專題08 二次函數(shù)與圖形面積的問題（解析版）

專題08二次函數(shù)與圖形面積的問題一、單選題1．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，．若面積為8，則的值是（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】設(shè)，，其中，，聯(lián)立與得，即，可得，．因?yàn)?，根?jù)面積為8即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，，其中，．聯(lián)立與得：，即，，．，面積為8，，解得，，，故選：D．二、解答題2．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)為﹒(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)式直接寫出二次函數(shù)的解析式即可求解；（2）根據(jù)配方法得出頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)為，∴二次函數(shù)解析式為，（2）解：如圖所示，∵，該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D，∴,∵，∴，∴．3．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，將拋物線向右平移a個單位長度，頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，且為等腰直角三角形．(1)求a的值；(2)在圖中的拋物線上是否存在點(diǎn)C，使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求；若不存在，請說明理由．【答案】(1)a的值為1(2)存在，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的拋物線的解析式，令其找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)為等腰直角三角形即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；（2）作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)C，連接，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，根據(jù)等腰直角三角形的判定定理找出為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出的值．【詳解】（1）解：平移后的拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)，令中x＝0，則，∴．∵為等腰直角三角形，∴，解得：或（舍去），故a的值為1；（2）解：存在，理由如下：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)C，連接BC，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，∵為等腰直角三角形，∴為等腰直角三角形，∴，∵為拋物線的對稱軸，∴，，∴為等腰直角三角形，∵點(diǎn)，拋物線對稱軸為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，此時，，故在圖中的拋物線上存在點(diǎn)C，使為等腰直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為且．4．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，其對稱軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線在直線上方的一個動點(diǎn)（不含，兩點(diǎn)）．(1)求、的值．(2)連接、，若的面積是的面積的倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若直線、分別交該拋物線的對稱軸于點(diǎn)、，試問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)，(2)或(3)是，【分析】（1）將點(diǎn)代入，可求出二次函數(shù)解析式，再令，可求出的值；（2）根據(jù)題意得，直線的表達(dá)式：，如圖所示（見詳解），過點(diǎn)作軸交于，交軸于，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則點(diǎn)，的面積是的面積的倍，由此即可求解；（3）由（2）可知，直線的表達(dá)式為：，用含的式子分別表示出，，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，解得，即，令，代入，解得．∴，．（2）解：根據(jù)題意得，，直線的表達(dá)式：，如圖所示，過點(diǎn)作軸交于，交軸于，∵點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則點(diǎn)，∵，∴，即，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）解：為定值，由（2）可知，直線的表達(dá)式為：，令，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，∴，即．5．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，求y的取值范圍；(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)當(dāng)時，(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再將解析式化為頂點(diǎn)式即可求解；（2）根據(jù)圖象即可進(jìn)行解答；（3）先根據(jù)三角形的面積求出三角形的高，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）把、分別代入中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）∵、，函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時，y的取值范圍；（3）∵、，∴，設(shè)，則，∴，∴．①當(dāng)時，，解得：，，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為或；②當(dāng)時，，即，∴，即方程無解；綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求出a、b的值；(2)若點(diǎn)B是拋物線對稱軸土的一點(diǎn)，且的面積為15，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)，運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)，則，，利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，，過點(diǎn)，；（2）解：點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，設(shè)，由（1）可知：，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)，則，，，，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．7．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將拋物線圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折，保留拋物線與x軸的交點(diǎn)和x軸下方圖像，得到的新圖像記作M，圖像M與直線恒有四個交點(diǎn)，從左到右四個交點(diǎn)依次記為D，E，F(xiàn)，G．若以為直徑作圓，該圓記作圖像N．①在圖像M上找一點(diǎn)P，使得的面積為3，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)圖像N與x軸相離時，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)，，；(2)①，，，；②【分析】（1）當(dāng)時，，解得，即可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，當(dāng)時，，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）①設(shè)點(diǎn)P到的距離為h，由的面積為3，解得，當(dāng)時，，即，求得點(diǎn)，，又因?yàn)閽佄锞€x軸上方部分與x軸下方部分有對稱圖像，可以得到，，當(dāng)時，，即，可以得到，；②由圖像M與直線恒有四個交點(diǎn)，得到，由圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折得到的部分圖像的表達(dá)式為，求得以為直徑作圓的半徑為，由圖像N與x軸相離，求得，進(jìn)一步求得t的取值范圍即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，解得，∴點(diǎn)，，當(dāng)時，，∴點(diǎn)；（2）解：①由（1）可知，，設(shè)點(diǎn)P到的距離為h，∴的面積為，解得，當(dāng)時，，即，解得，∴點(diǎn)，，∵拋物線x軸上方部分與x軸下方部分有對稱圖像，∴可以得到，，當(dāng)時，，即，解得，可以得到，，綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，；②∵，∴翻折后得到拋物線下方圖像的頂點(diǎn)為，∵圖像M與直線恒有四個交點(diǎn)，如圖，∴，圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折得到的部分圖像的表達(dá)式為，當(dāng)時，，即，∴，，∴，∴，∴，∴，即，∴以為直徑作圓的半徑為，∵圖像N與x軸相離，即以為直徑作的圓與x軸相離，∴，∴，即，一元二次方程的解為，，如圖，∴由二次函數(shù)的圖x可知，的解集為或，又∵，∴．即t的取值范圍為．8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線的函數(shù)表達(dá)式為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)或．【分析】（1）先求出，，用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式．（2）求出，求出和的面積，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的絕對值為即可解得．【詳解】（1）∵過直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，，把，代入，得解得，，∴拋物線的表達(dá)式為．（2）∵拋物線的表達(dá)式為，令，則有，解得：，∴，∴，，∴，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的絕對值為∴∴，當(dāng)時∵，∴不存在實(shí)數(shù)根．當(dāng)時∴，解得：，，∴或．9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┮阎憾魏瘮?shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)若有一直線：經(jīng)過點(diǎn)、，直接寫出不等式的解集；(3)若在軸下方的拋物線上有一動點(diǎn)，使的面積為6，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法解答即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖像，拋物線不在直線下方時的自變量的取值范圍就是不等式的解集；（3）設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式列出方程解答便可．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，代入得：，解得：，∴（2）由圖像可知：當(dāng)拋物線不在直線下方時，或，∴的解集為或．（3）設(shè)，∵的面積為6，∴，∵在軸下方的拋物線上有一動點(diǎn)，∴解得或∴或．10．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線在軸上方部分一動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于．(1)如圖1，當(dāng)時，求的面積；(2)如圖2，若是以為底的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)24(2)的坐標(biāo)是或【分析】（1）首先確定，，易得，再結(jié)合，可知的橫坐標(biāo)為2，可確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后計算的面積即可；（2）首先確定點(diǎn)，易得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而確定點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后將其代入函數(shù)解析式中即可獲得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，即有，解得，，∴，，∴，∵，即的橫坐標(biāo)為2，∴，∴，∴在中，邊上的高為8，∴，即的面積為24；（2）在函數(shù)中，當(dāng)時，，∴，∴，∵是以為底的等腰三角形，∴，∵，∴，在中，當(dāng)時，即有，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是或．11．（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BC運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為．(1)試寫出的面積與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時，的面積最大?最大面積是多少?【答案】(1)(2)當(dāng)時，的面積最大，最大值是【分析】（1）根據(jù)題意得到，利用三角形面積公式即可得到答案；（2）把二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得：，＝；即；（2）∵，∴當(dāng)時，的面積最大，最大值是．12．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），頂點(diǎn)為M，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個交點(diǎn)為D．(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)_______；點(diǎn)的坐標(biāo)________；(2)如圖（1），若頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接、、，請求出二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，并求出四邊形的面積；(3)如圖（2），點(diǎn)是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，若的面積的最大值為時，請直接寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）令，解一元二次方程即可求解；（2）用待定系數(shù)法即可求出兩個函數(shù)的解析式，再根據(jù)的坐標(biāo)求出四邊形的面積；（3）過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，設(shè)，寫出面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的最大值列出方程即可求解．【詳解】（1）解：由，令，即，解得：，∴，，故答案為：，；（2）如圖，連接，∵頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入，解得：，∴拋物線解析式為，∵經(jīng)過點(diǎn)A的直線與y軸交于點(diǎn)C，∴，∴，∵，∴，∴一次函數(shù)解析式為：，，解得：或，∴，∴四邊形的面積=；（3）如圖，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，設(shè)則，∴，，∵，∵，∴當(dāng)時，的面積最大值為，解得：，∴，∴．13．（2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)、，交y軸于點(diǎn)C．(1)求b和c的值；(2)若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖像上，且，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點(diǎn)，且，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)或；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出的面積，設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)，得到方程求出m值，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)、在二次函數(shù)圖像上，則，解得：，故答案為：，；（2）解：連接，∵，∴二次函數(shù)為，∴∵、，∴，∵，設(shè)點(diǎn)，∴，即，解得：或，代入，可得：y值都為16，∴或；（3）解：設(shè)，∵點(diǎn)P在拋物線位于x軸上方的部分，∴或，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時，即，可知點(diǎn)C到的距離小于點(diǎn)B到的距離，∴，不成立；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時，即，∵和都以為底，若，則點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP的距離相等，即，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，則設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，則，解得：則直線AP的解析式為，將代入，即，解得：或（舍），，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．14．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與一次函數(shù)相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)且在直線的上方，過點(diǎn)P作x軸垂線交直線于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，線段的長度最大？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和線段的最大值；(3)將拋物線L：的圖象向下平移得到新的拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，滿足，在拋物線上有且僅有三個點(diǎn)，，使得，，的面積相等，請直接寫出，，的坐標(biāo)．【答案】(1)，，；(2)，最大值為；(3)，，【分析】（1）令拋物線解析式中，解方程可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，則，求得，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先求出的長，根據(jù)求得的長，聯(lián)立新拋物線與，根據(jù)的長確定新拋物線解析式，進(jìn)而根據(jù)有且僅有三個點(diǎn)，，使得，，的面積相等，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)的平移求得另外兩個點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：（1）令，解得或，∴，，令，解得或，∴；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，則，∴，∵，∴當(dāng)時，最大，最大值為，當(dāng)時，，∴；（3）∵，，∴，∵，∴，設(shè)向下平移a（）個單位，得到新的拋物線，則拋物線的解析式為：，令，整理得：，設(shè)M，N的橫坐標(biāo)分別為，，則，，如圖，過點(diǎn)M，N分別作x，y軸平行線，交于點(diǎn)Q，則是等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，解得；∴拋物線的解析式為：，∵拋物線上有且僅有三個點(diǎn)，，使得，，的面積均為定值S，設(shè)為與拋物線唯一的交點(diǎn)，令，整理得，∴，得，則，即，∴，∴，即；∵向下平移個單位得到，∴向下平移個單位得到，∴與拋物線交于，，令，解得：，∴，，15．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和B（0，3），與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)連接當(dāng)點(diǎn)在第一象限且時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)和B（0，3）代入，即可求解；（2）先確定再由，則求出，，求出直線的解析式為聯(lián)立方程組，即可求出．【詳解】（1）解：點(diǎn)和B（0，3）代入，，解得，；（2）解：和，，，設(shè)直線的解析式為，解得，聯(lián)立方程組，解得或，點(diǎn)在第一象限，，．16．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線過點(diǎn)，）過定點(diǎn)的直線l：與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動，連接，作的垂直平分線與過點(diǎn)D作x軸的垂線交于點(diǎn)I，判斷點(diǎn)I是否在拋物線，并證明你的判斷；(3)若，設(shè)的中點(diǎn)為M，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得周長最小，若存在求出周長的最小值，若不存在說明理由；(4)若，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得的面積為，若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)I在拋物線；見解析(3)存在，最小值為(4)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或【分析】（1）由題意得：，解得：，即可求解；（2）設(shè)，過I作軸于點(diǎn)H，則，，，在中，，即，則，即可求解；（3）中點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，由（2）可知，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離等于它到x軸的距離．設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使得周長最小，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，，是定值，，故當(dāng)軸時，，此時P、M、共線，周長最小，即可求解；（4），解得：，，即可求解．【詳解】（1）（1）由題意得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）如圖1，過I作軸于點(diǎn)H，設(shè)，則，，，在中，，∴，即，∴點(diǎn)I在拋物線；（3）存在，最小值為，理由如下：若，設(shè)的中點(diǎn)為M，則，解得中點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，∴，由（2）可知，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離等于它到x軸的距離，設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使得周長最小，如圖2，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，∵，∵是定值，．∴當(dāng)軸時，，此時P、M、共線，周長最小，∴點(diǎn)，∴，∴周長最小的最小值為：；（4）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或，理由如下：如圖3，設(shè)、，，，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：，∴點(diǎn)，∴，∴，解得：，，當(dāng)時，解得：，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；當(dāng)時，解得：或6，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或17．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式．(2)過點(diǎn)A作交拋物線于點(diǎn)，求四邊形的面積．(3)在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，使以A、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由．【答案】(1)(2)4(3)存在點(diǎn)，使以A、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）將A和C的坐標(biāo)代入求解即可；（2）過點(diǎn)作軸于，四邊形的面積，由A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可知是直角三角形，且，則可求出的面積，根據(jù)已知可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，可知點(diǎn)P到直線的距離，從而求出的面積，則就求出四邊形的面積；（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，兩個三角形相似，根據(jù)題意以及上兩題可知，和是直角，只需證明或即可．設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題中所給條件可求出線段的長度，然后列等式，分情況討論，求解．【詳解】（1）拋物線過和，解得，；（2）令，，解得，，，，，，，∵，過點(diǎn)作軸于，則為等腰直角三角形，令，則，，點(diǎn)在拋物線上，，解得，（不符合題意），，四邊形的面積；（3）假設(shè)存在，，．軸于點(diǎn)，．在中，，．在中，，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，①點(diǎn)在軸左側(cè)時，則，（?。┊?dāng)時，有，，，即，解得（舍去）（舍去）；（ⅱ）當(dāng)時有，即，解得：（舍去），，；②點(diǎn)在軸右側(cè)時，則，（ⅰ）當(dāng)時有，，，，解得（舍去）；；（ⅱ）當(dāng)時有，即，解得：（舍去），，，存在點(diǎn)，使以A、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．18．（2023·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點(diǎn)，分別連接．①若是直角三角形，且時，求P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①②點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）由點(diǎn)坐標(biāo)可得，由可得，即,再運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）①求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)根據(jù)勾股定理列出方程求出的值即可；②取的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接過點(diǎn)作于過點(diǎn)作軸于點(diǎn)求得拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為求得由面積法可得故，即知得，，把點(diǎn)坐標(biāo)代入求出的值即可【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，把，代入，得：，解得，，∴拋物的解析式為：；（2）∴拋物線的對稱軸為直線，是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點(diǎn)，，是直角三角形，且，解得，，，當(dāng)時，，；②取的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接過點(diǎn)作于過點(diǎn)作軸于點(diǎn)如圖，∵∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為∵，∴為的中點(diǎn)，∴即設(shè)則，解得，（與點(diǎn)B重合，舍去）或∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為19．（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)E是線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，四邊形的面積最大?求出四邊形的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)四邊形的面積最大為，E點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－1）(3)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，即可得解；（2）先求直線的函數(shù)表達(dá)式為,設(shè)點(diǎn)，結(jié)合圖形，四邊形的面積，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值及點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，作于點(diǎn)G，，求得＝，利用等積法得，解得n，得到點(diǎn)，再利用對稱性得另一點(diǎn)【詳解】（1）將代入拋物線表達(dá)式得，解得，拋物線表達(dá)式為；（2）∵拋物線的對稱軸為直線，∴，，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，..設(shè)，則，∴＝，∴＝，四邊形的面積＋當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大值為，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為或①作于點(diǎn)G，，設(shè)，，，，，由的面積，得，即，化簡，得，解得，（不符合題意，舍去），∴，②∵點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)