2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（零模）（9月份）（含解析）

2023.2024學(xué)年江蘇省南京市高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（零

模）（9月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合/=(x\x2—4x+3<0},B=[x\2<%<4],則力AB=()

A.{x|3<%<4]B.{x|l<%<3]C.{x\2<%<3}D.{x|l<%<4]

2.復(fù)數(shù)z=蕓的虛部為()

A.2B.-2C.2iD.-2i

3.(x—|)4展開式中的常數(shù)項為()

A.6B.-6C.24D.-24

4.在△ABC中，。為4B邊的中點，記刀=沅，CD=n，則方=()

A.m—2nB.m+2nC.2m+nD.—m+2n

5.設(shè)。為坐標(biāo)原點，A為圓C：M+y2一4x+2=o上一個動點，貝！UAOC的最大值為（）

6.在正方體ABCD-AiBiGDi中，過點8的平面a與直線&C垂直，貝加截該正方體所得截面

的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

7.新風(fēng)機(jī)的工作原理是，從室外吸入空氣，凈化后輸入室內(nèi)，同時將等體積的室內(nèi)空氣排向

室外.假設(shè)某房間的體積為先,初始時刻室內(nèi)空氣中含有顆粒物的質(zhì)量為皿已知某款新風(fēng)機(jī)工

作時?，單位時間內(nèi)從室外吸入的空氣體積為DO>1）,室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度與時刻t的函

數(shù)關(guān)系為P?=（1—吟+珠e-",其中常數(shù)4為過濾效率.若該款新風(fēng)機(jī)的過濾效率為吉

且t=1時室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度是1=2時的|倍，則"的值約為

（參考數(shù)據(jù)：仇2X0.6931,仇3右1.0986）（）

A.1.3862B.1.7917C.2.1972D.3.5834

8.若函數(shù)/（%）=sin（tocosx）-1（3>0）在區(qū)間（0,2兀）恰有2個零點，則3的取值范圍是（）

A.（0片）B.6年）C.《摩）D.a+8）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.若a<0<b,且a+b>0,則（）

A.1>-1B.\a\<\b\

C.J+1>0D.(a-l)(fa-1)<1

10.有一組樣本數(shù)據(jù)*1，*2,x3>x4<xs>已知=10,Zi=lXi=30,則該組數(shù)據(jù)的()

A.平均數(shù)為2B.中位數(shù)為2C.方差為2D.標(biāo)準(zhǔn)差為2

11.在AABC中，乙4cB=90。，AC=BC=2y/~2,。是4B的中點.將△AC。沿CD翻折，得到

三棱錐&一8。。，則()

A.CD1A'B

B.當(dāng)ADIBD時，三棱錐A-BCD的體積為|

C.當(dāng)4B=2「時，二面角A-CD—B的大小為竽

D.當(dāng)〃。8=爭寸，三棱錐A'-BCO的外接球的表面積為207r

12.函數(shù)/"(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(%)的定義域均為R,且/(x)-/(—x)=2x,//(l+x)+f(l-

x)=0,則()

A.y=/(x)+x為偶函數(shù)B.〃為的圖象關(guān)于直線x=1對稱

C.f(0)=1D.f\x+2)=f(x)+2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與％軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點P(3,4),則sin(>+

a)=-------

14.某批麥種中，一等麥種占90%,二等麥種占10%,一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50

粒以上麥粒的概率分別為0.6,0.2,則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為

?+2)'"、"'則S8=.

ain為偶數(shù),

16.已知雙曲線C；真一,=1?>0,6>0)的左、右焦點分別為a,Fz，P是C右支上一點，

線段PF1與C的左支交于點M.若"PF?=*且仍”|=嚴(yán)21，貝UC的離心率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知公比大于1的等比數(shù)列｛an｝滿足:a1+%=18,a2a3=32.

(1)求｛an｝的通項公式;

(2)記數(shù)列｛與｝的前n項和為%，若無=2%-即，neN*,證明：｛如是等差數(shù)歹I」.

an

18.(本小題12.0分)

記△48C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c.已知as譏B+VJbcosA=0.

(1)求4;

(2)若a=3,sinBsinC=求^4BC的面積.

19.(本小題12.0分)

某地區(qū)對某次考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的4B兩門學(xué)科成績作為樣本,將他們

的4學(xué)科成績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達(dá)到70分為良好.已知他們中B學(xué)科

良好的有50人，兩門學(xué)科均良好的有40人.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為這

次考試學(xué)生的4學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān);

B學(xué)科良好B學(xué)科不夠良好合計

4學(xué)科良好

4學(xué)科不夠良好

合計

(2)用樣本頻率估計總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中4

B學(xué)科均良好的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附：K2—,其中蹤=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(本小題12.0分)

如圖，四邊形4BCD是圓柱OE的軸截面，點F在底面圓。上，。4=BF=C，AD=3,點G是

線段BF的中點.

(1)證明：EG〃平面LMF；

(2)求直線EF與平面D4F所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

己知。為坐標(biāo)原點，F(xiàn)(l,0)是橢圓C：捻+，=l(a>b>0)的右焦點，過戶且不與坐標(biāo)軸垂

直的直線/交橢圓C于4B兩點.當(dāng)4為短軸頂點時，△AOF的周長為3+4?.

(1)求C的方程；

(2)若線段48的垂直平分線分別交x軸、y軸于點P,Q,M為線段4B的中點，求|PM|?|PQ|的

取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(汽)=aex—x—a,其中a>0.

(1)若a=l,證明：/(%)>0；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=%/(%),若％=0為g(x)的極大值點，求Q的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因為集合4={x|x2-4x+3W0}={x|lSxS3},B=(x\2<x<4],

所以an8=(x|2<x<3}.

故選：C.

化簡集合4根據(jù)交集的定義計算即可.

本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

3-i_(3T)(1T)

【解析】解:由題意可得z1+i=(l+i)(l-i)

故其虛部為：-2

故選B

由復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算可化簡復(fù)數(shù)，可得其虛部.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，涉及復(fù)數(shù)的基本概念，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：由二項式定理的通項公式可知，。一$4展開式中通項公式7；+：1=以74一廠(一$『=

(-2)卬4-2r,

當(dāng)4-2r=0時，展開式為常數(shù)，此時r=2,

展開式的常數(shù)項為：4=4瑪=24.

故選：C.

直接利用二項式定理的通項公式，令工的指數(shù)為0,即可求出常數(shù)項.

本題考查二項式定理通項公式的應(yīng)用，注意正確應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵，考查計算能力.

4.【答案】D

【解析】解：A4BC中，。為2B邊的中點，

因為5=沅，CD=n,

所以加=；67+而),

則方=2CD-CA=2n-m.

故選：D.

由已知結(jié)合向量的線性表示即可求解.

本題主要考查了向量的線性表示，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：圓C：/+丫2-4%+2=0的圓心為(2,0),半徑為r=

由題意可得當(dāng)。4為圓C的切線時，乙4OC取得最大值.

在直角三角形40C中，^OAC=90°,

sin/AOC=箓=＞容，

解得乙4OC=

故選：C.

求得圓C的圓心和半徑，可得當(dāng)。4為圓C的切線時，NAOC取得最大值，解直角三角形AOC可得所

求最大值.

本題考查圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：如圖所示，正方體48。。一4/傳1。1中，連接4C、BJ、C1。、BD,

■：AAr_L平面ABC。，BDu平面ABC。，AAX1BD,

XvAC1BD,AC,A4i是平面A41c內(nèi)的相交直線，BD_1平面441。，

?：AtCu平面A4C,???BD1AXC,同理可得BC】1AXC,

BDnBCi=B,A^C_L平面BG。，

即4BC】D所在平面是經(jīng)過點B與垂直&C的平面，

因此，平面a截該正方體所得截面的形狀為三角形，A正確.

故選：4.

根據(jù)題意，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出ABCiD所在平面是經(jīng)過點B與垂直&C的平面，即

可得到本題的答案.

本題主要考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意得P(D=端+瑞eTp(2)=端+券

因為p(l)=,p(2),

所以旦+處e-"=3(旦+如e-2與

"「以5"o+5Voe2(5%+5%,)，

整理得8e--12e-2V=1,

令e-v—n,

因為。>1,所以n=e-〃€(0,3，

則12n2—8n+l=0,解得n=；(舍去)或n=2，

故e"=A,解得u=ln6=ln2+ln3?1.7917.

6

故選：B.

由題意表達(dá)出p(l),p(2),由p⑴=|p(2)列出方程，求出e-=右兩邊取對數(shù)，計算出答案.

本題考查了對數(shù)的基本運(yùn)算，指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：令t=3cosX,???XE(0,2兀)：,te[—60,3),

則函數(shù)f(x)=sin(cocosx)-l(co>0)在區(qū)間(0,2兀)恰有2個零點，

等價于sint-1=0在￡G[一助3)有兩個根，

由于％W(0,7T)U(兀,27T)時，t=3COSX有兩個根，

所以原題等價于y=s出3t6(-3,3)與y=1有一個公共點，如圖：

故選:B.

利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)圖象列出限制條件，即可得出答案.

本題考查函數(shù)的零點，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬難題.

9.【答案】BD

【解析】解：,.,QVO<b,且。+力>0,

b>—a>0,即可得一1V，VO,A錯誤；

由可得|a|V網(wǎng)，B正確；

因為工+:=空<0,所以工+C錯誤；

ababab

因為(a—l)(b—1)—1=ab—(a+b)<0,所以(a—1)[b-1)<1成“，D正確.

故選：BD.

根據(jù)題意，可得a為負(fù)數(shù)且b為正數(shù)，結(jié)合a+b>0,得到正數(shù)的絕對值較大，從而得出答案.

本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)、作差法比較實數(shù)的大小等知識，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：因為￡乙看=10,

所以平均數(shù)為“優(yōu)凸=2,故A正確，

又因為無法判斷樣本數(shù)據(jù)的具體值，所以中位數(shù)無法確定，故B錯誤；

方差S2=-2)2=|(SF=ixl-4*=1々+4x5)="(30—4x10+20)=2,故C正確,

所以標(biāo)準(zhǔn)差為C，故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式求解.

本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于4AZBC中，乙4cB=90。，AC=BC=27-2,。是4B的中點，

CDA.AB,且48=4,pliJCD=AD=DB=\AB=2,

在三棱錐A-BCD中，CDIA'D,CD1BD,

^A'DdBD=D,A'D,BDu平面4BD,CD1平面4BD,

而ABu平面4B。，CD1A'B,故A正確；

11

對于B,當(dāng)力'D1BC時，S&A，DB=/XA'DXD8=.2X2=2,

114

由于CO,平面"BD,???%_BCD=%T，皿昕CD=：X2X2=*故于錯誤;

r

對于C,當(dāng)48=2，^時，AD=DB=2f

(4爐+加-(AB)2

則cos4AOB=4+4-12

2A'DDB2x2x22

而N4'DBG(O.TT),.-./.A/DB=y,

由于CDL平面A'BD,故NA'DB即為二面角A-CD-8的平面角,

???當(dāng)4'B=2C時，二面角4一CD-B的大小為w，故C正確；

對于D,當(dāng)乙4。8=當(dāng)時，

A'B=，（4D）2+DB2-24。?DBcos乙A'DB=74+4+4=2y/~3,

cA'B2<3

設(shè)AA'DB的外接圓圓心為O',半徑為r,則2r=sin〃7）B=~^=4,得r=2,

???CD，平面4BD,.?.三棱錐4'-BCD的外接球的球心位于過O'垂直于平面A'DB的直線上，

且在過CD的中點E垂直于CD的平面上，

設(shè)球心為0,由于OO'L平面4DB,貝lJOO'〃CD,

過E作。0'的垂線，垂足即為0,即三棱錐A-BCD的外接球的球心，

則四邊形OO'DE為矩形，故0。'=ED=gc。=1,

設(shè)棱錐4'-BCD的外接球的半徑為R,連接。D,

故R2=0D2=（0。）+（。切）2=1+4=5,;./?=V-5，

故三棱錐4'-BCD的外接球的表面積為4兀/?2=20兀，故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷4根據(jù)等體積法可判斷B：確定二面角A-CD-B的平面角，解三

角形可得其大小，判斷C;確定三棱錐&-BC。的外接球的球心位置，求出外接球半徑，即可求

得外接球表面積判斷以

本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查多面體的體積及其外接球表面積的求法，考查空間

想象能力與邏輯思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：4選項，假設(shè)y=/(x)+x為偶函數(shù)，則有-無=/(x)+x,變形為f(x)-

/(-X)=-2%,與/'(尤)一/(-x)=2x矛盾，

故假設(shè)不成立，y=/Q)+x不是偶函數(shù)，A錯誤；

B選項，假設(shè)/"(X)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則有/(I+x)=/(I-x),兩邊求導(dǎo)得到((1+x)=

-f(l-x),gp/,(l+x)+f,(l-x)=0,

由于題目條件中有/'(1+乃+/(1一乃=0,故假設(shè)成立，8正確；

C選項，/(乃一/(一乃=2%兩邊求導(dǎo)得((乃+/(一為=2,令x=0得((0)+((0)=2,解得

f(0)=1,C正確；

。選項，因為f(l+x)=/(l-x),將一%-1代替x,得f(一盼=f(%+2),

又/(x)-f(-x)=2x,故/(%)-f(x+2)=2工,BP/(x+2)-/(x)=-2x,

兩邊求導(dǎo)得尸(x+2)-尸(x)=-2,f(x+2)=f(x)-2,。錯誤.

故選：BC.

4選項，假設(shè)y=f(x)+x為偶函數(shù)，得到—-x)=-2x,與條件矛盾，A錯誤；B選項，

假設(shè)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，得到/(l+x)=f(l—x),求導(dǎo)后得到尸(l+x)+尸(1一

%)=0,滿足題目條件，B正確；C選項，/(%)-/(-%)=2x兩邊求導(dǎo)得((%)+((一x)=2,賦

值得到答案;D選項,由/(1+x)=f(l-x)得到f(—x)=f(x+2),結(jié)合f(x)—/(—%)=2x得到

/(x+2)-/(x)=-2x,求導(dǎo)得到。錯誤.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

13.【答案】-1

【解析】解：由角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點P(3,4),

可得r=\0P\—732+42=5,

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得sina="

所以sin(7r+a)=—sina=-

故答案為：-卷.

根據(jù)三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解.

本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】0.56

【解析】解：分別記取到一等麥種和二等麥種分別為事件4，A2,所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為

事件8,

由已知可得，P(Ai)=0.9,P(A2)=0.1,P(B|&)=0.6,P(BIA2)=0.2,

由全概率公式可得，P(B)=P(B4)+P(BA2)

=P(4)P(BMi)+P(A2)P(BIA2)=0.9X0.6+0.1X0.2=0.56.

故答案為:0.56.

根據(jù)已知設(shè)出事件，由已知得出事件的概率以及條件概率，然后根據(jù)全概率公式即可求解.

本題主要考查了全概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】y

【解析】解：由即=［而團(tuán)'"為奇數(shù)’，可得：

(an_i，n為偶數(shù)，

a2222

i=a2=CI19a3=a4=a3,a5=a6=as,a7=a8=a7f

7777

所以58=2x(而+公+初+而)

1111111

=2x(1-3+3-5+5-7+7-9)

816

2nX9=T

故答案為：引

根據(jù)遞推式直接遞推即可得出前8項，再用裂項相消法求和.

本題考查數(shù)列遞推式求通項，考查裂項相消求和，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】「

【解析】解：因為點P是C右支上一點，線段P0與C的左支交于點M,且|PM|=\PF2\,Z.F1PF2=l，

所以△PMF2為等邊三角形，所以|PM|=\PF2\=|MF2|

由雙曲線定義得|P0|-伊加=|PM|+|MFi|-\PF2\=|M&|=2a,

又由IMF2I-IMF/=\MF2\-2a=2a,解得附目=4a,

則|PM|=\PF2\=\MF2\=4a且1PF/=\PM\+\MFX\=4a+2a=6a,

222

在4&PF2中，由余弦定理得cos^=@L士回)二/L=1,

32x4ax6a2

整理得C2=7M,所以雙曲線的離心率為e=；=C.

故答案為：yT~7-

根據(jù)題意和雙曲線定義求得|PM|=\PF2\=\MF2\=4a且|P&|=6a,在^中，利用余弦定

理列出方程，化簡得到。2=7。2,即可求得雙曲線的離心率.

本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)方法1：設(shè)公比為q,

由等比數(shù)列性質(zhì)得出片】卡。嗎=%

gq-Q?=32

解瞰1或r=j6,

匕=2[q=-

p乂q>d1>?<,｛他(?==22,

n

因此an==2.

方法2：設(shè)公比為q,

???｛卅｝是等比數(shù)歹！b：?a2a3==32,

又a1+a4=18,解得J1二M或爛-黑

又q>1,二『1-3二q3=8,q=2.

(a4=16

n-1n

因此a”—a1q=2.

nn+1

(2)由⑴得Sn=2bn-2,Sn+1=22n+1-2,

n+1n

兩式作差可得Sn+1-Sn=2bn+1-2-(2bn-2),

nn

即%+i=2bn+1-2-2bn,整理得%+i-2bn=2,n€N*.

方程同除以"+i得，褊一線=J,即警

uL

Z乙乙ttn+ln

???數(shù)列強(qiáng)是公差為；的等差數(shù)列.

a

n乙

【解析】(1)方法1：由等比數(shù)列性質(zhì)得到關(guān)于首項和公比的方程組，求出解得《】。之，得到通項

公式;

方法2：根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)計算出從而求出公比，得到通項公式;

(2)根據(jù)％與質(zhì)的關(guān)系式得到輻-第=；,從而結(jié)合⑴知”一空=寺，(nG/V*),得到結(jié)論.

aL

2乙乙an+ln

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、方程思想方法，考查了推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為asinB+/?bcos/=0,

由正弦定理得s譏AsinB+l^sinBcosA=0,

因為sbiB>0,

所以sim4+\/-3cosA=0,即tern/=-V~~3,

由A為三角形內(nèi)角，得4=手

所以磊=肅=&=2/7，

2

所以Z?=2\/~~3sinBic=2y/~3sinC,

因為a=3,sinBsinC=7,

4

所以be=(27~~3)2xsinBsinC=3,

所以△4BC的面積為S=besinA=[x3x

2224

【解析】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得sbM+，3cos4=0,得到位加4=-<3,即可求解；

(2)由正弦定理得到b=2，Is譏B,c=2CsinC,結(jié)合題意，求得be=3,進(jìn)而求得△ABC的面

積.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可得4學(xué)科良好的人數(shù)為100x(0.040+0.025+0.005)x

10=70,

所以2x2列聯(lián)表如下:

B學(xué)科良好8學(xué)科不夠良好合計

4學(xué)科良好403070

4學(xué)科不夠良好102030

合計5050100

假設(shè)“0：4學(xué)科良好與B學(xué)科良好無關(guān),

、7

此時K2=100X(30X10-40X20)=出。48>3841，

70x30x50x5021

所以我們有95%把握認(rèn)為4學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān);

⑵已知4B學(xué)科均良好的概率P=蓋=|，

易知X的所有可能取值為0,1,2,3,

此時P(X=0)=以x(|)°x(|)3=急，尸(X=1)=dx|x(|)2=部,

P(X=2)=或x鼾*(|)i=蔑，P(X=3)=或x(|)3x(|)。=荔

則X的分布列為:

X0123

2754368

P

125125125125

所以E(X)=0x?+1x部+2x急+3X提=:

【解析】(1)由題意，根據(jù)頻率分布直方圖計算可得出4學(xué)科良好的人數(shù)，補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，代入

公式求出觀測值，將其與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而即可求解；

(2)先得到X的所有可能取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的期望以及獨立性檢驗，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

20.【答案】證明：(1)連接。E,OG,

在圓柱OE中，四邊形2BCD是圓柱OE的軸截面，所以O(shè)E〃/M.

又。EC平面IMF,u平面D4F,所以O(shè)E〃平面IMF,

在AABf1中，點。，G分別是AB和BF的中點，所以。G〃/1凡

又OGC平面ZMF,AFu平面DAF,

所以O(shè)G〃平面￡MF,

又OECOG=0,OE,OGu平面OEG,

所以平面OEG〃平面ZMF,

又EGu平面OEG,所以EG〃平面￡MF；

解：（2）以。為坐標(biāo)原點，48的中垂線為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則B（0,，3,0）,￡（0,0,3）,

因為48為底面圓。的直徑，點F在圓。上，所以BFJ.4F,

又。4=OB=BF=C，所以4BOF=60°,因此尸弓,?,0）,

因此前=（|,號,—3），

因為ZD1平面ABF,BFu平面4BF,所以BF1AD,

又BFLAF,AFC\AD=A,AF,ADu平面ZMF,

所以8F1平面ZMF,因此麗=（―|,年,0）是平面ZMF的一個法向量，

設(shè)EF與平面所成角為氏6G[0,2],

則sin”|cos＜而而＞|=篙篙=另胃=/

所以EF與平面D4F所成角的正弦值為

【解析】⑴連接OE,OG,證明平面OEG〃平面DAF,利用面面平行性質(zhì)即可證明結(jié)論：

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法，即可求得答案：

本題主要考查了線面平行的判定，考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴設(shè)橢圓C的焦距為2c,因為橢圓C的焦點為F（l,0）,可得c=l,

又因為4為短軸頂點時，△40F的周長a+b+1=3+C，

又由a2=b2+l,所以a?=(2+4?—a)2+1，解得a=2,b=q，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為[+<=L

43

(2)解法一：因為橢圓C的焦點為F(l,0)，設(shè)直線ZB：y=/c(x-l).

聯(lián)立方程組整理得(妹2+3)x2_Qk2x+4k2-12=0,

設(shè)8(%2/2)，則％1+到=表^,%+%=A(%1+犯)-2k=

2

則也急，肅，

2

于是線段4B的垂直平分線的方程為y=-l(x-我?-急,

,2

令y=0,可得孫=4k2+3’

由|PM|?|PQ|=

\xM~xP\■\xP\

,_3k2(〃2+1)

=(1+頡

4k2+34k2+34k2+3一(4fc2+3)2'

令t=41+3>3,則|PM|.\PQ\=塞停=3。尸)=得[-3(不-2:+1],

(4k+3)lot工。cc

因為t>3,所以;€(()￡),可得—3(^)2—2；+1E(0,1),

因此|PM||P(?|=^[-3(i)2-2i+l]e(0噌).

解法二：因為橢圓C的焦點為F(l,0),設(shè)直線AB：x=my+l,

X=my+1

星先_,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

(T+T=1

設(shè)B(x2,y2),則為+為=^^，/+小