2023-2024學(xué)年樂山市井研中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年樂山市井研中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷

2023.10

（試題總分150分；考試時間120分鐘）

第I卷（選擇題，共60分）

一、單選題（每題5分，共40分）

I.設(shè)A是集合[2,3,4,5,6｝的子集，只含有2個元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個數(shù)為（）

A.11B.12C.10D.13

2.命題"▼〃€"'/（〃）**且/（〃）〈〃的否定形式是（）

A.^f（n）＞nBV"eN*J⑺eN*或/（〃）＞〃

C%且/（%）＞%口.血。eN*,/（〃o）任N*或

m/o,」上）=產(chǎn)-?：+?。?

3.“l(fā)3人，是“函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)/（x+1）的定義域為卜2』，則函數(shù)小"一》-2+"、”的定義域為（）

A.口，4]B,[。，3]c.[L2）U（2,4]口.口，2）52,3]

5.已知函數(shù)/（X）是一次函數(shù)，且/[/（X）TX]=5恒成立，則〃2）=（）

A.1B.3C.7D.9

4x1、,

-----1-------24

6.若關(guān)于區(qū)的不等式。x-2對任意、＞2恒成立，則正實數(shù)。的取值集合為（）

A.（-1,4]B.（0,4）C.（0,4]D.（1,4]

7.已知函數(shù)/（工）=4分+4%-1,入w（Tl）J（x）＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

3?3

a＜——-\＜a＜—

A.4B.a＜-\c.4D.a＜-\

8.若定義在R上的函數(shù)/（X）滿足：/'（X|+X2）=/（XJ+/（X2）-2018,且x＞0時，有/（'）＞2018,當(dāng)

和％目-2019,2019]時，/（x）的最大值、最小值分別為KN,則〃+N的值為（）

A.2018B.2019C.4036D.4038

二、多選題（每題5分，共20分）

fx2—2x—8＞0

9.已知關(guān)于x的不等式組〔2/+（2無+7）x+7上＜°僅有一個整數(shù)解，則k的值可能為（）

A.-5B.YC.兀D.5

1

10.函數(shù)對于任意實數(shù)x，yeR滿足〃x+y)+〃x-y)=2/(x)/a),則下列關(guān)于函數(shù)奇偶性說法錯誤的是

()

A.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)

C.是非奇非偶函數(shù)D.可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)

11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子''的稱號，用其名字命名的“高斯函

數(shù)，，為：設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則夕=【燈稱為高斯函數(shù)，例如：[T-5]=-2,[0]=0

/(x)=--—

已知函數(shù).lx-11+l,則關(guān)于函數(shù)g(x)=[/(x)]的敘述中正確的是()

A.8(幻是偶函數(shù)B.g(x)的最小值是1

C.g(x)的值域是也I2D.g(x)是單調(diào)函數(shù)

12.設(shè)正數(shù)"力滿足。+6=1,則有()

ab<-a3+b3<-4+祚8+亞金+￡，

A.4B.4c.°I"D."1"+24

三、填空題(每題5分，共20分)

,[3x-l"

p\A=<x----<0>>(I2_

13.已知命題Ix-1J,命題一”=-尸-蛆JU人若命題^是P的必要不充分條件，則機

的取值范圍是；

14.若關(guān)于x的不等式-i+(a+2)x-2">°恰有1個正整數(shù)解，則。的取值范圍是

"x)J/+l(x40)

15.已知[-2x(x>0),若/(〃明=10,則”

16.設(shè)函數(shù)“X)的定義域為R,滿足/(x+D=2/(x),且當(dāng)xe(O,l]時，〃x)=x(l-x).若對任意

xe(-8,何，都有〃力4§,則m的取值范圍是.

四、解答題(共70分)

17.己知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0},B={x|x2+(a-1)x+a2=0},C={x|x2+2ax-2a=0},其中至

少有一個集合不為空集，求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知命題p：M4x42,x<a2+\,命題q：31<x<2,一次函數(shù)V=x+a的圖象在*軸下方.

(1)若命題P的否定為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若命題P為真命題，命題的否定也為真命題，求實數(shù)"的取值范圍.

19.(1)已知。，b,c均為正實數(shù)，求證：&+〃+括+c'+舊+a2201+6+c).

2

(2)已知X,九z是互不相等的正數(shù)，且x+，+z=l,求證：lx八y人z).

20.已知二次函數(shù)/(x)=x2+2ax+2.

(1)若14x45時，不等式〃x)>3"恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

⑵解關(guān)于x的不等式(a+l)x2+x>〃x)(其中"R).

21.若函數(shù)N=/(x)對任意x，yeR,恒有/(x+y)=/(x)+/(y).

(1)指出y=〃x)的奇偶性，并給予證明；

(2)如果為>。時，，(勸<0,判斷"X)的單調(diào)性；

⑶在(2)的條件下，若對任意實數(shù)x,恒有，(3)+/(一廠+“-2)>0.成立，求k的取值范圍.

.⑴=(x+l)(x+a)

22.已知函數(shù),一一為偶函數(shù).

(1)求實數(shù)a的值；

(2)判斷/(X)的單調(diào)性，并用定義法證明你的判斷：

⑶設(shè)g(x)=h+5-2左，若對任意的王e[1,0],總存在[0,1],使得〃xjvg(xj成立，求實數(shù)k的取

值范圍.

1.A

【分析】用排除法求解.

【詳解】含有2個元素的子集個數(shù)為屐=15,其中兩個數(shù)相鄰的有5個，

所以所求子集個數(shù)為16-5=11.

故選：A.

2.D

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“笛7€“，/(〃卜.且)(〃)4〃的否定形式是

eN*,/(〃o)任N?或/("(,)>%

故選D.

考點：命題的否定

3.B

【解析】本題首先可以根據(jù)函數(shù)/(x)是定義在R上的減函數(shù)得出“‘標(biāo)’可，然后根據(jù)的

3

真子集即可得出結(jié)果.

、\(3m-1)x+4mx<\

〃x)=9

【詳解】因為函數(shù)L3戶21是定義在R上的減函數(shù),

3m—1<0

<-m<0r]j

所以尿-1)+4旌f,解得〃'七'3

上「是(°』的真子集,

因為

40曰〃加產(chǎn)-

所以“I3八，是“函數(shù)L〃氏X21是定義在&上的減函數(shù)”的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】本題考查充分條件以及必要條件的判斷，可借助集合的方式進行判斷，考查分段函數(shù)的單調(diào)性,

分段函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減時，每段函數(shù)都遞減，且要注意分界點處函數(shù)值的處理，是中檔題.

4.C

【解析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則求出函數(shù)/(X)的定義域，根據(jù)題意可得出關(guān)于x的不等式組，

由此可解得函數(shù)g(')的定義域.

【詳解】對于函數(shù)/(x+1)，-24x41,則-14X+142,所以，函數(shù)“X)的定義域為曰2]

1J-l<x-2<2

對于函數(shù)“"一'一2+“、?)，有1.2工0,解得14x44且x*2.

因此，函數(shù)式“=三+"”一2)的定義域為口，2川(2,4]

故選：C.

5.D

【分析】先利用換元法和代入法求出“X),再令x=2即可求出答案.

【詳解】因為函數(shù)〃x)是一次函數(shù)，且/[〃力一甸=5恒成立，

令/(x)-4x=f,則/(x)=4x+f,

所以%)=4t+f=5,解得f=l,

所以/(x)=4x+l,/(2)=2x4+l=9,

故選：D

6.C

4

4(X-2)18

H4----

【分析】由題意可得a------x-2…”對任意x>2恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二

次不等式的解法，可得“的取值集合.

4(x-2)1.8

---------------------1--------------4——

【詳解】由題意可得ax-2…。對任意x>2恒成立，

4(x-2)?12.(x-2)1-4

由。>0,x〉2,可得ax-2'"Vax-2，,

^2=，x=2+?4-^.An,

當(dāng)且僅當(dāng)ax-2即2時，取得等號，則a〃，解得0<a,4

故選：C.

7.B

【解析】將不等式化簡，參變分離，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)并求出值域，可得實數(shù)a的取值范圍.

［詳解］/*)=4ad+4x-l<0,gp4ar2<-4x+l

當(dāng)x=°時，不等式恒成立，aeR.

.(41)

當(dāng)X工0時,X?>。，則I*，人in

令”卜(--1)。(1,+8),則廣4+/=(-2)2-4.4,+8)

即4。<-4,解得a<-l

故選：B

8.C

【分析】利用賦值法，可得到/&)+/(-*)=4036,繼而再根據(jù)抽象函數(shù)的表達式證明函數(shù)的單調(diào)性，

利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】由題意得，

對于任意的公，々6R,都有/(為+*2)=/(3)+/(々)_2。18,

.?.令%=*2=°,得/(°)=2°18,

再令玉+*2=0,將/(°)=2018代入可得/(芭)+/&2)=4036,

口|］得/(*)+/(-%)=4036,

不妨設(shè)玉<“2,貝!］工2-占>。，-再)=/(々)+/(-再)-2018,

.-./(%2)+/(-^)-2018>2018

又???/(f)=4036-/(再),

5

二可得/(”2)>/(西)，

即函數(shù)/(X)在R上遞增，

故當(dāng)國,與4-2019,2019］時，M="X)M=〃2019),心/⑴而一八必⑼，

又由/&)+/(-%)=4036可得:/(2019)+/(-2019)=4036；

?.?M+N的值為4036,

故選：C.

9.ABD

【分析】根據(jù)一元二次不等式可求兩個不等式的解，根據(jù)不等式組的解只有一個整數(shù)解，結(jié)合兩不等式

的解的交集，即可確定第二個不等式端點需要滿足的關(guān)系，即可列不等式求解.

【詳解】解不等式X2-2X-8>0,得X>4或X<-2

__7

解方程2/+(2左+7)x+7左=0,得司一”，％T

kJ-k<--_k<x<_L

(1)當(dāng)>5,即-<一萬時，不等式2—+(2左+7)x+7左<0的解為：一<、<一3

「；2X-8>0(k_7A

此時不等式組［2/+(2左+7)X+7上<0的解集為I'2j(依題意，貝卜54-4<-4,即4<445；

,7,77

k〈二-k>一二2./n;,n\,*77n----<X<—k

(2)當(dāng)2,即2時，不等式2ox+(2k+7)x+7Ar<°的解為：2,要使不等式組

x2—2x-8>0

2x2+(2k+7)x+7k<0的解集中只有一個整數(shù)，

則需滿足：-3〈-左45,即-5“<3；

所以k的取值范圍為1,3)11(45］

故選：ABD.

10.ABC

【分析】對抽象等式中進行賦值，即x=y=°代入表達式，得到/(°)=°或/(°)=i,再令x=o,，不

動，即可獲得/(-?)與“歷之間的關(guān)系，從而獲得函數(shù)的奇偶性.

【詳解1令x=N=°則有/(°)+/(0)=2/(0)/(0),

則2/(0)=2/(0)/(0),

當(dāng)/(。)=0時，再令x=0

則有f(y)+f(-y)=2/(0W)=o

6

所以〃-?)=-/(y),

所以夕=/'(x)是奇函數(shù).

當(dāng)/(O)X0,則/(o)=1.

再令工=0

則有/3)+/(-力=2/(0)/3),

所以/(一小八”

所以y寸a)是偶函數(shù).

故選：ABC.

11.C

【分析】對于A,通過計算g(D和g(-D的值進行判斷即可，對于B,舉例判斷，對于C,通過計算求解

即可，對于D,舉例判斷

g(-l)=1-=:=0g(l)=7—T—=[2]=2

【詳解】對于A,因為[l-l-ll+ijL3J,111T1+U，所以g(-l)*g(l),所以

g(x)不是偶函數(shù)，所以A錯誤,

22

=0<1

g(-D=,,7

對于B,因為[37+1」L3J所以名。)的最小值不是1,所以B錯誤，

刎=［向石|=因=2

g(x)=i~

對于C,當(dāng)、=1時,當(dāng)1<XW2時，卜-1|+1」當(dāng)x>2時,

2

g(X)=?~TT-.=0g(x)=g(x)=|~~-7—=0

UX-1I+1J,當(dāng)04x<l時,當(dāng)x<0時，LIX-1I+1J,所以g(x)

的值域是{0，1，2},所以C正確,

對于D,由C選項可知，當(dāng)1<%<2時，g(x)=l,當(dāng)x>2時，g(x)=0,當(dāng)°?x<i時，g(x)=l,當(dāng)

x<0時，g(x)=0,所以g(x)不是單調(diào)函數(shù)，所以D錯誤,

故選：C

12.ACD

【分析】對于A,由基本不等式推論可判斷選項；對于B,利用分解因式結(jié)合A分析可判斷選項；對于

Ca利用基本不等式可判斷選項；對于D,

7

a2+b2_+?(a+23,_4?9

6

b+1a+2b+1a+2b+\a+2,利用基本不等式可判斷選項.

a=h=—

【詳解】對于A,由基本不等式推論有44,當(dāng)且僅當(dāng)2取等號.故A正確.

a3+b3=(a+6)+b2-ab)=(a+b)“-3ab=1-3ab

對于B,由A分析可知

ab<—=>-ab>-1a3+1^=\-?>ab>-a=b=-

44,貝lj4,當(dāng)且僅當(dāng)2取等號.故B正確.

4z+54

對于C,bb丁b

5b5bAaoo.r.

=—+y+8>Z———+8=8+W5

ab,當(dāng)且僅當(dāng)d=56，即

b=2石-4,a=5-2>/5時取等號.故C正確.

a~2b2_(I-%)?(jJ_(/>+l-2)2,(a+27」上6

---------+—+=I"

對于D,b+1。+2b+\Q+2b+1Q+2b+1Q+2

；49?4R+2)?9(/,+l)

(b+1+4+2-------+-613-6

b+1a+24b+1a+2

4(a+2)99+1)、

1

>—13+2.—6=—

-4b+1Q+24

7

32

當(dāng)且僅當(dāng)4("+?)=9(b+1)b一，a

，即55時取等號.故D正確.

故選：ACD

13.S，2]

P：y4={x|—<X<1}

【分析】求得命題3又由命題q是p的必要不充分條件,所以A是8的真子集,

.心>。

得出不等式組"a)*°，即可求解，得到答案.

p:A=<x號0=3*<D,口=4：8=1x\-x2-mx+3>0

【詳解】由題意,命題1命題vI1.又由命題“是

P的必要不充分條件，所以A是8的真子集,

8

/(；)=-(；)2-：機+3>°

設(shè)/(x)=-x2-蛆+3,則滿足[/⑴=_i+3*0,解得加42,

經(jīng)驗證當(dāng)加=2適合題意，

所以〃，的取值范圍是(一吃21.

【點睛】本題主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要條件求解參數(shù)問題，其中解答中正確求解集

合A,再根集合的包含關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14(?,1)U(3,4]

【分析】先解帶有參數(shù)的一元二次不等式，再對。進行分類討論，使得恰有1個正整數(shù)解，最后求出〃的

取值范圍

【詳解】不等式一“+("+2)*-2">0等價于f_("+2)'+2"<0.令'2一(“+2)"+2"二°,解得工=2或

x=a

當(dāng)。>2時，不等式廠一(。+2)”+24<°的解集為(2,4),要想恰有1個正整數(shù)解，則3<服4；

當(dāng)。=2時，不等式x2-S+2)x+2a<°無解，所以。=2不符合題意；

當(dāng)a<2時、不等式S+2)x+2a<0的解集為(。,2),貝|e<1.

綜上，。的取值范圍是(-8，1)U(3,4]

故答案為：(~0°,DU(3,4]

3

15.2

【分析】分a>°和。4°兩種情況建立方程求解.

【詳解】當(dāng)。>0時,/'伍)=-2?！?,

_33

\/(/(.))=/(-2a)=4^+1=10,解得"5或”一5(舍去)；

當(dāng)“40時，/(〃)=/+1>0,

\/(/W)=/(a2+l)=-2p+l)=10,此時方程無解，

3

a=—

綜上，2.

3

故答案為：2.

【點睛】本題考查已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量，屬于基礎(chǔ)題.

9

/51

（一8,二］

16.4

【分析】根據(jù)給定條件，可得〃x)=2/G-1),分段求解析式及對應(yīng)函數(shù)值集合，再結(jié)合圖象推理計算

作答.

【詳解】因〃x+l)=2/(x),則/(x)=2/(x-l),又當(dāng)xe(O,l］時，/(*)--(》-)+-e［0,-］^

當(dāng)xe(1,2］時，|y+共吟，

―/?=-4X,

當(dāng)xe(l,2］時，由8,解得4或4,

當(dāng)xe(T,O］時，x+le(O,l］,小)=，川)=-梟N)=+3+1畤，

/(%)<-<-

顯然，當(dāng)'WO時，88,如圖，

對任意Md8,何，都有必有機

(—8,一］

所以m的取值范圍是4.

(-^0,-］

故答案為：4

<_2

17.aN-1或a2.

【分析】關(guān)于“至少“至多”“不存在”等問題可考慮反面，本題的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a

的取值范圍.

【詳解】假設(shè)集合A、B、C都是空集，

對于A,元素是x,4=0,表示不存在x使得式子f+4"-4a+3=°成立，

31

.乂=16/-4(-4〃+3)<0,解得-

對于B,8=0,同理△=("1)2-4/<0,解得?！旎蛘摺?lt;_［；

對于集合C,C=0,同理△=(2")一+8。<0,解得一2<a<0；

3,

——<a<-\

三者交集為2；

取反面即可得A、B、C三個集合至少有一個集合不為空集，

10

，a的取值范圍是或a2.

a<--

綜上，或2.

18.⑴T<"1⑵［1產(chǎn)）口{-1}

【分析】（1）由全稱命題的否定與真假判斷求解即可;

（2）由全稱命題與特稱命題的真假判斷求解即可

【詳解】（1）.??命題p的否定為真命題，

命題P的否定為：引4x42,x>a2+\,

/.a2+1<2,-1<a<1.

（2）若命題p為真命題，貝IJ/+1N2,即或

???命題q的否定為真命題，

...“VI4x42,一次函數(shù)卜=工+”的圖象在*軸及x軸上方，，為真命題.

.?/+。20,即。2T..?.實數(shù)a的取值范圍為口，+8）5-1}.

19.（1）證明見解析；（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)重要不等式，進行不等式的轉(zhuǎn)換，可得答案；

（2）利用通分及基本不等式，可得答案.

【詳解】（1）因為。2+從22時,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以li上a1+b°1\'>ia1++"2aob+ob2—(ci+b]2所以a2+b2>-----2---—,所以Ja：+6’2’庭猙.①

同理&②，V2③.

yla2+b2+-Jb2+c2+>lc2+a2>2a+氏+"=-Jlfa+h+c)

①+②+③，得V2,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

(2)因為x+N+z=l,x,九z是正實數(shù)，

口_1心1丫幻］=匕.土.山之亞.也.亞=8

所以lx人N人zJxyzxyz,

x=y=z=-fl_iVl_iYl_ik8

當(dāng)且僅當(dāng)13時等號成立.又x,y,z互不相等，所以I*八夕八z）

20.（1）。<20；Q）答案見解析.

2

Q<x+一

【分析】（1）當(dāng)》［1，5］時將原不等式變形為X,根據(jù)基本不等式計算即可;

11

（2）不等式化為（x-2）（奴+1）>0,討論。的取值，從而求出對應(yīng)不等式的解集.

【詳解】（1）不等式/（幻>3"即為：x2+2ax+2>3ax,

X2+22

.ca<-----=x+-

當(dāng)xe[rl,5]時，不等式可變形為：xx,

=2y[2

當(dāng)且僅當(dāng)》=加時取等號，所以I,

所以實數(shù)a的取值范圍是a<2應(yīng).

（2）不等式（4+1）/+2or+2,

等價于亦■4-（1—2a）x—2>0,gp（x-2）（ar+l）>0,

①當(dāng)。=0時，不等式整理為1-2>0,解得工>2；

當(dāng)。力0時，方程（*—2）3+1）=0的兩根為為=一-毛=2,

1八C1

---<0<2x<—

②當(dāng)。>0時，可得a,解不等式（、-2）（*+1）>0得Q或x>2；

③當(dāng)2時，因為。,解不等式-2）（女+1）>0得。；

110

ci—————2

④當(dāng)2時，因為。,不等式（”2）（以+1）>°的解集為0；

11r1

a<——<2.—<x<2

⑤當(dāng)2時，因為。，解不等式（x-2）3+l）>0得a.

綜上所述，不等式的解集為：

①當(dāng)"=°時，不等式解集為⑵”）；

——<a<0

③當(dāng)2時，不等式解集為

a=——?

④當(dāng)2時，不等式解集為0；

<7V---—,2

⑤當(dāng)2時，不等式解集為

12

U,Z

21.(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)“X)在R上單調(diào)遞減，證明見解析；(3)18>

【分析】(1)利用賦值法求出八°)=°,根據(jù)函數(shù)奇偶性定義即可證明；

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(3)結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論

【詳解】⑴為奇函數(shù)；

證明：^x=y^0,得/(o+o)=/(o)+/(o),解得：/(0)=o

令歹=-X,則/(￥-丫)=/(*)+/(-#=/(0)=0,=

所以函數(shù)夕=〃x)為奇函數(shù)；

(2)"X)在R上單調(diào)遞