3.3 垂徑定理（7大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第3章圓的基本性質(zhì)3.3垂徑定理（7大題型）分層練習(xí)考查題型一垂徑定理的概念1．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題是假命題的是（）A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于弦的直徑平分這條弦 D．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理及其推論、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，是真命題，不符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題，符合題意；C、垂直于弦的直徑平分這條弦，是真命題，不符合題意；D、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，是真命題，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）下列幾個(gè)命題：①圓是軸對(duì)稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③平分弦的直徑垂直于這條弦；④三點(diǎn)確定一個(gè)圓．其中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理及確定圓的條件，結(jié)合題意進(jìn)行判斷即可．【詳解】圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故①正確；垂直于弦的直徑平分這條弦，故②正確；平分弦的直徑垂直于弦，這個(gè)弦需要排除直徑，故③錯(cuò)誤;不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故④錯(cuò)誤；綜上可得正確的是①②故選A【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理及垂徑定理，另外要注意各定理成立的條件．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)完善本課時(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．垂徑定理（1）定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑，并且．∵是直徑，，垂足為點(diǎn)，∴，∴．

【答案】平分這條弦平分這條弦所對(duì)的弧【分析】根據(jù)垂徑定理內(nèi)容進(jìn)行作答即可．【詳解】解：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的?。呤侵睆?，，垂足為點(diǎn)，∴，∴．故答案為：平分這條弦，平分這條弦所對(duì)的弧，，【點(diǎn)睛】本題主要考查的是垂徑定理內(nèi)容，正確掌握垂徑定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用準(zhǔn)確的文字語(yǔ)言描述“垂徑定理”：垂直于弦的直徑平分．【答案】這條弦及其所對(duì)的兩條弧【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容解答即可．【詳解】解：“垂徑定理”的內(nèi)容為：垂直于弦的直徑平分這條弦及其所對(duì)的兩條?。蚀鸢笧椋哼@條弦及其所對(duì)的兩條弧．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，熟練掌握相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，的兩條弦（AB不是直徑），點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EC，ED．（1）直線EO與AB垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求證：．【答案】（1）直線EO與AB垂直．理由見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）依據(jù)垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦可得結(jié)論；（2）易證，由垂徑定理可得結(jié)論.【詳解】解：（1）直線EO與AB垂直．理由如下：如圖，連接EO，并延長(zhǎng)交CD于F．∵EO過點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)，．（2），，．∵EF過點(diǎn)O，，垂直平分CD，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵.考查題型二垂徑定理的推論1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①平分弦的直徑一定垂直于弦；②圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑都是對(duì)稱軸；③直徑是弦；④長(zhǎng)度相等的弧是等弧A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理，等弧的定義，圓的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：①平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤；②圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸，原說(shuō)法錯(cuò)誤；③直徑是弦，正確；④長(zhǎng)度相等弧是不一定是等弧，原說(shuō)法錯(cuò)誤；綜上，只有③的說(shuō)法正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）下列語(yǔ)句中不正確的有（）

①長(zhǎng)度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧；⑤半圓是圓中最長(zhǎng)的弧；⑥不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及圓的有關(guān)概念和對(duì)稱性對(duì)每個(gè)語(yǔ)句分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蛲耆睾系幕∈堑然?故①不正確；垂直于弦的直徑平分弦說(shuō)法正確；圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故③說(shuō)法不正確；平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧，故④說(shuō)法不正確；半圓的弧長(zhǎng)是圓的弧長(zhǎng)的一半，不是圓中最長(zhǎng)的弧，故⑤說(shuō)法不正確；不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故⑥說(shuō)法正確，∴不正確的語(yǔ)句有4個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑，并且平分弦所對(duì)的．【答案】垂直于弦兩條弧【分析】根據(jù)垂徑定理的推論的內(nèi)容直接得出答案．【詳解】平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。蚀鸢笧椋捍怪庇谙?，垂直于弦．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，解答時(shí)熟悉垂徑定理的推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，過A，B，C三點(diǎn)作一圓弧，則圓心的坐標(biāo)是．【答案】（2，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【詳解】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為：（2，1）．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知在半圓中，，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】連接交于，根據(jù)垂徑定理的推論得出，根據(jù)題意得出，繼而得出為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：連接交于，如圖，∵，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴為等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出是解題的關(guān)鍵．考查題型三利用垂徑定理求值1．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為5，弦，，垂足為點(diǎn)P，則CP的長(zhǎng)等于（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】A【分析】如圖，連接，由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知的半徑為5，是的弦，點(diǎn)P在弦上，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．【詳解】如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，連接，則，

，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，在中，根據(jù)勾股定理得：,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理和勾股定理，正確作輔助線，熟練利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的直徑為，圓心O到弦AB的距離為，則．【答案】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后連接，根據(jù)垂徑定理得到平分，即，而在中，根據(jù)勾股數(shù)得到，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接，∵，，，∴，∴在中，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理與勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】由題意易得，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，然后問題可求解．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的一條弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交劣弧于點(diǎn)，連接，．若，，求的面積．【答案】【分析】設(shè)的半徑是r，由勾股定理，垂徑定理求出圓的半徑，由三角形的面積公式即可計(jì)算．【詳解】解：設(shè)的半徑是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過圓心，，，，，，，，，，的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理求出圓的半徑長(zhǎng)．考查題型四利用垂徑定理求平行弦問題1、（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AD∥BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關(guān)系是（)A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】因?yàn)樵谕瑘A中,平行弦所夾弧是等弧.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查圓中平行弦所夾弧,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行弦定理.2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，原說(shuō)法正確，符合題意；D、若也是直徑，則原說(shuō)法不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時(shí)熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①弦與在圓心同側(cè)；②弦與在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦與在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

過點(diǎn)O作，垂足為F，交于點(diǎn)E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當(dāng)弦與在圓心異側(cè)時(shí)，如圖，

過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．4．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)AB、CD是⊙O的兩條弦，ABCD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為．【答案】17或7/7或17【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于AB、CD在圓心的同側(cè)或異側(cè)不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：①當(dāng)AB、CD如圖（一）所示時(shí)，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，∵ABCD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂徑定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，在Rt△CEO中，OE==12；同理，OF==5，故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②當(dāng)AB、CD如圖（二）所示時(shí)，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案為：17或7．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．5．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知⊙O的半徑長(zhǎng)為R=5，弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5，AB=6，求弦CD的長(zhǎng)．【答案】【分析】如圖所示作出輔助線，由垂徑定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，進(jìn)而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可．【詳解】解：如圖所示，因?yàn)锳B∥CD，所以過點(diǎn)O作MN⊥AB交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，連接OA，OC，由垂徑定理可得AM=，∴在Rt△AOM中，，∴ON=MN-OM=1，∴在Rt△CON中，，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及垂徑定理，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．考查題型五利用垂徑定理求同心圓問題1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABC的邊BC=，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【答案】C【分析】連接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)可求得∠BOD=60°，從而求得答案.注意弦所對(duì)的圓周角有銳角和鈍角兩種情況.【詳解】①當(dāng)△ABC時(shí)銳角三角形時(shí)，連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，∴

，∵OB=2∴∴∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，∵=，∴；②當(dāng)△ABC時(shí)鈍角三角形時(shí)，如圖，由①可知∠E=60°，∵四邊形ABEC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠A=180°，∴∠A=180°-60°=120°.故∠A的度數(shù)為60°或120°.故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.3．（2021·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦的長(zhǎng)為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為．【答案】【分析】先根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．4．（2022浙江杭州·九年級(jí)）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為2和4，矩形的邊和分別是兩圓的弦，則矩形面積的最大值是．【答案】16【分析】過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長(zhǎng)交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大，過點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△AOD的最大值，從而求出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長(zhǎng)交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據(jù)垂徑定理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)N分別為AB和CD的中點(diǎn)，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長(zhǎng)∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大過點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD（當(dāng)且僅當(dāng)OD⊥OA時(shí)，取等號(hào)）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷=16故答案為：16．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關(guān)系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關(guān)系推導(dǎo)面積關(guān)系和垂線段最短是解決此題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．考查題型六利用垂徑定理求解其他問題1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系、垂徑定理的推論，牢記垂徑定理的推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧）是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)求解即可．【詳解】解：∵是銳角三角形的外接圓，，∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，∴，∵的周長(zhǎng)為21，∴即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示一個(gè)圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為60cm，水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為cm．【答案】12【分析】連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，如圖所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直徑為60cm，∴OB＝OC＝30cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），即水的最大深度為12cm，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，4），（5，4），（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是．【答案】（3，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點(diǎn)D即為圓心，且坐標(biāo)是（3，1）．故答案為：（3，1）．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的推論，能夠準(zhǔn)確確定一個(gè)圓的圓心．5．（2022秋·江西南昌·九年級(jí)深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，，，以為半徑的交于D，求的長(zhǎng)．【答案】．【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，過C作，交于點(diǎn)M，由垂徑定理可知M為的中點(diǎn)，由三角形的面積可求出的長(zhǎng)，在中，根據(jù)勾股定理可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在中，，，，∴．過C作，交于點(diǎn)M，如圖所示，∴M為的中點(diǎn)，∵，且，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．考查題型七垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來(lái)大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】由三角形有一個(gè)外接圓可得答案．【詳解】解：∵要恢復(fù)圓形鏡子，則碎片中必須有一段完整的弧，才能確定這條弧所在的圓的圓心和半徑，∴只有③符合題意，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)殘弧確定殘弧所在圓的圓心與半徑，理解題意是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于，兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（

）

A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分【答案】D【分析】首先過的圓心作于，交于，連接，由垂徑定理，即可求得的長(zhǎng)，繼而求得的長(zhǎng)，又由從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海面的時(shí)間為16分鐘，即可求得“圖上”太陽(yáng)升起的速度．【詳解】解：過的圓心作于，交于，連接，

∴（厘米），在中，（厘米），∴（厘米），∵從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海面的時(shí)間為16分鐘，∴（厘米/分）．∴“圖上”太陽(yáng)升起的速度為厘米/分．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長(zhǎng)為寸．

【答案】26【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求出的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．【詳解】解：連接，

，且寸，寸，設(shè)圓的半徑的長(zhǎng)為，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，化簡(jiǎn)得：，即，（寸）．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測(cè)量球的半徑．嘉嘉經(jīng)過思考找到了測(cè)量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高，底面內(nèi)徑，球的最高點(diǎn)到瓶底的距離為，則球的半徑為．

【答案】【分析】連接，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理即可求得長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)圓的半徑為，

，，，，，在中，，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，在圓內(nèi)利用垂直于弦的直徑構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法．5．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)臨沂第九中學(xué)?？计谥校┩曹囀俏覈?guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦為6米，⊙O半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，求點(diǎn)C到弦所在直線的距離．【答案】點(diǎn)C到弦所在直線的距離為米．【分析】連接交于，連接，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：如圖2，連接交于，連接，點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，，米，（米，在中，（米，點(diǎn)到弦所在直線的距離米，點(diǎn)C到弦所在直線的距離為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．1．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，是弦，于點(diǎn)，則下列結(jié)論中不成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理及線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，，∴，∴AB是CD的垂直平分線，∴，故項(xiàng)不符合題意；∵是的直徑，，∴，故項(xiàng)不符合題意；∵是的直徑，，∴，∴AB是CD的垂直平分線，∴，故項(xiàng)不符合題意；無(wú)法證明和的大小關(guān)系，故項(xiàng)符合題意；故選．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，且，垂足為，連接．若，，則的長(zhǎng)為（）

A．10 B．5 C． D．【答案】C【分析】連接，由是的直徑，是的弦，且，可得的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，從而得出的長(zhǎng)，最后再由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：連接，

，是的直徑，是的弦，且，，，，，在中，，，在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的弦垂直于，點(diǎn)為垂足，連接．若，，則的值是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，根據(jù)垂徑定理可求出的值，再證，可得，根據(jù)正方形的判定可得四邊形為正方形，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，

∴根據(jù)垂徑定理得，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為正方形，是正方形的對(duì)角線，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)值，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點(diǎn)，連接，與弦交于點(diǎn)，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【分析】首先利用垂徑定理的推論得出，，再設(shè)的半徑為，則．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出即可．【詳解】解：是的一部分，是的中點(diǎn)，，，．設(shè)的半徑為，則．在中，，，，，即的半徑為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)的半徑為，列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，弦交于點(diǎn)E，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，若，，則的長(zhǎng)為(

)

A． B．7 C．8 D．【答案】B【分析】作于點(diǎn)M，由題意可得出，從而可得出為等邊三角形，從而得到，再由已知得出，的長(zhǎng)，進(jìn)而得出，的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，再由勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】解：作于點(diǎn)M，

在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，，，則．

【答案】2【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的前提．7．（2023秋·河北張家口·九年級(jí)張家口東方中學(xué)?？计谀┤鐖D，的半徑為6cm，是弦，于點(diǎn)C，將劣弧沿弦折疊，交于點(diǎn)D，若D是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

【答案】/厘米【分析】連接，延長(zhǎng)交弧于，可證，從而可求，由，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，延長(zhǎng)交弧于，

由折疊得：，是的中點(diǎn)，，，，，，在中，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握相關(guān)的性質(zhì)，構(gòu)建出由弦、弦心距、半徑組成的直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，的半徑是，是的內(nèi)接三角形，過圓心分別作，，的垂線，垂足為，，，連接．若，則．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出，再結(jié)合垂徑定理及三角形的中位線求解．【詳解】解：連接，如圖．在中，．，，，且是的圓心，，，，是的中位線，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的半徑為2，將劣弧（虛線）沿弦折疊后交弦于點(diǎn)D，連接．若，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為，則⊙O與⊙設(shè)等圓，是公共的圓周角，所以可以證得，設(shè)⊙O的半徑為R，過O作于G，可得，，即，根據(jù)勾股定理可得，即可求得．【詳解】設(shè)折疊后的所在圓的圓心為，連接，∴連接，

同理，∴∵⊙O與⊙是等圓∴設(shè)⊙O的半徑為R過O作于G∵，∴，∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓中的折疊變換，垂徑定理等，注意等圓中的公共角，公共弦，公共弧，這些都是相等的，利用這些等量關(guān)系，是解決此類題的突破口．10．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖，是直徑，點(diǎn)C在上，垂足為D，點(diǎn)E是上動(dòng)點(diǎn)（不與C重合），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，若，，則的最大值為．【答案】7.5【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接、，根據(jù)垂徑定理得到，推出，得到當(dāng)取最大值時(shí)，也取得最大值，然后在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接、，∵，即，且是的直徑，∴，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)取最大值時(shí)，也取得最大值，設(shè)的半徑為r，則，在中，，∴，解得：，∴的最大值為15，∴的最大值為7.5，故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．11．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點(diǎn)，若，．

(1)求的長(zhǎng)；(2)若大圓半徑為，求小圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）作，垂足為E，根據(jù)垂徑定理得到，，即可得到的長(zhǎng)；（2）連接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可．【詳解】（1）解：作，垂足為E，

由垂徑定理知，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）連接，∵在中，，∴．在中，∵，∴．即小圓的半徑為．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）已知：如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點(diǎn)，且與C點(diǎn)在同側(cè)，畫出的平分線．并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若，畫出的平分線．【答案】(1)畫圖，理由見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）作直徑，作射線即可，理由見解析；（2）連接，交于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，作射線即可，由可得，從而得出，從而得出，再由等腰三角形性質(zhì)得出，推出，最后得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖①，即為所求的平分線；