第03講平方差和完全平方公式（知識解讀達標(biāo)檢測）（原卷版）

第03講平方差和完全平方公式【題型1平方差公式運算】【題型2利用平方差公式進行簡便運算】【題型3平方差公式的逆運算】【題型4平方差公式的幾何背景】【題型5完全平方公式】【題型6完全平方公式下得幾何背景】【題型7完全平方公式的逆運算】考點1：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.考點2：平方差公式的特征抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【題型1平方差公式運算】【典例1】（2023春?渭南期中）計算（3a+2）（3a﹣2）＝．【變式11】（2023春?蕉城區(qū)校級月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，則a2﹣b2＝．【變式12】（2023春?雙峰縣期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝．【變式13】（2023春?埇橋區(qū)期末）計算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝．【題型2利用平方差公式進行簡便運算】【典例2】（2023春?佛岡縣期中）19992﹣1998×2002．【變式21】（2023?皇姑區(qū)校級開學(xué)）簡便運算：20222﹣2020×2024．【變式22】（2023春?安鄉(xiāng)縣期中）計算：20222﹣2021×2023．【變式23】（2023春?渭濱區(qū)期末）用整式乘法公式計算：899×901+1．【題型3平方差公式的逆運算】【典例3】（2023春?海陽市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，則多項式x﹣2y的值是．【變式31】（2023春?遼陽期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，則n﹣m等于．【變式32】（2023春?廣饒縣期中）已知實數(shù)a，b滿足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，則a+b的值為．【變式33】（2023春?甘州區(qū)校級期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，則＝．【題型4平方差公式的幾何背景】【典例4】（2023春?東昌府區(qū)校級期末）如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成壟一個矩形．（1）通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是：．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）D．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②計算：；【變式41】（2023春?高明區(qū)月考）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1到圖2的操作能驗證的等式是．（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）當(dāng)4m2＝12+n2，2m+n＝6時，則2m﹣n＝；（3）運用你所得到的公式，計算下列各題：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【變式42】（2023春?清遠期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：（選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）；C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：（1）計算：2022×2024﹣20232；（2）計算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【變式43】（2023春?屏南縣期中）乘法公式的探究及應(yīng)用：如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成兩個直角梯形后，再拼成一個等腰梯形．?（1）通過計算左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：；（2）利用上述乘法公式計算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．考點3：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：考點4：拓展、補充公式；；；.【題型5完全平方公式】【典例5】（2023春?碭山縣校級期末）計算：（x+4）2﹣x2＝．【變式51】（2023春?威寧縣期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，則（x﹣y）2＝．【變式52】（2023春?東港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，則n的值為．【變式53】（2023春?未央?yún)^(qū)校級月考）計算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【題型6完全平方公式下得幾何背景】【典例6】（2023秋?綠園區(qū)校級月考）為創(chuàng)建文明校園環(huán)境，高校長制作了“節(jié)約用水”“講文明，講衛(wèi)生”等宣傳標(biāo)語，標(biāo)語由如圖①所示的板材裁剪而成，其為一個長為2m，寬為2n的長方形板材，將長方形板材沿圖中虛線剪成四個形狀和大小完全相同的小長方形標(biāo)語，在粘貼過程中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)標(biāo)語可以拼成圖②所示的一個大正方形．（1）用兩種不同方法表示圖②中小正方形（陰影部分）面積：方法一：S小正方形＝；方法二：S小正方形＝；（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系為；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【變式61】（2023春?甘州區(qū)校級期中）圖1是一個長為2x、寬為2y的長方形，沿圖中虛線用剪刀剪成四個完全相同的小長方形，然后按圖2所示拼成一個正方形．（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于．（2）試用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．方法1：；方法2：．（3）根據(jù)圖2你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若x+y＝4，xy＝3，則（x﹣y）2＝．【變式62】（2023?永修縣校級開學(xué)）如圖①所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．（1）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積（直接用含m，n的代數(shù)式表示）．方法一：；方法二：．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，請你寫出代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知實數(shù)a，b滿足：a+b＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【變式63】（2023春?湖州期中）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設(shè)30﹣x＝a，x﹣10＝b．則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解決問題：（1）若x滿足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如圖，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，點E、F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x．分別以FC、CE為邊在矩形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若矩形CEPF的面積為160平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【題型7完全平方公式的逆運算】【典例7】（2023春?永豐縣期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【變式71】（2023春?都昌縣期末）已知實數(shù)m，n滿足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【變式72】（2023春?周村區(qū)期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【變式73】（2022秋?大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．一．選擇題（共10小題）1．（2023?東營模擬）對于任意有理數(shù)a，b，現(xiàn)用“☆”定義一種運算：a☆b＝a2﹣b2，根據(jù)這個定義，代數(shù)式（x+y）☆y可以化簡為（）A．xy+y2 B．xy﹣y2 C．x2+2xy D．x22．（2022秋?官渡區(qū)期末）若（x+m）2＝x2+8x+16．則m的值為（）A．4 B．±4 C．8 D．±83．（2023秋?城中區(qū)校級期中）已知x﹣y＝5，xy＝4，則x2+y2的值為（）A．10 B．17 C．26 D．334．（2023?虎林市校級二模）下列運算正確的是（）A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6 C．（﹣m）3?m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n25．（2023春?電白區(qū)期末）已知a+b＝7，a﹣b＝8，則a2﹣b2的值是（）A．11 B．15 C．56 D．606．（2023春?西安期末）下列各式中，能用平方差公式計算的是（）A．（a+2b）（2a﹣b） B．（a﹣3）（﹣a+3） C．（x﹣3）2 D．（2x+y）（2x﹣y）7．（2023春?興賓區(qū)期末）已知x+y＝1，x﹣y＝3，則xy的值為（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣28．（2023秋?藁城區(qū)期末）如圖，從邊長為a+1的正方形紙片中剪去一個邊長為a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線剪開，再拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（）A．4a B．2a C．a(chǎn)2﹣1 D．29．（2023秋?大冶市期末）在下面的正方形分割方案中，可以驗證（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的圖形是（）A． B． C． D．10．（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝16，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（）A．（x﹣p）2＝14 B．（x+p）2＝14 C．（x﹣p）2＝18 D．（x+p）2＝16二．填空題（共5小題）11．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）若9x2+kx+4是一個完全平方式，則k的值為．12．（2023秋?永善縣期末）若多項式x2+kx+25是完全平方式，則k的值是．13．（2023秋?龍巖期末）若a2﹣b2＝15，a+b＝﹣3，則a﹣b的值為．14．（2023秋?豐澤區(qū)期末）邊長為a的正方形ABCD與邊長為b的正方形DEFG按如圖所示的方式擺放，點A，D，G在同一直線上．已知a+b＝10，ab＝24．則圖中陰影部分的面積為．15．（2023秋??？谄谀└鶕?jù)圖，利用面積的不同表示方法寫出一個代數(shù)恒等式．三．解答題（共4小題）16．（2023秋?宜州區(qū)期末）計算：（3+a）（3﹣a）+（a+1）2．17．（2023秋?雷州市期末）若x，y滿足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x﹣y；（3）x3y+xy3．18．（2023秋?涼州區(qū)校級期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；（2）若要拼出一個面積為（a+2b）（a+b）的矩形，則需要A號卡片多少張，B號卡片多少張，C號卡片多少張．（3）根據(jù)（1