結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移及影響線計(jì)算-位移法（建筑力學(xué)）

18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程建筑力學(xué)位移法位移法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解位移法的基本原理；2.理解位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)的確定；3.掌握等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程；4.熟練掌握用位移法計(jì)算連續(xù)梁和超靜定剛架?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】【引言】位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法。力法是以結(jié)構(gòu)中的多余未知力作為基本未知量，通過結(jié)構(gòu)的變形條件建立力法方程求出多余未知力后，再求出結(jié)構(gòu)的其它未知力。在一定的外因作用下，對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移之間恒具有一定的關(guān)系。因此，在結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，也可以將結(jié)構(gòu)中的某些未知位移作為基本未知量，先根據(jù)結(jié)構(gòu)的平衡條件求出這些基本未知量，然后利用位移與內(nèi)力之間的關(guān)系求出相應(yīng)的內(nèi)力。這個(gè)方法是以未知的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，故稱為位移法。位移法18.1等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程一、等截面單跨超靜定梁的概念在位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，常需要把所有的桿件全部處理成為等截面單跨超靜定梁，而各桿兩端的位移則為單跨梁的支座位移。所謂等截面單跨超靜定梁，顧名思義就是桿件的橫截面都相同、只有一跨的超靜定梁（以下簡(jiǎn)稱為單超梁），這樣的梁有三種形式，分別是兩端固定的單跨超靜定梁、一端固定一端鉸支的單跨超靜定梁和一端固定一端定向（滑動(dòng)）的單跨超靜定梁。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程如圖1.兩端固定的單跨超靜定梁、2.一端固定一端鉸支的單跨超靜定梁3.一端固定一端定向（滑動(dòng)）的單跨超靜定梁18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程二、作用在單超梁上的外因作用在單超梁上的外因，分為有兩種：一種是支座位移，另一種是荷載。1．支座位移：又可以分為支座轉(zhuǎn)角和支座桿端相對(duì)線位移兩種。（1）支座轉(zhuǎn)角：

A、

B，規(guī)定以順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)，如圖。（2）支座桿端相對(duì)線位移：

,規(guī)定使桿端A、B連線的弦轉(zhuǎn)角

產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,反之為負(fù),如圖。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程2．荷載：作用在單超梁上的荷載，一般有均布荷載、集中力、集中力偶三種，如圖所示，其中均布荷載和集中力經(jīng)常以向下為正，集中力偶以順時(shí)針形式出現(xiàn)?；A(chǔ)層教學(xué)教學(xué)18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程三、單超梁在外因作用下的桿端內(nèi)力1．單超梁受支座位移作用引起的桿件兩端的內(nèi)力——桿端內(nèi)力單超梁在支座位移作用下，梁的支座反力及內(nèi)力都可以用上一章介紹的力法求得。在位移法中，將單超梁由于支座位移作用引起的桿件兩端的內(nèi)力，稱為桿端內(nèi)力，分為桿端彎矩與桿端剪力，分別用MAB、FSAB等表示。其中桿端彎矩規(guī)定繞桿端以順時(shí)針為正，繞支座（或結(jié)點(diǎn)）以逆時(shí)針為正；桿端剪力仍然規(guī)定繞桿端或繞支座（結(jié)點(diǎn)）以順時(shí)針為正，如圖所示。2．單超梁受荷載作用引起的桿件兩端的內(nèi)力——固端內(nèi)力單超梁在荷載作用下，梁的支座反力及內(nèi)力仍然都可以用上一章介紹的力法求得。在位移法中，將單超梁由于荷載作用引起的桿件兩端的內(nèi)力，稱為固端內(nèi)力，分為固端彎矩與固端剪力，分別用、等表示，其中上角標(biāo)F表示固端內(nèi)力是由于荷載作用引起的。其中固端彎矩與上面桿端彎矩一樣，也規(guī)定繞桿端以順時(shí)針為正，繞支座（或結(jié)點(diǎn)）以逆時(shí)針為正；固端剪力仍然規(guī)定繞桿端或繞支座（結(jié)點(diǎn)）以順時(shí)針為正。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程為了計(jì)算方便,將三種單超梁受支座位移作用引起的桿端內(nèi)力全部用力法求得,并列于表18-1中。其中稱為單超梁的線剛度；將三種單超梁受荷載作用引起的固端內(nèi)力也全部用力法求得,并列于表18-2中。

18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-1單超梁的桿端內(nèi)力（1）思考：第1欄中，若變成右邊支座發(fā)生單位轉(zhuǎn)角，結(jié)果怎樣18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-1單超梁的桿端內(nèi)力（2）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-2單超梁的固端內(nèi)力（1）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-2單超梁的固端內(nèi)力（2）思考：若左右支座互換，結(jié)果又會(huì)怎樣？18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-2單超梁的固端內(nèi)力（3）同樣應(yīng)注意：左右支座若互換的結(jié)果。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程四、單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程如果單超梁受到支座移動(dòng)（包括支座轉(zhuǎn)角和支座桿端相對(duì)線位移）與各種荷載同時(shí)作用，則根據(jù)疊加原理，其桿端內(nèi)力可以由表18-1和表18-2中的相應(yīng)欄目的結(jié)果相疊加后得到。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程1．兩端固定單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程：如圖所示，兩端固定單超梁受到支座移動(dòng)與各種荷載同時(shí)作用，其中桿端A和B的角位移分別為θA和θB，A、B兩端在垂直于桿軸AB方向的相對(duì)線位移為Δ，梁上還作用有外荷載，則其桿端彎矩和剪力分別為：

（18-1）

（18-2）2．一端固定另端鉸支單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程：如圖所示，一端固定另端鉸支單超梁受到支座移動(dòng)與各種荷載同時(shí)作用，其中桿端A的角位移為θA，A、B兩端在垂直于桿軸AB方向的相對(duì)線位移為Δ，梁上還作用有外荷載，則其桿端彎矩和剪力分別為：

（18-3）

（18-4）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程3．一端固定另端定向單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程：如圖所示，一端固定另端定向單超梁受到支座移動(dòng)與各種荷載同時(shí)作用，其中桿端A的角位移為θA，梁上還作用有外荷載，則該桿的桿端彎矩和剪力分別為：

（18-5）

（18-6）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程上面的公式（18-1）～（18-6）稱為等截面單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程。它反映了桿端內(nèi)力與桿端位移及所作用荷載之間的關(guān)系。該6個(gè)公式今后可以直接應(yīng)用。例。如圖單超梁，設(shè)i=EI/4，試作其彎矩圖。已知：?A=8/i，

?B=4/i，q=6kN/m。解：如圖。（注意桿端彎矩的正負(fù)）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程作AB桿作彎矩圖的步驟如下：（1）根據(jù)桿端彎矩的正負(fù)確定彎矩弧線的轉(zhuǎn)向，由于MAB和MBA都為正，所以彎矩弧線繞桿端都是順時(shí)針方向的；如圖所示。（2）根據(jù)彎矩弧線的箭尾確定桿端的哪一側(cè)為受拉側(cè)，其中彎矩MAB弧線的箭尾在下面為下側(cè)受拉，彎矩MBA弧線的箭尾在上面為上側(cè)受拉。（3）將彎矩的豎標(biāo)值畫在桿端的受拉側(cè)，并連虛線；（4）用區(qū)段疊加法作出該桿的最后彎矩圖（由于AB桿段受均布荷載，所以在虛線疊加拋物線），如圖所示。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用前面介紹的位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，主要是根據(jù)基本結(jié)構(gòu)上添加約束處的平衡條件建立位移法方程進(jìn)行求解。位移法還可以先對(duì)基本結(jié)構(gòu)建立典型方程，再進(jìn)行求解。以如圖所示剛架介紹建立位移法典型方程的步驟。該剛架有兩個(gè)基本未知量，分別為結(jié)點(diǎn)B的角位移Z1和結(jié)點(diǎn)C的水平線位移Z2。

如果在結(jié)點(diǎn)B附加剛臂，可以阻止剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)；在結(jié)點(diǎn)C附加支座鏈桿，可以阻止結(jié)點(diǎn)水平位移。再令附加剛臂產(chǎn)生順時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角Z1，附加支座鏈桿產(chǎn)生正向的位移Z2，得到基本結(jié)構(gòu)如圖所示。由于基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)完全相同，但原結(jié)構(gòu)上并沒有附加剛臂和附加鏈桿，所以基本結(jié)構(gòu)上附加剛臂上的反力矩F1和附加鏈桿上的反力F2均為零。即

（a）18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用根據(jù)疊加原理，把基本結(jié)構(gòu)中F1、F2分解成下面三種情況的疊加：（1）基本結(jié)構(gòu)在原荷載作用下的計(jì)算；（2）基本結(jié)構(gòu)在Z1單獨(dú)作用時(shí)的計(jì)算；（3）基本結(jié)構(gòu)在Z2單獨(dú)作用時(shí)的計(jì)算。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用（1）基本結(jié)構(gòu)在原荷載單獨(dú)作用下的計(jì)算：如圖可以根據(jù)表18-2先求出各桿的固端彎矩和固端剪力，再根據(jù)B點(diǎn)的力矩平衡條件以及BA、BC桿端的固端彎矩求得附加剛臂上的反力矩F1F；根據(jù)剪力隔離體的平衡以及BA、CD桿端的固端剪力求得附加支座鏈桿中的反力F2F。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用（2）基本結(jié)構(gòu)在Z1單獨(dú)作用時(shí)的計(jì)算：如圖使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)B發(fā)生轉(zhuǎn)角位移Z1，但結(jié)點(diǎn)C不動(dòng)（即Z2=0）。根據(jù)B點(diǎn)的力矩平衡條件以及BA、BC桿端的桿端彎矩求得附加剛臂上的反力矩F11；根據(jù)剪力隔離體的平衡以及BA、CD桿的桿端剪力求得附加支座鏈桿中的反力F21。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用（3）基本結(jié)構(gòu)在Z2單獨(dú)作用時(shí)的計(jì)算：如圖使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)C發(fā)生結(jié)點(diǎn)水平線位移Z2，但結(jié)點(diǎn)B不動(dòng)（Z1=0）。根據(jù)B點(diǎn)的力矩平衡條件以及BA、BC桿端的桿端彎矩求得附加剛臂上的反力矩F12；根據(jù)剪力隔離體的平衡以及BA、CD桿的桿端剪力求得附加支座鏈桿中的反力F22。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用疊加以上三種情況，得基本結(jié)構(gòu)在荷載和結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2共同作用下附加剛臂的反力矩F1和附加鏈桿上的反力F2，根據(jù)原結(jié)構(gòu)的平衡條件，有：

F1=F1F+F11+F12=0(a)

F2=F2F+F21+F22=0根據(jù)疊加原理，F(xiàn)11、F21、F12、F22與Z1、Z2的關(guān)系為：

Fij=kijZj代入式（a）可得：

F1=k11Z1+k12Z2+F1F=0(18-8)

F2=k21Z1+k22Z2+F2F=018.5位移法的典型方程及其應(yīng)用式中符號(hào)意義：k11、k21——基本結(jié)構(gòu)在剛結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角位移Z1＝1單獨(dú)作用(而Z2＝0)時(shí)，在附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩和附加鏈桿中產(chǎn)生的反力；k12、k22——基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位線位移Z2＝1單獨(dú)作用(而Z1＝0)時(shí)，在附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩和附加鏈桿中產(chǎn)生的反力。在上面所有外因作用下引起附加約束的反力中，附加剛臂上反力矩的正負(fù)，規(guī)定與附加剛臂的正向轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致，即順時(shí)針方向?yàn)檎桓郊又ё湕U上反力的正負(fù)，規(guī)定與附加支座鏈桿的正向移動(dòng)方向一致，即位移向右使豎桿產(chǎn)生順時(shí)針方向的弦轉(zhuǎn)角為正。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用公式(18-8)就是具有兩個(gè)基本未知量Z1和Z2的位移法方程，稱為位移法的典型方程。式(18-8)中的每一方程表示基本結(jié)構(gòu)中與每一基本未知量相應(yīng)的附加約束處約束力等于零的平衡條件。若原結(jié)構(gòu)是具有n個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)，其基本結(jié)構(gòu)就有n個(gè)附加約束，也就有n個(gè)附加約束處的平衡條件,即n個(gè)平衡方程。顯然，可由n個(gè)平衡方程解出n個(gè)基本未知量，即：

（18---9）在建立位移法方程時(shí)，基本未知量Z1、Z2…、Zn均假設(shè)為正，即假設(shè)結(jié)點(diǎn)角位移為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，結(jié)點(diǎn)線位移使桿產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。計(jì)算結(jié)果為正時(shí)，說明實(shí)際的位移方向與所設(shè)方向一致；計(jì)算結(jié)果為負(fù)時(shí)，說明實(shí)際的位移方向與所設(shè)方向相反。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用例18-4用位移法典型方程計(jì)算例18-3所示剛架，作最后彎矩圖。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用解：（1）確定基本未知量和基本結(jié)構(gòu)剛架有兩個(gè)基本未知量,即剛結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角位移Z1和結(jié)點(diǎn)D的線位移Z2.在結(jié)點(diǎn)C加附加剛臂，在結(jié)點(diǎn)D加附加水平支座鏈桿，并使附加剛臂順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)Z1，附加支座鏈桿向右產(chǎn)生位移Z2（使豎桿的弦轉(zhuǎn)角為順時(shí)針方向），得到基本結(jié)構(gòu)如右圖所示。（2）建立位移法典型方程F1=k11Z1+k12Z2+F1F=0F2=k21Z1+k22Z2+F2F=0（3）計(jì)算方程的系數(shù)和自由項(xiàng)令i=EI/4，則iAC=iBD=EI/4=i，iCD=3EI/6=2i

18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用1）基本結(jié)構(gòu)在單位轉(zhuǎn)角單獨(dú)作用下的計(jì)算查表18-1，得到各桿端彎矩：作出單位彎矩圖圖，

如圖。由單位彎矩圖圖以及結(jié)點(diǎn)C的力矩平衡，求k11根據(jù)平衡條件：∑MC=0，可得：k11

=4i+6i=10i18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用為計(jì)算k21，沿有側(cè)移的柱AC和BD柱頂處作一截面，取柱頂以上橫梁CD為剪力隔離體，如圖所示，建立水平投影方程（只有作用）查表18-可得，；而所以：18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用2）基本結(jié)構(gòu)在單位結(jié)點(diǎn)線位移單獨(dú)作用下的計(jì)算查表18-1，得到各桿端彎矩作出單位彎矩圖圖，如圖。由單位彎矩圖圖以及結(jié)點(diǎn)C的力矩平衡，求k12根據(jù)平衡條件：∑MC=0，可得：根據(jù)反力互等定理，得：18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用為計(jì)算k22，取柱頂以上橫梁CD為剪力隔離體，如圖，建立水平投影方程查表18-1，可得，所以：18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用3）基本結(jié)構(gòu)在原荷載單獨(dú)作用下的計(jì)算查表18-2，得到各桿的固端彎矩作出MF圖，如圖。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的MF圖以及結(jié)點(diǎn)C的力矩平衡，如圖，求F1F根據(jù)∑MC=0，可得：F1F

=018.5位移法的典型方程及其應(yīng)用取柱頂以上橫梁CD為建立剪力隔離體，如圖，建立水平投影方程查表18-2，可得，所以，18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用

(4) 解位移法方程，求解Z1、Z2將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，得（與前面相同的方程）解得：（）

（）18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用最后彎矩圖可以根據(jù)疊加原理求作，其公式為：各彎矩圖如圖所示。而結(jié)點(diǎn)位移：疊加以后，得到的最后彎矩圖如圖18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用總結(jié)本例用位移法的典型方程求解超靜定結(jié)構(gòu)的過程為：（1）確定基本未知量和建立基本結(jié)構(gòu)。確定原結(jié)構(gòu)的基本未知量即剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移和獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目。在原結(jié)構(gòu)產(chǎn)生剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移處添加附加剛臂阻止其轉(zhuǎn)動(dòng)，在獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移處添加附加支座鏈桿阻止其移動(dòng)，并令附加約束發(fā)生正向的位移，得到基本結(jié)構(gòu)。（2）建立位移法方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在原荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同作用下，在附加約束處的約束反力（力矩）等于零的條件，建立位移法方程。（3）計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。作基本結(jié)構(gòu)在單位結(jié)點(diǎn)位移Zi=1作用下的彎矩圖圖，再查表得到相關(guān)桿件的桿端剪力,由平衡條件計(jì)算方程的系數(shù)；作基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖MF圖,再查表得到相關(guān)桿件的固端剪力,由平衡條件計(jì)算方程的自由項(xiàng)。（4）解位移法方程，求出基本未知量。（5）作內(nèi)力圖。利用疊加公式，計(jì)算結(jié)構(gòu)各桿的桿端彎矩并作M圖；利用各桿力矩平衡方程計(jì)算各桿桿端剪力并作Fs圖；利用結(jié)點(diǎn)的平衡條件計(jì)算桿端軸力并作FN圖。18.5位移法的典型方程及其應(yīng)用位移法小結(jié)

位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量的求解超靜定結(jié)構(gòu)的另一基本方法。內(nèi)容主要包括位移法的求解思路、等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程及位移法的基本未知量、基本結(jié)構(gòu)及位移法方程的建立與求解。重點(diǎn)是會(huì)利用等截面直桿的桿端內(nèi)力表和固端內(nèi)力表計(jì)算各種外因影響下的桿端內(nèi)力，并熟練掌握用位移法計(jì)算超靜定梁和剛架，具體內(nèi)容如下：位移法小結(jié)1．等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程表示桿端內(nèi)力與桿端位移及所受荷載之間的關(guān)系,是位移法的基本公式。單位桿端位移產(chǎn)生的桿件兩端的內(nèi)力稱為桿端內(nèi)力；荷載作用下產(chǎn)生的桿件兩端的內(nèi)力稱為固端內(nèi)力。位移法是以力法解得的三種單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力和固端內(nèi)力作為計(jì)算基礎(chǔ)。注意位移法中關(guān)于結(jié)點(diǎn)位移和桿端內(nèi)力、固端內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定。位移法小結(jié)

2．位移法的基本未知量是結(jié)構(gòu)上的結(jié)點(diǎn)位移，包括剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移的數(shù)目等于結(jié)構(gòu)剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目；獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目等于將剛結(jié)點(diǎn)改為鉸結(jié)點(diǎn)后得到的鉸接鏈桿體系成為幾何不變所需附加的最少鏈桿數(shù)目。3．位移法是在原超靜定結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點(diǎn)處附加剛臂、在獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移方向附加鏈桿后，變成的一個(gè)若干超靜定梁的組合體,即位移法的基本結(jié)構(gòu)。在基本結(jié)構(gòu)上作用有原結(jié)構(gòu)的原荷載以及附加約束產(chǎn)生正向的結(jié)點(diǎn)位移。4．位移法分為直接平衡法和典型方程法兩種解題思路。直接平衡法是以桿件的轉(zhuǎn)角位移方程為基礎(chǔ)直接寫平衡方程的方法，對(duì)應(yīng)每一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)的未知角位移,可以寫一個(gè)結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程。對(duì)應(yīng)每一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移，可以寫一個(gè)截面剪力平衡方程。平衡方程的數(shù)目與基本未知量的數(shù)目正好相等。5．位移法的典型方程也是平衡方程。是根據(jù)疊加原理，對(duì)每一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)寫一個(gè)結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程；對(duì)應(yīng)每一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移寫一個(gè)隔離體的剪力平衡方程。平衡方程的數(shù)目與基本未知量的數(shù)目也相等。位移法小結(jié)6．力法與位移法的比較位移法力法基本未知量獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移，基本未知量與超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)無關(guān)。多余未知力，基本未知量的數(shù)目等于超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。基本結(jié)構(gòu)添加附加約束后的若干單超梁的一個(gè)組合體。對(duì)同一超靜定結(jié)構(gòu)，位移法的基本結(jié)構(gòu)是唯一的。去掉多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，同一超靜定結(jié)構(gòu)可以選取多個(gè)不同的基本結(jié)構(gòu)。典型方程的物理意義基本結(jié)構(gòu)附加約束上的反力（矩）等于零，實(shí)質(zhì)上是原結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件，方程右端項(xiàng)總為零?；窘Y(jié)構(gòu)沿多余未知力方向的位移等于原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移，實(shí)質(zhì)上是位移條件。方程右端項(xiàng)也可能不為零（等于原來的位移）系數(shù)的物理意義Kij

表示基本結(jié)構(gòu)由單位結(jié)點(diǎn)位移Zj=1單獨(dú)作用時(shí)，在第i個(gè)附加約束上產(chǎn)生的約束力。δij表示基本結(jié)構(gòu)在單位多余未知力Xj=1單獨(dú)作用時(shí)，產(chǎn)生的Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移。自由項(xiàng)的物理意義FiF

表示基本結(jié)構(gòu)由原荷載單獨(dú)作用時(shí)，在第i個(gè)附加約束上產(chǎn)生的約束力。ΔiF表示基本結(jié)構(gòu)在原荷載單獨(dú)作用時(shí)，產(chǎn)生的Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)一、位移法的基本未知量通過上面的內(nèi)容介紹可知，如果將超靜定結(jié)構(gòu)上每根桿件都變成單超梁，并求得兩端的轉(zhuǎn)角位移和垂直于桿軸的相對(duì)線位移，則各桿的內(nèi)力均可根據(jù)公式（18-1）～（18-6）確定。由于超靜定結(jié)構(gòu)中的桿件是在結(jié)點(diǎn)處相互連接的，匯交于某剛結(jié)點(diǎn)處的各桿桿端位移相等，且等于結(jié)點(diǎn)位移。因此，在位移法中，基本未知量應(yīng)是剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移。在計(jì)算時(shí)，應(yīng)首先確定剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)1．剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移由于結(jié)構(gòu)滿足變形協(xié)調(diào)條件，匯交于同一剛結(jié)點(diǎn)處各桿端的轉(zhuǎn)角相等且等于剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。所以，每一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)角位移。在結(jié)構(gòu)的固定支座處，其轉(zhuǎn)角為零或是已知的支座位移；鉸結(jié)點(diǎn)或鉸支座處的桿端轉(zhuǎn)角不是獨(dú)立的位移，確定桿件內(nèi)力時(shí)并不需要知道它們的數(shù)值，可不作為基本未知量。因此，超靜定結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移未知量的數(shù)目就等于剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)如圖所示剛架，A、B、C均為固定支座，它們的轉(zhuǎn)角為零；結(jié)點(diǎn)E為鉸結(jié)點(diǎn)；D、F都是剛結(jié)點(diǎn)，分別產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)角位移

D和

F，在位移法中，未知量都用Z表示，結(jié)點(diǎn)角位移

D和

F分別用Z1和Z2表示。因此，該剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。為了限制剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移，需要在剛結(jié)點(diǎn)上施加附加剛臂“”。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)2．獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移在超靜定梁及剛架的計(jì)算中，為了減少基本未知量的個(gè)數(shù)，使計(jì)算得到簡(jiǎn)化，通常忽略各桿的軸向變形對(duì)位移的影響，并假設(shè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角θ和各桿弦轉(zhuǎn)角φ都是微小的。因而認(rèn)為受彎直桿兩端之間的距離在變形后仍保持不變，這樣，每一根受彎直桿就相當(dāng)于一個(gè)約束，從而減少了獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)圖示剛架，A、B、C是固定端,由于AD、BE、CF兩端距離保持不變,因此在微小位移的情況下，結(jié)點(diǎn)D、E、F都沒有豎向位移。結(jié)點(diǎn)D、E、F雖然有水平線位移，但由于桿DE、EF長(zhǎng)度不變,故三結(jié)點(diǎn)D、E、F均有相同的水平位移,用Z3表示。所以,該剛架只有一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。為了限制結(jié)點(diǎn)線位移,需要在結(jié)點(diǎn)上添加附加支座鏈桿“”下面介紹如何確定位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移其數(shù)目在位移法中，對(duì)于超靜定剛架，由于不考慮各桿長(zhǎng)度的改變，因此，獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目，可以用幾何組成分析的方法確定，即“結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)化、增設(shè)外鏈桿”的方法：把剛架所有剛結(jié)點(diǎn)和固定支座都改為鉸結(jié)點(diǎn)，得到一個(gè)相應(yīng)的鉸接鏈桿體系，若此體系一般是幾何可變或瞬變體系，則為使其成為幾何不變所需添加的最少（支座）鏈桿數(shù)目即為原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)左圖圖示剛架，若把所有的剛結(jié)點(diǎn)和固定支座都改為鉸結(jié)點(diǎn)，得到右圖所示鉸接鏈桿體系，它是幾何可變的，但是添加一根非豎向鏈桿就能使其成為幾何不變體系，因此，原剛架只有一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)位移法的基本未知量包括剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移，因此其數(shù)目等于超靜定結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移之和。圖示剛架的全部基本未知量共有三個(gè)：即剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移Z1、Z2和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移Z3。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)圖示剛架有三個(gè)剛結(jié)點(diǎn)E、F、G，因而有三個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移。其相應(yīng)的鉸接鏈桿體系如中圖所示，需在結(jié)點(diǎn)E、G處加入兩根水平附加鏈桿后體系才能成為幾何不變。故原結(jié)構(gòu)有五個(gè)基本未知量：即三個(gè)剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移和兩個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)二、位移法的基本結(jié)構(gòu)在確定的位移法的基本未知量以后,在產(chǎn)生剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移的剛結(jié)點(diǎn)上,添加附加剛臂“”，限制剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)；在產(chǎn)生獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)點(diǎn)上，添加附加支座鏈桿“”，限制獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。原超靜定結(jié)構(gòu)在添加了附加約束后，變成為若干單超梁的組合體即位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)。18.3位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)18.2位移法的基本原理18.2位移法的基本原理以圖示連續(xù)梁為例說明。圖示等截面連續(xù)梁，設(shè)各桿的抗彎剛度都等于EI，線剛度都為（i=EI/l），在均布荷載作用下產(chǎn)生如圖中虛線所示的變形。其中桿AB和桿BC在B點(diǎn)處剛性連接，在B端兩桿產(chǎn)生相同的角位移

B。18.2位移法的基本原理18.2位移法的基本原理位移法研究時(shí)，設(shè)想將該連續(xù)梁的兩根桿件經(jīng)過處理，變成如圖所示的單超梁，其中桿AB為兩端固定梁在B端發(fā)生角位移

B；桿BC為B端固定、C端鉸支的梁，在B端也發(fā)生角位移

B，且在梁上受均布荷載作用。如果能求得單超梁的支座轉(zhuǎn)角

B，各單超梁即可以按照公式（18-1）～（18-6）計(jì)算桿端內(nèi)力，作最后內(nèi)力圖。下面介紹如何計(jì)算角位移

B。為了實(shí)現(xiàn)上面的設(shè)想并進(jìn)行計(jì)算，我們假設(shè)在連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)B處加入一附加剛臂，其符號(hào)為“”，如圖所示，附加剛臂的作用是約束B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，而不能約束移動(dòng)。由于結(jié)點(diǎn)B原來無線位移，所以加入此附加剛臂后，B點(diǎn)就不能產(chǎn)生任何位移了，即相當(dāng)于固定端。于是原結(jié)構(gòu)變成了AB和BC兩個(gè)單超梁的組合體，我們稱該組合體為位移法的基本結(jié)構(gòu)。18.2位移法的基本原理基本結(jié)構(gòu)原來已受荷載作用,再使B點(diǎn)處的附加剛臂轉(zhuǎn)過與實(shí)際變形相同的轉(zhuǎn)角Z1=

B,就可使基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同，如圖。因此可以用基本結(jié)構(gòu)代替原結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。在這里，Z1是剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角,是位移法的基本未知量,由于Z1又是單超梁的支座位移,所以先假定為正,即按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。

18.2位移法的基本原理研究基本結(jié)構(gòu)上B點(diǎn)的平衡，如圖所示，根據(jù)∑MB=0,可得：

MBA+MBC=0（a）其中MBA和MBC都為單超梁的桿端彎矩，對(duì)圖示各桿可以按公式（18-1）～（18-6）計(jì)算，即：18.2位移法的基本原理將MBA和MBC的表達(dá)式代入到上面的平衡方程（a）式中，可得：解得：（）求得Z1為正，說明轉(zhuǎn)角Z1（

B）與假設(shè)方向一致，即為順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。將其代入到MBA和MBC的表達(dá)式中，可得

而A端的桿端彎矩為：18.2位移法的基本原理18.2位移法的基本原理求得各桿的桿端彎矩以后，就可以應(yīng)用區(qū)段疊加法作出連續(xù)梁的最后彎矩圖，如圖所示。將其中作AB桿作彎矩圖的步驟如下：（1）根據(jù)桿端彎矩的正負(fù)確定彎矩弧線的轉(zhuǎn)向，由于MAB和MBA都為正，所以彎矩弧線繞桿端都是順時(shí)針方向的；如圖所示。（2）根據(jù)彎矩弧線的箭尾確定桿端的哪一側(cè)為受拉側(cè)，其中彎矩MAB弧線的箭尾在下面為下側(cè)受拉，彎矩MBA弧線的箭尾在上面為上側(cè)受拉。（3）將彎矩的豎標(biāo)值畫在桿端的受拉側(cè)，并連虛線；（4）用區(qū)段疊加法作出該桿的最后彎矩圖（由于AB桿段無荷載，所以可以將虛線直接變成實(shí)線），如圖所示。18.2位移法的基本原理歸納上面位移法的思路，其過程如下：1．位移法是以結(jié)點(diǎn)位移（剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為其中之一）作為基本未知量，通過添加附加約束限制結(jié)點(diǎn)位移（附加剛臂限制剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其他形式的結(jié)點(diǎn)位移用其他約束限制），使原超靜定結(jié)構(gòu)變成若干單超梁的組合體，即位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)；2．在添加附加約束處列出相應(yīng)的平衡條件。例如附加剛臂限制了剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以建立的平衡條件為力矩平衡條件；3．根據(jù)公式（18-1）～（18-6）分別列出各單超梁在原荷載以及支座位移共同作用下的桿端內(nèi)力表達(dá)式；4．將表達(dá)式代入到平衡條件中，求出結(jié)點(diǎn)位移值；5．將求得的結(jié)點(diǎn)位移值再代回到桿端內(nèi)力表達(dá)式中，求出各桿端最后內(nèi)力，作出最后內(nèi)力圖。18.2位移法的基本原理18.4位移法的計(jì)算示例18.4位移法的計(jì)算示例18.4位移法的計(jì)算示例一、位移法計(jì)算連續(xù)梁在位移法計(jì)算連續(xù)梁時(shí)，一般情況下，只有剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移而沒有結(jié)點(diǎn)線位移。所以，只需要在剛結(jié)點(diǎn)上添加附加剛臂，即可取得基本結(jié)構(gòu)。例18-1用位移法計(jì)算如圖所示連續(xù)梁，并作內(nèi)力圖，已知EI=常數(shù)。解：（1）確定基本未知量和基本結(jié)構(gòu)連續(xù)梁有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)B，基本未知量為結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角位移Z1

。在結(jié)點(diǎn)B加附加剛臂，并使剛臂順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)Z1，得到基本結(jié)構(gòu)如圖所示。（2）建立平衡條件：如右圖所示，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)上添加附加剛臂B處的力矩平衡條件，即：∑MB=0,可得：MBA+MBC=018.4位移法的計(jì)算示例對(duì)基本結(jié)構(gòu)來說，在加了附加剛臂后，AB桿變成為兩端固定的單超梁，BC桿變成為一端固定一端鉸支的單超梁，所以可以根據(jù)公式（18-1）～（18-6）分別列出桿端彎矩表達(dá)式,令i=EI/24，則iAB=3i,iBC=4i

，因此：18.4位移法的計(jì)算示例（3）將桿端彎矩表達(dá)式代入平衡條件，得：24iZ1－12=0解得：（）求得的Z1為正,說明剛結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角為順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。（4）求各桿端最后彎矩，作最后彎矩圖18.4位移法的計(jì)算示例根據(jù)各桿端最后彎矩作彎矩圖，如圖所示，其中AB桿與BC桿根據(jù)各自的最后桿端彎矩正負(fù)，可作示意圖如圖所示，顯然AB桿兩端都是上側(cè)受拉，BC桿的B端也是上側(cè)受拉。用區(qū)段疊加法可以作出最后彎矩圖。18.4位移法的計(jì)算示例（5）根據(jù)彎矩圖作剪力圖分別截取AB桿與BC桿畫隔離體的受力圖，如圖所示。根據(jù)平衡條件，可以推導(dǎo)出公式（過程略）(18-7)：

上面式中為將AB當(dāng)作簡(jiǎn)支梁時(shí)在原荷載作用下AB桿A端的剪力18.4位移法的計(jì)算示例所以：18.4位移法的計(jì)算示例根據(jù)各桿端最后剪力作剪力圖，如圖所示。18.4位移法的計(jì)算示例總結(jié)本例，位移法有兩個(gè)要點(diǎn)：一個(gè)是在原結(jié)構(gòu)上添加附加約束，并使附加約束產(chǎn)生正向的位移，從而得到基本結(jié)構(gòu)后，需要分析原結(jié)構(gòu)各桿都變成了哪一種單超梁，并受到哪些作用？（從而可以寫出各桿端的轉(zhuǎn)角位移方程）二是應(yīng)建立什么平衡條件？18.4位移法的計(jì)算示例二、位移法計(jì)算無側(cè)移剛架無側(cè)移剛架的各結(jié)點(diǎn)只有轉(zhuǎn)角位移而沒有線位移，這種剛架的計(jì)算與連續(xù)梁完全相似，下面舉例說明。例18-2用位移法計(jì)算如圖所示剛架，作彎矩圖。18.4位移法的計(jì)算示例解：(1)確定基本未知量和基本結(jié)構(gòu)：剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)B、C，沒有結(jié)點(diǎn)線位移，基本未知量為結(jié)點(diǎn)B、C的角位移Z1和Z2。在結(jié)點(diǎn)B、C添加附加剛臂，并使剛臂分別順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)Z1和Z2，得到基本結(jié)構(gòu)如圖所示。18.4位移法的計(jì)算示例（2）建立平衡條件：根據(jù)基本結(jié)構(gòu)上添加附加剛臂處的力矩平衡條件，可得：∑MB=0，

∑MC=0即：MBA+MBC+MBD=0，MCB+MCE=018.4位移法的計(jì)算示例（3）根據(jù)公式（18-1）～（18-6）分別列出上面的桿端彎矩表達(dá)式令i=EI/4，則橫桿iAB=