2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題 (四)(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線(xiàn)方程2x-y+m=0的一個(gè)方向向量)可以是()

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)直線(xiàn)方程得直線(xiàn)的一個(gè)法向量，再根據(jù)法向量可得直線(xiàn)的方向向量.

【詳解】解：依題意，僅,T)為直線(xiàn)的一個(gè)法向量，...方向向量為(1,2),

故選：D

2.雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)/=24夕的焦點(diǎn)重合，它的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為60。，則該

雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.Z_S=iB.^-21=1

54185418

【正確答案】C

【分析】求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程得到。，b關(guān)系，求解即可.

【詳解】解：拋物線(xiàn)-=24y的焦點(diǎn)：(0,6),可得c=6,且雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)在了軸上，

因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的傾斜角為60。，

所以:=百，即“2=3〃，

0

^c2=a2+b2=36,所以/=27,/=9，

所求雙曲線(xiàn)方程為：=1.

279

故選：C.

3.平面。的一個(gè)法向量；1(2,0,1),點(diǎn)/(-1,2,1)在a內(nèi)，則點(diǎn)2,3)到平面a的距離為

()

A.2近B.逑C.班D.亞

2510

【正確答案】C

【分析】由點(diǎn)到平面距離的向量法計(jì)算.

【詳解】尸4=(-2。-2),

XT3M

cos<n,PA>=

1品=10

所以點(diǎn)尸(1,2,3)到平面a的距離為d=潮cos<:凜卜28嚕二述.

故選：C.

4.設(shè)x,蚱R,向量”=6=(0,1),°=(2,-4,2)且4_|_6，b〃c，則|。+6]=()

A.2亞B.V10C.3D.4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)b'llc^解得x,y,然后由空間向量的模公式求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?(1,乃1)，:二(2,-4,2)且由「，—得》+了+1=0,由

得卜七解得y=-2,x=l,所以向量￡(1,1,1),6-(1,-2,1),

2—4

所以GA(2,-1,2),

所以|a+6|=立+(Ty+22=3

故選：C

5.已知等比數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且%&4a7=18,WlJlog,a,+log3a2++log3a10=

()

A.10B.12C.l+log35D.2+log35

【正確答案】A

【分析】計(jì)算得出牝4="利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】a5a6+a4a7=2asa6=18,所以，a5a6=9,

55

故logs%+log?%++log3al0=log3(a,a2al0)=log3(a5a6)=log39=10.

故選：A.

6.動(dòng)點(diǎn)A在圓/+j?=i上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)8(3,0)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.x2++3x+2=0B.x2+y2―3x+2=0

C.x2+y2+3y+2=0D.x2+/-3^+2=0

【正確答案】B

【分析1設(shè)連線(xiàn)的中點(diǎn)為尸(x,y),再表示出動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入圓/+『=1化簡(jiǎn)即可

【詳解】設(shè)連線(xiàn)的中點(diǎn)為P(x,y)，則因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)/(X"”)與定點(diǎn)3(3,0)連線(xiàn)的中點(diǎn)為P(x,y),

故

貓+3

X

2-ixA-2x-3

\，，又A在圓/+/=]上，故(2x_3r+(2y)2=l,

元m=2y

[\一

即4x?-12x+9+4y2=1,4x?-12x+8+4y2=0即x2+y2-3x+2=0

故選B

本題主要考查了軌跡方程的一般方法，屬于基礎(chǔ)題型.

7.如圖已知矩形48a),48=1,8C=JL沿對(duì)角線(xiàn)/C將/8C折起，當(dāng)二面角B-NC-。

的余弦值為時(shí)，則8與。之間距離為()

【正確答案】C

【分析】過(guò)B和。分別作8E_LNC,DF1AC,根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)

行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】解：過(guò)8和。分別作DF1AC,

在矩形ABCD,AB=1,BC=B：.AC=2,

^ABc=S^DC，：.^ABBC=^ACBE

BE=DF=—,

2

則/E=C1尸=’,即￡F=2-1=1,

2

平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為,

3

.1

cos<EB,FD

BD=BE+EF+FD，

=(BE+EF+FD)2=BE^+EF'+FD+2BEEF+2FDBE+2EFFD=^+1+^-2\EB[\FD\CQS<EB

75、06,1、51I

,FD>=——2x——x——x(—)=—-4—=3，

222322

則問(wèn)=5

即a與。之間距離為6，

故選：C.

22

8.耳6是橢圓E:=+4=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在X軸上，

aD

滿(mǎn)足/"MN=NF?MN=60”,若3MF：+5M心入,則橢圓E的離心率為()

A.-B.-C.1D.-

9638

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則確定1A優(yōu)|與的關(guān)系，再利

用橢圓定義結(jié)合余弦定理求解作答.

【詳解】由3〃￡+5〃6=彳疝得，以3用足、5成為一組鄰邊的平行四邊形的以點(diǎn)〃為

起點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)對(duì)應(yīng)的向量與加共線(xiàn)，

由N6MN=N^MN=60。知，MN平分■4F\MF],

因此這個(gè)平行四邊形是菱形，有3|/片|=5|仍|,

又IMI+|g|=2%于是得|5|=：5。,|崢|=3^。，

令橢圓E的半焦距為c,在△耳Mg中，/耳岫=120’,

2

由余弦定理得：|片乙|=|MF^+\MF2『-21||MF21cosZFtMF2,

即4c2=（?a）2+（,〃），+，

則有e2=:=竺，解得e=1,所以橢圓E的離心率為。.

a26488

故選：D

二、多選題

9.已知等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，q<0,品=工3,則下列結(jié)論正確的有（）

A.｛%｝是遞減數(shù)列B.?12>0

C.520<0D.S“最小時(shí)，〃=10

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)首項(xiàng)4<0可得：公差d>0且對(duì)=-6。>0即可判斷等差數(shù)列

｛%｝是遞增數(shù)列，進(jìn)而求解.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛。,,｝的前〃項(xiàng)和為，，且S,=S”，

所以S|3_*=4+%+《0+%+42+《3=3也0+卬）=0,貝|J有=-alQ,

因?yàn)閝<0,所以公差d>0,且即=-6。>0,所以等差數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)

誤；

6fI2>aH>0,故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)?20=2°0.詈。=.駟產(chǎn)）.=0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由即=-q0>0可知：等差數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)均為負(fù)值，所以S,最小時(shí)，〃=10,故選項(xiàng)D

正確，

故選.BD

10.過(guò)點(diǎn)「（2,1）作圓O：/+/=i的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為48,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.

B.四邊形尸403的外接圓方程為f+「=2x+y

C.直線(xiàn)48方程為歹=-2工+1

O

D.三角形尸，8的面積為］

【正確答案】BCD

【分析】求出|。尸|,由勾股定理求解歸力|,即可判斷選項(xiàng)A；

利用P0為所求圓的直徑，求出圓心和半徑，即可判斷選項(xiàng)B；利用“8L0P,求出直線(xiàn)48

的斜率，即可判斷選項(xiàng)C；求出直線(xiàn)尸。和Z8的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求解，

即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A(yíng),由題意可得：|0耳=亞二=6，由勾股定理可得，1PH=亞豆二己=2,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由題意知，P8_L08,則P。為所求圓的直徑，所以線(xiàn)段尸。的中點(diǎn)為(1,；),半徑

為孚，則所求圓的方程為(x-l)2+(y-；)2=；,化為一般方程為一+/=2X+了，故選項(xiàng)B

正確；

對(duì)于C,由題意，其中一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),不妨設(shè)為點(diǎn)8,則/8LOP,又勺p=g,

所以38=-2,所以直線(xiàn)48的方程為V=-2x+l,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?5LOP,且直線(xiàn)OP的方程為了二3X，直線(xiàn)48的方程為y=-2x+l,聯(lián)立

2

y=-2x+1x=—

521

方程組1,解得，所以?xún)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為。(1,?，則

y=-x1

2

|如JH)2=半,H=^(|-2)2+(1-l)2=^.

故△尸8。的面積為叵X生叵=&,所以尸48的面積為§,故選項(xiàng)D正確,

25555

故選.BCD

11.已知ae(O,?i),曲線(xiàn)Ux?sina+爐cosa=1,下列說(shuō)法正確的有()

JT

A.當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C表示一個(gè)圓

4

JT

B.當(dāng)￡=彳時(shí)，曲線(xiàn)C表示兩條平行的直線(xiàn)

2

C.當(dāng)兀J時(shí)，曲線(xiàn)c表示焦點(diǎn)在X軸的雙曲線(xiàn)

D.當(dāng)a€（O,：J時(shí)，曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)曲線(xiàn)方程的特點(diǎn)，結(jié)合圓、直線(xiàn)、橢圓、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷即可.

【詳解】對(duì)于A(yíng),當(dāng)a=：時(shí)，曲線(xiàn)fsina+y2cosa=l表示圓/+;/=0，所以A正確:

JT

對(duì)于B,當(dāng)。=:時(shí)，曲線(xiàn)C表示兩條平行的直線(xiàn)x=±l,所以B正確.

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C:一卜吊㈤一濁3兇=1表示焦點(diǎn)在x軸的雙曲線(xiàn)，所以c

正確.

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，0<sina<cosa<l,曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，所以D不正

確.

故選：ABC.

12.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體/8CD-44GR中，"為線(xiàn)段/月上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下

列結(jié)論正確的是（）

A.平面5cM，平面月明仞

B.三棱錐8-MB。體積最大值為。

6

c.當(dāng)旭為N4中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)四。與直線(xiàn)CM所成的角的余弦值為正

3

TT

D.直線(xiàn)。歷與4。所成的角不可能是￡

4

【正確答案】ABC

【分析】利用面面垂直的判定知A正確：

利用腺一gc=七一幽必，可知三棱錐5-M4C體積最大時(shí)，SBB、M最大,由此可計(jì)算確定B正

確；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線(xiàn)所成角的向量求法可知c正確；

在C中的空間直角坐標(biāo)系中，假設(shè)得到"(1",1-2),假設(shè)所成角

可以為利用異面直線(xiàn)所成角的向量求法構(gòu)造方程可求得2的值，知D錯(cuò)誤.

4

【詳解】對(duì)于A(yíng),BCLAB,BC上BBi,ABCBB、=B,48,8與u平面4眼，

3C_L平面44也，又6Cu平面8CM,平面8cMl.平面，A正確;

對(duì)于B,腺.M&C==]SBB]M,8c=.

M為Z片上動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)M與A重合時(shí)，S*M取得最大值為；N8?=；,

■■■(r?-wL=14=rB正確；

對(duì)于C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)M為/片中點(diǎn)時(shí)，又用C(0,l,l),0(0,0,1),

,cos<B、D,CM>=

，當(dāng)M為/月中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與。與直線(xiàn)CM所成的角的余弦值為正，C正確;

3

對(duì)于D,如C中所建立的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AM=XAB,(Q<X<\y

又Z(l,0,l),.,?典二(0,1,-1),AM=(O,^,z-l),.-.(0,^,2-1)=(0,2,-2),

則y=4,z=l-2,/.M(1,2,1-2),

.?.CA/=(1,Z-1,-A),又同方二(-1,0,1),

,,?,、???，,

比,以

卜]一川_

cos<CM,AXD>\=

\CM\-\Afi\^1+(2-1)2+Z2X^

兀卜1一4近

若直線(xiàn)6與4。所成的角為7,則川(5+—返。，

解得：4=2土百，又4e[0,l],

二當(dāng)2=2-石，即//二(2-6)/5：時(shí)，直線(xiàn)CM與4。所成的角為5,D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解，對(duì)于CD選項(xiàng)中的異面直線(xiàn)所成角,

可利用異面直線(xiàn)所成角的向量求法確定結(jié)論是否成立，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略異面直線(xiàn)所成角的范

圍，造成余弦值求解錯(cuò)誤.

三、填空題

13.已知數(shù)列｛《,｝的前"項(xiàng)和S“=〃2,則數(shù)列]—!—1的前2022項(xiàng)和為

1-J

2022

【正確答案】說(shuō)

【分析】由a,=S,-Si求得%=2"-1,再由裂項(xiàng)相消法即可求出.

【詳解】因?yàn)镾〃=〃2,當(dāng)〃=1時(shí)，a]=S]=\,

當(dāng)〃22時(shí)，Q”=S〃—S〃_]=—1)=2/?—1,滿(mǎn)足。i=l,

所以%=2〃-1,

、11_1____

所以。,4+](2/7-1)(2/7+1)212/7-12〃+15

所以數(shù)列一^|的前2022項(xiàng)和為

a

lA+iJ

If,1111111)2022

2(3355740434045J4045

2022

故答案為.碗

14.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,而），點(diǎn)P在拋物線(xiàn)/=8x上移動(dòng)，P到直線(xiàn)x=-2的距離為d,

則d+IF的最小值為

【正確答案】4

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，當(dāng)4P,b三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，d+|P/|取得最小值，由此求得這個(gè)最小值.

【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（2,0）,根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，PF=d,所以當(dāng)4P,77三點(diǎn)共線(xiàn)

時(shí)，"+|尸/|取得最小值，最小值為?尸|=g?=4.

故4

本小題主要考查拋物線(xiàn)的定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

2

15.設(shè)P是橢圓"：土+/=1上的任一點(diǎn)，￡尸為圓N:x2+/-y=o的任一條直徑，則

PE-PF的最大值為.

【正確答案】49

4

【分析】設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,則x?=2—2/且計(jì)算得出PE?尸尸=一。+』+：,利用

二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.

【詳解】圓=（的圓心為半徑長(zhǎng)為，

設(shè)點(diǎn)P（x/）,貝良2=2-2/且-14y41,

PE=PN+NE，PF=PN+NF=PN-NE.

所以PEPF=（PN+NE、（PN-NE）=PN-NE"=N--i+x--

=2-2y2+-y2-^+2=-^+J+｝，

所以，當(dāng)了=-《時(shí)，〃取得最大值，即（葭M=7.

2''max4

0

故答案為

4

方法點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種:

一是幾何法，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基

本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

16.在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶(hù)小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，

用于自己開(kāi)設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠(chǎng)的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，

據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%,每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)

400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).預(yù)計(jì)2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠(chǎng)的年利

潤(rùn)為元(取1.2"=7.5,1.2立=9)

【正確答案】40000

【分析】設(shè)一月月底小王手中有現(xiàn)款為q=11000元，〃月月底小王手中有現(xiàn)款為”+1月

月底小王手中有現(xiàn)款為。用，根據(jù)題意可知％=1.2?！?1000,整理得出

《川-5000=1.2(a?-5000),所以數(shù)列｛/-5000)是以6000為首項(xiàng)，1.2為公比的等比數(shù)列，

求得出=50000元，減去成本得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)一月月底小王手中有現(xiàn)款為4=(1+20%)X10000-1000=11000元，

〃月月底小王手中有現(xiàn)款為a?,〃+1月月底小王手中有現(xiàn)款為a?+1,

則a?+l=1.2%-1000,即。田-5000=1.2(%-5000),

所以數(shù)列｛4-5000｝是以6000為首項(xiàng)，1.2為公比的等比數(shù)列，

a]2-5000=6000xl.2",即4=6000x1.2"+5000=50000元.

年利潤(rùn)為50000-10000=40000元.

故40000.

該題考查的是有關(guān)數(shù)列應(yīng)用的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.

四、解答題

17.在/8C中，角Z,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且6cosH+ga=c.

2

(1)求8的大??；

(2)若c=&a+b=2,求/8C的面積.

【正確答案】(l)g:(2)走.

64

【分析】(1)由正弦定理和兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)得且sin/=sin/cos8,求得

2

cosB=?，即可求解；

2

(2)由余弦定理可得+3=3°,結(jié)合a+b=2,求得。=6=1,利用三角形的面積公

式，即可求解.

【詳解】(1)ScosA+—a=c,

2

n

由正弦定理可得sin5cos力+Jsin4=sinC,

2

XsinC=sin(/+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以且sin4=sincos5，

2

因?yàn)?w(0,1)，則sin4>0,所以cos3=@,

2

因?yàn)?w(0人),所以8=

o

(2)因?yàn)?=5，C=

o

由余弦定理可得cosB=+3力=當(dāng)，整理得.2一萬(wàn)+3=3“，

2ax宕2

又cr+b=2,解得a=6=1,

以S.Ke一℃sinB——x1xyfix-=.

般2224

本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題

目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的

關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知數(shù)列｛氏｝滿(mǎn)足q=l,a,+i=2a“+l,”eN*.

(1)證明數(shù)歹式%+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵令bn=n(a?+1),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T,,.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，見(jiàn)=2"-1

(2)北=(〃-1>2e+2.

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)歹！|{6,+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)

而求解得答案；

(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】(1)解：數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足q=l,%M=2a“+l,〃eN*.

Q.+l=2(q+l),

數(shù)列｛q+1｝是以％+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

a?+l=2-2n-'=2",即%=2"-1；

(2)解：Qb?=n(a?+\)=n-2",

.\7；=1-2+2-22+3-23++n-2",

27；=1-22+2-23+3-24++小2向，

:.-T=2+22+2｝+L+2"-n-2"+,=2(2-1)-n-2"+,=2"+|-2-n-2,,+1,

"2-1

/.7；=(rt-l)-2,,+l+2.

19.如圖，三棱柱N8C-44G的所有棱長(zhǎng)都相等，4/5=N4NC=60。，點(diǎn)M為相C的

重心，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N,連接4".設(shè)加:廣，AC=b\A,A^c.

⑴用a,b，c表示4M；

(2)證明：AXM1AB.

IX1x>

【正確答案】⑴=yb+c

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算求得正確答案.

（2）通過(guò)計(jì)算4/*5:0來(lái)證得

【詳解】（1）因?yàn)閆8C為正三角形，點(diǎn)〃為X5C的重心，所以N為8c的中點(diǎn)，

??共11??季0?“一

所以4N=L/8+2/C,AM=-AN,

223

—次▼▼――漢▼▼儀）―叭，▼-11[X]xx

所以4"=4力+%/=4月+§4N=AxA-\--AB-\--AC=—?+-/?+c.

（2）設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為加，

xx

"***+<lXiXjXi>:（iXXXi1121

貝"4A7?AB=\—aH■—h+c-a=—a-1—a-h+c?ani4—nf——ntx-=0,

1U3J333322

所以4"_L48.

20.已知點(diǎn)尸（2,0）,HC.x2+y2-6x+4y+4=0

（1）若直線(xiàn)I過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)為4近，求直線(xiàn)I的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)訴-歹+1=0與圓C交于48兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2,0）的直線(xiàn)4垂直平分弦48,這樣的

實(shí)數(shù).是否存在，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（l）3x+4y-6=0或x=2

（2）不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)出直線(xiàn)方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離，由勾股定理得弦長(zhǎng)求得參數(shù)，注意考

慮直線(xiàn)斜率不存在的情形；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（2,0）的直線(xiàn)4垂直平分弦/反則圓心在直線(xiàn)右上，由此可得直線(xiàn)4的斜率，然

后由垂直求得叫由直線(xiàn)與圓相交求得。的范圍，比較可得.

【詳解】（1）?.?點(diǎn)尸（2,0）,直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)P,

二設(shè)直線(xiàn)/的斜率為左（左存在），則方程為y-0=A（x-2）.

又題C的圓心為（3,-2）,半徑廠(chǎng)=3,

,l|3左+2-2對(duì)3

由弦長(zhǎng)為4正，故弦心距d=l,由?/,匕1,解得％=-J

“2+14

3

所以直線(xiàn)方程為y=-：（x-2）,即3x+4y-6=0.

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/的方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿(mǎn)足條件.

故/的方程為3x+4y-6=0或x=2.

（2）把直線(xiàn)“x-y+l=O,即y="x+l.代入圓C的方程，

消去y,整理得（/+1卜2+6（。-1）》+9=0.

由于直線(xiàn)ax-y+l=O交圓C于Z,8兩點(diǎn)，

故△=36（4-1）2-36（/+1）>0,即一72a>0,解得a<0.

設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)。存在，由于4垂直平分弦故圓心C（3,-2）必在4上.

所以4的斜率限=-2,而3所以”:.

Kpc2

由于;任（-8,0）,

故不存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P（2,0）的直線(xiàn)4垂直平分弦AB.

21.如圖所示，等腰梯形Z88中，AB//CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E為8中點(diǎn),

HE與BD交于點(diǎn)O,將△ZOE沿/￡折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置（內(nèi)平面N8CE）.

（1）證明：平面尸。8_1_平面/8CE；

（2）若=試判斷線(xiàn)段尸8上是否存在一點(diǎn)。（不含端點(diǎn)），使得直線(xiàn)PC與平面/E。

所成角的正弦值為巫，若存在，求出筆的值；若不存在，說(shuō)明理由.

5。8

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）存在;§=1

【分析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面POB,然后結(jié)合已知可證;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合線(xiàn)面角列方程可解.

【詳解】（1）連接8E,在等腰梯形/BCO中，AD=AB=BC=2,CD=4,E為CD中點(diǎn),

，四邊形ABED為菱形，

J.OBLAE,ODYAE,HPOBYAE,OPLAE,且。8nop=。,

08U平面POB,OPU平面PO8,.?.4E'_L平面尸08,

又ZEU平面/BCE,平面尸O8_L平面Z8CE.

（2）由（1）可知四邊形為菱形，.?.NO=DE=2,

在等腰梯形/BCD中/E=8C=2,.?.△HE正三角形，

二0P=百，同理08=6，

,/PB=6

：.OP2+OB2^PB2,

：.OPLOB,

由（1）可知。尸_L/E,OBLAE,

以。為原點(diǎn)，OE,O8,OP分別為x軸，y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-型,

則尸（0,0,萬(wàn)），A（-1,0,0）,5（0,73,0）,C（2,6O）,E（1,0,0）,

PB=（0,石,一研PC=（2五），力（2,0,0）,

--，、-?，、??，、■-，、一-，、

設(shè)PQ=；l尸8（0<；1<1）,AQ=AP+PQ=AP+APB=（1,&,萬(wàn)-R）,

設(shè)平面ZE。的一個(gè)法向量為（x,y,z）,

\^-A￡=O[2X=0

:/0=0'即x+行為+田-6力=0

4.、A

取x=0,y—1,得2=-^~,/.n=（0,1,—~-）,

Z—1X—1

TT

設(shè)直線(xiàn)PC與平面4E。所成角為。，o,y,

化簡(jiǎn)得：4A2-42+1=0,解得2=一,

2

使直線(xiàn)PC與平面AEQ所成角的正弦值為半