2023-2024學(xué)年泉州七中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年泉州七中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

(試卷滿分150分.考試用時120分鐘)2023.11

第【卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.直線x—六2=()的傾斜角是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

11

2.已知向量”(3，T2)/=(T3,-2),c=(6,2㈤，若〃，以c三向量共面，則實數(shù)4=()

25

A.2B.2C.2D.3

3.圓C：(x+3)'(y-4)-=l關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為().

A(x-4)2+(y+3>=lB.(x-4)2+(y-3)2=49

2222

c(x+4)+(y-3)=lD(x+4)+(y+3)=49

4.在中，角AB,C的對邊分別為a,4c,已知a=0,6=6,A=45。，則角8的大小為

A.60°B.120°c.60。或120。D.匕。或75°

5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E是棱AB的中點，F(xiàn)是側(cè)面AA1D1D內(nèi)一點，若EF〃

平面BB1D1D,則EF長度的范圍為

A[V2,V3]B[y/2,45]c.1丘，屈D.E，6

y-2

6.設(shè)點p（%y）是曲線）’74-（X-I『上的任意一點，則二I的取值范圍是()

'212-

.55].[°'2].

嗤cd

7.過直線x+)'=4上一動點M,向圓°：/+9=4引兩條切線，A、B為切點，則圓C：(x+3f+(y-3)2=1

的動點P到直線AB距離的最大值為()

276+1

A.2亞+\B.6C.8D.

8.橢圓從（a>Z?>0）的左、右焦點分別是耳，鳥，斜率為1的直線1過左焦點交C

于兩點，且△

A,BABK的內(nèi)切圓的面積是萬，若橢圓C的離心率的取值范圍為,則線段AB

的長度的取值范圍是（）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.直線y=ax+>可能是（）

io.己知直線/：（i+"）x+y+i=°（"wR）與圓ui+y'i,則下列結(jié)論正確的是（〉

A.直線/必過定點B./與C可能相離

2石

C./與C可能相切D.當(dāng)“=1時，/被C截得的弦長為可

11.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，

多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四

棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°,側(cè)棱長為米，則該正四棱錐的（）

也

A.底面邊長為6米B.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為7

C.側(cè)面積為24G平方米D.體積為126立方米

Ct+《=l

12.己知橢圓259片,以分別為它的左右焦點，A.B分別為它的左右頂點，點p是橢圓上

異于A，B的一個動點，下列結(jié)論中正確的有()

冗

ZRPF,二

A.存在P使得■2

_25

B.直線以與直線尸8斜率乘積為定值一3

C1<|尸用<9

ap_1

D.若NP耳苞=a,NPFE=。,則⑶15km萬一§

第II卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某圓柱的側(cè)面展開圖是面積為4兀一的正方形，則該圓柱底面的半徑為

14?點P在橢圓上，且在第一象限，過右焦點心作/KPF?的外角平分線的垂線，垂足為人，。為坐標(biāo)原

點，若|OA|=J的，則該橢圓的離心率為

15.已知圓°：/+尸=4與圓C：x2+y2_》+若y_3=0相交于人，B兩點，則sinZAQB=

金+Jl

16.已知直線1與橢圓63在第一象限交于A,B兩點，1與x軸，y軸分別交于M,N兩點，且

\MA\=\NB\,\MN\=2^f則［的方程為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知圓°：￡+丁=1和點M(TT).

(1)過點M向圓O引切線，求切線的方程；

⑵求以點M為圓心，且被直線y=2x72截得的弦長為8的圓M的方程；

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知△ABC的三個頂點A('%")l(2,l),C(—2,3).

(1)求BC邊所在直線的一般式方程；

(2)BC邊上中線AD的方程為x-2y+t=0(tGR),且△ABC的面積為4,求點A的坐標(biāo).

asinB1

-----------------------------=1

19.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足asinA+MnB-csinC.

⑴求角C的大??；

(2)若0=百，求6+看的最大值.

20.已知橢圓,,靛.一"的左，右焦點分別為邛一瘋①心電°）且經(jīng)過點P（G，2）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若斜率為1的直線與橢圓C交于A,B兩點，求“AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）

21.如圖，在三棱錐尸-MC中，平面24cL平面ABC,ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,

AC=I6,PA=PC=\Q,O為AC中點，H為PBC內(nèi)的動點（含邊界）.

B

（1）求點O到平面P8c的距離；

（2）若0"〃平面尸求直線PH與平面48c所成角的正弦值的取值范圍.

22.P為圓A：（x+2）、y2=36上一動點，點8的坐標(biāo)為（2,0）,線段總的垂直平分線交直線”于點Q.

（1）求點°的軌跡方程C；

⑵在（1）中曲線C與x軸的兩個交點分別為A和4,M、N為曲線C上異于4、4的兩點，直線MN

不過坐標(biāo)原點，且不與坐標(biāo)軸平行.點用關(guān)于原點。的對稱點為S,若直線AS與直線&N相交于點T,

直線仃與直線相交于點R,證明：在曲線C上存在定點E,使得，砂的面積為定值，并求該定值.

1.B

【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角.

【詳解】直線x-y-2=0的斜率為1,傾斜角為45。,

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)共面向量定理列等式，解方程即可.

【詳解】,??。，屋。三向量共面，

:.存在實數(shù)mfn,使得c=ma+nb,即（6,2,4）=（3〃%-加,2加）+（-%3〃,一2〃）

3加一〃二6

?3〃一機=2-

_5c3

.」2時2““，解得切=5,%,A=2.

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)兩圓心的中點在直線y=x上,過兩圓心的直線與已知直線垂直列方程組可得所求圓心坐標(biāo),

然后可得.

【詳解】解:(》+3)2+(尸4)2=1表示以(-3,4)為圓心,以

1為半徑的圓.

。-38+4_

---------------=0

,22

h-4_]

設(shè)(-3,4)關(guān)于直線y=x對稱的點為33,則有1。+3,解得：a=4,b=-3,

所以c：(x+3)-+(〉―4)-=l關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為(x-4)-+(y+3)-=l.

故選：A.

4.C

A\/2

ab.門ftsinAxyy/3

【詳解】由正弦定理可得sin4sinB…a&2,

。<B<-兀,:.B=60或3=120

故選C

5.C

【分析】過產(chǎn)作FG〃OR,交A。于點G,交AA于“，根據(jù)線面垂直關(guān)系和勾股定理可知

EF?=AE2+A尸：由EF,FG//平面'。口片可證得面面平行關(guān)系，利用面面平行性質(zhì)可證得G為A。中

點，從而得到"'最小值為RG重合，最大值為F，“重合，計算可得結(jié)果.

【詳解】過尸作FG//。2,交AO于點G,交AR于”，則FGL底面A8CD

??.EF2=EG2+FG2=AE2+AG2+FG2=AE2+AF2=1+AF2

EF//平面BDD、B\,FG11平面BDD、B、,EFcFG=F

平面EFG//平面BDD[B],又GE1平面EFGGE!/平面BOqg

又平面ABCDc平面=80,GEi平面A8C￡):.GE!!BD

E為AB中點、，G為AO中點，則”為AA中點即F在線段GH上

AF

,nm=AG=1,AFnm=AH=Jl+4=#)

?\EF.=g=Ji,EFa=g=顯

則線段E尸長度的取值范圍為：[&'"]

本題正確選項：c

【點睛】本題考查立體幾何中線段長度取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠確定動點的具體位置，從而找到臨

界狀態(tài)；本題涉及到立體幾何中線面平行的性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)等定理的應(yīng)用.

6.B

【分析】點尸（爸y）是曲線'7"a-1）一上的任意一點，故點尸滿足方程（1）2+丁=4（"0）,7^4

可表示點「（％）'）與點0（4,2）連線斜率，由幾何意義易得結(jié)論.

2為半徑的下半圓，如圖所示:

y-2

x-4可表示點P(x，y)與點Q(4,2)連線斜率改

當(dāng)直線PQ與圓相切時：設(shè)直線方程為y—2=%(x_4),即去_y_4%+2=0

小爐=2&上

圓心到直線距離也+k2，解得5或％=0,

,=12

又y&°,所以一二，

y-2_2卜邑2,12

當(dāng)直線經(jīng)過點A(T⑼時，x-45,綜上155-

故選：B.

7.A

【分析】根據(jù)題意設(shè)點尸團’3在直線"+'=4上，可得點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方

程，聯(lián)立圓O的方程得出直線AB的方程，進而可得直線AB恒過定點NQD,

將問題轉(zhuǎn)化為求點C、N之間的距離，結(jié)合圓C的方程和兩點坐標(biāo)求距離公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，設(shè)點尸(〃勿在直線》+戶4上，則a+%=4,

過點P作圓的兩條切線，切點分別為A、B,則PBA.OB,

(%--)2+(y--)2=-(cr+b2)

所以點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，且該圓的方程為：2-24,

又圓O的方程為/+9=4,這兩個圓的方程相減，得公共弦AB的方程為以+分=4,

即ox+by-4=0,因為4+6=4,所以〃=4_q,所以心7)+4)，-4=0,

當(dāng)x=y且4)，-4=°即x=y=l時該方程恒成立，所以直線AB恒過定點NQ，D,

所以點M到直線AB距離的最大值即為點C、N之間的距離加上圓C的半徑，

又C(-3,3),2=1,所以3|=2色即點M到直線AB距離的最大值為26+L

故選：A

8.C

【分析】由題可求得""-S"+S%LW|AB|,SABR_=Sw+SEB%+S呼=2a,即可得出

\AB\=2y/2--

c,再根據(jù)離心率范圍即可求出

【詳解】解：設(shè)瑪?shù)膬?nèi)切圓的圓心為E,半徑為廠，則開產(chǎn)=萬，解得「=1,

sAg=s師+S防尼41MM周-sinZA耳瑪段.sin卬工

=g.|4用.2c.sin45+；?忸用Z+sin135

+S

SABF=S加+SEBFEAF=L|AB|.r+L|8K|.r+L|AF,|.r

.yAbt?tJ\D匕bF]HAry2??2?/12?"

xK,———

=^AB\+\BF2\+\AF2\)=^x4a=2a.?.苧|A@=2a,-.|AB|=272--

.-.-e[A/2,2>/2]則2應(yīng)?@《[4,8]

即線段A8的長度的取值范圍是［4,8］,

故選；C

9.AB

【分析】分類討論和時，直線的位置.

【詳解】因為a，0,所以C錯；

當(dāng)a>0時，a>0,不過第四象限，故A對；

當(dāng)a<0時，4V0,不過第一象限，故D錯，B對.

故選：AB

10.AC

卜=0卜=0

【分析】將直線方程化為以+x+y+i=°,由］x+y+i=o,得］y=-1,從而判斷A；

由直線/過定點（Q-D,而點（°，T）在圓C：x2+V=l上，判斷B,C；

根據(jù)直線與圓相交時的弦長公式計算出弦長從而判斷D.

卜=0卜=0

【詳解】解：對于A,由（l+a）x+y+l=°可得G+x+y+l=0,由L+V+1=。,得iN=-1，

所以直線/過定點（°，T）,故A正確;

對于B,因為直線/過定點（°，」），而點（°，-D在圓C：f+V=1上，所以直線/與C不可能相離，故B

錯誤；

對于c,因為直線/過定點（°，—D,而點（°，T）在圓c：/+V=i上，所以直線/與C可能相切，故c正

確；

d=J_=@

對于D,當(dāng)"1時，直線/的方程為：2k+y+l=O,設(shè)圓心C到直線/的距離為d,則#>5,

2y/R2-d2=2li^=2*之=—

所以/被C截得的弦長為:,5V55,故口錯誤.

故選：AC.

11.ABCD

【分析】設(shè)0為正方形ABC。的中心，H為AB的中點，設(shè)底面邊長為2。，利用線面角的定義得出

ZSHO=30°,根據(jù)已知條件得到各邊的長，進而求出正四棱錐的側(cè)面積，側(cè)棱與底面的夾角，體積即可

判斷各選項.

【詳解】如圖，在正四棱錐「一旗8中，設(shè)底面邊長為2a.

設(shè)0為正方形ABCD的中心，H為C。的中點，則WCO,OHA.CD,

：.NF"。為二面角P-CD—O的平面角，

又正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°,

OH=DH^a,OP=—a,PH=-a

因為NP"O=30。33

2

(2出

a2+---a=21

在△PC”中，3

所以。=3,即底面邊長為6米，故A正確，P°=6,PH=26,PC=J5T,

PO0_不

sinNPCO=

又側(cè)棱PC與底面所成的角為々co,PC屈］，故B正確,

5--x6x2>/3x4=245/3

正四棱錐的側(cè)面積2平方米.故C正確,

V=1x36x73=12^

正四棱錐的體積3,故D正確，

故選：ABCD.

【分析】當(dāng)點尸在上下頂點時，/月尸用最大，結(jié)合余弦定理即可判斷A選項;

根據(jù)題意，計算直線2與直線尸8斜率乘積即可判斷B選項；

根據(jù)橢圓上任意一點到一個焦點的最小距離a-C,最大距離”+c,即可判斷C選項;

aPaB\-e

tan-tan-=-----

利用正弦定理和三角恒等變換,把d4用E'E表示，進而得到221+e,即可判斷D選項.

C--+—=1

【詳解】橢圓,259，設(shè)6，尸2分別為它的左右焦點，AB分別為它的左右頂點，。，￡分別為它

的上下頂點，如圖：

所以/=2522=9"=，片—廿=4,A(-5,0),8(5,0),耳(T,0),鳥(4,0)

,「cl52+52-827

cos/pDr=__________=____

對于A：當(dāng)點尸在上下頂點時，/月P用最大，因為'12-2x5x5-25,所以/6力心為鈍角，

7T

AFPF=-

因此存在p使得}~22,故A正確；

222

對于B：設(shè)小加比)，在云+P上,于是有力和噎)(E),

“29

2

29(1——)——(X-25)O

所以原屋總=黃？長=力=啟~=3-25=一示(2±5),

__9_

則直線如與直線依斜率乘積為定值一石，故B錯誤；

對于C：由點P是橢圓上異于A8的一個動點得，所以點P到做焦點6的最小距離大于最大

距離小于a+c=9,可得1＜歸周＜9,故c正確；

_c_4

對于D：設(shè)離心率為e,則a5,

歸一附I|耳」2c

由正弦定理可得sinasin/sin[?r-(a+^)]sin(a+夕)，

M=，匹|=

即sin(tz+y?)-sin(a+0),

2csinp+2csin?_sina+sin/?_a_1

又I尸耳l+l明=2,而sin(a+/)+sin(a+0",即sin(a+夕)ce,

sina+smp=sin(--—+---—)+sin(----------)=2sin(----)cos(---—)

因為222222,

?/小?/ca+B、_.+B、/0+用、

sin(a+/?)=sin(2x-^-)=2sin(-cos(-

c.+B、,a-B、,a-B、

2sm(—cos(^^)icos(—

sina+sinp1

).(a+。(a+B、e

sin(a+12sin(-----)cos(------)

所以22

aB.a.BaB

coscosu+sinsm1+tantan1.4

1ap51

2222—22tan—tan—=——亍=-

aB.a.8aBaB1-e22.49

cos—cos--sin—sin—1-tan—tan—etan—tan——=-----1n----

化簡得222222即221+e,所以5

故D正確.

故選：ACD.

13.1

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖可知底面圓的周長等于正方形的邊長，即可求出底面圓的半徑.

【詳解】因為圓柱的側(cè)面展開圖是面積為4兀2的正方形，所以正方形的變長為2兀,

設(shè)底面圓的半徑為小則底面圓的周長2a=2兀，得r=l.

故答案為:1.

14.I少

【分析】延長與“，交尸耳于點Q,根據(jù)PA是"”的外角平分線，得至JAQ|=|A閭，|PQ|=|P磯

再利用橢圓的定義求解.

延長與A,交出于點Q,：PA是的外角平分線，」A0=|A閭，|PQ|=|%,

又。是根的中點，??0//4。，且3|=2|網(wǎng)=2版

又|。制=|歷|+1也1=|可|+歸用=加

a_cCyjba

2222

，2a=2屏，.-.a=3b=3（a-c）t則一2一..離心率為丁彳故答案為：丁

叵

15.8

【分析】由題知直線A8的方程為x-6y-l=°,進而根據(jù)幾何法得弦恒.=后，再在J10B中，利用

余弦定理并結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

【詳解】解：因為圓°：/+y2=4與圓C：V+y2-x+石丫-3=°相交于人，B兩點，

所以直線AB的方程為：（/+/-4）-（尤2+丁…島-3）=0,即犬_島_1=（）,

d=L

所以圓心°（°⑼到弦43的距離為-5,

所以弦|相|=257=而，

4+4-157

所以在中，QHT0用=2,由余弦定理得C°S/4°8-2x2x2一一不,

71-COS2ZAOB=J1--=—

所以sinZ4OB=V648

叵

故答案為：8

］6x+0y-2夜=0

【分析】令A(yù)8的中點為E,設(shè)A（&X）,8（々，必），利用點差法得到"OEMAN--，，設(shè)直線A8：y="+,”,

加＞0,求出M、'的坐標(biāo)，再根據(jù)求出左、巾，即可得解；

【詳解】［方法一］：弦中點問題：點差法

令A(yù)8的中點為E,設(shè)A。"）吃,為）,利用點差法得到曝出廠-5,

設(shè)直線A8：y="+機，k<0,m>0,求出M、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)蝕刑求出《、加，即可得解；

解：令A(yù)B的中點為E,因為MT四,所以附=網(wǎng),

22）2

x

X）,Ji_12必_］

設(shè)4（占,乂），鞏占,%）,則63,63,

士立+￡_應(yīng)=0（芭一人）（％+3）［（?+%）（%—%）一°

所以6633,即63

（x+yJCif）：1_1

所以（苔一電）（苦+/）］，即心底'"-2,設(shè)直線A8：y=京+機，k<0,w>0,

=_m/-色,二）

令彳=0得丫=m，令y=0得"即（人’人N（O,m）,所以I2k'2）f

m

.21

kx----=--r宿

_rn_2k---k=—

即2k,解得二一三或一2（舍去），

乂即|=23即5|=荷+（網(wǎng)=2?解得機=2或%=-2（舍去），

=_也

所以直線2A+2,即x+&y-2a=0；

故答案為：x+何-2四=0

［方法二］:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點E既為線段AB的中點又是線段MN的中點,

設(shè)區(qū)（與，乂），鞏孫必），設(shè)直線AB:y=Ax+m,k<0,m>0,

則M?,。),N(OM)mm）

元可，因為網(wǎng)=2色所以阿=6

y—kx+m

￡+《=i

…___________163消掉丫得(1+2/*+4"依+2/-6=0

△=(4萩)2-4(1+2犬)(2>_6)X),x+x,=--"r

其中,士"if?吃

丫_2mk七(一型，']丫_2mk_m

...AB中點E的橫坐標(biāo)"一一1+2k2,又I2k'2),二"=一]+2「次

k=--\OE\=/(-—)2+(-)2=73

?.?<°，加>°,二2,又V2k2,解得m=2

0

AB:y=------x+2/Tc6八

所以直線2,即X+J2y-2J2=()

17.（1）A_］或15x_8y_17=0（2）（x+l）+（y+4）=36

【分析】（1）分斜率不存在和斜率存在兩種情況求解；

（2）根據(jù)垂徑定理和弦長公式求解即可.

【詳解】（1）（1）當(dāng)切線的斜率不存在，直線方程為為圓。的切線；

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線方程為丁+4="（》+1）,即辰-y+A-4=o,

115

I—Ik=__

圓心。到切線的距離為43+1，解得-8,.?.直線方程為15x-8y-17=°

綜上切線的方程為k-1或15x-8y-17=O

|—2+4—12|I—

⑵點"（TY）到直線2x-y-12=°的距離為"&”,

?..圓被直線'=2x72截得的弦長為g,.?/=#石）+*=6,

...圓M的方程為（X+O'+（曠+=36

18」1尸2k4=0乂2）（-2,1）或（2,3）,

【分析】（1）利用兩點的斜率公式求出直線8C的斜率，即可求直線3c的點斜式方程，轉(zhuǎn)化為一般式

方程即可；

（2）根據(jù)8，C的坐標(biāo)可求。（°，2）及怛。|,從而可求乙把點A代入AD的方程可得僧-2〃+4=0①.利

用點到直線的距離公式可得點A到直線BC的距離，根據(jù)三角形面積列式可得帆+2〃-4|=4②聯(lián)立①②

即可求解.

k,—--1---3-=—1

【詳解】⑴由B（2，1），C（-2,3）,可得直線BC的斜率2-（2）2,

y—3=—^-（x+2）

故直線8C的方程為"2V\化為一般式方程為：x+2y-4=0；

⑵由8（2,1）,C（-2,3）,可得8c的中點。的坐標(biāo)為（0,2）,忸C|=>/im=20

又由AD的方程為x—2y+t=0,則有T+r=O,解得1=4.

故AD的方程為x-2y+4=0.

由4（〃?,〃），可得加—2〃+4=0①,

因為8c所在的直線方程為x+2y-4=0,

d|w+2n-4|

所以點A到直線BC的距離小.

1\m=-2\m=2

—xlBClxJ=|/7?+2n-4|=4],）

因為-ABC的面積為4,所以2?1②.聯(lián)立①②可得〔〃=1或〔〃=3o

故點人的坐標(biāo)為（一21）或（2,3）

19.⑴3（2）26

asinB_）

【分析】（1）由asinA+bsinB-csinC,利用正弦定理得到必=/—c?,再利用余弦定理求解：

Z?=2sinB=2sin|--/I|,a=2sinAb+2a=2sin|--A|+4sinA

（2）由正弦定理得到I3J，從而k3J,再利用

三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

izsinfl_]

【詳解】（1）解：因為〃sinA+bsin3-csinC,

222

___a_b___——?[萬a+/?-cma,1—_______—__

由正弦定理得一，^ab=a2+b2-c2,由余弦定理得'2ab~2,

c=-?

因為C?0,兀），所以3;

a_b_c

（2）由正弦定理得sinAsinBsinC,

/?=2sinB=2sin|--A1，^=2sinA

則I3J

=5sinA+GcosA=277sin（A+0）,tan（p=—

因為4e10'31所以sin（A+e）1rax=1,

所以b+2a428,貝IJA+2”的最大值為2萬.

x2y2.3G

—+—=1—^―

20.⑴96（2）2

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可得。=3,進而可求其方程，

（2）根據(jù)弦長公式和點到直線的距離可表達三角形的面積，結(jié)合不等式即可求解最大值.

【詳解】（1）由橢圓的定義，

可知2a=|「制+|尸閭=J（2遙1+4+2=4+2=6

解得。=3,又從=片一（石）2=6.

-----1-----=1

,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為96.

（2）設(shè)直線1的方程為丫=、+〃?，

聯(lián)立橢圓方程，得5*2+6，依+3利2-18=0,

△=36m2—60?n2+360>0,得—<rn<

_6m_3m2-18

設(shè)A（石,、1）,5（%2，%）,則'25'125

36病12汴-72=竽而

:.\AB\=y/2-J（再+々）2-4%f④'-nr2

255

d=l"l

點。（0,0）到直線/:x+y-m=0的距離-五,

.1.,14\/3rz7ImI

c4DIX=

??^^AOB=-I=-x-y-xV15-zn~^2

\/61（15-m2+ni2Y瓜15376

=---x-=----

522

=15機=+叵

當(dāng)且僅當(dāng)匕一/=加，（-厲即一萬'"'_一〒時取等號；

3瓜

?：AQ8面積的最大值為;

12后3,3歷

21.⑴17；⑵L517-.

（1

【分析】（1）先證得°B，℃°P兩兩垂直，然后建系如圖，求得平面P8C的法向量為,進而可求得。

到平面PBC的距離；

OH?九2=0（3、

uu"AX,4,3_2X

（2）求得平面PS的法向量％,設(shè)”（x，％z），由1尸"飛=°可得（’’4人從而可得

PH卜3T（0W4）,4=（°，°』）是平面ABC的.個法向量，進而由sine=gsW”>|

結(jié)合換元法可求得結(jié)果.

【詳解】（1）連接°P，08,因為PA=PC,且。為AC中點，則POLAC,又平面P4C_L平面ABC,

且其交線為AC,則尸°」平面48C,

又BA=BC,則OB_LAC,所以0B,OC,O尸兩兩垂直,

故以。為原點，以°8，℃，°P為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

則。（0,0,0）,A（0,—8,0）3（8,0,0）,C（0,8,0）,P（0,0,6）

所以尸5=(8,0,~6),PC=(0,8,-6)(設(shè)平面PBC的法向量為勺=a，％zj,

"I.PB=0J4再-3Z[=0

則VvPC=0,即(4y-3Z|=0,取4=4,得“=(3,3,4),又05=(8,0,0),

d==24_12后

所以，點。到平面PBC的距離同y/32+32+42".

(2)同理可求得平面RR的法向量％=(3一3,4),設(shè)"(x，y，z),則。，=(x,y,z),P"=(x,y,z-6),

因為。"〃平面尸/W,P"u平面P3C,

y=4

OH-n2=0j3x-3y+4z=0,3(3)

所以=0,即j3x+3y+4z-24=0,從而E"W",即"乃4J；

0<x<8

0<3--x<6PH=|x,4,-3--yx|

又I4,則。W4,所以I4),

又OP,平面ABC,所以％=(°01)是平面ABC的一個法向量.

設(shè)直線PH與平面ABC所成的角為。，

3+1XI

3-+