河南省鄭州市高三下學(xué)期二模試題數(shù)學(xué)

2024年高中畢業(yè)年級(jí)第二次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．已知全集，集合A滿足，則A． B． C． D．2．?dāng)?shù)據(jù)6.0，7．4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位數(shù)為A．8.5 B．8.6 C．8.7 D．8.83．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則A．或36 B． C．36 D．184．中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m（）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．若，，則b的值可以是A．2018 B．2020 C．2022 D．20245．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽到的樂音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)（），則下列說法正確的是A．的一個(gè)周期為 B．的最大值為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)6．在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.5，0.6和，0.7，且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，測試結(jié)束后，在甲、乙，丙三人中恰有兩人沒有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的條件下，乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為A． B． C． D．8．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點(diǎn)P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為A． B． C． D．二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B，下列說法正確的是A． B．C．向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1 D．10．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)C，D，E與點(diǎn)，，分別是線段AB與的四等分點(diǎn)．若把矩形卷成以為母線的圓柱的側(cè)面，使線段與重合，則以下說法正確的是A．直線與異面 B．AE∥平面C．直線與平面垂直 D．點(diǎn)到平面的距離為11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，為偶函數(shù)，則A． B．為偶函數(shù)C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題；本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為．13．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則邊，點(diǎn)D在線段AB上，且的最大值為．14．已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為．四、解答題；本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”．有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場．第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來丙上場進(jìn)行第2局比賽，來替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場的人之后參加比賽．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．（Ⅰ）求前3局比賽甲都取勝的概率；（Ⅱ）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．16．（15分）已知函數(shù)（）．（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．17．（15分）如圖，在多面體DABCE中△ABC是等邊三角形，，．（Ⅰ）求證：BC⊥AE；（Ⅱ）若二面角A—BC—E為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值．18．（17分）已知橢圓E：（）過點(diǎn)，且焦距為．（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．①證明：直線MN必過定點(diǎn)﹔②若弦AB，CD的斜率均存在，求△MNS面積的最大值．19．（17分）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè)．（Ⅰ）寫出所有4的1增數(shù)列；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；（Ⅲ）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值．

鄭州市2024高三第二次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)（參考答案）一、單選題題號(hào)12345678答案BDCBDCCA二、多選題題號(hào)91011答案ADABDACD三、填寫題12．13．，14．15．解：（1）前3局比賽甲都不下場說明前3局甲都獲勝，故前3局甲都不下場的概率為．（2）X的所有可能取值為0，1，2，3．其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為．16．解：（1）函教定義域?yàn)椋?，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，因?yàn)?，所以．此時(shí)，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)．所以．（2）當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，則，令得；令得；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．17．證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO．∵△ABC是等邊三角形，O為BC中點(diǎn)，∴AO⊥BC，又，∴EO⊥BC，∵，∴BC⊥平面AEO，又平面AEO，BC⊥AE．（2）連接DO，則DO⊥BC，由，得，，又，∴，∴DO⊥AO，又，∴DO⊥平面ABC．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量為，則，即，取，則．∵∠AOE是二面角A—BC—E的平面角，∴，又，∴，，則，∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為．18．解：（1）依題意有，，解得，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)：（），，，則：（），聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當(dāng)，即時(shí)，：，過點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，，：（，），令，，∴直線MN恒過點(diǎn)．當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線MN過點(diǎn)．綜上，直線MN恒過點(diǎn)．（3），令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)取等號(hào)．故△MNS面積的最大值為．19．解：（1）由題意得，則或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3．（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖趍的6增數(shù)列，所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且．若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以．若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，符合m的6增數(shù)列．所以，當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7．（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，若首項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以．當(dāng)，3，…，n時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)?，所以此時(shí)k不是最大值，所以．若，所以，所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1，所以k的值變大