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文檔簡介
知識點01:解一元二次方程【高頻考點精講】1.用“配方法”解一元二次方程(1)把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;(2)方程兩邊同時除以二次項系數(shù),使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊;(3)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;(4)把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數(shù);(5)如果右邊是非負數(shù),可以通過直接開平方法求解;如果右邊是負數(shù),則判定此方程無實數(shù)解。2.用“因式分解法”解一元二次方程(1)移項,使方程的右邊化為零;(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;(3)令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;(4)解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解。3.用“換元法”解一元二次方程(1)把方程中某個含有未知數(shù)的式子看成一個整體,用另一個未知數(shù)去替換它,從而將原方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于新未知數(shù)的方程,這種方法叫做“換元法”。(2)“換元法”關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,目的是變換研究對象,將問題轉(zhuǎn)移至新對象的知識背景中去研究,從而使復(fù)雜問題簡單化。知識點02:高次方程和無理方程【高頻考點精講】1.高次方程(1)一般地,最高次項的次數(shù)高于2次的方程,叫做高次方程。(2)高次方程的解法通過適當方法把高次方程轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的方程求解。所以,解高次方程一般要降次,將高次方程轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程。2.無理方程(1)方程中含有根式,且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式,這樣的方程叫做無理方程。(2)解無理方程關(guān)鍵是去根號,將其轉(zhuǎn)化為整式方程。(3)常用方法:乘方法,配方法,因式分解法,設(shè)輔助元素法。注意:用乘方法解無理方程,通常會產(chǎn)生增根,應(yīng)當注意驗根。知識點03:根的判別式及根與次數(shù)關(guān)系【高頻考點精講】1.根的判別式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與根的判別式(△=b2﹣4ac)有如下關(guān)系:(1)當△>0時,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;反過來,當方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根時,△>0。(2)當△=0時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;反過來,當方程有兩個相等的兩個實數(shù)根時,△=0。(3)當△<0時,方程無實數(shù)根;反過來,當方程無實數(shù)根時,△<0。2.根與系數(shù)的關(guān)系(1)如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,那么x1+x2=,x1x2=(2)根與系數(shù)的關(guān)系可以解決以下問題①已知方程及方程的一個根,求另一個根及未知數(shù)。②求關(guān)于根的式子的值,例如求x12+x22。③判斷兩根的符號;④由兩根滿足的條件,確定字母的取值。知識點04:由實際問題抽象出一元二次方程【高頻考點精講】在解決實際問題時,要明確已知和未知,找出相等關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),用方程表示已知量與未知量之間的等量關(guān)系,即列出一元二次方程。檢測時間:90分鐘試題滿分:100分難度系數(shù):0.57一.選擇題(共10小題,滿分20分,每小題2分)1.(2分)(2023?錦州)若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3=0有兩個實數(shù)根,則k的取值范圍是()A.k< B.k≤ C.k<且k≠0 D.k≤且k≠02.(2分)(2023?西藏)已知一元二次方程x2﹣3x+2=0的兩個根為x1、x2,則的值為()A.﹣3 B. C.1 D.3.(2分)(2023?聊城)若一元二次方程mx2+2x+1=0有實數(shù)解,則m的取值范圍是()A.m≥﹣1 B.m≤1 C.m≥﹣1且m≠0 D.m≤1且m≠04.(2分)(2023?阜新)近年來,由于新能源汽車的崛起,燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑,經(jīng)銷商紛紛開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元,5月份售價為16萬元.設(shè)該款汽車這兩月售價的月均下降率是x,則所列方程正確的是()A.16(1+x)2=23 B.23(1﹣x)2=16 C.23﹣23(1﹣x)2=16 D.23(1﹣2x)=165.(2分)(2023?河南)關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的根的情況是()A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根6.(2分)(2023?赤峰)用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0時,配方后正確的是()A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 C.(x﹣2)2=5 D.(x﹣2)2=177.(2分)(2023?廣西)據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示,2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x,依題意可列方程為()A.3.2(1﹣x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.7 C.3.7(1﹣x)2=3.2 D.3.7(1+x)2=3.28.(2分)(2023?福建)根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù),福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元,2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程()A.43903.89(1+x)=53109.85 B.43903.89(1+x)2=53109.85 C.43903.89x2=53109.85 D.43903.89(1+x2)=53109.859.(2分)(2023?瀘州)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1=0的根的情況是()A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)a的取值有關(guān)10.(2分)(2023?衢州)某人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感.設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人,則可得到方程()A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36 C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+x2=36二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)11.(2分)(2023?隨州)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+1=0的兩個實數(shù)根分別為x1和x2,則x1+x2﹣x1x2的值為.12.(2分)(2023?牡丹江)張師傅去年開了一家超市,今年2月份開始盈利,3月份盈利5000元,5月份盈利達到7200元,從3月到5月,每月盈利的平均增長率都相同,則每月盈利的平均增長率是.13.(2分)(2023?濟南)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2a=0有實數(shù)根,則a的值可以是(寫出一個即可).14.(2分)(2023?內(nèi)江)已知a、b是方程x2+3x﹣4=0的兩根,則a2+4a+b﹣3=.15.(2分)(2023?德州)設(shè)x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+2=0的兩個實數(shù)根,且(x1+1)(x2+1)=8,則m的值為.16.(2分)(2023?重慶)某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個,并按計劃逐月增長,預(yù)計八月份將提供崗位1815個,設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x,根據(jù)題意,可列方程為.17.(2分)(2023?雅安)已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣4=0的一個根為1,則該方程的另一個根為.18.(2分)(2023?金昌)關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有兩個不相等的實數(shù)根,則c=(寫出一個滿足條件的值).19.(2分)(2023?婁底)若m是方程x2﹣2x﹣1=0的根,則m2+=.20.(2分)(2023?宜昌)已知x1,x2是方程2x2﹣3x+1=0的兩根,則代數(shù)式的值為.三.解答題(共8小題,滿分60分)21.(6分)(2023?齊齊哈爾)解方程:x2﹣3x+2=0.22.(8分)(2023?襄陽)關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)若方程的兩個根為α,β,且k2=αβ+3k,求k的值.23.(8分)(2023?通遼)閱讀材料:材料1:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根x1,x2和系數(shù)a,b,c,有如下關(guān)系:x1+x2=﹣,x1x2=.材料2:已知一元二次方程x2﹣x﹣1=0的兩個實數(shù)根分別為m,n,求m2n+mn2的值.解:∵m,n是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的兩個實數(shù)根,∴m+n=1,mn=﹣1.則m2n+mn2=mn(m+n)=﹣1×1=﹣1.根據(jù)上述材料,結(jié)合你所學(xué)的知識,完成下列問題:(1)應(yīng)用:一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩個實數(shù)根為x1,x2,則x1+x2=,x1x2=.(2)類比:已知一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩個實數(shù)根為m,n,求m2+n2的值;(3)提升:已知實數(shù)s,t滿足2s2+3s﹣1=0,2t2+3t﹣1=0且s≠t,求的值.24.(8分)(2023?遂寧)我們規(guī)定:對于任意實數(shù)a、b、c、d有[a,b]*[c,d]=ac﹣bd,其中等式右邊是通常的乘法和減法運算,如:[3,2]*[5,1]=3×5﹣2×1=13.(1)求[﹣4,3]*[2,﹣6]的值;(2)已知關(guān)于x的方程[x,2x﹣1]*[mx+1,m]=0有兩個實數(shù)根,求m的取值范圍.25.(8分)(2023?東營)如圖,老李想用長為70m的柵欄,再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈ABCD,并在邊BC上留一個2m寬的門(建在EF處,另用其他材料).(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時,能圍成一個面積為640m2的羊圈?(2)羊圈的面積能達到650m2嗎?如果能,請你給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.26.(8分)(2023?淮安)為了便于勞動課程的開展,學(xué)校打算建一個矩形生態(tài)園ABCD(如圖),生態(tài)園一面靠墻(墻足夠長),另外三面用18m的籬笆圍成.生態(tài)園的面積能否為40m2?如果能,請求出AB的長;如果不能,請說明理由.27.(8分)(2023?南充)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x﹣3m2+m=0.(1)求證:無論m為何
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