版數(shù)學橢圓及其性質(zhì)

高考數(shù)學

(北京專用)第十章圓錐曲線

§10.1橢圓及其性質(zhì)A組自主命題·北京卷題組五年高考考點一橢圓的定義和標準方程1.(2019北京文,19,14分)已知橢圓C:

+

=1的右焦點為(1,0),且經(jīng)過點A(0,1).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為原點,直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP與x軸交于點M,直線

AQ與x軸交于點N.若|OM|·|ON|=2,求證:直線l經(jīng)過定點.解析本題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點,考查學生用方程思想、

數(shù)形結(jié)合思想、分類討論解決綜合問題的能力,體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算的核

心素養(yǎng).(1)由題意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以橢圓C的方程為

+y2=1.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線AP的方程為y=

x+1.令y=0,得點M的橫坐標xM=-

.又y1=kx1+t,從而|OM|=|xM|=

.同理,|ON|=

.由

得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.則x1+x2=-

,x1x2=

.所以|OM|·|ON|=

·

=

=

=2

.又|OM|·|ON|=2,所以2

=2.解得t=0,所以直線l經(jīng)過定點(0,0).2.(2017北京文,19,14分)已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為

.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.

求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.解析本題考查橢圓的方程和性質(zhì),直線的方程等知識,考查運算求解能力.(1)設(shè)橢圓C的方程為

+

=1(a>b>0).由題意得

解得c=

.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為

+y2=1.(2)證明:設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.直線AM的斜率kAM=

,故直線DE的斜率kDE=-

.所以直線DE的方程為y=-

(x-m).直線BN的方程為y=

(x-2).聯(lián)立

解得點E的縱坐標yE=-

.由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-

n.又S△BDE=

|BD|·|yE|=

|BD|·|n|,S△BDN=

|BD|·|n|,所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.易錯警示在設(shè)直線方程時,若設(shè)方程為y=kx+m,則要考慮斜率不存在的情況;若設(shè)方程為x=ty+n,則要考慮斜率為0的情況.考點二橢圓的幾何性質(zhì)1.(2019北京理,4,5分)已知橢圓

+

=1(a>b>0)的離心率為

,則

()A.a2=2b2

B.3a2=4b2

C.a=2b

D.3a=4b答案

B本題考查橢圓的標準方程及離心率;通過橢圓的幾何性質(zhì)考查學生的理解與運算

能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.由題意知

=e2=

,整理得3a2=4b2,故選B.易錯警示

橢圓與雙曲線中a、b、c關(guān)系的區(qū)別:(1)橢圓:b2+c2=a2;(2)雙曲線:c2=a2+b2.2.(2018北京,14,5分)已知橢圓M:

+

=1(a>b>0),雙曲線N:

-

=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為

;雙曲線N的離心率為

.答案

-1;2解析本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).解法一:如圖是一個正六邊形,A,B,C,D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點,F1,F2為橢

圓M的兩個焦點.

∵直線AC是雙曲線N的一條漸近線,且其方程為y=

x,∴

=

.設(shè)m=k,則n=

k,則雙曲線N的離心率e2=

=2.連接F1C,在正六邊形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.設(shè)橢圓的焦距為2c,則|CF2|=c,|CF1|=

c,再由橢圓的定義得|CF1|+|CF2|=2a,即(

+1)c=2a,∴橢圓M的離心率e1=

=

=

=

-1.解法二:雙曲線N的離心率同解法一.由題意可得C點坐標為

,代入橢圓M的方程,并結(jié)合a,b,c的關(guān)系,聯(lián)立得方程組

解得

=

-1

.方法總結(jié)

求橢圓和雙曲線的離心率的關(guān)鍵是通過其幾何性質(zhì)找到a,c所滿足的關(guān)系,從而求

出c與a的比值,即得離心率.3.(2015北京文,20,14分)已知橢圓C:x2+3y2=3.過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A,

B兩點,直線AE與直線x=3交于點M.(1)求橢圓C的離心率;(2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說明理由.解析(1)橢圓C的標準方程為

+y2=1.所以a=

,b=1,c=

.所以橢圓C的離心率e=

=

.(2)因為AB過點D(1,0)且垂直于x軸,所以可設(shè)A(1,y1),B(1,-y1).直線AE的方程為y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直線BM的斜率kBM=

=1.(3)解法一:直線BM與直線DE平行.證明如下:當直線AB的斜率不存在時,由(2)可知kBM=1.又因為直線DE的斜率kDE=

=1,所以BM∥DE.當直線AB的斜率存在時,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠1).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AE的方程為y-1=

·(x-2).令x=3,得點M

.由

得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=

,x1x2=

.直線BM的斜率kBM=

.因為kBM-1=

=

=

=0,所以kBM=1=kDE.所以BM∥DE.綜上可知,直線BM與直線DE平行.解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).當x1=x2=1,由(2)知,kBM=1.又kDE=

=1,所以BM∥DE.當x1≠1時,因為直線AB經(jīng)過點D(1,0),所以y2(x1-1)=y1(x2-1).兩邊平方并把

=

(i=1,2)代入,得到(3-

)(x1-1)2=(3-

)(x2-1)2,化簡得x1x2-2(x1+x2)+3=0.直線AE的方程為y-1=

(x-2),直線AE與x=3的交點M

.直線BM的斜率kBM=

=

=

=

.由x1≠1得y2=

,代入kBM的表達式,得到kBM=

=

=

=1.所以,kBM=kDE=1.綜上,直線BM與直線DE平行.4.(2014北京文,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點.若點A在直線y=2上,點B在橢圓C上,且OA⊥OB,求線段AB長度的最小值.解析(1)由題意,知橢圓C的標準方程為

+

=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故橢圓C的離心率e=

=

.(2)解法一:設(shè)點A,B的坐標分別為(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因為OA⊥OB,所以

·

=0,即tx0+2y0=0,解得t=-

.又

+2

=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=

+(y0-2)2=

+

+

+4=

+

+

+4=

+

+4(0<

≤4).因為

+

≥4(0<

≤4),且當

=4時等號成立,所以|AB|2≥8.故線段AB長度的最小值為2

.解法二:由題意可知直線OB的斜率一定存在.設(shè)直線OB的方程為y=kx,則直線OA的方程為ky=-x,將方程y=kx與橢圓C的方程聯(lián)立,得B

(不失一般性,都取“+”號),方程ky=-x與y=2聯(lián)立,得A(-2k,2).∴|AB|2=|OA|2+|OB|2=4+4k2+

=4+

+2+4k2≥4+2

=8.當且僅當k=0時,“=”成立,∴|AB|≥2

.故線段AB長度的最小值為2

.評析

本題考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)、點與橢圓的關(guān)系以及弦長問題的求解.考查方

程思想、函數(shù)思想以及整體代換思想的應(yīng)用,同時考查考生的運算求解能力.正確選擇參數(shù)是

解決本題的關(guān)鍵,再利用基本不等式求最值時應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍.B組統(tǒng)一命題·省(區(qū)、市)卷題組考點一橢圓的定義和標準方程1.(2019課標全國Ⅱ理,8,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓

+

=1的一個焦點,則p=

()A.2

B.3

C.4

D.8答案

D本題考查橢圓與拋物線的幾何性質(zhì);考查運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學運

算.∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標為

,∴由已知得橢圓

+

=1的一個焦點為

,∴3p-p=

,又p>0,∴p=8.思路分析

利用拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,建立關(guān)于p的方程,解方程得p的值.2.(2019課標全國Ⅰ理,10,5分)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.

若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為

()A.

+y2=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1答案

B本題考查了橢圓的定義、橢圓的方程和余弦定理的應(yīng)用,考查學生的運算求解能

力,考查了方程的思想方法,體現(xiàn)的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算,具有很好的創(chuàng)新性.設(shè)|F2B|=x(x>0),則|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2

F1①,在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠

BF2F1②,由①②得x=

,所以2a=4x=2

,a=

,所以b2=a2-c2=2.所以橢圓的方程為

+

=1.故選B.思路分析

由于涉及焦點,所以要利用橢圓的定義,通過解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1,故可得橢圓的方程.疑難突破

利用余弦定理靈活解三角形是突破口.靈活利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.3.(2018課標全國Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點.若PF1⊥PF2,且∠PF2

F1=60°,則C的離心率為

()A.1-

B.2-

C.

D.

-1答案

D本題主要考查橢圓的定義和幾何性質(zhì).不妨設(shè)橢圓方程為

+

=1(a>b>0).在Rt△F1PF2中,因為∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=

c.由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a,即

c+c=2a,所以橢圓的離心率e=

=

=

-1.故選D.疑難突破利用橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a,結(jié)合題意得到a與c的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵,也是

難點的突破口.4.(2017浙江,2,5分)橢圓

+

=1的離心率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì).由題意得,a=3,c=

,∴離心率e=

=

.故選B.易錯警示1.把橢圓和雙曲線中的a,b,c之間的關(guān)系式記混,而錯選A.2.把離心率記成e=

或e=

,而錯選C或D.5.(2015廣東,8,5分)已知橢圓

+

=1(m>0)的左焦點為F1(-4,0),則m=

()A.2

B.3

C.4

D.9答案

B依題意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.選B.6.(2019課標全國Ⅲ理,15,5分)設(shè)F1,F2為橢圓C:

+

=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為

.答案(3,

)解析本題考查橢圓的定義與幾何性質(zhì);考查了學生的運算求解能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法;

考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).不妨設(shè)F1,F2分別是橢圓C的左,右焦點,由M點在第一象限,△MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2

|,又由橢圓方程

+

=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=2×6=12,所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.設(shè)M(x0,y0)(x0>0,y0>0),則

解得x0=3,y0=

,即M(3,

).一題多解

依題意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cos∠MF1F2=

=

,則tan∠MF1F2=

.所以直線MF1的方程為y-0=

(x+4).設(shè)M(6cosθ,2

sinθ),因為M點在直線MF1上,所以2

sinθ=

(6cosθ+4),結(jié)合sin2θ+cos2θ=1且sinθ>0,cosθ>0得cosθ=

,sinθ=

,即M點的坐標為(3,

).7.(2016天津,19,14分)設(shè)橢圓

+

=1(a>

)的右焦點為F,右頂點為A.已知

+

=

,其中O為原點,e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若

BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率.解析(1)設(shè)F(c,0),由

+

=

,即

+

=

,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,橢圓的方程為

+

=1.(2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組

消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=

,由題意得xB=

,從而yB=

.由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有

=(-1,yH),

=

.由BF⊥HF,得

·

=0,所以

+

=0,解得yH=

.因此直線MH的方程為y=-

x+

.設(shè)M(xM,yM),由方程組

消去y,解得xM=

.在△MAO中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+

=

+

,化簡得xM=1,即

=1,解得k=-

,或k=

.所以,直線l的斜率為-

或

.評析

本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究

圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力以及用方程思想解決問題的能力.8.(2016四川,20,13分)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P

在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)不過原點O且斜率為

的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.解析(1)由已知,a=2b.又橢圓

+

=1(a>b>0)過點P

,故

+

=1,解得b2=1.所以橢圓E的方程是

+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=

x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程組

得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判別式為Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-

<m<

.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M點坐標為

,直線OM方程為y=-

x,由方程組

得C

,D

.所以|MC|·|MD|=

(-m+

)·

(

+m)=

(2-m2).又|MA|·|MB|=

|AB|2=

[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=

[(x1+x2)2-4x1x2]=

[4m2-4(2m2-2)]=

(2-m2),所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.評析

本題考查了橢圓的標準方程,橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系.9.(2015天津,19,14分)已知橢圓

+

=1(a>b>0)的上頂點為B,左焦點為F,離心率為

.(1)求直線BF的斜率;(2)設(shè)直線BF與橢圓交于點P(P異于點B),過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q(Q異于

點B),直線PQ與y軸交于點M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值;(ii)若|PM|sin∠BQP=

,求橢圓的方程.解析(1)設(shè)F(-c,0).由已知離心率

=

及a2=b2+c2,可得a=

c,b=2c.又因為B(0,b),F(-c,0),故直線BF的斜率k=

=

=2.(2)設(shè)點P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得橢圓的方程為

+

=1,直線BF的方程為y=2x+2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-

.因為BQ⊥BP,所以直線BQ的方程為y=-

x+2c,與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=

.又因為λ=

,及xM=0,可得λ=

=

=

.(ii)由(i)有

=

,所以

=

=

,即|PQ|=

|PM|.又因為|PM|sin∠BQP=

,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=

|PM|sin∠BQP=

.又因為yP=2xP+2c=-

c,所以|BP|=

=

c,因此

c=

,得c=1.所以,橢圓方程為

+

=1.評析

本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩條直線垂直等基礎(chǔ)知識.

考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力,以及用方程思想和化歸思想解決問

題的能力.10.(2015陜西,20,12分)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為

c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=

的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程.

解析(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到該直線的距離d=

=

,由d=

c,得a=2b=2

,解得離心率

=

.(2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.①依題意得,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=

.易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-

,x1x2=

.由x1+x2=-4,得-

=-4,解得k=

.從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=

|x1-x2|=

=

.由|AB|=

,得

=

,解得b2=3.故橢圓E的方程為

+

=1.解法二:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.②依題意得,點A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱,且|AB|=

.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

+4

=4b2,

+4

=4b2,兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2,所以AB的斜率kAB=

=

.因此直線AB的方程為y=

(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=

|x1-x2|=

=

.由|AB|=

,得

=

,解得b2=3.故橢圓E的方程為

+

=1.評析

本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的標準方程等基

礎(chǔ)知識,巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系或點差法構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程是求解的關(guān)鍵.考查學生的運

算求解能力及方程思想的應(yīng)用能力.考點二橢圓的幾何性質(zhì)1.(2018課標全國Ⅰ,4,5分)已知橢圓C:

+

=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì).由題意可知c=2,b2=4,∴a2=b2+c2=4+22=8,則a=2

,∴e=

=

=

,故選C.方法總結(jié)求橢圓離心率的常用方法:(1)求得a,c的值,直接代入e=

求解.(2)列出關(guān)于a,b,c的齊次方程,結(jié)合b2=a2-c2消去b,從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.2.(2018課標Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為

的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

D本題考查直線方程和橢圓的幾何性質(zhì).由題意易知直線AP的方程為y=

(x+a),①直線PF2的方程為y=

(x-c).②聯(lián)立①②得y=

(a+c),如圖,過P向x軸引垂線,垂足為H,則PH=

(a+c).

因為∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=

(a+c),所以sin60°=

=

=

,即a+c=5c,即a=4c,所以e=

=

.故選D.解題關(guān)鍵

通過解三角形得到a與c的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3.(2017課標全國Ⅰ,12,5分)設(shè)A,B是橢圓C:

+

=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是

()A.(0,1]∪[9,+∞)

B.(0,

]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)

D.(0,

]∪[4,+∞)答案

A本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì).當0<m<3時,橢圓C的長軸在x軸上,如圖(1),A(-

,0),B(

,0),M(0,

).

圖(1)當點M運動到短軸的端點時,∠AMB取最大值,此時∠AMB≥120°,則|MO|≤1,即0<m≤1;當m>3時,橢圓C的長軸在y軸上,如圖(2),A(0,

),B(0,-

),M(

,0)

圖(2)當點M運動到短軸的端點時,∠AMB取最大值,此時∠AMB≥120°,則|OA|≥3,即

≥3,即m≥9.綜上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故選A.易錯警示

在求解本題時,要注意橢圓的長軸所在的坐標軸,題目中只說A、B為橢圓長軸的兩

個端點,并未說明橢圓長軸所在的坐標軸,因此,要根據(jù)m與3的大小關(guān)系,討論橢圓長軸所在的

坐標軸.4.(2017課標全國Ⅲ,10,5分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

A以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,該圓與直線bx-ay+2ab=0相切,∴

=a,即2b=

,∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴

=

,∴e=

=

.5.(2016課標全國Ⅰ,5,5分)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短

軸長的

,則該橢圓的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·

,所以e=

=

.故選B.

易錯警示

橢圓中心到直線l的距離為

×2b=

,容易將短軸長誤認為b.評析

本題考查橢圓的基本知識,利用三角形的面積建立等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.6.(2015課標Ⅰ,5,5分)已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為

,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|=

()A.3

B.6

C.9

D.12答案

B拋物線C:y2=8x的焦點坐標為(2,0),準線方程為x=-2.從而橢圓E的半焦距c=2.可設(shè)橢

圓E的方程為

+

=1(a>b>0),因為離心率e=

=

,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由題意知|AB|=

=2×

=6.故選B.評析

本題考查了橢圓、拋物線的方程和性質(zhì),運算失誤容易造成失分.7.(2015福建,11,5分)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)的右焦點為F,短軸的一個端點為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4,點M到直線l的距離不小于

,則橢圓E的離心率的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

答案

A直線l:3x-4y=0過原點,從而A,B兩點關(guān)于原點對稱,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不

妨令M(0,b),則由點M(0,b)到直線l的距離不小于

,得

≥

,即b≥1.所以e2=

=

=

≤

,又0<e<1,所以e∈

,故選A.評析

本題考查了橢圓的定義及性質(zhì).考查數(shù)形結(jié)合的思想.解題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)A,B兩點關(guān)于

原點對稱,從而得出|AF|+|BF|=2a.8.(2016江蘇,10,5分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓

+

=1(a>b>0)的右焦點,直線y=

與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是

.

答案

解析由已知條件易得B

,C

,F(c,0),∴

=

,

=

,由∠BFC=90°,可得

·

=0,所以

+

=0,c2-

a2+

b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以

=

,則e=

=

.方法總結(jié)

圓錐曲線中垂直問題往往轉(zhuǎn)化為向量垂直.利用向量數(shù)量積為零轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.9.(2019課標全國Ⅱ文,20,12分)已知F1,F2是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的兩個焦點,P為C上的點,O為坐標原點.(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.解析本題主要考查橢圓的定義、簡單的幾何性質(zhì);考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和邏輯思維能

力與運算求解能力;體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=

c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(

+1)c,故C的離心率e=

=

-1.(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在,當且僅當

|y|·2c=16,

·

=-1,

+

=1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②

+

=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=

,又由①知y2=

,故b=4.由②③得x2=

(c2-b2),所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4

.當b=4,a≥4

時,存在滿足條件的點P.所以b=4,a的取值范圍為[4

,+∞).思路分析

第(1)問中由平面幾何知識可知△PF1F2是∠F1PF2=90°的直角三角形,且|PF2|=c,|PF

1|=

c,再利用橢圓的定義找出a與c的等量關(guān)系,進而求離心率.第(2)問中設(shè)出P點坐標,利用

=16,PF1⊥PF2以及

+

=1得到方程①②③,消元化簡可求b的值和a的取值范圍.一題多解

(2)設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,由橢圓的定義可得r1+r2=2a,

=

r1r2=16,∴r1r2=32.又PF1⊥PF2,∴

+

=4c2,(r1+r2)2=

+

+2r1r2=4c2+64=4a2,∴4a2-4c2=64,∴b=4,又

+

≥2r1r2,∴4c2≥2×32,∴c≥4,∴a2=b2+c2=16+c2≥32,∴b的值為4,a的取值范圍為[4

,+∞).10.(2017天津,20,14分)已知橢圓

+

=1(a>b>0)的左焦點為F(-c,0),右頂點為A,點E的坐標為(0,c),△EFA的面積為

.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)點Q在線段AE上,|FQ|=

c,延長線段FQ與橢圓交于點P,點M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.(i)求直線FP的斜率;(ii)求橢圓的方程.解析本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研

究圓錐曲線的性質(zhì)和方程思想.考查運算求解能力,以及綜合分析問題和解決問題的能力.(1)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知,可得

(c+a)c=

.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因為0<e<1,解得e=

.所以,橢圓的離心率為

.(2)(i)依題意,設(shè)直線FP的方程為x=my-c(m>0),則直線FP的斜率為

.由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為

+

=1,即x+2y-2c=0,與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=

,y=

,即點Q的坐標為

.由已知|FQ|=

c,有

+

=

,整理得3m2-4m=0,所以m=

,即直線FP的斜率為

.(ii)由a=2c,可得b=

c,故橢圓方程可以表示為

+

=1.由(i)得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,與橢圓方程聯(lián)立得

消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-

(舍去),或x=c.因此可得點P

,進而可得|FP|=

=

,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=

-

=c.由已知,線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線

FP.因為QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=

×

=

,所以△FQN的面積為

|FQ||QN|=

,同理△FPM的面積等于

,由四邊形PQNM的面積為3c,得

-

=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,橢圓的方程為

+

=1.方法點撥

1.求直線斜率的常用方法:(1)公式法:k=

(x1≠x2),其中兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2);(2)利用導數(shù)的幾何意義求解;(3)直線的方向向量a=(m,n),則k=

(m≠0);(4)點差法.2.解決四邊形或三角形的面積問題時,注意弦長公式與整體代換思想的應(yīng)用.11.(2015安徽,20,13分)設(shè)橢圓E的方程為

+

=1(a>b>0),點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為

.(1)求E的離心率e;(2)設(shè)點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點.證明:MN⊥AB.解析(1)由題設(shè)條件知,點M的坐標為

,又kOM=

,從而

=

.進而a=

b,c=

=2b.故e=

=

.(2)證明:由N是AC的中點知,點N的坐標為

,可得

=

.又

=(-a,b),從而有

·

=-

a2+

b2=

(5b2-a2).由(1)的計算結(jié)果可知a2=5b2,所以

·

=0,故MN⊥AB.評析

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及利用向量法證明線線垂直,較難.12.(2015重慶,21,12分)如圖,橢圓

+

=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+

,|PF2|=2-

,求橢圓的標準方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.

解析(1)由橢圓的定義,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+

)+(2-

)=4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|=

=

=2

,即c=

,從而b=

=1.故所求橢圓的標準方程為

+y2=1.(2)解法一:連接F1Q,如圖,設(shè)P(x0,y0),因為點P在橢圓上,且PF1⊥PF2,

所以

+

=1,

+

=c2,求得x0=±

,y0=±

.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,從而|PF1|2=

+

=2(a2-b2)+2a

=(a+

)2.由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=

|PF1|.因此(2+

)|PF1|=4a,即(2+

)(a+

)=4a,于是(2+

)(1+

)=4,解得e=

=

-

.解法二:連接F1Q,由橢圓的定義,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,

有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=

|PF1|,因此,4a-2|PF1|=

|PF1|,得|PF1|=2(2-

)a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-

)a=2(

-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=

=

=

=

=

-

.C組教師專用題組考點一橢圓的定義和標準方程1.(2014安徽,14,5分)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+

=1(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為

.答案

x2+

y2=1解析不妨設(shè)點A在第一象限,∵AF2⊥x軸,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).又∵|AF1|=3|F1B|,∴由

=3

得B

,代入x2+

=1得

+

=1,又c2=1-b2,∴b2=

.故橢圓E的方程為x2+

y2=1.

評析

本題是用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程,條件中線段長度|AF1|=3|BF1|轉(zhuǎn)化為

=3

是關(guān)鍵,利用向量的坐標運算,從而可以避免復(fù)雜的運算,向量法是數(shù)學中的重要方法.2.(2014遼寧,15,5分)已知橢圓C:

+

=1,點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則|AN|+|BN|=

.答案12解析解法一:由橢圓方程知橢圓C的左焦點為F1(-

,0),右焦點為F2(

,0).則M(m,n)關(guān)于F1的對稱點為A(-2

-m,-n),關(guān)于F2的對稱點為B(2

-m,-n),設(shè)MN中點為(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=

+

=2[

+

],故由橢圓定義可知|AN|+|BN|=2×6=12.解法二:根據(jù)已知條件畫出圖形,如圖.設(shè)MN的中點為P,F1、F2為橢圓C的焦點,連接PF1、PF2.

顯然PF1是△MAN的中位線,PF2是△MBN的中位線,∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2

×6=12.

評析

本題主要考查橢圓的定義等知識,重點考查學生的運算能力,也考查數(shù)形結(jié)合思想,難度

適宜.3.(2013課標全國Ⅰ,21,12分)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N

內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.解析由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由橢圓的定義可知,曲線C是以M、N為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為

的橢圓(左頂點除外),其方程為

+

=1(x≠-2).(2)對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,當且僅當圓P的圓心為(2,0)

時,R=2.所以當圓P的半徑最長時,其方程為(x-2)2+y2=4.若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=2

.若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點為Q,則

=

,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l與圓M相切得

=1,解得k=±

.當k=

時,將y=

x+

代入

+

=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=

.所以|AB|=

|x2-x1|=

.當k=-

時,由圖形的對稱性可知|AB|=

.綜上,|AB|=2

或|AB|=

.評析

本題考查了求軌跡方程的方法、橢圓的定義和標準方程,考查了直線與圓、橢圓的位

置關(guān)系及弦長計算等基礎(chǔ)知識,考查了運算求解能力和推理論證能力,考查了數(shù)形結(jié)合思想和

分類討論思想.考點二橢圓的幾何性質(zhì)1.(2015浙江,15,4分)橢圓

+

=1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關(guān)于直線y=

x的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是

.答案

解析令Q的坐標為(x0,y0),FQ的中點為M

,由點M在直線y=

x上得bx0-cy0+bc=0①.又因為直線FQ垂直于直線y=

x,所以

=-

,即cx0+by0-c2=0②,聯(lián)立①②得點Q

,把點Q的坐標代入

+

=1并化簡得a6=4c6+a4c2,兩邊同除以a6得4e6+e2-1=0,令t=e2,則0<t<1,則4t3-t+2t-1=0,則[t(2t+1)+1](2t-1)=0,解得t=

,因為0<e<1,所以e=

.2.(2014江西,15,5分)過點M(1,1)作斜率為-

的直線與橢圓C:

+

=1(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率等于

.答案

解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

+

=1①,

+

=1②.①、②兩式相減并整理得

=-

·

.結(jié)合已知條件得,-

=-

×

,∴

=

,故橢圓的離心率e=

=

.評析

本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系.考查了線段的中點問題,利用整體運算的技巧是求

解的關(guān)鍵.本題也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.3.(2016浙江,19,15分)如圖,設(shè)橢圓

+y2=1(a>1).(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,求橢圓離心率的取值范圍.

解析(1)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP,由

得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-

.因此|AP|=

|x1-x2|=

·

.(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P,Q,滿足|AP

|=|AQ|.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=

,|AQ|=

,故

=

,所以(

-

)[1+

+

+a2(2-a2)

]=0.由于k1≠k2,k1,k2>0得1+

+

+a2(2-a2)

=0,因此

=1+a2(a2-2),

①因為①式關(guān)于k1,k2的方程有解的充要條件是1+a2(a2-2)>1,所以a>

.因此,任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1<a≤

,由e=

=

得,所求離心率的取值范圍為0<e≤

.評析

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾

何的基本思想方法和綜合解題能力.4.(2015福建,18,13分)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)過點(0,

),且離心率e=

.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線l:x=my-1(m∈R)交橢圓E于A,B兩點,判斷點G

與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

解析(1)由已知得

解得

所以橢圓E的方程為

+

=1.(2)解法一:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為H(x0,y0).由

得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=

,y1y2=-

,從而y0=

.所以|GH|2=

+

=

+

=(m2+1)

+

my0+

.

=

=

=

=(1+m2)(

-y1y2),故|GH|2-

=

my0+(1+m2)y1y2+

=

-

+

=

>0,所以|GH|>

.故點G

在以AB為直徑的圓外.解法二:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則

=

,

=

.由

得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=

,y1y2=-

,從而

·

=

+y1y2=

+y1y2=(m2+1)y1y2+

m(y1+y2)+

=

+

+

=

>0,所以cos<

,

>>0.又

,

不共線,所以∠AGB為銳角.故點G

在以AB為直徑的圓外.評析

本題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運

算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.5.(2014課標Ⅰ,20,12分)已知點A(0,-2),橢圓E:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為

,O為坐標原點.(1)求E的方程;(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求l的方程.解析(1)設(shè)F(c,0),由條件知,

=

,得c=

.又

=

,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為

+y2=1.(2)當l⊥x軸時不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入

+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>

時,x1,2=

.從而|PQ|=

|x1-x2|=

.又點O到直線PQ的距離d=

,所以△OPQ的面積S△OPQ=

d·|PQ|=

.設(shè)

=t,則t>0,S△OPQ=

=

.因為t+

≥4,當且僅當t=2,即k=±

時等號成立,且滿足Δ>0,所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為y=

x-2或y=-

x-2.評析

本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì),直線的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線綜合問題,考查方程思想、函數(shù)思想、整體代換以及

換元法的應(yīng)用.考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力.6.(2014課標Ⅱ,20,12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為

,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根據(jù)c=

及題設(shè)知M

,∵直線MN的斜率為

,∴

=

,∴2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得

=

或

=-2(舍去).故C的離心率為

.(2)解法一:由題意,得原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段

MF1的中點,故

=4,即b2=4a.

①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則

∴

代入C的方程,得

+

=1.

②將①及c=

代入②得

+

=1.解得a=7,∴b2=4a=28,故a=7,b=2

.解法二:由題意知MF1與y軸的交點為D(0,2),∵O為F1F2的中點,MF2⊥x軸,∴MF2=4.設(shè)|MF1|=4t,|F1N|=t(t>0),由橢圓定義得|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|,則4t+4=t+|NF2|,即|NF2|=3t+4.在Rt△MF1F2中,42+(2c)2=(4t)2,∴4t2=4+c2.①cos∠NF1F2=-

=

②,由①②得t=

.∴2a=4t+4=14,∴a=7,b=

=2

.7.(2014江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F1、F2分別是橢圓

+

=1(a>b>0)的左、右焦點,頂點B的坐標為(0,b),連接BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另

一點C,連接F1C.(1)若點C的坐標為

,且BF2=

,求橢圓的方程;(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.

解析設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F2(c,0).(1)因為B(0,b),所以BF2=

=a.又BF2=

,故a=

.因為點C

在橢圓上,所以

+

=1,解得b2=1.故所求橢圓的方程為

+y2=1.(2)因為B(0,b),F2(c,0)在直線AB上,所以直線AB的方程為

+

=1.解方程組

得

所以點A的坐標為

.又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點C的坐標為

.因為直線F1C的斜率為

=

,直線AB的斜率為-

,且F1C⊥AB,所以

·

=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=

.因此e=

.評析

本題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查

運算求解能力.三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎(chǔ)題組考點一橢圓的定義和標準方程(2019清華中學生標準學術(shù)能力試卷,11)已知橢圓

+

=1,F為橢圓在y軸正半軸的焦點,M(2,2),P是橢圓上任意一點,則|PM|+|PF|的最大值為

()A.6+2

B.8+2

C.2+2

D.16+2

答案

B設(shè)橢圓在y軸負半軸的焦點為F1,所以|PM|+|PF|=|PM|+2a-|PF1|≤|F1M|+2a=2×4+

=8+2

.解后反思

求解與橢圓上的點、焦點有關(guān)的距離的最值問題時,一般都是先運用橢圓的定義,

再結(jié)合三點共線或?qū)ΨQ性求解.考點二橢圓的幾何性質(zhì)1.(2018北京西城二模,6)已知點A(0,0),B(2,0).若橢圓W:

+

=1上存在一點C,使得△ABC為等邊三角形,則橢圓W的離心率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C因為△ABC為等邊三角形,所以C(1,±

).又點C在橢圓W上,所以

+

=1,解得m=6,則a2=6,c2=4,故e=

=

,所以橢圓W的離心率為

,故選C.2.(2019北京豐臺一模,7)已知F1,F2為橢圓M:

+

=1和雙曲線N:

-y2=1的公共焦點,P為它們的一個公共點,且PF1⊥F1F2,那么橢圓M和雙曲線N的離心率之積為

()A.

B.1

C.

D.

答案

B因為橢圓M:

+

=1和雙曲線N:

-y2=1有公共焦點,∴m2-2=n2+1,即m2-n2=3.又∵PF1⊥F1F2,∴

=

,即m2=4n2.∴m2=4,n2=1,∴橢圓的離心率e1=

=

,雙曲線的離心率e2=

=

.∴橢圓M和雙曲線N的離心率之積為

×

=1.故選B.3.(2019清華中學生標準學術(shù)能力試卷文,6)已知橢圓

+

=1(a