2023年高考數(shù)學一模試卷

2023年高考數(shù)學一模試卷

學校:姓名：班級：考號：

題號——四總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答

案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；?/p>

答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，

選出符合題目的一項）

1.已知集合M={x\x{x一2）V0},N=（x\x-1<0},則下列Verm

圖中陰影部分可以表示集合{%|14%<2}的是（）

c.QWD**

2.已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面

是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）

A.1B.*C.&D.y/~3

223

nx%>0

3.已知函數(shù)f（%）=<o,若f（a）<f（6-a）,則實數(shù)a的取

值范圍是（）

A.（—3,+8）B.（—oot-3）C.（3,+8）D.（—8,3）

4.如圖所示是中國2012-2021年汽車進、出口量統(tǒng)計圖，則下列結(jié)

B.從2018年開始，中國汽車的出口量大于進口量

C.2012-2021年中國汽車出口量的第60百分位數(shù)是106萬輛

D.2012-2021年中國汽車進口量的方差大于出口量的方差

5.在復平面內(nèi)，已知復數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|（i為虛數(shù)單位），記

zo=2+i對應的點為點Z。，z對應的點為點Z,則點Z。與點Z之間距離

的最小值為（）

有中間一列兩個數(shù)字之和為5”的不同的排法有（）

A.96種B.64種C.32種D.16種

22

7.已知雙曲線C；A—卷=1(Q>0,b>0)/點8的坐標為(0,b),右

a2b2

c上的任意一點P都滿足|P8|>b,則C的離心率取值范圍是()

A.(1,年］B.［年,+8)C.(1，GD."+8)

8.水平桌面上放置了4個半徑為2的小球,4個小球的球心構成正方形,

且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球

形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為()

A.4B.2AT2+2C.2c+2D.6

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題

目要求)

9.如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上下運動(忽略小球

的大小)，它在t(s)時刻相對于平衡位置的高度力(cm)可以S

田力=2s出("十三)確定，則下列說法正確的是()號+/,>0

O卜=0

A.小球運動的最高點與最低點的距離為2cm?h<0

B.小球經(jīng)過4s往復運動一次

C.t6(3,5)時小球是自下往上運動

D.當"6.5時，小球到達最低點

10.在四棱錐S-ABCD^,SD1平面ABCD，四邊形/BCD是正方形,

若SD=AD,則()

A.AC1SD

B./C與SB所成角為60°

C.BD與平面SCO所成角為45°

D.BD與平面S/B所成角的正切值為?

11.已知拋物線E：/=8%的焦點為F,點F與點C關于原點對稱，過

點C的直線/與拋物線E交于4,B兩點(點力和點C在點8的兩側(cè))，則下

列命題正確的是()

A.若BF為的中線，則|/F|=2\BF\

B.若8尸為/4FC的角平分線，貝“AF|=6

C.存在直線L使得14cl=yT2\AF\

D.對于任意直線/,都有|4F|+\BF\>2\CF\

12.已知定義在R上的函數(shù)f(%),對于給定集合力，若,小eR,

當由一％2€4時都有-f3)eA，則稱f(%)是Z封閉"函數(shù)則

下列命題正確的是()

A./(%)=A是"[—1,1]封閉"函數(shù)

B.定義在R上的函數(shù)/(%)都是"｛0｝封閉"函數(shù)

C.若/⑺是"｛1｝封閉"函數(shù),則f(%)一定是“僅｝封閉"函數(shù)(kEN*)

D.若/(%)是"口句封閉"函數(shù)(a,beN*),則f(%)不一定是"｛出?｝封

閉"函數(shù)

第n卷(非選擇題)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量方,3滿足|a|=2,\b\=4,(K—a)-a=0,則為與3的夾

角為

14.在平面直角坐標系中，等邊三角形48c的邊48所在直線斜率為

2c,則邊AC所在直線斜率的一個可能值為一.

15.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%)在［0,2］上單調(diào)遞減，

f(x+2)為偶函數(shù)，若f(%)=租在［0,12］上恰好有4個不同的實數(shù)根與，

%2,%3,%4,貝垢+X2+X3+X4=.

16.已知動圓N經(jīng)過點/(-6,0)及原點。，點P是圓N與圓M:%2+(y-

4)2=4的一個公共點，貝U當4P/最小時，圓N的半徑為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，

證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在^ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos2A+cos2B-

cos2C=1—2sinAsinB.

(1)求角C的大??；

(2)求sizM+sinB+siziC的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知各項都是正數(shù)的數(shù)列5｝,前加頁和%滿足成=2Sn-an(n6N*).

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式.

11

(2)記4是數(shù)列七｝的前幾項和，Qn是數(shù)列｛不｝的前幾項和.當九＞2時，

3九a2n一1

試比較4與冊的大小.

19.(本小題12.0分)

如圖所示的在多面體中，/B=4D,EB=EC，平面ABD1平面BCD,

平面BCE1平面BCD，點F,G分另(J是CD,BO中點.

(1)證明：平面4FG〃平面BCE；

(2)若BC1BD,BC=BD=2,AB=C,BE=V-5,求平面4NG和平

面4CE夾角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

某商場為了回饋廣大顧客，設計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個

大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色抽獎方式為：每名顧客

進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽

獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.

(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎

次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；

(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求

中獎次數(shù)V的分布列和數(shù)學期望；

(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫

出你的選擇及簡要理由.

21.(本小題12.0分)

22

已知點4，點8和點C為橢圓C：器+棄=l(a>b>0)上不同的三個

點.當點4，點8和點C為橢圓的頂點時，A/BC恰好是邊長為2的等邊

三角形.

(1)求橢圓C標準方程；

(2)若。為原點，且滿足m+南+云=6,求44BC的面積.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=xex+1.

(1)求/(%)的極值；

(2)當％>0時，f(%)>(a+l)x+Inx+2,求實數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解:集合M={x\x(x-2)<0]={x|0<x<2],N={x\x—1<

0]={x\x<1},

CRM={x\x<0或%>2],CRN={x\x>1},

對于4,Uezm圖中陰影部分可以表示集合為MCN={x|0<%<1},故/

錯誤；

對于8,Uezm圖中陰影部分可以表示集合為Mn(C/?N)={x|l<x<2},

故8正確；

對于C,Perm圖中陰影部分可以表示集合為Nn(CRM)={x\xM0},故C

錯誤；

對于。Werm圖中陰影部分可以表示集合為{%|%￡MUN，且％任MnN},

■:MUN={x\x<2},MnN={x|0<x<1},

:，{x\x￡MUN,且％0MnN}={x\x<0或1W%<2},故。錯誤.

故選：B.

先求出集合M,N,再利用集合的基本運算逐個判斷各個選項即可.

本題主要考查以九九圖表達集合的關系和運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：設圓錐和圓柱的底面半徑為r,

因為圓錐的軸截面是等邊三角形，

所以圓錐的母線長為，=2r,

則圓錐和圓柱的高為力=V4r2-r2=V_3r,

所以圓錐的側(cè)面積為Si=：x2口x，=2nr2,

圓柱的側(cè)面積為S2=271rX/=2V-37rr2,

所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為？=?,

故選：C.

根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式求解即可.

本題考杳圓柱與圓錐的側(cè)面積的求解，屬中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)函數(shù)/(%)的圖象，可得f(%)在R上單調(diào)遞增，

若/(a)<f(6-a),則有a<6-a,

2a<6,a<3,

則實數(shù)a的取值范圍是(-8,3).

故選：D.

結(jié)合圖象，可知f(%)在R上單調(diào)遞增，由此解不等式f(a)<f(6-a).

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：由條形圖可知2012-2021年中國汽車進口量和出口量都是

有增有減的，所以選項Z正確；

由條形圖可知從2018年開始，中國汽車的出口量大于進口量，所以選項B

正確；

2012-2021年中國汽車出口量由小到大排列為：72.3,73,89.7,92,

99,104,108,115,121.5,212,因此第60百分位數(shù)是"竺=106,

所以選項u正確；

由條形圖可知2012-2021年中國汽車進口量的波動小于出口量的波動,

因此2012-2021年中國汽車進口量的方差小于出口量的方差，所以選項

。不正確，

故選：D.

根據(jù)條形圖，結(jié)合百分位數(shù)、方差的性質(zhì)逐一判斷即可.

本題主要考查了統(tǒng)計圖的應用，考查了百分位數(shù)的計算，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：設z=%+yi(x,yeR),

v\z-l\=\z+i\,

\x-1+yi\=|%+(y+l)i|,即J(%—1)2+y2=J久2+(、+1)2,

化簡整理可得，%+y=0,

???復數(shù)z的對應點的軌跡％+y=0,

???zo=2+i對應的點為點Z°(2,l),

???點Z0與點Z之間距離的最小值為增瑞=等.

Vlz+lz2

故選：C.

根據(jù)已知條件，集合復數(shù)模公式，求出點Z的軌跡方程，再結(jié)合點到直線

的距離公式，即可求解.

本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，分3步進行，

第一步，要求"只有中間一列兩個數(shù)字之和為5",則中間的數(shù)字只能為

兩組數(shù)1,4或2,3中的一組，共有2彩=4種排法；

第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有用心=8種排法；

2

第三步，排數(shù)字5和6,2=2種排法；

由分步計數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為4x8x2=64.

故選：B.

分3步完成，每步中用排列求出排法數(shù)，再利用分步計數(shù)原理即可求出結(jié)

果.

本題主要考查了排列組合知識，考查了分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

7.【答案】4

【解析】解：設P(%,y),\PB\>b=>J%2+(y_.)2>b=>%2+y2-

2by>0(*),

由m一S=1=/=。2(1+得)代入不等式*中

a2b2b2y

2

整理得—2by+a2>0恒成立，

242222

則/=4b—4a:<o=>b<a2c2=>b<ac=>c—a<ac=>e—

b2

e-l<0,解得手<e<^,

又e>l,貝(Jl<eW手；

故選：/.

根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)、雙曲線離心率公式進

行求解，即可得出答案.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和

運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，只需保證小球與討求各

O

面(含球面部分)都相切，

此時，如上圖示，。為半球的球心，4為其中一個小球球心，則。力是棱長

為2的正方體的體對角線，且該小球與半球球面上的切點與。，4共線，

所以半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為小球半徑與。力長度之和，即

2AT3+2,

故選：C.

根據(jù)題設要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，保證小球與《球各面(含球面

部分)都相切，進而求半徑最小值.

本題主要考查了球的結(jié)構特征,考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：小球運動的最高點與最低點的距離為2-(-2)=4cm,所以

選項/錯誤；

因為誓=4，所以小球經(jīng)過4s往復運動一次,因此選項8正確；

2

當tG(3,5)時，+：e詈),所以是自下往上到最高點，再往下運

動，因此選項「錯誤；

當亡=6.5時,%=2sin(-x6.5+-)=-2,所以選項。正確.

24

故選：BD.

根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解選項力,因為SO1底面/BCDACu木、

面/BCD,/L\\

所以4c1SD,因為四邊形48CD朝方形，

所以/C1BD,又BDnSD=。，8。，SDu平

面SBD,

所以/C1平面SBD,又SBu面SB。,

所以4c1SB,選項/正確；

選項B,因為AC1平面SB。,又SBu面SBD,

所以/C1SB,故選項8錯誤;

選項C,因為SD1底面48CD,BCu面ABC。，

所以BC1SD,又四邊形4BCD是正方形，

所以BC1CD,又CDHSD=D,CD,SDu平面SCD,

所以BC1平面SCO,所以8D與平面SCO所成角為NBQC,

易知NBDC=45°,故選項C正確；

選項。，如圖，取S/中點K,連DK,BK,

因為SD1底面力BCD,ABu面ABCD,所以481SD,

雙四邊形/BCD是正方形，所以4B1AD,又ADnSD=D,

所以481平面SAD,DKu面S4D,所以481DK,

又SD=AD,所以DKLSA,SACyAB=AI所以DK1面S4B,

所以8D與平面S48所成角為〃8K,

不妨設SD=AD=a,易知DK=手,BK=子,

在Rt△DKB,tan^DBK=器=焉"=一,故選項。正確.

2

故選:ACD.

對于選項力，利用線面垂直的判定定理得到AC1平面SBD，進而可判定選

項/正確；對于選項B,由AC1平面SBD，知AC1SB,故可得選項B

錯誤；對于選項「和。，利用線面角的定義，找出線面角，從而轉(zhuǎn)化成平

面角，在相應的三角形中進行求解，即可判斷選項的正誤.

本題考查線線垂直的證明，線線角的求解，線面角的求解，屬中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解:由題意,不妨令,8(%2，丫2)都

在第一象限，

又C(—2,0),F(2,0)，設I：%=ky—2,

聯(lián)立E：y2=8x,可得y2—8ky+16=0,

則/=64(k2-1)>0,即1>i,

%+%=8k,7172=16,

2

???x1+x2=8k-4,%I%2=4,如圖所示，

A：若8尸為44CF的中線,則為=7,

.?.%=4c,所以％1=4,故4(4,4-),

-.8(1,24)，則|4川=2\BF\=6,故/正確；

B:若*為4FC的角平分線，則需=儒，

作，8E垂直準線％=—2于D,E,則|4F|二|，。|且需\CE\

\DE\,

A\CF\=\CE\...|CF|=\CE\=\BE\

"\AD\—\DE\'"\AD\+\CF\―\CD\—\AD\'

???夫二黑，將%2=/>°代入整理得：

—4x1—12=(%i—6)(%i+2)=0,二/=6,

'''\AF\=匕+2=8,故8錯誤；

c:若|/c|=4MF|,即|4C|=,即為等腰直角三角形,

此時|CD|=\AD\,即4(%—2,%),Ayf=8yi-16,

資一8yi+16=0,7i=4,Ay2=4,則此時力,B為同一點,不合

題設，故C錯誤;

2

D：\AF\+\BF\=\AD\+\BE\=+x24-4=8/c,又2|CF|=8,

結(jié)合1>1,可得8k2>8,即|/F|+\BF\>2|CF|恒成立,故。正確.

故選：AD.

設，/=ky—2不妨令,8(小,乃)都在第一象限6(—2,0)產(chǎn)(2,0),

聯(lián)立拋物線，根據(jù)已知及韋達定理得上2>1、yi+y2=8k,y1y2=16,

則%i+x2=8k2-4,%I%2=4,再根據(jù)各項描述、拋物線定義判斷它們的

正誤.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，韋達定理的應用，

屬中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：力：當％1=4,七=3時,xt-x2=1G[-1,1],而/(巧)一

/(%2)=16—9=70[—1,1],錯誤；

B:對于區(qū)間{0},,%2eR使%1-％2=0,即％1=久2,必有f(%1)-

f(%2)=0,

所以定義在R上的函數(shù)f(%)都是"{0}封閉"函數(shù)，正確；

C:對于區(qū)間{1},,外eR使%1-％2e{1},則％i=乃+1,

而f(%)是"{1}封閉"函數(shù)，則f(上+1)-f(%2)=1，即v%eR，都有f(%+

1)=f(%)+1，

對于區(qū)間｛k｝,VXi,外wR使%i-外e伙｝?則％[=也+憶，keN*,

而f(%2+上)=f(x2+k-l)+1,f(x2+k—1)=/(x2+/c-2)+1,

f(%2+1)=f(%2)+1，

所以f(%2+k)+f(x2+k-1)+…+f(%2+1)=f(%2+k-1)+f(x2+

k—2)+…+/(%2)+k—1,

即f(%2+k)=f(x2)+k,故f(%2+k)-即%2)=k,/(%)一定是"｛燈封

閉"函數(shù)(keN*),正確;

D:對于區(qū)間[a,b],存在一個f(%)滿足在,久2WR使與一外=a，者B

有/(%2+a)-f(%2)=匕，且a,匕eN*,

此時，上述/(%)為一個"口切封閉”函數(shù)目該函數(shù)在V%eR，有/(%+a)=

f(%)+b恒成立,

對于區(qū)間｛出＞｝,結(jié)合上述函數(shù)甩CR使-％2=岫，則f(%+岫)=

f(x+a(b—1))+b,f(x+a(b—1))=f(x+a(b-2))+b,,f(x+

a)=f(%)+b,

將上述各式，兩邊分別累加并消項得f(%+ab)=/(x)+ab,故/(不+

ah')-f(次)=ab成立,

所以f(%)一定是"｛ab｝封閉"函數(shù)，故錯誤.

故選：BC.

/特殊值%1=4,和=3判斷即可再根據(jù)定義及函數(shù)的性質(zhì)即可判斷;C、

。根據(jù)定義得到V%CR都有/(%+1)=f(%)+1、VxGR有f(x+a)=

/(%)+/),再判斷所給定區(qū)間里是否有f(%2+k)-f(%2)=1、f(%2+

ab)—f(x2)=ab成立即可判斷.

本題考查以新定義為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)以及命題的真假判斷，對于C、

D,根據(jù)給定的條件得到V%GR,都有/(%+1)=/(%)+1以及V%eR,

有f(%+a)=f(%)+b恒成立，利用遞推關系及新定義判斷正誤，考查邏

輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】g

【解析】解：由(匕一方)?五=Onb?五一五2=o=>b?方=4,

設“與方的夾角為。,則cos。=品=a=J

因為0<6<71,

所以

故答案為：g.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進行求解即可.

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

14.【答案】-?或?

【解析】解：設直線陽的傾斜角為a,由已知得心B—tana=2AA~3,

設直線/C的傾斜角為。,貝！J%c=tand,

因為在等邊三角形ABC中，NBAC=60°,所以。=a±60°,

tana+tan60

當。=a+60°,tand=tan(a+60°)=2口+<3

l-tanatan60°1-2V-3XV-3

所以/CAC—=—1/

tana-tan60

當。=a—60°,tand=tan(a—60°)=2c-C

l+tanatan60°l+2yT3XyT3

所以々ac—tan。='―,

綜上，kAC=-當二或做c-??

故答案為：-等或序.

由等邊三角形的性質(zhì)和直線的傾斜角與斜率的關系以及兩角和與差的正

切公式，得出邊4C所在直線斜率.

本題主要考查直線的斜率，屬于基礎題.

15.【答案】24

【解析】解：由/(%+2)為偶函數(shù),則f(-%+

2)=f(x+2),故f(一%)=/(%+4),

又f(%)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(%)=

所以f(%)=-f(x+4)，故f(%+4)=-f(x+8)，即有/(%)=f(x+8),

綜上，f(%)的周期為8,且關于％=2對稱的奇函數(shù)，

由/(%)在［0,2］上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在［2,6］上遞增，［6,10］上遞

減，［10,12］上遞增，

所以/(%)在［0,12］的大致草圖如下：

要使f(%)=m在［0,12］上恰好有4個不同的實數(shù)根，即f(%)與y=m有4個

交占

所以，必有兩對交點分別關于％=2,x=10對稱，則%1+x2+x3+x4=

24.

故答案為：24.

由題設可得f(%)的周期為8,且關于％=2對稱的奇函數(shù)，結(jié)合區(qū)間單調(diào)性

判斷［0,12］上單調(diào)情況，根據(jù)/(%)與y=血有4個交點，及函數(shù)的對稱性求

根的和.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,周期性及對稱性在函數(shù)零點個數(shù)判斷中的

應用，屬于中檔題.

16.【答案】5

【解析】解:如圖：

~~芥、方，萬~~x

記圓N半徑為R,zOPA=6,則N4N。=26,NBNO=Q,

所以sin/。P/=sin/BNO=湍=*,

當NOP力最小時，R最大,此時兩圓內(nèi)切.

由已知設動圓N的圓心為N(-3,t),

又圓心M(0,4)可得R-2=\MN\,

即/(—3-0)2+(t-0)2-2=J(―3—0/+(t—4尸,

解得t=4,所以R=5,即圓N的半徑為5.

故答案為：5.

利用兩圓的位置關系確定兩圓內(nèi)切時NOP力最小，根據(jù)位置關系可得圓N

的半徑.

本題主要考查直線與圓的位置關系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為cos24+cos2B—cos2C=1—2sinAsinB,

所以1—2sin2A+1—2sin2B—(1—2sin2C)=1—2sinAsinB,

整理得sin24+sin2B+sin2c=sinAsinB,

由正弦定理得a?+b2—c2=ab,

由余弦定理得cosC==展=|,

2ab2

因為ce(o,"),所以c=g.

(2)sinA+sinB+sinC=sinA+sin(g—A)+?

...2n.27r.人\T-3

=sinAA+sin—cosA—cos—sinAH---

332

=-sinA+—cosA+—

222

=3sin(i4+/)+,

62

在△ABC中，因為C=所以

J3

所以?<力所以弓<sin(Z+)<1,

所以「<「sinj+5+?4噌,

622

所以s出/+sinB+SinC的取值范圍為(/3,年］.

【解析】(1)根據(jù)三角恒等變換和正弦定理得到a?+爐—，進而

由余弦定理得到Ce,求出C=I；

(2)由三角函數(shù)和差公式求出sirh4+sinB+sinC=V~^sin(力+-)+—,

62

由0</<等求出取值范圍.

本題主要考查解三角形，屬于中檔題.

18.【答案】解:⑴當ri=1時,al=2sLeI1=%,所以的=1或%=0(

舍去)，

當九＞2時,有償二^n-?

IQn—l—1^n—l?

兩式相減得成-Wt=2an-an+an_i=an+an_1,

a

整理得(冊+an-i)(an-n-i)=an+an-i/

因為｛心｝的各項都是正數(shù)，所以an-an_]=1,

所以｛冊｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

?

所以an=1+1(九一1)=九；

(2)由(1)得上=筆也,則/=舟=2?-，

.c1,1,,1c/Y1.11,.11、c/Y1、

k

「〃匕人nSiS2Sn223nn+V'九+1，'

/11

由(1)得不=布，

ULI、lc1,1,1,1,,1,1,,1l-(7)n

所以Q"=-+—+--+-—=1+;+m+…+訴=—V=2(1-

a2九—12221

為,

因為2n=(1+l)n=1+n+竺羅+???>l+n>0(n>2),

所以W<~~I故1—>1-----,

1/1nnx

^21+n'a入21+n

所以當九之2時，七<Qn.

【解析】(1)根據(jù)%與冊的關系，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；

(2)根據(jù)裂項相消法，結(jié)合等比數(shù)列前九項和、二項式定理進行求解即可.

本題考查等差數(shù)列的定義與通項公式的應用，裂項求和法的應用，屬中檔

題.

19.【答案】解：(1)證明：如圖，取BC中點“，連接EH,因為E8=EC,

所以E”1BC,

又因為平面BCE1平面BCD，平面BCEn平面BCD=BC,EHu平面BCE,

所以EH1平面BCD,

同理可得力G1平面BCD,

所以,

又因為4GU平面BCE,EHu平面BCE,所以4G〃平面8CE,

因為點R,G分別是CD,BD中點，所以“〃BC,

又因為FGU平面8CE,BCu平面BCE,所以FG//平面BCE,

又因為4GdFG=G,AG,FGu平面AFG,所以平面AFG//平面8CE.

(2)因為BC1BD,BC//FG,所以FG1BD,

由(1)知4G1BD,AG1平面BCD,GFu平面BCD,

所以/G1GF,

所以GE,GB,GA兩兩相互垂直,

如圖，以點G為坐標原點,GF,GB,G4分別為%軸，y軸「軸建立空間

直角坐標系,

因為/B=C,BE=底1所以G4=GB=1,EH=2,BH=1,

貝必(0,0,1),C(2,l,0),E(l,l,2),

平面AFG的一個法向量為麗=(0,2,0),

設平面ACE的法向量為元=(居y,z),

由尼=(2,1,-1),CE=(-1,0,2),

嗖蒙”佇:解得

?。?2,得元=(2,-3,1),

設平面/FG和平面4CE的夾角為。，

則cos。=|cos伍，麗＞|二翩=妥五=富，

所以平面4FG和平面ACE的夾角的余弦值為江.

14

【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行及面面平行的判定定理

即可完成證明；

(2)先建系求法向量，再利用向量法求兩平面的夾角即可.

本題考查面面平行的判定定理，考查利用空間向量求解二面角的余弦值,

考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學

運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎,

則每次中獎的概率為等=2

L10V

因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)x服從二項分布，即，

所以X的所有可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=以?⑥。x(|)2=||,

P(X=1)=6.令x(I)1=￡P(x=2)=廢.鏟X(|)°=含,

所以X的分布列為：

X012

254016

P

818181

所以X的數(shù)學期望為E(X)=2x^=3；

(2)若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數(shù)y

的所有可能取值為0,1,2,

則PW=0)=等.罷=音，P(F=1)=等.警+警?粵:1__

C1OL8DOG1OL8C10C8

15,153010c八ZC、ci+cic?+c113

2,2=—,

—H——=—=—,P(Y=2)7=

63636321''Cf0或63'

所以y的分布列為：

y012

201013

P

632163

所以丫的數(shù)學期望為E(F)=1x崇+2x葛=/

⑶因為⑴⑵兩問的數(shù)學期望相等，第⑴問中兩次獎的概率比第(2)問的

大，

即翁<得,第⑴不中獎的概率比第(2)問小,即靠〈也

回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應,則選擇按第

(2)問方式進行抽.

回答二:若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第(1)問方式進行抽獎.

【解析】(1)根據(jù)古典概型的運算公式，結(jié)合二項分布的性質(zhì)進行求解即

可；

(2)根據(jù)古典概型的運算公式，結(jié)合數(shù)學期望公式進行求解即可；

(3)根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)，結(jié)合商場老板希望進行判斷即可.

本題主要考查離散型隨機變量期望與分布列的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于

中檔題.

21.【答案】解：(1)當點4，點8和點C為橢圓的頂點時，AaBC恰好構成

邊長為2的等邊三角形，

?當點/，點B和點C中有兩個點為上頂點和下頂點,一個點為左頂點或右

頂點時，

不妨設點/，點8為上頂點和下頂點，點C為右頂點，此時,a==1,

②當點/，點B和點C中有一個點為上頂點或下頂點，兩個點為左頂點和右

頂點，

不妨設點A，點8為左頂點和右頂點，點C為上頂點，此時,a=l,b=y/~3(

舍去),

??橢圓的標準方程為J+y2=1;

(2)設4(p,q),B(%i，yi),C(x2,y2),

v0A+OB+0C=0,

p+/+%2=0,q+%+%=°,

醴直線8C斜率不存在時,

即%i=%2,%=-72,貝!M(—2%i，0),

??,點a在橢圓上，所以優(yōu)=|,則有尤=|,

\BC\=<3，點4到BC的距離為|3石|=*,

此時S-BC=|x<^x^=|；

②當直線8C斜率存在時,設直線BC方程為y=kx+m,

(y=kx+m,

x22_]，得(1+3k2)/_|_6kmx+3m2—三=0,

3+y—'

???A=(6km)2—12(1+3/c2)(m2-1)=12(3k2+1—n2)>0,

由韋達定理得%】+乃=藁，％/2=售?

???%+力=k(%i+%2)+2m=,

/.、6km/.、2m

P=_(/+如)=百，q=—(%+丫2)=—百，

-.2

又點做p,q)在橢圓器+V=1上，

"部)2+3(蒜)2=3,

4m2=1+3k2,

|BC|=V1+/c2?|與一冷1=V1+/c2-J(f^)2-