2022-2023學(xué)年北京市匯文中學(xué)教育集團(tuán)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年北京市匯文中學(xué)教育集團(tuán)八年級（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）

1.（2分）斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線,

自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案.下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的

是（）

2.（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.mCa+b）—ma+mbB.3/-3x+l=3x（x-1）+1

C.7+3x+2=（x+1）（x+2）D.（a+2）2=a~+4a+4

3.（2分）已知三角形的三邊長分別為3,4,x,且x為整數(shù)，則*的最大值為（）

A.8B.7C.5D.6

4.（2分）如圖，河谷大橋橋梁的斜拉鋼索是三角形的結(jié)構(gòu)，主要是（）

A.節(jié)省材料，節(jié)約成本B.保持對稱

C.利用三角形的穩(wěn)定性D.美觀漂亮

5.（2分）下列運(yùn)算結(jié)果為a的是（）

A30

A.優(yōu)■礦B.C.（/）3D./

6.（2分）如圖，點(diǎn)C在NAO8的邊0A上,用尺規(guī)作出了CP〃O8,作圖痕跡中，範(fàn)是

)

E,

A.以點(diǎn)C為圓心、00的長為半徑的弧

B.以點(diǎn)C為圓心、DM的長為半徑的弧

C.以點(diǎn)E為圓心、DW的長為半徑的弧

D.以點(diǎn)E為圓心、。。的長為半徑的弧

7.（2分）如圖，點(diǎn)。是△ABC的兩個外角平分線的交點(diǎn)，下列結(jié)論：①點(diǎn)。在的平

分線上；②點(diǎn)。到△ABC的三邊的距離相等；③OB=OC.以上結(jié)論正確的有（）

A.②③B.①②C.①③D.①②③

8.（2分）如圖，等腰△ABC中，AB=AC,MN是邊BC上一條運(yùn)動的線段（點(diǎn)M不與點(diǎn)B

重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合），且"。丄BC交A8于點(diǎn)。，NE丄BC交AC于

2

點(diǎn)E,在從左至右的運(yùn)動過程中，和△CNE的面積之和（）

A.保持不變B.先變小后變大

C.先變大后變小D.一直變大

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.（2分）如果等腰三角形一邊長為3,另一邊長為10,那么它的周長是

10.（2分）已知一正多邊形的每個外角是36°,則該正多邊形是邊形.

11.（2分）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在小

正方形的頂點(diǎn)上，則表示△ABC重心的點(diǎn)是.

12.（2分）有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構(gòu)成，各部分的面積

數(shù)據(jù)如圖所示，右邊場地為長方形，長為2（a+b）,則寬為.

2(a+b)

13.（2分）借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數(shù)的角，這個“三等分角儀”

由兩根有槽的棒。4,0B組成，兩根棒在0點(diǎn)相連并可繞0轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC=C。

=DE,點(diǎn)、D,E可在槽中滑動，若NBDE=75°,則NCOD=°.

14.（2分）當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時，就能

拼成一個既不留空隙，又不相互重疊的平面圖形，我們稱之為鑲嵌.用一種或幾種正多

邊形鑲嵌平面有多種方案，如：6個正三角形，記作（3,3,3,3,3,3）；3個正三角

形和兩個正方形，記作（3,3,3,4,4）；請你寫出一種同時使用正三角形和正六邊形

的鑲嵌方案.

15.（2分）如圖，等邊△ABC中，AO是BC邊上的中線，且A￡>=17,E,P分別是AC,

4。上的動點(diǎn)，則CP+EP的最小值等于.

16.(2分)新年聯(lián)歡，某公司為員工準(zhǔn)備了4、B兩種禮物，A禮物單價。元、重加千克,

B禮物單價(4+1)元，重("L1)千克，為了增加趣味性，公司把禮物隨機(jī)組合裝在盲

盒里，每個盲盒里均放兩樣，隨機(jī)發(fā)放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，則兩個盲

盒的總價錢相差元，通過稱重其他盲盒，大家發(fā)現(xiàn)：

稱重情況重量大于小林與小林的盲盒重量介于小林與小李的盲盒重量小于小李

的盲盒的一樣重和小李之間的一樣重的盲盒的

盲盒個數(shù)05094

若這些禮物共花費(fèi)2018元，則。=元.

三、解答題(共68分，其中17-18題每題8分，19-20題每題5分，21題6分，22-23題每

題5分，24-25題每題6分，26-27題每題7分)

17.(8分)因式分解:

(1)3x1+6x+3；

(2)a3-9a.

18.(8分)計算：

(1)a3,a+(-a2)3-ra2；

(2)[(m+n)Cm-n)+(-n)2]-i-2/n.

19.(5分)已知f-x+l=0,求代數(shù)式(JC+1)2-(JC+1)(2x-1)的值.

20.(5分)如圖，AB=AD,AC=AE,Z1=Z2.求證：BC=DE.

21.(6分)下面是小明同學(xué)設(shè)計的“已知底邊及底邊上的中線作等腰三角形”的尺規(guī)作圖

過程.

已知：如圖1,線段4和線段從

求作：△A8C,使得AB=AC,BC=a,BC邊上的中線為江

作法：如圖2,

①作射線BM,并在射線BM上截取BC=a；

②作線段BC的垂直平分線PQ,PQ交8c于Q；

③以￡>為圓心，b為半徑作弧，交PQ于4

④連接AB和AC.

則△ABC為所求作的圖形.

根據(jù)上述作圖過程，回答問題：

(1)用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形；

(2)完成下面的證明：

證明：由作圖可知BC=a,AD=h.

為線段BC的垂直平分線，點(diǎn)A在PQ上，

：.AB=AC()(填依據(jù)).

又線段BC的垂直平分線PQ交BC于D,

...AD為BC邊上的中線，且A￡>=6.

.a,

.----------------------->BC7M

圖1圖2

22.（5分）如圖，在Rt/XABC中，/C=90°,ZA=30°,80平分/ABC,AD-10,求

CO的長.

23.(5分)課本上介紹了求多邊形的內(nèi)角和的方法是過n邊形的一個頂點(diǎn)作對角線，把n

邊形分成("-2)個三角形，把求多邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和的問題.從而得到〃

邊形的內(nèi)角和等于(，L2)780。，現(xiàn)在再提供兩種添輔助線的方案，請你選擇其中一種,

再次證明“邊形內(nèi)角和定理.

方案一方案二

如圖,P為“邊形AlA2......An內(nèi)一

點(diǎn)，連接B41,PA1,……，PAn,那么如圖，尸為“邊形A1A2……An邊

〃邊形被分成了______個三角形，A1A2上的任意一點(diǎn)，連接必3,PAi,

由此推理〃邊形的內(nèi)角和定理.……，PA,?那么〃邊形被分成

了____________個三角形，由此推理

〃邊形

的內(nèi)角和定理.

證明：證明：

24.(6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,3),

B(1,0),C(1,2),

(1)在圖中作出△48C關(guān)于x軸對稱的△48C1,其中41的坐標(biāo)為；

(2)如果要使以8、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等(A、。不重合)，寫出所有符

合條件的點(diǎn)力坐標(biāo).

IIIIIlli

--------------------4--------

25.(6分)小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于x的多項式/

-2r+3,由于，-2x+3=(x-1)2+2,所以當(dāng)x-1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多

項式2%+3的值是相等的，例如，當(dāng)x-l=±/,即x=2或0時，f-2x+3的值均為

3；當(dāng)x-l=±2,即x=3或-1時，x2-2%+3的值均為6.

于是小明給出一個定義：對于關(guān)于x的多項式，若當(dāng)X—取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時,

該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于x=l對稱.例如》2-2%+3關(guān)于x=l對稱.

請結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：

(/)多項式/-6x+10關(guān)于x=對稱；

(2)若關(guān)于x的多項式/+2fcr+3關(guān)于x=4對稱，求人的值；

(3)整式(W+8x+16)(?+4A-+4)關(guān)于X=對稱.

26.(7分)在aABC中，。是2C的中點(diǎn)，且/8AOW90。，將線段A8沿A。所在直線翻

折，得到線段AB',作CE//AB交直線AB，于點(diǎn)E.

(1)如圖，若A8A4C,

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段AB,AE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)若A8VAC,上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式

表示線段48,AE,CE之間新的數(shù)量關(guān)系(不需證明).

A

B

27.（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/為一、三象限角平分線，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對

稱點(diǎn)稱為P的一次反射點(diǎn)，記作P;P1關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)稱為點(diǎn)P的二次反射點(diǎn)，記

作放.例如，點(diǎn)（-2,5）的一次反射點(diǎn)為（2,5）,二次反射點(diǎn)為（5,2）.根據(jù)定義，

回答下列問題：

（1）點(diǎn)（3,4）的一次反射點(diǎn)為,二次反射點(diǎn)為；

（2）當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時，點(diǎn)用（-4,1）,N（3,-1）,Q（-1,-5）中可以是點(diǎn)

A的二次反射點(diǎn)的是；

（3）若點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)Ai,A2分別是點(diǎn)A的一次、二次反射點(diǎn)，ZAIOA2=50°,

求射線0A與x軸所夾銳角的度數(shù)；

（4）若點(diǎn)A在y軸左側(cè)，點(diǎn)4,A2分別是點(diǎn)A的一次、二次反射點(diǎn)，△44142是等腰

直角三角形，請直接寫出點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置.

2022-2023學(xué)年北京市匯文中學(xué)教育集團(tuán)八年級（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）

1.（2分）斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線,

自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案.下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的

是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確;

8、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

2.（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.mCa+b）—tna+mbB.3/-3x+l=3x（x-1）+1

C.7+3x+2=（x+1）（x+2）D.（a+2）2=a2+4?+4

【分析】利用因式分解的定義，將多項式和的形式化為積的形式，即可得到結(jié)果.

【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；

8、不是積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；

C、是因式分解，故本選項符合題意；

。、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了因式分解的意義，熟練掌握因式分解的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.（2分）已知三角形的三邊長分別為3,4,x,且x為整數(shù)，則x的最大值為（）

A.8B.7C.5D.6

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，求出x的取值

范圍，進(jìn)而得到x的最大值.

【解答】解：：4-3=1,4+3=7,

.,.l<x<7,

為整數(shù)，

.??X的最大值為6.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.（2）三角形的兩邊差小于第三

邊.

4.（2分）如圖，河谷大橋橋梁的斜拉鋼索是三角形的結(jié)構(gòu)，主要是（）

A.節(jié)省材料，節(jié)約成本B.保持對稱

C.利用三角形的穩(wěn)定性D.美觀漂亮

【分析】橋梁的斜拉鋼索是三角形的結(jié)構(gòu)，故主要是利用了三角形的穩(wěn)定性.

【解答】解：橋梁的斜拉鋼索是三角形的結(jié)構(gòu)，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是熟記三角形的穩(wěn)定性.

5.（2分）下列運(yùn)算結(jié)果為/的是（）

A.”力/B.49-/C.（a2）3D.al8-i-a3

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法法則，合并同類項法則，塞的乘方運(yùn)算法則以及同底

數(shù)募的除法法則逐一判斷即可.

【解答】解：A.。3.“2=05,故本選項不合題意；

B./與不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；

C.（/）3=/,故本選項符合題意；

D.a's-ra3—a'5,故本選項不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了合并同類項，同底數(shù)暴的乘除法以及幕的乘方與積的乘方，熟

記累的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2分）如圖，點(diǎn)C在NAOB的邊0A上，用尺規(guī)作出了CP〃OB,作圖痕跡中，而是

B.以點(diǎn)C為圓心、0M的長為半徑的弧

C.以點(diǎn)E為圓心、DW的長為半徑的弧

D.以點(diǎn)E為圓心、。。的長為半徑的弧

【分析】根據(jù)平行線的判定，作一個角等于已知角的方法即可判斷.

【解答】解：由作圖可知作圖步驟為：

①以點(diǎn)。為圓心，任意長為半徑畫弧QM,分別交0B于M,D.

②以點(diǎn)C為圓心，以0M為半徑畫弧EN,交。4于￡

③以點(diǎn)E為圓心，以為半徑畫弧尸G,交瓠EN于N.

④過點(diǎn)N作射線CP.

根據(jù)同位角相等兩直線平行，可得CP〃。艮

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查作圖-基本作圖，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本

知識，屬于中考?？碱}型.

7.（2分）如圖，點(diǎn)。是△ABC的兩個外角平分線的交點(diǎn)，下列結(jié)論：①點(diǎn)。在NA的平

分線上；②點(diǎn)。到△ABC的三邊的距離相等；③OB=OC.以上結(jié)論正確的有（)

A.②③B.①②C.①③D.①②③

【分析】過0點(diǎn)作0。丄4B于D,0E丄BC于E,0F1AC于F,如圖，根據(jù)角平分線

的性質(zhì)得到0D=0E,OE=OF,則0D=0F,于是根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可

對①進(jìn)行判斷；同時可對②進(jìn)行判斷；由于不能確定/ABC=/AC8,則不能確定/OBE

=ZOCE,則可對③進(jìn)行判斷.

【解答】解：過。點(diǎn)作。力丄AB于。，0E丄BC于E,。尸丄4c于凡如圖，

平分NZJBC,0D1BD,0E1BC,

：.OD=OE,

同理可得0E=0凡

：.OD=OF,

...點(diǎn)。在NA的平分線上，所以①正確；

OD=OE=OF,所以②正確；

,/不能確定/ABC=NACB,

不能確定/OBE=ZOCE,

.,?不能確定OB=OC,所以③錯誤.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考

查了角平分線的性質(zhì)定理的逆定理.

8.（2分）如圖，等腰△48C中，AB^AC,MN是邊BC上一條運(yùn)動的線段（點(diǎn)M不與點(diǎn)8

重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合)，且MN=2BC,丄BC交A8于點(diǎn)。，NE丄BC交AC于

2

點(diǎn)E,在MN從左至右的運(yùn)動過程中，△BMC和aCNE的面積之和()

A.保持不變B.先變小后變大

C.先變大后變小D.一直變大

【分析】妨設(shè)BC=2a,ZB—ZC—a,BM—m,則CN=a-機(jī)，根據(jù)二次函數(shù)即可解決

問題.

【解答】解：不妨設(shè)8c=2a,NB=NC=a,BM=m,則CN=”-機(jī)，

則有S陰=」?〃??〃?tana+』(a-m)*(.a-m)tana

22

=Atana(m2+a2-2am+m2)

2

=_Ltana(2m2-lam+a1),

2

陰的值先變小后變大，

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出面積改變規(guī)律.

二、填空題(每小題2分，共16分)

9.(2分)如果等腰三角形一邊長為3,另一邊長為10,那么它的周長是23.

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為10和3,而沒有明確腰、底分別是多少，所

以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為3時，3+3<10,所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為10時，3+10>10,所以能構(gòu)成三角形，周長是：3+10+10=23.

故答案為：23.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；己知沒有明確腰和底邊的

題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解

答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

10.（2分）已知一正多邊形的每個外角是36°,則該正多邊形是十邊形.

【分析】多邊形的外角和等于360°,因?yàn)樗o多邊形的每個外角均相等，故又可表示成

36°n,列方程可求解.

【解答】解：設(shè)所求正〃邊形是"邊形，

則36°"=360°,

解得〃=10.

故正多邊形是十邊形.

故答案為：十.

【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進(jìn)行正確

運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理.

11.（2分）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在小

正方形的頂點(diǎn)上，則表示△A8C重心的點(diǎn)是點(diǎn)。.

【分析】利用三角形重心的定義進(jìn)行判斷.

【解答】解：根據(jù)圖形，點(diǎn)。為AB和BC邊上的中線的交點(diǎn),

所以點(diǎn)力為aABC重心.

故答案為點(diǎn)D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；三角形的

重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

12.（2分）有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構(gòu)成，各部分的面積

數(shù)據(jù)如圖所示，右邊場地為長方形，長為2（a+b）,則寬為

【分析】求出左邊場地的面積為a2+b2+2ab,由題意可求右邊場地的寬=（q2+/+2M）

+2(a+b),按此計算便可.

【解答】解：左邊場地面積=/+/+2",

：左邊場地的面積與右邊場地的面積相等，

，寬=(c^+b2+2ab)4-2(“+〃)=Ca+b)2+2Ca+b)=丄(a+b)=—

故答案為：ya-t^-b,

【點(diǎn)評】本題考查整式的除法；熟練掌握整式的除法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

13.(2分)借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數(shù)的角，這個“三等分角儀”

由兩根有槽的棒0A,。8組成，兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞。轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC=CD

=DE,點(diǎn)、D,E可在槽中滑動，若/BDE=75°,則/COD=25".

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)分別求出NCO。，/OEC的度數(shù)，由外角的性質(zhì)可求解.

【解答】解：設(shè)NCOD=x,

：OC=CD=DE,

：.ZCOD^ZCDO=^x,NDCE=NDEC,

■:NDCE=NC0D+NCD0=2x,

：.ZDEC=2x,

"：NBDE=ZDEC+ZC0D=3x,

；.3x=75°,

；.x=25°,

故答案為：25.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解

題的關(guān)鍵.

14.(2分)當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時，就能

拼成一個既不留空隙，又不相互重疊的平面圖形，我們稱之為鑲嵌.用一種或幾種正多

邊形鑲嵌平面有多種方案，如：6個正三角形，記作(3,3,3,3,3,3)；3個正三角

形和兩個正方形，記作(3,3,3,4,4)；請你寫出一種同時使用正三角形和正六邊形

的鑲嵌方案(3,3,3,3,6)(答案不唯一).

【分析】一種正多邊形組成鑲嵌，看一個內(nèi)角度數(shù)為360。的約數(shù)即可；兩種正多邊形能

否組成鑲嵌，要看同一頂點(diǎn)處的幾個角之和能否為360°,找到這樣的正多邊形或組合即

可.

【解答】解：正三角形的一個內(nèi)角度數(shù)為60。，正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為120°,那

么4個正三角形，一個正六邊形能組成鑲嵌，記做(3,3,3,3,6),

故答案為：(3,3,3,3,6)(答案不唯一).

【點(diǎn)評】此題考查了平面鑲嵌，用到的知識點(diǎn)為：一種正多邊形能鑲嵌平面，這個正多

邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是360。的約數(shù)；兩種或兩種以上的正多邊形能組成鑲嵌，同一頂

點(diǎn)處的幾個角之和為360°.

15.(2分)如圖，等邊△ABC中，AO是BC邊上的中線，且40=17,E,P分別是AC,

上的動點(diǎn)，則CP+EP的最小值等于17.

【分析】作BE丄AC于E,交A。于P,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到A。丄8C,求得點(diǎn)8,

C關(guān)于AO為對稱，得至IJ8P=CR根據(jù)垂線段最短得出CP+EP=8P+EP=BE=AC,即

可得到結(jié)論.

【解答】解：8E丄AC于E,交AO于尸，

「△ABC是等邊三角形，AO是BC邊上的中線,

:.AD丄BC,

：.AD是BC的垂直平分線，

.?.點(diǎn)8,C關(guān)于AQ為對稱，

：.BP=CP,

根據(jù)垂線段最短得出：CP+EP=BP+EP=BE,即此時CP+E尸的值最小，

；△ABC是等邊三角形，

：.AC^BC,

'：S^ABC=^BC-AD=1AC'BE,

22

：.BE^AD=\1,

即CP+EP的最小值為17,

故答案為：17.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱

的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

16.（2分）新年聯(lián)歡，某公司為員工準(zhǔn)備了A、B兩種禮物，A禮物單價。元、重加千克，

B禮物單價（。+1）元，重（m-1）千克，為了增加趣味性，公司把禮物隨機(jī)組合裝在盲

盒里，每個盲盒里均放兩樣，隨機(jī)發(fā)放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，則兩個盲

盒的總價錢相差1元,通過稱重其他盲盒，大家發(fā)現(xiàn)：

稱重情況重量大于小林與小林的盲盒重量介于小林與小李的盲盒重量小于小李

的盲盒的一樣重和小李之間的一樣重的盲盒的

盲盒個數(shù)05094

若這些禮物共花費(fèi)2018元，則“=50元.

【分析】根據(jù)小林的盲盒比小李的盲盒重1千克可判斷兩個盲盒的總價錢相差1元，再

根據(jù)重量小于小李的盲盒的為4盒可以得出結(jié)論：小李的盲盒中為1件A禮物和1件B

禮物，小林的盲盒中為2件A禮物，然后再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列一元一次方程求解即可.，

【解答】解：禮物重膽千克，8禮物重（〃L1）千克，

...A禮物比B禮物重1千克，

：每個盲盒里均放兩樣，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，

.?.小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物；或小李的盲

盒中為2件8禮物，小林的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物；

???不管以上哪種情況，兩個盲盒的禮物總價格都相差a+1-4=1(元)，

由表格中數(shù)據(jù)可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中為1件A禮物和1

件8禮物，不可能為2件8禮物，

.?.小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物，

.?.重量小于小李的盲盒為2件B禮物，

???與小林的盲盒一樣重盲盒有5盒，與小李的盲盒一樣重的盲盒有9盒，重量小于小李

的盲盒有4盒，

；.2件B禮物的有4盒，1件A禮物和1件B禮物有10盒，2件A禮物有6盒，

A2X4(a+1)+10Xa+10(a+1)+2X6a=2018,

解得4=50,

故答案為：1,50.

【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)據(jù)的收集與整理，能根據(jù)一直數(shù)據(jù)準(zhǔn)確判斷小李與小林的盲盒

中的禮物時解答此題的關(guān)鍵.

三、解答題(共68分，其中17-18題每題8分，19-20題每題5分，21題6分，22-23題每

題5分，24-25題每題6分，26-27題每題7分)

17.(8分)因式分解：

(1)3/+6x+3；

(2)a3-9a.

【分析】(1)先提公因式，再用公式法因式分解即可；

(2)先提公因式，再用公式法因式分解即可.

【解答】解：(1)3/+6x+3=3(?+2x+l)=3(x+1)2；

(2)a3-9a—a(a2-9)—a(a-3)(a+3).

【點(diǎn)評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解題

的關(guān)鍵.

18.(8分)計算：

232

(1)(-a)-?a；

(2)[(m+n)(in-n)+(-n)2]-r2m.

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)幕的乘除法，新的乘方和積的乘方即可得出答案；

(2)根據(jù)平方差公式和整式的除法計算即可.

【解答】解：(1)a^*a+(-a?)3+/

=a4+（-a6）-ra2

=a4-a4

=0；

（2）[（m+n）Cm-n）+（-〃）2]4-2m

—（序-ir+ir）

=nr—2m

2

【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)幕的乘除法，幕的乘方和積的乘

方，平方差公式是解題的關(guān)鍵.

19.（5分）已知/-x+l=0,求代數(shù)式（x+1）2-（x+i）（2x7）的值.

【分析】根據(jù)多項式乘多項式進(jìn)行化簡，然后整體代入即可求值.

【解答】解：原式=/+2x+l-+x~2x+1

=-/+x+2,

當(dāng)/-x+l=0,即-/+x=l時，原式=1+2=3.

【點(diǎn)評】本題考查了多項式乘多項式，解決本題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式.

20.（5分）如圖，AB=4O,AC=AE,/1=N2.求證：BC=DE.

D

【分析】要證明BC=OE,只要證明三角形ABC和4OE全等即可.兩三角形中己知的條

件有AB=">,AC=AE,只要再得出兩對應(yīng)邊的夾角相等即可.我們發(fā)現(xiàn)N4BC和ND4E

都是由一個相等的角加上ND4C,因此NABC=ND4E,這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的

條件（SAS）,兩三角形就全等了.

【解答】證明：；N1=N2,

,Z\+ZDAC=Z2+ZDAC.

即：ZBAC=ZDAE.

，AB=AD

在△ABC與又△AOE中，<ZBAC=ZDAE>

AC=AE

：.BC=DE.

【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形來得出簡單的線段相等是

解此類題的常用方法.

21.（6分）下面是小明同學(xué)設(shè)計的“已知底邊及底邊上的中線作等腰三角形”的尺規(guī)作圖

過程.

已知I：如圖1,線段〃和線段從

求作：△ABC,使得A8=AC,BC=a,8c邊上的中線為江

作法：如圖2,

①作射線BM,并在射線BM上截取BC=a；

②作線段BC的垂直平分線PQ,PQ交BC于D；

③以。為圓心，b為半徑作弧，交PQ于4；

④連接AB和AC.

則△ABC為所求作的圖形.

根據(jù)上述作圖過程，回答問題：

（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形；

（2）完成下面的證明：

證明：由作圖可知BC=a,AD=b.

為線段8c的垂直平分線，點(diǎn)A在PQ上，

：.AB=AC（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等）（填依據(jù)）.

又?.?線段BC的垂直平分線PQ交BC于D,

-BD=DC.

為8c邊上的中線，且

.a,

-k------!Bc7M

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可;

（2）利用線段的承載著平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

（2）證明：由作圖可知BC=a,AD=b.

為線段BC的垂直平分線，點(diǎn)A在PQ上，

：.AB=AC（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等），

又?線段BC的垂直平分線PQ交BC于D,

：.BD=DC,

為BC邊上的中線，且

故答案為：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等，BD,DC.

【點(diǎn)評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

22.（5分）如圖，在RtZ^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,平分/ABC,AD=10,求

CO的長.

【分析】在RtZXABC中利用NC=90°,ZA=30°易求N4BC=60°,再利用角平分線

性質(zhì)可求乙4B￡）=NOBC=30°,從而可得進(jìn)而可求BD,在Rt/XBDC中，

利用30°的角所對的邊等于斜邊的一半可求CD.

【解答】解：在RtZ\48C中，：NC=90°,/A=30°,

.?./A8C=60°,

：8。是NABC的平分線，

.,.NA8O=/￡）BC=30°,

ZABD^ZA,

：.BD=AD=\O,

又,../￡>BC=30°,

.\DC=ABD=5.即DC的長是5.

2

【點(diǎn)評】本題考查了含有30°角的直角三角形、角平分線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是得出2。

=AD=10.

23.（5分）課本上介紹了求多邊形的內(nèi)角和的方法是過n邊形的一個頂點(diǎn)作對角線，把n

邊形分成（〃-2）個三角形，把求多邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和的問題.從而得到〃

邊形的內(nèi)角和等于（“-2）-180°,現(xiàn)在再提供兩種添輔助線的方案，請你選擇其中一種，

再次證明〃邊形內(nèi)角和定理.

方案一方案二

如圖，尸為"邊形A|A2.........An內(nèi)一

點(diǎn)，連接附1,PA2,……，PAn,那么如圖，P為"邊形A1A2……An邊

”邊形被分成了〃個三角形,A1A2上的任意一點(diǎn)，連接辦3,以4,

由此推理〃邊形的內(nèi)角和定理.……，PA?,那么〃邊形被分成

了（〃-1）個三角形,由此推理

“邊形

的內(nèi)角和定理.

證明：證明：

【分析】在〃邊形內(nèi)任取一點(diǎn)0,并把。與各頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成〃個三角形，這〃

個三角形的角和為"780。，再減去以點(diǎn)0為頂點(diǎn)的一個周角，就可以得到“邊形的內(nèi)

角和為("-2)*180°；

連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把“邊形分成(?-1)個三角形.

【解答】證明：方法①在”邊形內(nèi)任取一點(diǎn)0,并把。與各頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成〃個

三角形，這〃個三角形的角和為“780°,再減去以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的一個周角，就可以得

到〃邊形的內(nèi)角和為("-2)780°.

故答案為：n；

方法②在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P,連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形

分成1)個三角形，

這1)個三角形的內(nèi)角和等于(〃-,

以P為公共頂點(diǎn)的(〃-1)個角的和是180°,

所以”邊形的內(nèi)角和是(〃-1)780°-180°=(n-2)H80°.

故答案為：(n-1).

【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理的證明，解題關(guān)鍵是將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)

化為三角形中解決.

24.(6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,3),

B(1,0),C(1,2),

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△4BC1,其中Ai的坐標(biāo)為(2,-3)；

(2)如果要使以8、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等(A、。不重合)，寫出所有符

合條件的點(diǎn)。坐標(biāo).

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出△A8C關(guān)于x軸對稱的△AiBiCi,進(jìn)而可以得

Ai的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)網(wǎng)格利用全等三角形的判定即可寫出所有符合條件的點(diǎn)。坐標(biāo).

【解答】解：（1）如圖，△AiBiCi即為所求；4的坐標(biāo)為（2,-3）；

故答案為：（2,-3）；

（2）所有符合條件的點(diǎn)。坐標(biāo)為：（0,3）或（0,-1）或（2,-1）.

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-軸對稱變換，勾股定理，全等三角形的判定，解決本題的關(guān)

鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

25.(6分)小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于x的多項式/

-2x+3,由于f-2x+3=￡-1)2+2,所以當(dāng)x-1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多

項式2%+3的值是相等的，例如，當(dāng)x-l=±/,即x=2或0時，/-2x+3的值均為

3；當(dāng)x-l=±2,即x=3或-1時，--2%+3的值均為6.

于是小明給出一個定義：對于關(guān)于x的多項式，若當(dāng)x-f取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，

該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于x=l對稱.例如/-2%+3關(guān)于x=l對稱.

請結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：

(/)多項式7-6x+10關(guān)于x=3對稱;

(2)若關(guān)于x的多項式/+26x+3關(guān)于x=4對稱，求6的值；

(3)整式(/+8x+16)(X2+4X+4)關(guān)于x=-3對稱.

【分析】(1)對多項式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷即可；

(2)求出/+2&V+3的對稱軸，令對稱軸x—4即可；

(3)對多項式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判定即可.

【解答】解：(1)/-6x+10=(x-3)2+1,

則多項式關(guān)于x=3對稱.

故答案為：3；

(2)：/+2厶+3=(x+b)2+3-b2,

關(guān)于x的多項式x^+2bx+3關(guān)于x=-h對稱，

Z.-6=4,

:.b=-4；

(3)原式=(x+4)2(x+2)2

=[(x+4)(x+2)]2

=(/+6x+8)2

=[(x+3)2-I]2,

.?.關(guān)于x--3對稱.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗検竭M(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷出對稱軸

是解題的關(guān)鍵.

26.(7分)在△ABC中，。是8C的中點(diǎn)，且N84E>W90°,將線段A8沿所在直線翻

折，得到線段4B，，作CE〃AB交直線于點(diǎn)E.

(1)如圖，若AB>AC,

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段AB,AE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)若48VAC,上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式

表示線段AB,AE,CE之間新的數(shù)量關(guān)系(不需證明).

【分析】(1)①依照題意補(bǔ)全圖形；

②由“ASA”可證△8DF纟△CDE,可得CE=BF,DF=ED,由“A4S”可證△AOG絲

/\ADH,可得DG=DH,AG=AH,由HL可證RtADFG注RtADEH,可得GF=EH,

可得結(jié)論；

(2)分兩種情況討論，由“ASA”可證△BDF纟△(?￡)￡：,可得CE=BF,DF=ED,由“AAS”

可證△AQG絲△4￡>//