2024年上海市數(shù)學(xué)高考名校模擬題分類匯編-圓錐曲線含詳解

備戰(zhàn)2024高考優(yōu)秀模擬題分類匯編（上海專版）一一圓錐曲線

一、填空題

丫2

1.（22?23?長寧?三模）在平面直角坐標系中，若雙曲線「:一-丁=1的右焦點恰好是拋物線丫2=20道0>0）的焦點，

2'

則片.

2.（2223下?寶山?期中）過拋物線/=4y的焦點且傾斜角為寧的直線被拋物線截得的弦長為.

3.（2223?普陀?模擬預(yù)測）已知雙曲線"T=l（a>0乃>0）的兩條漸近線均與圓C:（x-3）2+y2=4相切，右焦點和

圓心重合，則該雙曲線的離心率為.

4.（22?23?虹口?三模）已知尸是拋物線C:y2=?的焦點，尸是拋物線C上一動點，Q是曲線//-8x-2y+16=。

上一動點，則戶6+|尸。的最小值為.

5.（2223?浦東新?模擬預(yù)測）以尸為圓心的動圓與圓G：（x+2y+y2=i和圓C2：（x-2）2+y2=r2">o）均相切，若點

尸的軌跡為橢圓，則廠的取值范圍是—.

,、PO

6.（2223?嘉定?三模）已知點尸是拋物線V=8x上的動點，0是圓（尤-2>+9=1上的動點，則玩的最大值是.

7.（2223下?寶山?階段練習(xí)）如圖，橢圓的中心在原點，長軸A4在x軸上.以A、4為焦點的雙曲線交橢圓于C、

D、A、q四點，且|C￡>|=JAA|.橢圓的一條弦AC交雙曲線于E,設(shè)若=4,當(dāng)時，雙曲線的離心率

8.（2223下滁匯?階段練習(xí)）若尤2+丁=4,則J（x+2『+（八］）2+卜_”的最小值為_

r2222

9.（22?23下松江?階段練習(xí)）設(shè)a>Z?>0,橢圓工—^~=1的禺心率為G，雙曲線下------方=1的禺心率為辦，

a2b2b2a2-2b2

若e?<1,則:的取值范圍是_______.

b

10.（23?24上.浦東新?開學(xué)考試）設(shè)百,月分別是雙曲線=l的左、右焦點，。為坐標原點，第一象限內(nèi)的

412

OFOPEPOP。后A

點P在。的右支上，且漏+面=2?,則△「￡亮的內(nèi)心坐標為.

11.（2324上?黃浦?開學(xué)考試）某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部

分叫做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一橢圓（如圖所示）.若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為貝V切

面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為.

12.（2324上.寶山?階段練習(xí)）已知相、”均為實數(shù)，方程+Y—=1表示橢圓，且該橢圓的焦距為4,則〃

m+n3m-n

的取值范圍是.

13.（2324上?普陀?開學(xué)考試）已知圓和圓C2：（x-3）2+（y-2）2=l,則過點加［1彳1且與G，C?都相

切的直線方程為.

22

14.（2324上.浦東新.階段練習(xí)）已知雙曲線十方=1（°>0,“0）的左、右焦點分別為穌心加為右支上一點，

ZMF2F1=nO0,遇的內(nèi)切圓圓心為。，直線MQ交x軸于點N,|M0=2|QN|,則雙曲線的離心率為.

15.（2324上.浦東新.階段練習(xí)）圓形是古代人最早從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的.一直到兩千多年前我

國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也.意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓

周的長都相等.現(xiàn)在以點（3,2）為圓心，2為半徑的圓上取任意一點尸（范田，若做+4丫+4+|6-3》-旬的取值與尤、

y無關(guān)，則實數(shù)。的取值范圍是.

16.（2324上.楊浦?開學(xué)考試）已知曲線C：x|x|-4yM=4.

①曲線C的圖像不經(jīng)過第二象限；

②若尸（/，％）為曲線C上一點，則%-2%>0；

③存在根eR,x-2y+〃z=0與曲線C有四個交點；

④直線x-2y+7〃=O與曲線C無公共點當(dāng)且僅當(dāng)相-應(yīng)）口［0,+8）.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

17.（2324上?黃浦?開學(xué)考試）設(shè)施是實數(shù)，己知集合P=｛（x,y）k+2）2+（丫-3）244卜集合

。=，（無,+—且PcQ=Q,則根的取值范圍是.

18.（2324上?黃浦.開學(xué)考試）已知曲線C的方程為d+y2+g=i（aeR）,則下列說法中：

①無論。取何值，曲線C都關(guān)于原點中心對稱;

②無論。取何值，曲線C關(guān)于直線丁=》和丁=-了對稱；

③存在唯一的實數(shù)。使得曲線C表示兩條直線；

④當(dāng)4=1時，曲線C上任意兩點間距離的最大值為2&；

⑤當(dāng)。>2時，曲線C是雙曲線.

所有正確的序號是.

二、單選題

19.（2324上?浦東新?期中）已知曲線UR+W=l（?>O,?eR）.

當(dāng)力=4,。=2/=1時,

①曲線C所圍成的封閉圖形的面積小于8；

②曲線C上的點到原點。的距離的最大值為171

則（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

22

20.（2223?嘉定?三模）已知雙曲線-凸=1（40,"0）的離心率為e,點8的坐標為（0,6）,若「上的任意一點

ab

P都滿足|冏■，則（）

A1I^nl+

A.l<e<——B.e>——

22

P1.I+A/5l+^5

C.l<e<--------nD.e>--------

22

x-31-4/

2l.（2223下?寶山?期中）已知參數(shù)方程,~^e[-l,l],則下列曲線方程符合該方程的是（）

y=2t-y/l-t2

22

22.（2324上?黃浦?開學(xué)考試）橢圓上+匕=1上有10個不同的點片,多,幾，若點T坐標為（1,0）,數(shù)列

{|有|}（〃=1,2,-,10）是公差為d的等差數(shù)列，則d的最大值為（）

口5+V78

5-SD.

99CI9

23.（2223?黃浦三模）曲線C?：V+y=4（左＞O#eQ）,下列兩個命題:

命題甲：當(dāng)4=；時，曲線與坐標軸圍成的面積小于128；

命題乙：當(dāng)仁2”，“eN-時，曲線圍成的面積總大于4；

下面說法正確的是（）

A.甲是真命題，乙是真命題B.甲是真命題，乙是假命題

C.甲是假命題，乙是真命題D.甲是假命題，乙是假命題

三、解答題

24.（2324上?浦東新?階段練習(xí)）已知橢圓氏!+[=1的兩個焦點分別為小F2,直線/:y=Ax+機化機eR）與

橢圓交于A、8兩點.

⑴若直線/經(jīng)過點C（0,3）,且|OA|=|AC|,求點A的坐標；

⑵若直線/經(jīng)過點C（0,3）,且LOLS&OB，求直線/的方程；

3

（3）若屹A?后^=-7,則的面積是否為定值?如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由.

25.（2324上.普陀.階段練習(xí)）已知拋物線「：^=2%4&/0為拋物線「上四點，點T在V軸左側(cè)，滿足

TA=2TM,TB=2TN.

（1）求拋物線「的準線方程和焦點坐標；

（2）設(shè)線段A3的中點為。.證明：直線功與y軸垂直；

⑶設(shè)圓C:（x+2）2+y2=3,若點T為圓C上動點，設(shè)△可?的面積為S,求S的最大值.

26.(2324上滁匯?階段練習(xí))已知兩定點川-忘,0),7s(V2,O),滿足條件朋|十用=2的點尸的軌跡是曲線區(qū)

直線、=履-1與曲線E交于48兩個不同的點.

(1)求曲線E的方程；

(2)求實數(shù)上的取值范圍；

⑶如果|AB|=6/,且曲線E上存在點C,^OA+OB=mOC，求他的值和一ABC的面積S諛.

22

27.（23?24上.嘉定?期中）已知橢圓「方程為1r+}=1Q6>O）,Bi,屏分別是橢圓「短軸上的上下兩個端點,

B是橢圓的左焦點，尸是橢圓上異于8/、劭的點，用耳鳥是邊長為4的等邊三角形.

⑴求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)直線尸囪的一個方向向量是（1,1）時，求以尸3/為直徑的圓的標準方程；

⑶點R滿足：RBt1PB},RB21PB2,試問：尸片不與,R片層的面積之比是否為定值？并說明理由.

r22

28.(2324上.虹口?期中)已知橢圓E的方程為工+v匕=1,耳與工是E的左右兩個焦點，AQ-2)是E的下頂點.

124

(1)設(shè)斜率為1的直線/過點耳，且與E交于M,N兩點,求弦的長；

⑵若E上一點尸滿足|耳P|=3怩"，求三角形式三尸的面積；

⑶設(shè)橢圓上一點。(3,1),求證：射線QA平分/片。鳥.

29.(2324上.寶山.階段練習(xí))我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它

22

們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓q：?+為=1(0<6<2),雙曲線G是橢圓。的“姊妹”圓錐曲線，6—分別為G，

G的離心率，且￡0=乎，點M,N分別為橢圓的左、右頂點，設(shè)過點G(4,o)的動直線/交雙曲線C,右支4,

8兩點，若直線AM,BN的斜率分別為七”，kBN.

⑴求雙曲線C?的方程；

⑵試探究3M與左BN的)”是否定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；

KBN

2

(3)求的取值范圍.

22

30.(23?24上?黃浦?開學(xué)考試淀義：若橢圓C:=+2=l(a>6>0)上的兩個點Aa，yl),3(A2,%)滿足呼+警=0,

abcib

則稱AB為該橢圓的一個“共輾點對”，記作[A3].已知橢圓c的一個焦點坐標為網(wǎng)-2夜,0),且橢圓c過點A(3,l).

(1)求橢圓c的標準方程；

⑵求“共輾點對”[A,可中點8所在直線/的方程；

(3)設(shè)。為坐標原點，點P,。在橢圓C上，且PQ//Q4,(2)中的直線/與橢圓C交于兩點耳，層，且四點的縱坐標

大于0,設(shè)四點與尸,芻,0在橢圓C上逆時針排列.證明：四邊形男尸不。的面積小于8如.

備戰(zhàn)2024高考優(yōu)秀模擬題分類匯編（上海專版）一一圓錐曲線

一、填空題

1.（2223?長寧?三模）在平面直角坐標系中，若雙曲線「：5-儼=1的右焦點恰好是拋物線V=2px（p＞0）的焦點,

則片.

【答案】23

【分析】確定雙曲線右焦點，得到點=不，解得答案.

【詳解】雙曲線-丁=1的右焦點為則/=百，0=26.

故答案為：26.

31T

2.（2223下?寶山?期中）過拋物線f=4y的焦點且傾斜角為子的直線被拋物線截得的弦長為.

【答案】8

【分析】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用定義和焦點弦長公式，計算即可得到.

【詳解】拋物線f=4y的焦點為歹（0,1）,準線方程為了=-1,直線/的傾斜角為學(xué)，

設(shè)直線，與拋物線交于兩點，

則直線I的方程為y=-x+l,代入尤2=今得9_6y+1=0,

則加（項，乂）,N（尤2，%）,%+必=6,

則IACV|=+|2VF|=%+%+2=8,

故答案為：8

3.（2223?普陀?模擬預(yù)測）已知雙曲線乃＞0）的兩條漸近線均與圓C:（x-3y+y2=4相切，右焦點和

圓心重合，則該雙曲線的離心率為.

【答案】述46

55

【分析】根據(jù)題意求得雙曲線的漸近線方程為灰土畋=。，且右焦點的坐標為尸（3,0）,得到c=3,結(jié)合兩條漸近線

均與圓C相切，列出方程求得6=2,進而求得。的值，即可求得雙曲線的離心率.

22R

【詳解】由題意，雙曲線二-與=1（。＞0,10）的漸近線方程為丁=±—X,即法土ay=0,

aba

又由圓C:（x-3y+y2=4,可得圓心C（3,0）,半徑為r=2,

因為右焦點與圓心重合，所以雙曲線的右焦點的坐標為歹（3,0）,即c=3,

2

又因為雙曲線1尤2-斗V=1的兩條漸近線均與圓C相切，

可得「^=2,即—==2,解得匕=2,所以&=后工=布,

yja2+b2c3

所以雙曲線的離心率為0=￡=上叵.

a5

故答案為：述.

5

4.（2223?虹口?三模）已知尸是拋物線C：V=4x的焦點，尸是拋物線C上一動點，Q是曲線Y+丁-8x-2y+16=0

上一動點，則|尸目+|尸@的最小值為.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意，過點尸作PA，/,垂足為A,過點M,垂足為A，根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為

\PF\+\PQ\=\PA\+\PM\-1,結(jié)合圖象，得到，當(dāng)且僅當(dāng)%40，A在一條直線上時，|W|+|PQ|的最小值，即可求

解.

【詳解】由拋物線C:y2=4x,可得焦點坐標為尸（L0）,準線方程為/:x=-l,

又由曲線x?+—8x—2y+16=0,可化為（x—4）-+（y—

可得圓心坐標為"（4,1）,半徑廠=1,

過點尸作尸A，/,垂足為A,過點M作幽，/,垂足為4,交拋物線于片，如圖所示,

根據(jù)拋物線的定義，可得|尸尸|+|PQ|=|到+|尸閭-1,

要使得|出+|尸河|取得最小值，只需使得點尸與人重合，此時A與A重合，

即|咫+|。叫.用A+I甲M=5，當(dāng)且僅當(dāng)耳2,4在一條直線上時,

所以|「尸|+|尸。|的最小值為5-1=4.

故答案為：4.

5.（22?23?浦東新?模擬預(yù)測）以P為圓心的動圓與圓G：（x+2y+y2=i和圓（尤-2）2+丁=戶">0）均相切，若點

尸的軌跡為橢圓，則廠的取值范圍是—.

【答案】（5,"）

【分析】根據(jù)條件，進行以P為圓心的動圓與兩圓相外切和與圓G外切，與圓G內(nèi)切，兩種情況討論，利用點尸的

軌跡為橢圓，即可得出結(jié)果.

【詳解】由題知，若以P為圓心的動圓與兩圓均外切，如圖,

則尸G=R+1,PC2=R+r,

因|股-尸￡|=|一］，

所以此時點P的軌跡不是橢圓，不符合題意；

若以尸為圓心的動圓與圓G外切，與圓G內(nèi)切，如圖,

則PG=R+1,PC2=r-R,

因歸。2+「。1|=「+1，

若點尸的軌跡為橢圓，

則r+l>2x2=4,即r>3,

且圓G與圓不相交，即廠>5,

綜上，若點P的軌跡為橢圓，則，:5.

故答案為：（5,+℃）

\PO

6.（22?23?嘉定?三模）已知點尸是拋物線丁=8x上的動點，Q是圓（尤-2>+）?=1上的動點，則L—的最大值是.

【答案】些4近

77

【分析】過點尸作PB垂直準線/,設(shè)尸（4,右），利用拋物線的定義、圓的幾何性質(zhì)可得,換元法

PQx0+l

求解最大值即可.

【詳解】拋物線>2=8x的焦點為尸（2,0）,準線為/:x=-2,

圓（彳-2『+丁=1的圓心為尸（2,0）,半徑廠=1,

過點P作PB垂直準線/,垂足為B,由拋物線的定義可知|尸耳=歸月,

設(shè)戶（如九），則盧。|=府不=卮不，|Pe|>|PF|-l=|PB|-l=xo+2-l=^o+l,

所以既8%

）

xo+1+12

令/=X。+1'則％0=%—1,

所以舟『廣匹q_7f+6（/7一712印

所以當(dāng).泗W時，取到最大值噂，

所以后嚓的最大值為半，

因此判‘層手，印’所以盟的最大值是?.

故答案為：半

7.（2223下?寶山?階段練習(xí)）如圖，橢圓的中心在原點，長軸4A在x軸上.以A、4為焦點的雙曲線交橢圓于C、

。、2、CM點，且|3，四橢圓的一條弦AC交雙曲線于E,設(shè)處"當(dāng)六彳弓時，雙曲線的離心率

的取值范圍為.

【分析】由題意設(shè)A（-c,o），A（c，o）,則可設(shè)。卜5根據(jù)向量的共線求得E點坐標，代入雙曲線的方

22

程3-斗=1,結(jié)合離心率化簡可得22+e2/l=e2_l，求出4的表達式，結(jié)合條件可列不等式，即可求得答案.

ab

【詳解】設(shè)A（-c,O），A（G。），則設(shè)《一|（其中c為雙曲線的半焦距，〃為CD到x軸的距離），

AEc

~z--,貝1J/.AE=XEC,BP（x+c,y）=2（—-x,h-y）,

r.（.EE/.EE

hA

c(4—2)hA

即E點坐標為，

<2(2+l)I+l>

22222

設(shè)雙曲線的方程為Xh】,將"3弋入方程’得?一步@

—2)hA,

將。（"），E整理得《一配

2(1+1)'2+1代入①式,

?4b2臼巖J。1

力2,2_]3

消去勺，^2A+e2A=e2-l,所以2=。=1一「，

b2e2+2e2+2

由于彳<力<：.所以彳<1—2>故7K/4io,...幣<e<y/15,

343e+24

故答案為：y/7<e<y/i5

8.（2223下?徐匯?階段練習(xí)）若丁+丁=4,則J（x+2y+（y-l）2+卜一1|的最小值為.

【答案】3

（分析］由方程表示的圖形的幾何意義以及所求代數(shù)式的幾何意義畫出圖形可求出最小值.

【詳解】解：曲線f+V=4表示的是以點（0,0）為圓心，以2為半徑的圓，

7（x+2）2+（y-l）2表示點P（x,y）到點A（-2,l）的距離，

|xT|表示點P（x,y）到直線x=l的距離，設(shè)點P在直線x=l上的射影點為8,

則,J(x+2)2+(y-l)2+|x-l|=|PA|+|FB|>|AB|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)A、P、8三點共線且點尸為線段AB與圓尤?+y2=4的交點時，等號成立,

故++（y-if+卜-1|的最小值為3.

故答案為：3.

2222

9.（2223下松江.階段練習(xí)）設(shè)a>3>0,橢圓二+與=1的離心率為，，雙曲線鼻--=i的離心率為出,

a2b2b~a2~2b2

若e色<1,則:的取值范圍是.

0

【分析】先判斷橢圓與雙曲線共焦點，再由e?<l結(jié)合〃一2加>0求解可得.

【詳解】記橢圓，雙曲線的半焦距分別為

由題意知橢圓的雙曲線的-262="一"，則橢圓與雙曲線共焦點,

設(shè)G=。2=,，則G=-,e2=7，/.-=三~,

abab

exe2<1

—=^^=---<1,設(shè);=f>0,則-1<1,解得即

ababbabt2b2

又a2-2b2>0,且a>b>0,q>?,故］的取值范圍是10,檸

故答案為：叵,

22

10-824上.浦東新?開學(xué)考試）設(shè)它分別是雙曲線y囁=1的左、右焦點’。為坐標原點’第一象限內(nèi)的

OF.OPEPOP\正

點P在C的右支上，且?力+3=2.6,則居的內(nèi)心坐標為

【答案】2,

【分析】運用數(shù)量積幾何意義可求得I。尸1=2而，聯(lián)立圓的方程與雙曲線方程可求得點尸坐標，運用雙曲線定義及

內(nèi)切圓性質(zhì)可求得內(nèi)心的橫坐標，再結(jié)合等面積法可求得內(nèi)心的縱坐標.

【詳解】由題意知，“2=4,Z?2=12,所以/=4+Z>2=16,即c=4,a=2,

所以耳(-4,0),且(4,0),

過寫作片打，0尸交PO延長線于點X,如圖所示，

OFOPFPOP

COScos

所以\OP\'引O片I/片OP=T。片INFQH=-\OH\,^op-=1IcosZF^PO=\PH\,

又因為+尸=2瓜所以-1OH|+1尸"|=|。尸|=2",

\OP\\OP\

所以點尸軌跡方程為Y+y2=24(x>0且y>0),

x2+y2=24

V1JI貝1JP(3,后)，

412[y=V15

x>0,y>0

所以|尸片|=J(3+4f+15=8,|牛耳|=J(3-4)?+15=4,

設(shè)APEB的內(nèi)心為G,內(nèi)切圓分別與尸片、3、尸鳥相切于點M、N、E,則設(shè)|PM|=|尸E|=，〃，WM|=WN|=w,

由雙曲線的定義知，I尸印-|P&l=2a,即〃T=4,①

又因為〃+/=8,②

所以由①②得：n=6,t=2,

所以IONH耳N|-|O￡|=6-4，=2,即N(2,0),

所以設(shè)G（2,%）,

由等面積法S*=s”++Sj可得gXI久居I=gx（I"|+1P耳I+1片與I）x打,

即gx8x/?=gx（8+4+8）x%,解得兀=手，即G（2,手）

所以4PF島的內(nèi)心坐標為（2,差5）.

故答案為：（2,岑0?

11.（2324上?黃浦?開學(xué)考試）某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部

分叫做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一橢圓（如圖所示）.若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為貝1|“切

面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為

【答案】B

6

【分析】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為Na4M,設(shè)圓的半徑為,，AM=2r,AB=2a,CD=2b=2r,

由離心率求得2=且，從而可得44M的余弦值，得角的大小.

a2

【詳解】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為乙如0,設(shè)圓的半徑為"，

貝UAM=2廠，AB=2a,CD=26=2r,

r1

由題意得上=:7,即。=2c,

a2

所以/=402=4（片一加），即"烏

a2

所以cosNBAM=.=2=立，即

ABa26

jr

即“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為二

故答案為：—.

0

22

12.（2324上?寶山?階段練習(xí)）已知根、〃均為實數(shù)，方程+—―=1表示橢圓，且該橢圓的焦距為4,則幾

m+n3m-n

的取值范圍是.

【答案】（—1,”）

【分析】由橢圓的定義可得病+〃>0,3m2-H>0,m2+n^3m2-n，再分4+〃〉3/-〃和4+〃<3療-幾兩種

情況討論，結(jié)合橢圓的焦距即可得解.

【詳解】由題意得加+〃>0,3m2-H>0,m2+n3m2-n,所以療

①若療+〃>3/-〃，即病<〃時，則焦點在龍軸上，

貝!jm2+n=3m2一〃+4,所以加2=〃一2,

代入加之+及>o,3m2—n>0?m2<n

n-2+n>0

得<3（〃-2）-及>0,解得〃>3；

n-2<n

②若病+〃<3m2一〃，即w>〃時，則焦點在y軸上，

則3機2一〃=機2+〃+4,所以加2=〃+2,

代入m2+n>Qf3m?>0,m2>幾,

〃+2+〃>0

得<3（〃+2）-幾>0,解得幾>_i；

n+2>n

綜上，”的取值范圍是（-1,討）.

故答案為：（-1,+°°）.

13.（2324上?普陀?開學(xué)考試）已知圓G：/+y2=4和圓&：。-3）2+（廣2）2=1,則過點V且與G,G都相

切的直線方程為

【答案】5x+12y-26=0

2

（分析】求解經(jīng)過M與圓G:尤2+/=4相切的直線方程,然后判斷與C2:（x-+（y-2）=l相切的直線方程即可.

【詳解】圓G：/+V=4的圓心為（0,0）,半徑為2,

圓C?:（x-3>+（y-2>=1的圓心為（3,2）,半徑為1,

當(dāng)過點且與G相切的直線斜率不存在時，此時直線方程為尤=1,

而直線x=l與圓6：/+產(chǎn)=4不相切，所以切線的斜率存在，

當(dāng)過點且與G相切的直線斜率存在時，

77

設(shè)切線方程為了一：=左（》一1）,^kx-y-k+-=O,

則I4|_°,解得％=_弓或一，

/、一/124

ylk2+l

故切線方程為3x+4y-10=0或5x+12y-26=0,

|9+8-10|7

圓C?的圓心（3,2）到直線3彳+4廣10=0的距離為>1,

732+425

所以直線3x+4y-10=0與圓C2不相切，故不滿足題意,

|15+24-26|

圓C的圓心（3,2）到直線5x+12y-26=0的距離為=1

26+12?

所以直線與5x+12y-26=。圓Q相切，滿足題意，

綜上所述，過點且與G，都相切的直線方程為5x+12y-26=0.

故答案為：5x+12y-26=0.

22

14.（2324上?浦東新?階段練習(xí)）已知雙曲線斗-與=1（〃>0,10）的左、右焦點分別為與、居,M為右支上一點，

ab

/訝耳=120。，出耳的內(nèi)切圓圓心為Q,直線MQ交尤軸于點N,|M0=2|QN|,則雙曲線的離心率為.

【答案】；".25

4

【分析】作出輔助線求出加=耳，由線段比例關(guān)系得到Mg片的內(nèi)切圓半徑為廠=1加，結(jié)合雙曲線定義和內(nèi)

切圓半徑得到,,沙丹的面積，再由面積公式得到方程，由余弦定理得到土，=根，進而得到“,C的關(guān)系式，求出

2a-c

離心率.

【詳解】過點M作肱l_Lx軸于點A,

因為與耳=120。，所以/崢A=60。，

設(shè)優(yōu)A|=m,IJ1!|\AM\=y/3m,\F2M\=2m,即%=石帆,

由雙曲線定義可知，閨閭-優(yōu)河卜2〃，所以出M|=2a+2根，

因為|M2|=2|QN|,故為=日加，故”片的內(nèi)切圓半徑為『=￥根,

則Si=^(\MFl\+\MF2\+\FlF2[)-r=^2,a+2m+2m+2c)-^-m

=^-(am+2m2+cm),

o

又SMF.F,=1|Mf；|-|f；f；|sinl20=1x2m-2c-=^cm,

故gem=+2m2+cm，化簡得機=C-|,

在.沙月中，由余弦定理得

M閭2+閨用2-|岬『_4病+4,-（2m+2a）：

cosZMFF=

2l2|年|?國2x2m?2c

4c2-Sma-4a2

則雙曲線的離心率為

4

故答案為：—

4

15.（23?24上.浦東新?階段練習(xí)）圓形是古代人最早從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的.一直到兩千多年前我

國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也.意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓

周的長都相等.現(xiàn)在以點（3,2）為圓心，2為半徑的圓上取任意一點尸（"），若做+4丫+4+|6-3彳-知的取值與小

y無關(guān)，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（-雙-27]

（分析】轉(zhuǎn)化為點P到直線m:3x+4y+a=0與直線/:3x+4y-6=0距離之和的5倍，這個距離之和與P點在圓上

的位置無關(guān)可得圓在兩直線之間，利用直線3x+4y+a=0與圓相切可得答案.

【詳解】由己知可得尸（x,y）所在的圓的方程為（尤-3）2+（y-2）2=4,

設(shè)z=|3x+4y+a|+|6-3x-4y|=5

"+42"+不

故Z可看作點P至!]直線機：3尤+4y+a=0與直線/:3工+4〉一6=0距離之和的5倍,

因為|3x+4y+a|+|6-3x—4y|的取值與小y無關(guān),

所以這個距離之和與尸點在圓上的位置無關(guān),

如圖所示，可知直線機平移時,

尸點與直線以/的距離之和均為直線出/之間的距離,

此時可得圓在兩直線之間，

當(dāng)直線加與圓（X-3?+（y-2）2=4相切時，

|3x3+4x2+a|,

后+/一一一解得a=-7（舍去），或a=-27,

所以aW—27.

故答案為：（-8,-27].

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為點尸到直線機：3x+4y+。=0與直線/:3x+4y-6=0距離之和的

5倍.

16.（2324上.楊浦?開學(xué)考試）已知曲線C：x|x|-4yM=4.

①曲線C的圖像不經(jīng)過第二象限；

②若尸（七,%）為曲線C上一點，則%-2%>0；

③存在〃7eR,x-2y+〃2=0與曲線C有四個交點；

④直線x-2y+〃7=0與曲線C無公共點當(dāng)且僅當(dāng)加€卜巴-應(yīng)）u[O,+s）.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②

【分析】分工、y的符號情況化簡曲線c的方程，從而可畫出曲線c的圖象，結(jié)合圖象逐一分析即可.

【詳解】當(dāng)尤20,>20時，曲線C的方程為V-4y2=4,即3->2=1,曲線C是雙曲線的一部分；

當(dāng)尤NO,y<0時，曲線C的方程為-+4y2=4,即三+y2=],曲線C是橢圓的一部分；

4

當(dāng)％v0,>20時，曲線。的方程為—Y—4/=4,曲線C不存在；

當(dāng)X<0,，<0時，曲線C的方程為-尤2+4必=4,即丁_蘭=1,曲線C是雙曲線的一部分；

4

雙曲線1-尸=1和=1有一條共同的漸近線x-2y=0,

綜上，可作出曲線C的圖象，如圖:

故①正確；

由圖象可知曲線C的圖象上的點都在直線尤-2y=。的下方，

所以當(dāng)尸(尤0,%)在曲線C上時，有故②正確；

直線x-2y+加=0是表示與直線元-2y=0平行或重合的直線，

由曲線C的圖象可知，直線尤-2y+m=0與曲線C不可能有四個交點，故③錯誤；

2x-2y+n=Q

設(shè)直線x-2y+幾=0與橢圓土+丁=1相切，則由得8y之—4〃y+幾2_4=0,

4—+y=1

14,

所以△=16〃2-32(〃2_4)=O,解得〃=±20,結(jié)合曲線C的圖象，取”=-2應(yīng)，

即直線x-2y-20=O與曲線C相切，

所以若直線x-2y+,〃=0與曲線C無公共點，結(jié)合曲線C的圖象，

20或加<-2^/2，故④錯誤.

故答案為：①②.

【點睛】方法點睛：

1.曲線方程中帶有絕對值，一般是分絕對值里的式子的符號討論去絕對值；

2.直線與曲線的交點問題常采用數(shù)形結(jié)合的方法.

17.(2324上?黃浦?開學(xué)考試)設(shè)根是實數(shù)，已知集合P={(x,y)卜+2『+(y-3)2<4],集合

Q=，(x,y)(x+l)2+(y-a>2<：},且PcQ=Q,則根的取值范圍是.

【答案】3一爭+0

【分析】根據(jù)題意，分析可得尸與。表示的平面區(qū)域，又有PcQ=Q,即可得兩個區(qū)域的包含關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圓與圓

的位置關(guān)系，即可得到答案.

【詳解】點集P表示平面上以0.(-2,3)為圓心,2為半徑的圓所圍成的區(qū)域(包括圓周)；

點集。表示平面上以O(shè)2(-l,m)為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部.

要使PcQ=Q,應(yīng)使O?內(nèi)含或內(nèi)切于(。|.

故有片一%)，即(T+2)2+(小-3)2<2-鼻,

解得3-<m<3+-

22

故答案為：3—與,3+與.

【點睛】本題考查交集的運算，但因涉及圓以及幾何區(qū)域，難度較大，要求學(xué)生熟悉用集合語言表述幾何問題，利

用數(shù)形結(jié)合方法解題.

18.(2324上.黃浦.開學(xué)考試)已知曲線C的方程為Y+y2+g=l(aeR),則下列說法中：

①無論。取何值，曲線C都關(guān)于原點中心對稱；

②無論。取何值，曲線C關(guān)于直線丁=工和丁=一%對稱；

③存在唯一的實數(shù)。使得曲線C表示兩條直線；

④當(dāng)。=1時，曲線C上任意兩點間距離的最大值為20;

⑤當(dāng)a>2時，曲線C是雙曲線.

所有正確的序號是.

【答案】①②④⑤

【分析】①將曲線上任意一點關(guān)于原點的對稱點坐標代入，看是否滿足方程即可；②將曲線上任意一點關(guān)于直線的

對稱點坐標代入，看是否滿足方程即可；③由/+/+叼_]=。聯(lián)想完全平方與平方差公式，可得。=或情況，將

二次式變形為兩個一次因式的乘積為。的形式，驗證可知；④當(dāng)。=1時，結(jié)合曲線對稱性分類研究曲線C上任意一

點到原點的距離范圍，再轉(zhuǎn)化為兩點間距離的最大值即可；⑤當(dāng)。>2時，由方程必+/+叼=1(。€口)形式，聯(lián)

想反比例函數(shù)的雙曲線特點，通過曲線的旋轉(zhuǎn)45變換，求解新曲線的方程即可.

【詳解】①設(shè)曲線C上任意一點尸(x,y),則x2+y2+g=i(aeR)成立.

由(—x)-+(―y)2+6f(—x)(—y')=尤~+y-+cixy=1,

得點尸關(guān)于原點的對稱點片(r,-y)也在曲線上.

故無論。取何值，曲線C都關(guān)于原點中心對稱，①正確；

②設(shè)曲線C上任意一點P(x,y),則d+V+叼=1(。R)成立.

由y1+X1+ay-x=\,

得點尸關(guān)于y=x的對稱點￡(y,x)也在曲線上.

3^.(—y)~+(—x)~+a(_y'),(一龍)=+y?+Qxy=1,

即點p關(guān)于y=-%的對稱點心(-y,t)也在曲線上.

故無論。取何值，曲線C關(guān)于直線,二彳和丁二-%對稱，②正確；

③當(dāng)a=2時，曲線方程為/+;/+2孫=1,

方程可變形為(x+y+D(x+yT)=o,

即曲線表示兩條直線x+y+l=O,或x+y-l=o；

當(dāng)。=一2時，曲線方程為f+V-2孫=1,

方程可變形為Q_y+i)(x_yT)=o,

即曲線表示兩條直線x-y+i=O,或x-y-1=0,

故使得曲線C表示兩條直線的實數(shù)。不唯一，故③不正確；

④當(dāng)。=1時，x1+y2+xy=1,

設(shè)曲線上任意一點R(x,y),

當(dāng)時，貝！|V+y2=1一盯vi,

即|O7?|=商+y<1,

當(dāng)X20,yV0時，貝［J］=X2+y2+個=了2+,2_(_肛)>X2+y2-%j丫=Xj<

即/+即W=Jd+y2工近,

由①所得曲線關(guān)于原點對稱性可知，

當(dāng)xVO,yVO時，|OR|=Jf+y2W］；

當(dāng)x<0,y20時，|OR|="2+y24收

綜上，對于曲線上任意一點R,都有|OR|W0,

即曲線上任意兩點間距離小于或等于圓f+尸=2的直徑272.

又存在兩點K(1，T)，凡(-M)兩點都在曲線C上，且因局=20,

故曲線上任意兩點間距離最大值為2&，故④正確；

⑤當(dāng)a>2時，x2+J2+axy=l(oeR)

將曲線C上所有點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45,可得新曲線C'.

設(shè)C'上任意一點

則點M'(sj)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45得點M(x，y)在曲線C上，

設(shè)點”對應(yīng)復(fù)數(shù)Z=s+fi(s,feR),

由復(fù)數(shù)三角形式乘法的幾何意義可得,

X-

(ST)

即，由點M(x,y)在曲線C上，

y-

(s+f)

代入方程好+y+叼；=1(。€11)可得

g[(s-f)2+(s+f)2+a(s-f)(s+f)]=1,化簡得(〃+2)52-(°-2)產(chǎn)=2,

一上t

整理得，2二二一由。>2