2023-2024學年福建省上杭縣高一年級上冊期末數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年福建省上杭縣高一上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知集合4={屮-1>0},B={X|X2-2X<0),則AB=().

A.[0,2]B.[1,2)C.(1,2]D.[2,-w)

【正確答案】C

【分析】分別求出集合A和B,利用交集的定義直接求解即可.

[詳解]A={x|x-1>0}={x|x>1},B=|-?|-v2-2x<o|=|x|0<x<21,

則Ac8={x[l<x<2},即為(1,2].

故選.C

237r

2.已知a=ln3,b=sin,。=3*,則a,b,c的大小關(guān)系是().

A.a>b>cB.a>c>bC.c>h>aD.c>a>b

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，三角函數(shù)誘導公式并借助“媒介”數(shù)即可比

較判斷作答.

【詳解】函數(shù)y=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，而3>e,則〃=ln3>lne=l,

/7=sinf1=-sin—=--<0,

(3丿32

函數(shù)y=3,在R上單調(diào)遞增，而-：<0,則0<3不<3°=「即

所以a>c>b.

故選：B

4

3.設(shè)實數(shù)x滿足%>0,函數(shù)y=2+3x+；的最小值為()

x+1

A.4石-1B.45/3+2C.4忘+1D.6

【正確答案】A

4

將函數(shù)變形為y=3(x+l)+育-1,再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.

【詳解】解：由題意x>0,所以x+l>0,

44

所以>=2+3xH------=2+3（x+l）-3d--------

X+1X+1

=3（A：+l）+^-j—1>2^3（^+1）-—^--1=4>5-1，

當且僅當3（x+l）=W，即X=￥-1>0時等號成立，

所以函數(shù)y=2+3x+—^■的最小值為46-1.

x+\

故選：A.

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等““一正''就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定'’就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值,

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這

個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方

4.函數(shù)"x）=EJ.cosx,xe[rr,兀]的圖象形狀大致是（）.

l+e

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除AC,再結(jié)合特殊點的函數(shù)值排除B.

【詳解】定義域尺冃—兀,兀],且所以為

奇函數(shù)，排除AC；又〃兀）=上《〈os兀>0,排除B選項.

故選：D

5.若函數(shù)y=/（x）的定義域是[1,3],則函數(shù)/?（x）=/（2x-l）的定義域是（）

\nx

A.[1,3]B.（1,3]C.（1,2]D.[1,2]

【正確答案】C

【分析】利用復合函數(shù)的定義及給定函數(shù)式列出不等式組，求出其解集即可作答.

【詳解】函數(shù)y=的定義域是[1,3],

/.1<2%-1<3,解得14x42.

又x>0,且XH1,/.xe(l,2].

故函數(shù)〃(x)的定義域是(1,2].

故選：C.

6.將y=f(x)的圖象向右平移:個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2

倍得到y(tǒng)=sin(x用的圖如則f(x)=()

A.cos2xB.sin-xC.cost-x+^-|D.sin|2x+^]

2(26丿I6丿

【正確答案】A

【分析】由三角函數(shù)圖象的平移變換及伸縮變換可得：將丫=44*-春)的圖象所有點的橫

坐標縮短到原來的g倍，再把所得圖象向左平移g個單位，即可得到f(x)的圖象，得解.

【詳解】解：=的圖象所有點的橫坐標縮短到原來的g倍得到

y=sin(2x_^),

再把所得圖象向左平移個單位，得到“x)=sin2(x+手-J=cos2x,

3I3丿6

故選A.

本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換及伸縮變換，屬于簡單題.

41

7.設(shè)加，〃為正數(shù)，且加+〃=2,則--+—；的最小值為()

m+\〃+1

人13「9「7n9

A.—B.—C.-D.一

4445

【正確答案】B

1774-1n4-1

【分析】將6+〃=2拼湊為竽+竽=1,利用力''的妙用及其基本不等式求解即可.

44

【詳解】***m+n=2f

：.(/?+1)+(?+1)=4,即^■+誓=1,

+-L=P-1V機+1〃+H+1"2+15

------—7-------r+-

/n+lH+1+l〃7+14（〃+1）4

I〃+1m（+1）+5=9，〃+1m+1

J//7+14??+144'當］僅三〃1+14(〃+1)，且加+〃=2時，即

m=-9〃=丄時等號成立.

33

故選.B

8.設(shè)函數(shù)f(x)=爲，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x-D-lB./(D+1C./U+D-1D./（X+1）+1

【正確答案】A

【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可得選項.

【詳解】由題意可得"r)=Y-1＞亠?，

1+x1+x

22

對于A,/(x-l)-l=l---------1=一一是奇函數(shù)，故A正確；

1十(X—1)X

22

對于B,〃x-l)+l=l-]+)+1=2-最不是奇函數(shù),故B不正確；

22

對于C,/(x+l)-l=l-i+-1=-—,其定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù),

故C不正確：

22

對于D,/(x+l)+l=l-i+^++1=2--,其定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，

故D不正確.

故選：A.

二、多選題

9.下列命題為真命題的是().

A.若S則B.若Z?>a>0,mvO,則"+>—

h+tnh

C.若a>b,c<d,則a—c>b—dD.若/＞凡ab＞0,則片萬

【正確答案】AC

【分析】AC選項用不等式的基本性質(zhì)進行證明；B選項，用作差法比較大小；D選項，舉

出反例.

【詳解】因為—且c?>。，不等式兩邊同乘以，2得…如A正確;

a+ma(b-a\m

石廠廠硏用’由于宀>°，〃?<°，而。+〃，可能大于°，也可能小于。，故Bit

項錯誤；

由c<d,則-c>-d,由不等式的基本性質(zhì)得：a-c>b-d,C正確;

當a=-2,b=-l時，滿足巒>〃，ab>0,但丄>1,D錯誤.

ab

故選：AC

10.圖中矩形表示集合U,A,8是U的兩個子集，則陰影部分可以表示為(）

B.?（AB）

C.帆Ac(/)]D.?⑷厶

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)論〃圖，分U為全集，B為全集，AuB為全集時，討論求解.

【詳解】由圖知：當。為全集時，表示集合A的補集與集合B的交集，

當8為全集時，表示Ac8的補集，

當AuB為全集時，表示A的補集，

故選：ABD

f>/x,xe[0,l)

11.已知函數(shù)〃x)=1/、、，則以下結(jié)論正確的是().

仁〃1),同r,+8)

A.函數(shù)/(x)為增函數(shù)

B.心，X,G[0,+OO),|/(^)-/(^2)|<1

C.若〃尤)在xe[〃,y)上恒成立，則〃的最小值為2

8

D.若關(guān)于x的方程2研/(x)]-+("7+2)/(x)+l=O(“￡R)有三個不同的實根，則

-8<AH<-4

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)題意，作出可知+時，f(x)=L^~n,作出函數(shù)〃x)的圖象，根

據(jù)數(shù)形結(jié)合逐項檢驗，即可得到正確結(jié)果.

【詳解】設(shè)xw[l,2)時，則所以/(x—1)=J7二I,

又f(x)=g/(xT)，所以當x?L2)時，/(x)=gG\

當xe[2,3)時，則x-le[l,2),所以f(x-l)=g工，

又f(x)=g〃xT)，所以當xw[2,3)時，/(X)=^A/7^2;

當xep,4)時，則x—le[2,3),所以〃x-l)=g,

又/(x)=4f(x-l)，所以當》可3,4)時，=

2o

所以由此可知xd”,“+i)時，/⑺鳥我不作出函數(shù)〃力的部分圖象，如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)/'(X)不為增函數(shù)，故A錯誤；

由圖象可知，/(x)e[0.1),

所以％,^e[O,-K?),|/(x,)-/(x,)|<l,故B正確；

在同一坐標系中作出函數(shù)/(X)和函數(shù)y=?的圖象，如下圖所示:

O

3

由圖象可知，當xe[2,m）時，恒成立，所以”的最小值為2,故C正確；

令r=/（x）,則r40,1],則方程2研/（切2+（m+2）/（x）+l=0（機￡R）等價于

2〃7r+W+2），+l=0（m￡R）,即（皿+1）（2，+1）=0,所以/二一~-,或f=（舍去）,

在同一坐標系中作出函數(shù)/（X）,函數(shù)y=；和函數(shù)>="的圖象，如下圖所示：

關(guān)于x的方程2研〃x）[2+（,〃+2）/（x）+l=0（meR）有三個不同的實根，故D正確.

故選：BCD.

（、[a,a>b厶

12.規(guī)定max{4,〃}=<,,右函數(shù)/（x）=max{sinx,cosx},則（）

1>[b,a<b

A./（x）是以2%為最小正周期的周期函數(shù)

B.Ax）的值域是[-1,1]

37r

C.當且僅當2%乃+乃vx<2%乃+——（左cZ）時，/（%）<0

一—2

7T7T

D.當且僅當工￡k7r+—,k7r+—（左EZ）時，函數(shù)/。）單調(diào)遞增

【正確答案】AC

【分析】對選項A,直接求出該分段函數(shù)就可判斷；對選項B,求出該函數(shù)的最小值為

代嗚=-白；對選項C,根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)即可；對選項D,求出函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間即可；

3777T

【詳解】根據(jù)題意，當2ki—二<x<2ki+—(ZeZ)時，/(x)=max{sinx,cosx}=sinx；

44

當2%%+工<X<2女%+紅(AEZ)時，/(x)=max{sinx,cosx]=cosx；

44

對選項A,7(x)的周期為2萬，故正確；

對選項B,根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，可知Ax)的最小值在x=2版?+扌54(fceZ)

處取得，即有〃x)*=-q,因此值域不可能為[-1,1],故錯誤；

對選項C,7*)函數(shù)的特點知，當且僅當X在第三象限時，函數(shù)值的為負，故正確；

7T

對選項D,當xe2kK--,2k7r(AeZ)時，函數(shù)/(x)也單調(diào)遞增，因此選項遺漏了該區(qū)間,

故錯誤；

故選：AC

三、填空題

13.eln2+273-tan-+lglO^2=.

4

2

【正確答案】

【分析】根據(jù)對數(shù)運算、指數(shù)運算和特殊角的三角函數(shù)值，整理化簡即可.

一丄7712

【詳解】e,n2+273-Un-+lglO-2=2+--1-2=--.

亠2

故答案為?一§

14.若函數(shù)/(幻=1°8|(依一丁)在(2,3)單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為.

2

【正確答案】卩,4]

【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)單調(diào)性問題，注意真數(shù)大于0.

【詳解】令，=火-f，則工小丁，因為y=i°g「為減函數(shù)，所以f(x)在⑵3)上單調(diào)遞

-<2

增等價于"奴-/在(2,3)上單調(diào)遞減，且arT>0,即2-,解得3WaW4.

3a-9>0

故[3,4]

15.已知函數(shù)/(x)=[I4T'X”集合M=[x|/2(x)-(2r+2]f(x)+f=o],若集合M中

log2x+3,x＞lII2丿J

有3個元素，則實數(shù)f的取值范圍為.

【正確答案】｛力=o或此;｝

【分析】令/(力=，*記療-(2r+g)m+f=0的兩根為町,〃[由題知f(x)的圖象與直線

丫=叫》=嗎共有三個交點，從而轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題，然后可解.

【詳解】令/(x)=m，記g(w)=/-(2f+g)〃?+f的零點為班,叫，

因為集合河中有3個元素，所以fix)的圖象與直線y=內(nèi),y=，丐共有三個交點，

旳=0或忙;或行：

則,

Q<m^<\[0<77?2<1[0<叫<1

當町=0時，得r=0,佗=；,滿足題意;

當g=1時，得t=g,叫=；,滿足題意;

g(0)=t>0

叫＞°H

當。〈色＜1時'g⑴亠*+…，解得―

綜上，f的取值范圍為｛屮=0或

故〃|/=0或整｝

16.以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成

的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學家勒洛首先

發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機等都有應用勒洛三角形.如

圖，已知某勒洛三角形的一段弧AB的長度為打，則該勒洛三角形的面積為.

【分析】計算出等邊A8C的邊長，計算出由弧4B與AB所圍成的弓形的面積，進而可求

得勒洛三角形的面積.

7T

【詳解】設(shè)等邊三角形ABC的邊長為則=不，解得。=3,

所以，由弧A3與A6所圍成的弓形的面積為

171o1.47i296_3萬9厶

―x—q~——a2xsin—=—x---------=--------------

23236424

9x/39%-96

所以該勒洛三角形的面積5=丁+3、

2

故答案為.9"-96

2

四、解答題

17.已知集合A={x|a4x4a+2},集合B={x[x<-1或x>5},全集U=R.

⑴若4=1,求&4）口8；

（2）若4些B,求實數(shù)”的取值范圍.

【正確答案】⑴（—』）53，”）

（2）（-oo,-3）u（5,-l-oo）

【分析】（1）由題知A={x|14x43},再根據(jù)集合運算求解即可；

（2）根據(jù)題意得。+2<-1或a>5,再解不等式即可得答案.

【詳解】（1）解：當。=1時,A={x|l<x<3}

所以帀A=（fo,1）=（3,+<?）,

又B={x[x<-1或x>5},

所以=

（2）解：因為A={x|aMxMa+2},8={x[x<-l或x>5},A呈B,

所以a+2<-l或a>5,解得”-3或。>5,

所以實數(shù)。的取值范圍是（F,-3）u（5,y）.

18.已知函數(shù)/（xXlogzW為奇函數(shù).

⑴求實數(shù)a的值；

⑵若/（x）—m+log2（d+4x+3）40恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【正確答案】（l）a=l

⑵[2,”o）

【分析】（1）利用奇函數(shù)定義求出實數(shù)a的值；

（2）先求解定義域，然后參變分離后求出g（x）=log2（-V-2x+3）的取值范圍，進而求出

實數(shù)〃?的取值范圍.

【詳解】(1)由題意得：/(-X)=-/(%),即log,=-log,齡，解得：a=±i,

"1-x1+x

n—x

當。=_]時，一=一1<0,不合題意，舍去，

1+x

所以4=1,經(jīng)檢驗符合題意；

1—X

(2)由;--->0,解得：-1<X<1,由工2+4犬+3>0得：x>-l或xv-3,

綜上：不等式中X?T1),

/(x)-/n+log2(f+4x+3)W0變形為機2log2[(l-x)(x+3)],

即m2log?[(1-x)(x+3)]恒成立，

g(x)=log,(-x2-2JC+3)=log,j^-(x+1)2+4J,當xe(-l,l)時，g(x)e(—,2),

所以m22,實數(shù)m的取值范圍為[2,+8).

19.已知函數(shù)/(x)=2sinx卜inx+Gcosx).

■jr

⑴當0,-時,求“X)的值域：

⑵若關(guān)于X的方程尸(X)-(1+%)/(力+〃/=0在區(qū)間0,-上恰有三個不同的實根，求實數(shù)

用的取值范圍.

【正確答案】(1)[0,3]

⑵[2,3)

【分析】(1)利用二倍角公式及輔角公式對函數(shù)f(x)進行化簡，并把2x-(看成整體結(jié)合正

弦函數(shù)性質(zhì)在定區(qū)間內(nèi)求值域；(2)首先把尸(力-(l+，”)/(x)+m=0轉(zhuǎn)化為：

(/(x)-ZT7)(/(x)-l)=0,又/(x)-l=0只有一個實根，故〃6=加在xe0,y有兩個不相

等的實根，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象進行求解.

【詳解】(1)/(x)=2sin2x+2\/3sinxcosx=1-cos2x+A/3sin2x=2sin(2x-j+1.

n冗—-2x-包至

xw0,5,

666

因此可得：-gvsin(2x-7￡1|wl,0<2sinl2x-^j+l<3

6

故“X)的值域為［o,3］.

(2)/2(x)-(l+zn)/(x)+m=0,A(/(x)-w)(/(x)-l)=0,

〃x)=l或/(x)=m,故sin(2x-/J=0或sin(2x-^■卜m-1

62

c冗7154

相吟，2x-------G

6

sin(2x-汽tJ=0只有1個實根,sin(2x-^m-\

有2個不同的實根,

62

結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知等<1,解得24m<3,故實數(shù)機的取值范圍是［2,3).

20.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點「(加,〃)成中

心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x+m)-〃為奇函數(shù).己知/(x)=$7

(1)利用上述結(jié)論，證明：/(X)的圖象關(guān)于(；，1)成中心對稱圖形；

(2)判斷的單調(diào)性(無需證明)，并解關(guān)于x的不等式/0+収+/)+〃》)<2.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)/(“為單調(diào)遞減函數(shù)，不等式的解集見解析.

［分析］(1)利用已知條件令g(x)=fx+--1,求出g(x)的解析式，利用奇函數(shù)的定義

2

判斷g(x)為奇函數(shù)，即可得證;

(2)由⑴W/(x)+/(l-x)=2,原不等式變成/。+依+/)</(1-x),利用函數(shù)“X)

的單調(diào)性化為含有參數(shù)。的一元二次不等式，求解即可.

【詳解】(i)證明：；I(x)=Jr，令g(x)=fx+；

-1,

442+2-4"1-4,1

二,"卜、丁丁前，即g(上1-4

1+4-'

一一、4'-1

又：g(T)==-g(x)，

1+4-*4*+1

:.g(x)為奇函數(shù),

有題意可知，“X)的圖象關(guān)于成中心對稱圖形；

(2)易知函數(shù)y=2+4"為單調(diào)遞增函數(shù)，且2+4，>0對于xeR恒成立，

4

則函數(shù)/(x)=三不在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，

由(1)知，“X)的圖象關(guān)于成中心對稱圖形，即/(x)+/(l—力=2,

不等式+G+廠)+得：f(\+ax+x~j<2—y(x),

即/(l+ar+x2)</(l-x),則l+ov+V>l-x,

整理得幺+(a+1)》>0,

當a=-l時，不等式的解集為｛小片0｝；

當。>一1時，不等式的解集為｛MM-S+1)或。0｝；

當a<—l時，不等式的解集為卜似0或。―(a+1)｝.

21.2022年是蘇頌誕辰1001周年，蘇頌發(fā)明的水運儀象臺被譽為世界上最早的天文鐘.水

運儀象臺的原動輪叫樞輪，是一個直徑約3.4米的水輪，它轉(zhuǎn)一圈需要30分鐘.如圖，退

水壺內(nèi)水面位于樞輪中心下方1.19米處，當點P從樞輪最高處隨樞輪開始轉(zhuǎn)動時，打開退

水壺出水口，壺內(nèi)水位以每分鐘0.017米的速度下降，將樞輪轉(zhuǎn)動視為勻速圓周運動.以樞

輪中心為原點，水平線為x軸建立平面直角坐標系xOy,令尸點縱坐標為％,水面縱坐標為

必，P點轉(zhuǎn)動經(jīng)過的時間為X分鐘.(參考數(shù)據(jù)：cos?0.98,cos^?0.91,cosy?0.81)

(2)求P點進入水中所用時間的最小值(單位：分鐘，結(jié)果取整數(shù)).

【正確答案】⑴％=L7cosy,=-1.19-0.017%

(2)13分鐘

【分析】（1）按照題目所給定的坐標系分別寫出％和