2024屆北京市師范大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆北京市師范大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．點(diǎn)A（m+4，m）在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，則點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．某區(qū)選取了10名同學(xué)參加興隆臺(tái)區(qū)“漢字聽取大賽”，他們的年齡(單位：歲)記錄如下：年齡(單位：歲)1314151617人數(shù)22321這些同學(xué)年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．15，15 B．15，16 C．3，3 D．3，153．如圖，在三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且BD=2CD，BC=6cm，則點(diǎn)D到A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm4．用配方法解一元二次方程，下列變形正確的是（）A． B．C． D．5．下列運(yùn)算正確的是（）A．992＝（100﹣1）2＝1002﹣1 B．3a+2b＝5abC．＝±3 D．x7÷x5＝x26．已知一次函數(shù)y1=2x+m與y2=2x+n（m≠n）的圖象如圖所示，則關(guān)于x與y的二元一次方程組的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)7．邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．計(jì)算的正確結(jié)果是（）A． B．1 C． D．﹣19．下列命題是真命題的是（）A．如果a2=b2，那么a=bB．如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等C．相等的兩個(gè)角是對(duì)項(xiàng)角D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行10．如圖，直線l所表示的變量x，y之間的函數(shù)關(guān)系式為A． B． C． D．11．當(dāng)時(shí)，計(jì)算（）A． B． C． D．12．分式-11-x可變形為（A．-1x-1 B．1x-1 C．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，一個(gè)含有30°角的直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)放在一個(gè)矩形的對(duì)邊上，若∠1＝20°，則∠2＝_____．14．如圖，直線y=x+b與直線y=kx+6交于點(diǎn)P（3，5），則關(guān)于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．15．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件________使其成為菱形（只填一個(gè)即可）．16．如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是3，AB⊥OA，線段AB長(zhǎng)為2，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)C．則數(shù)軸上表示點(diǎn)C的數(shù)為_________.17．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，則∠CDB=__．18．若關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為______．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，分成了四個(gè)扇形區(qū)域，共有三種不同的顏色，其中紅色區(qū)域扇形的圓心角為.小華對(duì)小明說：“我們用這個(gè)轉(zhuǎn)盤來(lái)做一個(gè)游戲，指針指向藍(lán)色區(qū)域你贏，指針指向紅色區(qū)域我贏”.你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由.20．（8分）化簡(jiǎn)求值：，其中.21．（8分）某文具店從市場(chǎng)得知如下信息：A品牌計(jì)算器B品牌計(jì)算器進(jìn)價(jià)（元/臺(tái)）70100售價(jià)（元/臺(tái)）90140該文具店計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)這兩種品牌計(jì)算器共50臺(tái)，設(shè)該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)A品牌計(jì)算器x臺(tái)，這兩種品牌計(jì)算器全部銷售完后獲得利潤(rùn)為y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若全部銷售完后，獲得的利潤(rùn)為1200元，則購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌計(jì)算器的數(shù)量各是多少臺(tái)？（3）若購(gòu)進(jìn)計(jì)算器的資金不超過4100元，求該文具店可獲得的最大利潤(rùn)是多少元？22．（10分）（1）計(jì)算：（2）已知，求的值23．（10分）（1）因式分解：x3﹣8x2+16x．（2）解方程：2﹣＝．24．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)M是AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），連接并延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)G，將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CN，射線BN分別交AE的延長(zhǎng)線和GC的延長(zhǎng)線于D，F(xiàn)．（1）求證：△ACM≌△BCN；（2）求∠BDA的度數(shù)；（3）若∠EAC＝15°，∠ACM＝60°，AC＝+1，求線段AM的長(zhǎng)．25．（12分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，連接CE和AF.（1）求證：四邊形AECF為菱形.（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的周長(zhǎng).26．如圖，在?ABCD中，作對(duì)角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【解析】解：∵點(diǎn)A（m+4，m）在平角直角坐標(biāo)系的x軸上，∴m=0，∴點(diǎn)A（4，0），∴點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0）．故選A．2、A【解析】

根據(jù)眾數(shù)的定義和中位數(shù)的定義求解即可，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【詳解】解：根據(jù)10名學(xué)生年齡人數(shù)最多的即為眾數(shù)：15，

根據(jù)10名學(xué)生，第5,6名學(xué)生年齡的平均數(shù)即為中位數(shù)為：15+152【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是牢記定義，并能熟練運(yùn)用．3、C【解析】

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且BD=1CD，BC=9cm，則點(diǎn)D到AB的距離.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，

∵BD：DC=1：1，BC=6，

∴DC=11+2×6=1，

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，

∴DE=DC=1．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì).4、B【解析】

移項(xiàng)、方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行配方即可.【詳解】移項(xiàng),得：配方,即,故選B.【點(diǎn)睛】考查配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是把方程的左邊化成含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)形式.5、D【解析】試題解析：A、992=（100-1）2=1002-200+1，錯(cuò)誤；B、3a+2b=3a+2b，錯(cuò)誤；C、，錯(cuò)誤；D、x7÷x5=x2，正確；故選D．考點(diǎn)：1．同底數(shù)冪的除法；2．算術(shù)平方根；3．合并同類項(xiàng)；4．完全平方公式．6、A【解析】

圖象可知，一次函數(shù)y1=2x+m與y2=2x+n（m≠n）是兩條互相平行的直線，所以關(guān)于x與y的二元一次方程組無(wú)解．【詳解】∵一次函數(shù)y1=2x+m與y2=2x+n（m≠n）是兩條互相平行的直線，∴關(guān)于x與y的二元一次方程組無(wú)解．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組），方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．7、A【解析】連接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據(jù)HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過F作FZ⊥GI，過E作EN⊥GI于N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的長(zhǎng)，求出第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是a，是等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)的；同理第二個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是等邊三角形GHI的邊長(zhǎng)的；求出第五個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)，乘以即可得出第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)．連接AD、DF、DB．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，∵∠AFE=∠ABC=120°，∴∠AFD=∠ABD=90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，∴AD∥EF，∵G、I分別為AF、DE中點(diǎn)，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI=∠FAD=60°，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，∴∠EDM=60°=∠M，∴ED=EM，同理AF=QF，即AF=QF=EF=EM，∵等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)是a，∴第一個(gè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是a，即等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)的，過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，則FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四邊形FZNE是平行四邊形，∴EF=ZN=a，∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已證），∴∠GFZ=30°，∴GZ=GF=a，同理IN=a，∴GI=a+a+a=a，即第二個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是a，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法類似，可求出第二個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是×a；同理第第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是×a，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法類似，可求出第三個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是××a；同理第四個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是××a，第四個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是×××a；第五個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是×××a，第五個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是××××a；第六個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是××××a，第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是×××××a，即第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是×a，故選A．8、A【解析】9、D【解析】

利用平方的定義、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)及平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】A、如果a2=b2，那么a=±b，故錯(cuò)誤，是假命題；B、兩直線平行，同位角才相等，故錯(cuò)誤，是假命題；C、相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)項(xiàng)角，故錯(cuò)誤，是假命題；D、平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，正確，是真命題，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平方的定義、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)及平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系等知識(shí)，難度不大．10、B【解析】

根據(jù)圖象是直線可設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式:,根據(jù)一次函數(shù)圖象上已知兩點(diǎn)代入函數(shù)關(guān)系式可得:,解得:,繼而可求一次函數(shù)關(guān)系式.【詳解】根據(jù)圖象設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式:,由圖象經(jīng)過(0,0)和(1,2)可得:,解得:,所以一次函數(shù)關(guān)系為:,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握待定系數(shù)法.11、C【解析】

先確定a的取值范圍，再逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，然后合并即可.【詳解】∵，ab3≥0，∴a≤0.∴==.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，應(yīng)先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再合并同類二次根式即可.同類二次根式的合并方法是把系數(shù)相加減，被開方式和根號(hào)不變.12、B【解析】

根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形即可.【詳解】-11-x=故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，正確利用分式的基本性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、110°【解析】已知∠1＝20°，可求得∠3=90°-20°=70°，再由矩形的對(duì)邊平行，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠2+∠3=180°，即可得∠2=110°.14、x＞1.【解析】

∵直線y=x+b與直線y=kx+6交于點(diǎn)P（1，5），∴由圖象可得，當(dāng)x＞1時(shí)，x+b＞kx+6，即不等式x+b＞kx+6的解集為x＞1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．15、AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC（填一個(gè)即可）．【解析】試題分析：根據(jù)菱形的判定定理，已知平行四邊形ABCD，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件為：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC使其成為菱形．考點(diǎn)：菱形的判定．16、【解析】

首先利用勾股定理得出BO的長(zhǎng)，再利用A點(diǎn)的位置得出答案．【詳解】解：∵AB⊥OA∴∠OAB=90°，∵OA=3、AB=2，則數(shù)軸上表示點(diǎn)C的數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及勾股定理，熟知實(shí)數(shù)與數(shù)軸上各點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系與勾股定理是解答此題的關(guān)鍵.17、40°【解析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴∠A=∠C=70°,∵DC=DB,∴∠C=∠DBC=70°，∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.故答案是：40°．【點(diǎn)睛】考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).18、且【解析】

當(dāng)x≠﹣1時(shí)，解出x含a的表達(dá)式，令其小于零且不等于-1，直接解出即可.【詳解】當(dāng)x≠﹣1時(shí),1x－a=0,x=＜0,解得a＜0,且，解得a≠﹣1．綜上所述且．故答案為:且．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程和解不等式,關(guān)鍵在于牢記分式有意義的條件,熟練掌握解方程的步驟．三、解答題（共78分）19、游戲公平【解析】

直接利用概率公式求得指針指向藍(lán)色區(qū)域和紅色區(qū)域的概率，進(jìn)而比較得出答案．【詳解】解：∵紅色區(qū)域扇形的圓心角為，∴藍(lán)色區(qū)域扇形的圓心角為60°+60°，，，∴，所以游戲公平.故答案為：游戲公平.【點(diǎn)睛】本題考查游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．20、【解析】

直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)：原式.【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.21、（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2000﹣20x；（2）購(gòu)進(jìn)A種品牌計(jì)算器的數(shù)量是40臺(tái)，購(gòu)進(jìn)A種品牌計(jì)算器的數(shù)量是10臺(tái)；（3）該文具店可獲得的最大利潤(rùn)是1400元．【解析】

（1）該文具店計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)這兩種品牌計(jì)算器共50臺(tái)，設(shè)該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)A品牌計(jì)算器x臺(tái)，則該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)B品牌計(jì)算器（50﹣x）臺(tái)，根據(jù)利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×銷售量，分別求出A、B的利潤(rùn)，二者之和便是總利潤(rùn)，即可得到答案，（2）把y=1200代入y與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可，（3）根據(jù)購(gòu)進(jìn)計(jì)算器的資金不超過4100元，列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍后，根據(jù)一次函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn)．【詳解】解（1）設(shè)該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)A品牌計(jì)算器x臺(tái)，則該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)B品牌計(jì)算器（50﹣x）臺(tái)，A品牌計(jì)算器的單個(gè)利潤(rùn)為90﹣70=20元，A品牌計(jì)算器銷售完后利潤(rùn)=20x，B品牌計(jì)算器的單個(gè)利潤(rùn)為140﹣100=40元，B品牌計(jì)算器銷售完后利潤(rùn)=40（50﹣x），總利潤(rùn)y=20x+40（50﹣x），整理后得：y=2000﹣20x，答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2000﹣20x；（2）把y=1200代入y=2000﹣20x得：2000﹣20x=1200，解得：x=40，則A種品牌計(jì)算器的數(shù)量為40臺(tái)，B種品牌計(jì)算器的數(shù)量為50﹣40=10臺(tái)，答：購(gòu)進(jìn)A種品牌計(jì)算器的數(shù)量是40臺(tái)，購(gòu)進(jìn)A種品牌計(jì)算器的數(shù)量是10臺(tái)；（3）根據(jù)題意得：70x+100（50﹣x）≤4100，解得：x≥30，一次函數(shù)y=2000﹣20x隨x的增大而減小，x為最小值時(shí)y取到最大值，把x=30代入y=2000﹣20x得：y=2000﹣20×30=1400，答：該文具店可獲得的最大利潤(rùn)是1400元．【點(diǎn)睛】本題綜合考察了一次函數(shù)的應(yīng)用及一元一次不等式的相關(guān)知識(shí)，找出函數(shù)的等量關(guān)系及掌握解不等式得相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．22、（1）0；（2）【解析】

（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算；

（2）根據(jù)平方差公式計(jì)算．【詳解】（1）解：原式（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算法則、平方差公式是解題關(guān)鍵．23、（1）x（x﹣4）1；（1）x＝【解析】

（1）此多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察，有3項(xiàng)，可采用完全平方公式繼續(xù)分解．（1）觀察可得最簡(jiǎn)公分母是（x﹣1），方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解方程并檢驗(yàn)即得結(jié)果．【詳解】解：（1）x3﹣8x1+16x＝x（x1﹣8x+16）＝x（x﹣4）1．（1）1﹣＝，方程的兩邊同乘（x﹣1），得：1（x﹣1）﹣x＝﹣1x，解得：x＝．檢驗(yàn)：把x＝代入x﹣1≠2．故原方程的解為：x＝．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解和分式方程的解法，屬于?？碱}型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．24、（1）見解析；（2）∠BDA＝90°；（3）AM＝．【解析】

（1）根據(jù)題意可知∠ACM＝∠BCN，再利用SAS即可證明（2）根據(jù)（1）可求出∠ACE＝∠BDE＝90°，即可解答（3）作MH⊥AC交AC于H．在AC上取一點(diǎn)，使得AQ＝MQ，設(shè)EH＝a．可知AQ＝QM＝2a，QH＝a，再求出a的值，利用勾股定理即可解答【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，∠MCN＝90°，∴∠ACM＝∠BCN，在△MAC和△NBC中，∴△MAC≌△NBC（SAS）．（2）∵△MAC≌△NBC，∴∠NBC＝∠MAC∵∠AEC＝∠BED，∴∠ACE＝∠BDE＝90°，∴∠BDA＝90°．（3）作MH⊥AC交AC于H．在AC上取一點(diǎn)，使得AQ＝MQ，設(shè)EH＝a．∵AQ＝QM，∴∠QAE＝∠AMQ＝15°，∴∠EQH＝30°，∴AQ＝QM＝2a，QH＝a，∵∠ECH＝60°，∴CH＝a，∵AC＝+1，∴2a+a+a＝+1，∴a＝，∵AM＝＝（+）a＝．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題關(guān)鍵