不符合題意

f>2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z=9x+6y在八x+2-y=，t的交點(diǎn)（——8T，-2--f---4-）處取得最大值，此時(shí)Z=f+16

2x+y=433

由題意可得，20M+16s22解可得4<t<6

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于

熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.

4、D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000xl2%=1800（戶），B正確，

該市無(wú)業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶），C正確，

該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶），D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)和分析，這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基

礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為1.計(jì)算黑螞蟻爬完2020段

后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，即可計(jì)算出它們的距離.

【詳解】

由題意，白螞蟻爬行路線為A4-A①一CC—C3一區(qū)4,

即過(guò)1段后又回到起點(diǎn)，

可以看作以1為周期，

由2020+6=3364,

白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；

同理，黑螞蟻爬行路線為

黑螞蟻爬完2020段后回到"點(diǎn)，

所以它們此時(shí)的距離為J5.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.

6-A

【解析】

設(shè)A,5坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出8P=2PA，從而可利用乂丁表示出。力；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出OQ-A3=1,代

入a,b整理可得所求的軌跡方程.

【詳解】

設(shè)A(a,O),B(O,b),其中a〉0,A>0

3x八

x-2(^a-xa=—>0

BP=2PA...(x,y-〃)=2(a—x,-y),即<2

y-b=-2y

b=3y>0

P,Q關(guān)于)‘軸對(duì)稱-.Q(-x,y)

OQ-AB—(—x,?{—a,b^-ax+by—1—x2+3y2=l(x>0,y>0)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平

面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.

7、B

【解析】

由點(diǎn)求得9的值，化簡(jiǎn)“X)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，求得了(x)的對(duì)稱軸，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由題可知2sin\2x^-+(p\=Q,\(f\<^-.(p=-^

\12)26

=>/2sinf2x4--^-

所以/(x)=sin\2x+&+cos2嗚=0sin----1——

I6I64

A—57r7i..

令2xH-------=—+kjr,keZ,

122

371k兀，)

得x=----1------,keZ

242

令攵=3,得x=

24

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，屬于中檔題.

8、A

【解析】

先求出集合A=(O,3],化簡(jiǎn)/(x)=—2sin2x+2sinr+l,令sinx=f?0,1],得g(f)=-2*+2/+1由二次函數(shù)的

性質(zhì)即可得值域.

【詳解】

Isinx>0/i/\

由Z爐〉0no<x?3,得A=(0,3_],”x)=cos2x+2sinr=-2sin2x+2situ：+l，令sinx=f,xe(0,3J,

.」e(0』],所以得g(t)=—2戶+2r+l,g(r)在1°，￡|上遞增，在(對(duì)上遞減，==|，所以

33

g(f)G1,-,即/(X)的值域?yàn)?,-

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題

9、D

【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知7PlpB;結(jié)合A0=2P4即可證明進(jìn)而求得力4I.由線段關(guān)系及平

UUUUU

面向量數(shù)量積定義即可求得7P-4B.

【詳解】

長(zhǎng)方體ABCO-AgG〃中，2AB=3/U1=6,

點(diǎn)7在棱441上，若7P_L平面PBC.

則7P_L依，AiP=2PBi

則ZPTAX=NBPB],所以AP7X]=\BPBX,

則必=P6]=1,

UHUUIT|UIT||UUII|

所以TP.耳8=TP?B|B?cosZPTA

=722+l2X2XJJ=-2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

根據(jù)/（X）是定義在（o,+。）上的增函數(shù)及m有意義可得廣（力＞0,構(gòu)建新函數(shù)g（x）=no,利用導(dǎo)數(shù)可得

J⑴x

g（x）為（（）,+e）上的增函數(shù)，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)椤癤）是定義在（0,+紇）上的增函數(shù)，故/（x）NO.

又m有意義，故尸（力看0,故r（x）＞0,所以“X）〈靖（X）.

令g(x)=小),

貝!lg，(x)=x2~~~~〉0，

故g（x）在（0,+力）上為增函數(shù)，所以g（3）＞g（2）即卓＞,

整理得到2〃3）＞3〃2）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.

11、C

【解析】

①與點(diǎn)。距離為石的點(diǎn)P形成以A為圓心，半徑為夜的1圓弧MN,利用弧長(zhǎng)公式，可得結(jié)論；②當(dāng)P在4（或

4

G）時(shí)，0P與面ACG4所成角ND4,。（或NOCQ）的正切值為在最小，當(dāng)尸在。時(shí)，ZJP與面ACG4所成角

3

Noq。的正切值為V2最大，可得正切值取值范圍是［中,夜］;③設(shè)P（x,y,1）,則/+/+1=3,即/+丁=2,

可得DP在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)，即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和.

【詳解】

如圖：

①錯(cuò)誤，因?yàn)镈F=jDp2-DD；=J（G『-12=&，與點(diǎn)。距離為6的點(diǎn)P形成以R為圓心，半徑為④的

1圓弧MN,長(zhǎng)度為工.2兀?&=走兀；

442

②正確，因?yàn)槊鍭OC"面AC與，所以點(diǎn)P必須在面對(duì)角線4G上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P在4（或G）時(shí)，0P與面ACG4

所成角ND4,。（或NOG。）的正切值為業(yè)最?。?。為下底面面對(duì)角線的交點(diǎn)），當(dāng)P在。時(shí)，0P與面ACGA

3

所成角N。。。的正切值為正最大，所以正切值取值范圍是當(dāng)；

③正確，設(shè)P（X,y,l）,貝!|尤2+/+1=3,即Y+y2=2,￡）P在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為"y2+1,

V+1A+

Jd+i,西+丫2,所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之2（Jy2+i+Jx2+i+&）?22J^'+V2=6五,

當(dāng)且僅當(dāng)尸在。時(shí)取等號(hào).

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

12、D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果

【詳解】

二二一二二?ZG-ZI,.二一二；

------+---------......—~~-+----------------=_**■**?+--------

2J+-Y（Z+Zi）（Z-：）--2

二I31

-7二+/,+=?;=：71

故選二

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、20.2

【解析】

分別求出隨機(jī)變量卻和&的分布列，根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.

【詳解】

設(shè)a,Z>e{l,2,1,4,5},則p（卻=a）=1,其前分布列為：

12145

2]_2

P

55555

E(第)=-x(1+2+1+4+5)=1.

5

D(6)=|x[(1-1)2+(2-1)2+(1-D2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

$=1.4|a-b|的可能取值分別為：1.4,2.3,4.2,5.6,

42332211

P?=1.4)=?=于/心=2.3)=?="P?=4.2)=￥=-,PU2=5.6)=苗=歷，可得分布列.

1.42.34.25.6

2321

P

5To1010

E（Q）=1.4x—F2.3x---F4.2x---F5.6x—2.3.

5101010

：.E⑹-E（晶）=0.2.

故答案為：2,0.2.

【點(diǎn)睛】

此題考查隨機(jī)變量及其分布，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率，根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.

14、±40

【解析】

先求出拋物線y2=2內(nèi)的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)A（4,〃。到準(zhǔn)線的距離為6,列出4+g=6,直接求出結(jié)果.

【詳解】

拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-g

由題意得4+4=6,解得p=4.

2

???點(diǎn)4(4,m)在拋物線y2=2px±.,

77i2=2x4x4>**?m=±4>/2，

故答案為：±4，^.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

15、5

【解析】

x+y+1=0x=-2

由＜可得<

x-y+3=0y=i

可得A(-2,1),

目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y變形為y=2x+z,

平移直線y=2x+z,

當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過(guò)A(-2,1)時(shí)，

可得2=—2犬+丁有最大值4+1=5,

故答案為5.

點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線)；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變

形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的定點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

13

16、--

22

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)EM=2EF，則

iI222/L12715

AM=AB+BE+EM=AB+~AD+AEF^AB+-AD+——{AD-AB)=(\——)48+(—+——)AD=xAB+-AD,所以

3333336

■,221

="X=215

,M〈，解得：，所以AM=；A8+5A￡>,從而有

13326

—I——A——

〔3364

15112591]53

AMBD^(-AB+-AD)(AD-AB^—ABAD一一AB'+-AD'--x3x3xcos60°——*9+—x9=」.

263263262

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)/：x+y-4=0(x*0)；C：x2+y2-2y=0.(2)\AB\=j2

【解析】

Q

(1)由工=上可得

2+t

8

x=---

由2：,消去參數(shù)f,可得直線/的普通方程為x+y-4=0(xw0).

4f

y=---

['2+r

由夕=2sin。可得夕2=20sin。，將y=/?sin6,爐=/十丁代入上式，可得/+y一？、二0,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為Y+y2-2y=0.

(2)由(1)得，/的普通方程為x+y-4=0(xK0),

7T

將其化為極坐標(biāo)方程可得0COSe+0sin6-4=0(8*]),

當(dāng)。=；S>0)時(shí)，p=2y[2,

APB=42,

所以|48|=|/-%|=|2應(yīng)一0|=及.

風(fēng)⑴<4=1⑵莘

【解析】

。+。=3

（1）依題意可得，解方程組即可求出橢圓的方程；

Q2=+C2

（2）設(shè)7（2,一根）（加工0）,則阻=及+1,設(shè)直線PQ的方程為工=沖+1,聯(lián)立直線與橢圓方程，消去工,設(shè)

P（芭,y）,。（々,必），列出韋達(dá)定理，即可表示IPQI,再根據(jù)四?=述求出參數(shù)〃?，從而得出“小。，最后

由點(diǎn)6到直線PQ的距離得到S”p0=S\F\PQ，由S四邊形7PGQ=SATPO+SgpQ=2s△TP0即可得解;

【詳解】

Q+C=3a=2

解：（1）<b=6解得

a2=b2+c2c=\

r2v2

???橢圓E的方程為土+匕=1?

43

（2）TAQ,。），.?.可設(shè)7（2,-機(jī)）（加工0）,，|*|=J"+].???%%=六=-m,

.?.心0=,，.?.設(shè)直線PQ的方程為x=/ny+l,

m

x=my+1

<x2y2，（3加+4）丁+6沖—9=0,顯然/>0恒成立.

----1----=1

143

設(shè)「（與，弘），。（￡，%），則%+%=告匕,[9

3m+43m+4

?'-IP。1=5（"々）2+（必-%）2=/〃?（弘-必）丁+（凹-必）2

=J"+|）[（y，+yjfT=J+七」

.幽=心.3蘇+4=3*+4=逑

[PQ12（m2+l）12A/^TT24，

二18機(jī)4一m2-17=0，.?.解得根2=],解得加=±1,

12V2

\TF2\=y/2,\PQ\^—,SSTPQ=~xy/2x^-=

7

?.?此時(shí)直線PQ的方程為x士y—l=0,耳（一1,0）,

...點(diǎn)到直線的距離為"

6PQ號(hào)3=收

25-24行

四邊形

,.S">40ATP。丁4MIPQ乙QATPQ_7

即此時(shí)四邊形TP^Q的面積為芋.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

19、(1)y2=2x(2)0

【解析】

(1)根據(jù)題意，設(shè)直線DE:y=x—與。：、2=22氏5>0)聯(lián)立，ny2-2py-p2=0,再由弦長(zhǎng)公式,

IOE|=Jl+5比一%|=4求解.

y2f_2

,2\二1

設(shè)。手,必百言,必根據(jù)直線的斜率為則yl

(2)￡|，DE1，,得到必+y=2,再由

2

I，722

2

DI+EI^O,所以線段。石中點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為y,=l,然后直線。O的方程y=1X與直線EG的方程

2,>

y=-------U-2)聯(lián)立解得交點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為y=1，說(shuō)明直線以///X軸，直線印的斜率為0.

必+，

【詳解】

P_則直線

(1)依題意，F(xiàn),oj,=x—g

2

y2=2px,

聯(lián)立p^y2-2py-p2=0

設(shè)。(石，乂)，以電，%)，

貝!||OE|=J1+」一%|=J1+*X](必+%)2-4%、2=3.2舟=4，

解得〃=1,故拋物線C的方程為y2=2x.

⑵D^2，y'

，%，

_2

因?yàn)橹本€OE的斜率為1,則21_片％+y，所以%+X=2,

T一萬(wàn)

因?yàn)椤?+￡7=()，所以線段DE中點(diǎn)I的縱坐標(biāo)為x=1.

V=上1-無(wú)2

直線。。的方程為'才，即y=-x

t,

G_%-2/2

直線EG的方程為了一=JT二"一，即丁=-----U-2)②

--------Z%+2

人-■

聯(lián)立①②解得2即點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)為力,=1,即直線H///X軸，

故直線HI的斜率為0.

如果直線EG的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，

綜上所述，直線小的斜率為0.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

20、(1)a?=2n(/?eNs)(2)當(dāng)“為偶數(shù)時(shí)，2=^+|2"2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，(3)(l,4w)

(33

【解析】

(D根據(jù)%=5“-2-，討論〃=1與〃22兩種情況,即可求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)由(1)利用遞推公式及累加法，即可求得當(dāng)〃為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)｛〃｝的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法，先猜想出通

項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

b

(3)分類討論，當(dāng)〃為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得廣的最大值，即可求得；I的取值范圍.

【詳解】

(1)由題意可知,S“=2--2.

當(dāng)心2時(shí)=Sn-S?_i=2向一2-(2"—2)=2%

當(dāng)〃=1時(shí),％=百=2,+1-2=2也滿足上式.

所以a”=2"(〃eN*).

(2)解法一：由(1)可知2+|+2=2"(〃eN*

即%+%=2人（心）

當(dāng)k=1時(shí)也+4=21①

當(dāng)攵=2時(shí)，優(yōu)+包=22,所以一優(yōu)一打=一22,②

當(dāng)攵=3時(shí),仇+々=23,③

當(dāng)攵=4時(shí)，仇+仇=24，所以也一包=-24,@

當(dāng)左=〃一1時(shí)，"為偶數(shù)bn+bn_x=2"-'

當(dāng)k=n時(shí),”為偶數(shù)所以一2一b,i=-2-'

以上〃-1個(gè)式子相加，得

d+4=2—2?+23—24+…+2”T^2[1-(-2)n']=—+

1-(-2)33

2"2

又偽=0,所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)血,=土+上.

33

同理，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

234,,-21(2)＞，

=2-2+2-2+----2'=["-']=

1-(一2)3

所以，當(dāng)“為-奇數(shù)時(shí)也=2土“-』2.

33

解法二：

猜測(cè)：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

nn22

bi=2-'-2-+---+2-2

猜測(cè)：當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，

1,22

Z,n=2"--2-+----2+2

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

"=1,命題成立；

假設(shè)當(dāng)〃=攵時(shí)，命題成立；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bk=-2=+…+22-2,

當(dāng)〃=k+1時(shí)，”為偶數(shù)，由bk+i+&=2人(ZeN*)得

k

bk+i=2-bk=2*-2*T+2卜2+…一2?+2

故,〃=A+1時(shí),命題也成立.

綜上可知，當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)2=土2"一女2

"33

同理，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.

六+|（〃為偶數(shù)）

（3）由（2）可知a=<

:一］（〃為奇數(shù)）

2"2

1-----1---

①當(dāng)，，為偶數(shù)時(shí),￡匚=齊土2"+213

=--1---:---,

%2__22n+,-222,,+|+2

33

bbb、

所以廣隨〃的增大而減小從而當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),~r~的最大值是片=1.

r_2

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)=33=r_-23

,,+In+l

b?+l2"M,22+：22+2

33

bb131?

所以廣n隨”的增大而增大，且A=3-訴f<3<l

%%22+22

b

綜上，工J的最大值是1.

%

因此,若對(duì)于任意的neN“，不等式”,<他用恒成立，只需4>1,

故實(shí)數(shù)X的取值范圍是（1,+8）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的

單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍，屬于難題.

21、(1)逅.⑵1

3

【解析】

(D先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量8M和向量AP的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.

(2,由AN=2,設(shè)N(0,2,0)(0<z<4),則MN=(—1，一L-2),再求得平面尸8c的一個(gè)法向量，利用直線MN

4_____IMN-mII-2—，I4

與平面尸因所成角的正弦值為二'由小(MN，Q尸而而飛5+(八1猿.&=二求解.

【詳解】

(1)因?yàn)?M_L平面A5C￡),且48,ADcYffiABCD,所以PALAD.

又因?yàn)镹8AO=9()。，所以如，AB,AO兩兩互相垂直.

分別以AS,AD,A尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則由AO=2A8=28C=4,Ri=4可得

A(0,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),尸(0,0,4).

又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以