數(shù)學(xué)建模活動(dòng)：周期現(xiàn)象的描述高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊(cè)

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：周期現(xiàn)象的描述問(wèn)題情境問(wèn)題1

溫州市著名景點(diǎn)——江心嶼，是中國(guó)四大名嶼之一．江心嶼上面有座寺廟——江心寺，在寺院大門(mén)兩邊有題為宋王十月撰書(shū)的疊字聯(lián)：云朝朝朝朝朝朝朝朝散，下聯(lián)是：潮長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)消．該對(duì)聯(lián)巧妙地運(yùn)用了疊字詩(shī)展現(xiàn)了甌江湖水漲落的壯闊畫(huà)面．下面是甌江江心嶼碼頭在某年某個(gè)季節(jié)每天的時(shí)間與水深的關(guān)系表：時(shí)間0136891215182124水深66.257.552.842.557.552.55（1）仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能從中得到一些什么信息？（2）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，建立直角坐標(biāo)系，將上面表格中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)描在直角坐標(biāo)系中，你能得到什么結(jié)論？（1）水深隨時(shí)間的變化呈周期變化．（2）若用平滑的曲線連接各點(diǎn)，則大致呈正弦曲線．新知探究問(wèn)題2生活中有哪些周期現(xiàn)象呢？周期現(xiàn)象模型一潮汐現(xiàn)象模型海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．新知探究問(wèn)題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位：m）時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（1）選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似地描述這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)水深的近似數(shù)值：（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能停多久？（3）某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減小，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？新知探究問(wèn)題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位：m）時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（1）選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似地描述這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)水深的近似數(shù)值：將這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的關(guān)系表作出散點(diǎn)圖，以時(shí)間為x軸，又水深值為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如下圖所示．經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)的變化規(guī)律比較符合正弦型函數(shù)圖像變化規(guī)律．xy864286421614121024222018O新知探究問(wèn)題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位：m）時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（1）選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似地描述這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)水深的近似數(shù)值：設(shè)y＝Asin（ωx＋φ）＋h，顯然A＝2.5，ω＝

，φ＝0，h＝5，所以函數(shù)解析式為y＝＋5，所以整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值如下表所示．時(shí)間0123456789101112水深值5.006.257.177.507.176.255.003.752.832.502.833.755.00時(shí)間131415161718192021222324水深值6.257.177.507.176.255.003.752.832.502.833.755.00新知探究問(wèn)題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位：m）時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表貨船的吃水深度為4m，加上安全間隙1.5m，水深值要大于5.5m，用作圖軟件作出函數(shù)y＝

＋5與y＝5.5的圖象，找到四個(gè)交點(diǎn)A，B，C，D，如下圖所示．（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能停多久？即y＝

＋5＞5.5xy864286421614121024222018OABCDy＝5.5度量出四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA＝0.38，xB＝5.62，xC＝12.38，xD＝17.62，即分別對(duì)應(yīng)的時(shí)刻約為：00：23，5：37，12：23，17：37．新知探究問(wèn)題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位：m）時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能停多久？因此，該船在00：23至5：37或12：23至17：37能安全進(jìn)港．若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)最多停留17h14min．新知探究問(wèn)題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位：m）時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表設(shè)在時(shí)刻x該船安全水深為z，則z＝4＋1.5－0.3（x－2）（x≥2），（3）某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減小，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？這時(shí)水深y＝

＋5．若使該船安全，則4＋1.5－0.3（x－2）≤

＋5，即6.1－0.3x≤

＋5．新知探究問(wèn)題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深值（單位：m）時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表如圖所示，用作圖軟件畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)y＝6.1－0.3x與y＝

＋5的圖像，得到交點(diǎn)E，F(xiàn)，G．xy864286421614121024222018OEFG通過(guò)度量點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為xF＝6.72，即對(duì)應(yīng)時(shí)刻約為6：43．因此，該船在6：43必須停止卸貨，駛向較安全的水域．（3）某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減小，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？新知探究周期現(xiàn)象模型二

單擺彈簧等簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型如圖是單擺的示意圖，點(diǎn)O為擺球的平衡位置，如果規(guī)定擺球向右偏移的位移為正，則當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，擺球的位移y為0；OCD當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，擺球的位移y達(dá)到反向最大值－A；當(dāng)擺球再次到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，擺球的位移y又一次為0；當(dāng)擺球再次到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，擺球的位移y又一次達(dá)到最大值A(chǔ)．這樣周而復(fù)始，形成周期變化．當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，擺球的位移y達(dá)到最大值A(chǔ)；新知探究周期現(xiàn)象模型二單擺彈簧等簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型單擺、彈簧等簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用三角函數(shù)表達(dá)為y＝Asin（ωx＋φ）其中x表示時(shí)間，y表示位移，A表示振幅，

表示頻率，φ表示初相位．說(shuō)明：?jiǎn)螖[是生活中常見(jiàn)的模型，也是常用的簡(jiǎn)單模型．物理學(xué)科中所討論的單擺是一種理想化的模型，也稱數(shù)學(xué)擺．它是由一根不可伸縮的細(xì)線（質(zhì)量不計(jì)），一端固定，另一端懸掛一質(zhì)量為M的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）而構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)．新知探究周期現(xiàn)象模型三三音叉發(fā)出的純音振動(dòng)可以用三角函數(shù)表達(dá)為y＝Asinωx，其中x表示時(shí)間，y表示純音振動(dòng)時(shí)音叉的位移，

表示純音振動(dòng)的頻率（對(duì)應(yīng)音高），A表示純音振動(dòng)的振幅（對(duì)應(yīng)音強(qiáng)）．新知探究周期現(xiàn)象模型四交變電流可以用三角函數(shù)表達(dá)為y＝Asin（ωx＋φ），其中x表示時(shí)間，y表示電流，A表示最大電流，

表示頻率．φ表示初相位．初步應(yīng)用例1

如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b．解答：（1）由圖可知：這段時(shí)間的最大溫差是20℃；（2）從圖可以看出：從6～14是y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半個(gè)周期的圖象，（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；（2）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式．∴

＝14－6＝8，∴T＝16，∵∵又∵∴初步應(yīng)用例1

如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b．（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；（2）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式．∴，將點(diǎn)（6，10）代入得：∴∴取∴初步應(yīng)用例1

如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b．（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；（2）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式．注意：一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫(huà)這天某個(gè)時(shí)段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍．追問(wèn)：有沒(méi)有其它解法？初步應(yīng)用例2

如圖表示的是電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系I＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜

）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．（1）根據(jù)圖象寫(xiě)出I＝Asin（ωx＋φ）的解析式；（2）為了使I＝Asin（ωx＋φ）中的t在任意一段s的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值為多少？解答：（1）由圖知A＝300，第一個(gè)零點(diǎn)為

，第二個(gè)零點(diǎn)為∴解得ω＝100π，φ＝

，∴初步應(yīng)用例2

如圖表示的是電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系I＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜

）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．（1）根據(jù)圖象寫(xiě)出I＝Asin（ωx＋φ）的解析式；（2）為了使I＝Asin（ωx＋φ）中的t在任意一段s的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值為多少？（2）依題意有T≤

，即∴ω≥200π．故ωmin＝629．歸納小結(jié)2．解決問(wèn)題的一般程序是：1