截面的幾何性質(zhì)-面積矩（建筑力學(xué)）

截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，與截面的幾何性質(zhì)有關(guān)。所謂截面的幾何性質(zhì)是指與構(gòu)件截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。如在拉（壓）桿應(yīng)力、變形和強(qiáng)度計(jì)算中遇到的截面面積Ａ，就是反映截面幾何性質(zhì)的一個(gè)量。在下面討論扭轉(zhuǎn)和彎曲的強(qiáng)度和剛度計(jì)算時(shí)，還將用到另外一些幾何性質(zhì)。本項(xiàng)目集中介紹這些幾何性質(zhì)的定義和計(jì)算方法。一、面積矩的定義圖5-1為一任意截面的幾何圖形（以下簡(jiǎn)稱圖形）。在圖形平面內(nèi)選取直角坐標(biāo)系如圖5-1所示。在圖形內(nèi)任取一微面積dＡ，圖5-1其坐標(biāo)為（ｙ，ｚ）。將乘積ｙdＡ和ｚdＡ分別稱為微面積dＡ對(duì)ｚ軸和ｙ軸的面積矩或靜矩，而把積分∫ＡｙdＡ和∫ＡｚdＡ分別定義為該圖形對(duì)ｚ軸

面積矩和ｙ軸的面積矩或靜矩，用符號(hào)Sｚ和Sｙ來表示，即：Sｚ＝∫ＡｙdＡ

Sｙ＝∫ＡｚdＡ由面積矩的定義可知，面積矩是對(duì)一定的軸而言的，同一平面圖形對(duì)不同的軸，面積矩不同。面積矩的數(shù)值可正、可負(fù)，也可為零。面積矩的量綱是長(zhǎng)度的三次方，其單位為m3或mm3。（5-1）

截面的幾何性質(zhì)二、面積矩與形心將式（5-1）代入平面圖形的形心坐標(biāo)公式（4-7），得ｙｃ＝SｚＡｚｃ＝SｙＡ或改寫為Sｚ＝Ａ·ｙｃSｙ＝Ａ·ｚｃ面積矩的幾何意義：圖形的形心相對(duì)于指定的坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度。圖形形心相對(duì)于某一坐標(biāo)距離愈遠(yuǎn)，對(duì)該軸的面積矩絕對(duì)值愈大。當(dāng)圖形對(duì)ｙ、ｚ軸的面積矩已知時(shí)，可用式（5-2）求圖形形心坐（5-2）（5-3）標(biāo)；反之，若已知圖形形心坐標(biāo)，即可根據(jù)式（5-3）計(jì)算圖形對(duì)ｙ、ｚ軸的面積矩。圖形對(duì)通過其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對(duì)某一軸的面積矩等于零，則該軸一定通過圖形形心。三、組合截面面積矩的計(jì)算工程結(jié)構(gòu)中有些構(gòu)件的截面是由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的，如工字形、T形和槽形等。這類截面稱為組合截面。由面積矩的定義可知，組合截面對(duì)某一軸的面積矩等于其各簡(jiǎn)單圖形對(duì)該軸面積矩的代數(shù)和，即Sｚ＝∑Sｚi＝∑ＡiｙiSｙ＝∑Sｙi＝∑Ａiｚi式中，Ａi和ｙi、ｚi分別為各簡(jiǎn)單圖形的面積和形心坐標(biāo)。（5-4）

截面的幾何性質(zhì)標(biāo)；反之，若已知圖形形心坐標(biāo)，即可根據(jù)式（5-3）計(jì)算圖形對(duì)ｙ、ｚ軸的面積矩。圖形對(duì)通過其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對(duì)某一軸的面積矩等于零，則該軸一定通過圖形形心。三、組合截面面積矩的計(jì)算工程結(jié)構(gòu)中有些構(gòu)件的截面是由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的，如工字形、T形和槽形等。這類截面稱為組合截面。由面積矩的定義可知，組合截面對(duì)某一軸的面積矩等于其各簡(jiǎn)單圖形對(duì)該軸面積矩的代數(shù)和，即Sｚ＝∑Sｚi＝∑ＡiｙiSｙ＝∑Sｙi＝∑Ａiｚi式中，Ａi和ｙi、ｚi分別為各簡(jiǎn)單圖形的面積和形心坐標(biāo)。（5-4）【例5-1】T形截面如圖5-2所示，圖中各部分尺寸單位為m。試求陰影部分面積對(duì)通過形心且與對(duì)稱軸ｙ垂直的ｚ0軸的面積矩。解：因T形截面形心位置未知，故應(yīng)首先確定形心位置，然后根據(jù)組合截面面積矩的計(jì)算公式，計(jì)算陰影部分對(duì)ｚ0軸的面積矩。（1）求T形截面形心位置。取正交參考坐標(biāo)軸ｙ、ｚ，因ｙ軸為對(duì)稱軸，所以ｚｃ＝0，只須計(jì)算ｙｃ值。將圖形分成形心分別為ｃ1和ｃ2的兩個(gè)矩形，它們的面積和形心ｙ坐標(biāo)為Ａ1＝0.6×0.12＝0.072（m2）Ａ2＝0.2×0.4＝0.08（m2）ｙ1＝0.06mｙ2＝0.12＋0.2＝0.32（m）

由式（4-12）得ｙｃ＝∑Ａiｙi/Ａ＝（Ａ1ｙ1＋Ａ2ｙ2）/（Ａ1＋Ａ2）＝（0.072×0.06＋0.08×0.32）/（0.072＋0.08）＝0.197（m）（2）計(jì)算陰影部分面積對(duì)ｚ0軸的面積矩。將陰影部分圖形分成形心分別為ｃ1和ｃ3的兩個(gè)矩形，應(yīng)用式（5-4）計(jì)算面積矩時(shí)，應(yīng)注意式中ｙi為各部分面積的形心在ｙOｚ0正交坐標(biāo)系下的坐標(biāo)Ａ1＝0.072m2Ａ3＝0.2×（0.197－0.12）＝0.0154（m2）ｙ1＝－（0.197－0.06）＝－0.137（m）ｙ3＝