江西省萍鄉(xiāng)市蘆溪縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測試卷

九年級數(shù)學(xué)

（滿分：120分；時間：120分鐘）

一、選擇題（本大題共6個小題；每小題3分，共18分）。

1.矩形、正方形、菱形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相垂直B.對角線互相平分

C.對角線長度相等D.一組對角線平分一組對角

2.若關(guān)于x的一元二次方程（租—l）Y+2x—2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.m<—B.m>—C.,且加HlD.m1

222

3.一個盒子內(nèi)裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放

回，再摸出一個球，則兩次都摸到白球的概率是（）

11八11

A.-B.-C.-D.—

64212

4.已知線段AB的長度為2,點C是線段A8的黃金分割點，則AC的長度為（）

D與或且2

C.>/5-1或3-\[5

5.如圖，點。為△ABC邊上任一點,DE〃BC交AC于點、E,連接BE、CD相交于點F,則下列等

式中不成立的是（）

ADAEDEDFEFAE

A.---=---C”=空D.----

DBEC1BC~~FCBCECBFAC

6.如圖，在矩形ABC。中，。為AC中點,EE過。點且AC分別交。。于尸，交AB于E,點G

是AE中點且NAOG=30°,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

第6題

①△OGE是等邊三角形；②ZX?=3OG；

③?S=—s^

2AAOEoABCD

A.l個B.2個C.3個D.4個

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

,,x2r,3x+2y

7.若一=一，則----

y34y+3x

8.四邊形ABC—四邊形AB'C'D.若N￡)=90°,N?=108°,NC'=92。，則NA=°.

9.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,3。相交于點0,若NAOD=120°,A3=2,則AC的長為

第9題

10.已知孫〃(相是一元二次方程/+%一2023=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式加2+2膽+〃的值為

11.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有

木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何?”.其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A

往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹

木，則正方形城池的邊長為步.

第11題

12.如圖，在菱形ABCO中，對角線AC、相交于點。，點E是線段8。上的一個動點，點F為射線

。。上一點，若NABC=6()°,ZAEF=120°,AB=4,則石/可能的整數(shù)值是.

第12題

三、解答題(本大題共5個小題，每小題6分，共30分)

13.(1)解方程：x(x-2)=l；

（2）如圖，已知AB〃E尸〃8,AO與3C相交于點。.如果C￡=6,EB=\S,DF=4,求AO的

第13題(2)

14.如圖，N1=N2,=求證：ZvlBC/\AED.

第14題

15.如圖，在,ABQD中，對角線AC、BD交于點、0,E是3。延長線上的點，且△ACE是等邊三角形.若

ZAED=2/EAD,求證：四邊形ABC。是正方形.

第15題

16.2023年五一假期，西安進入全國熱門旅游城市榜單，其中位于西安的熱門景區(qū)一一大唐不夜城更是許多游

客必去的打卡地.大唐不夜城中有以下表演：A、盛唐密盒；8、華燈太白；C、貞觀之治；￡＞、樂舞長安.小明

和小亮同時在大唐不夜城游玩，在同一時刻他們從四個節(jié)目中隨機選擇一個節(jié)目進行觀看.

（1）小亮選擇盛唐密盒的概率是:

（2）用列表或畫樹狀圖的方法求小明和小亮剛好在同一個節(jié)目前觀看的概率.

17.如圖是6x6的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（1）如圖1,在邊上找一點P,使得△A3P△C84；

（2）如圖2,在邊AC上找一點Q,使得AACB.

四、（本大題共3個小題，每小題8分，共24分）

18.為積極響應(yīng)新舊動能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺設(shè)備成

本價為30萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價為45萬元時，年

銷售量為550臺.假定該設(shè)備的年銷售量y（單位：臺）和銷售單價x（單位：萬元）成一次函數(shù)關(guān)系.

（I）求年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則該設(shè)

備的銷售單價應(yīng)是多少萬元？

19.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD=2BC,E為AO的中點，連接6。，BE,

ZABD=90°.

第19題

（1）求證：四邊形BCQE為菱形.

（2）連接AC,若BC=2,求的長.

20.已知關(guān)于x的一元二次方程V+2%+左一3=0有實數(shù)根.

（1）求實數(shù)A的取值范圍.

（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為玉，x2,若&—1乂入2-1）+石*=15,求k的值.

五、（本大題共2小題，每小題9分共18分）

21.已知，如圖所示的四邊形ABC。為菱形，AC.BD交于O,AFLBC于F,交BD于點、E.

第21題

(1)求證：ABFE/XDOC；

(2)求證：AD2=-DEDB；

2

（3）過點E作￡G_LAb,若DE=2BE,交AB于點G,若菱形A3CO的面積為6百，求EG的長.

22.如圖1,在紙片中，ZACB=90°,AC=S,BC=6,D,E分別是BC,AB邊上的動

點，且BE=BD,連接OE,將△8DE沿。E翻折，點3落在點F的位置，連接AE.

B

B

圖3

(1)如圖2,當(dāng)點F在AC邊上時，求BE的長.

(2)如圖3,點。，￡在運動過程中，當(dāng)A尸〃時，求AE的長.

六、(本大題共12分)

23.如圖1,已知四邊形A8CO是矩形，點E在B4的延長線上，AE=AD.EC與相交于點G,與

相交于點尸，AF^AB.

圖1圖2

(1)求證：BD工EC；

(2)若AB=1,求AE的長；

(3)如圖2,連接AG,求證：EG-DG=y[2AG.

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)。

1-5BCACC

6.C【解答】解：：EFLAC,點G是AE中點，

OG=AG=GE=-AE,

2

ZAOG=30。，

ZtMG=ZAOG=30°,

Z.GOE=90。-ZAOG=90°-30°=60°,

...△OGE是等邊三角形，故①正確；

設(shè)AE=2a,則QE=OG=a,

由勾股定理得，AO=7AE2-OE2=y/(2a)2-a2=ga,

???O為AC中點，

/.AC=2AO=2\f3a,

BC=—AC=—x2\f3a=,

22

在RtZXA5c中，由勾股定理得，AB==3a,

???四邊形ABC。是矩形，

CD=AB=3a,

：.DC=3OG,故②正確；

?：OG=a,-BC=—a,

22

ABC^-BC,故③錯誤；

2

..c_1石_G2

-3矩形A8CD=ya，

S矩形438=3a?\[?>a-3\[?>cr

,,^AAOE=TS矩形ABCD,故④正確：

o

綜上所述，結(jié)論正確的是①②④，共3個.故選：C.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

7.-；8.70；9.4；10.2022；11.300：12.2,3,4.

3

12【解答】解：如圖，連接CE,

?.?在菱形ABCD中，AB=BC,ZABE=NCBE=30。,BE=BE,

：.AABE2CBE,

AE=CE,

設(shè)NOCE=a,ZOAE=a,NA￡O=90°—a,

ZDEF=120°-（90°—a）=30。+a,

AEFC=ACDE+/LDEF=30°+30°+a=60°+a,

???ZECF=ZDCO+ZOCE=600+a,

/ECF=NEFC,

：.CE=EF,

AE=EF,

'：AB=4,ZABE^30°,

...在Rt/XABO中，AO=2,

---OA<AE<AB,

：.2<AE<4,

AE的長的整數(shù)值可能是2,3,4,即砂的長的整數(shù)值可能是2,3,4.

故答案為：2?3,4.

三、解答題(本大題共5個小題，每小題6分，共30分)

13.(1)x(x-2)=l,

x2—2x=1,

x2—2x+1=2,

(x—1)~=2，

x-1=±5/2,

解得玉=1+及，=1—V2；3分

RF

(2)-AB//EF//CD,=

CEDF

VCE=6,￡3=18,DF=4,

1OAZ7

,解得：AF=12,

64

AD=AF+DF^}2+4=16……6分

14.證明：???/1=N2,N1+NC4E=N2+NC4￡,

即：ZBAC=/EAD,……2分

???ABAD=ACAE,

?ABAC」公

AEAD

：./XABCAAED,……6分

15.證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

AO=OC,

,/△ACE是等邊三角形，

AEO1AC(三線合一)，

即瓦)_LAC,

ABCD是菱形，……2分

AEO1AC,AO=OC,

???△ACE是等邊三角形，ZE4C=60°,

ZAEO=Z.OEC=30°,△AOE是直角三角形,

ZE4O=60°,

NAED=2/EAD,

ZEAD=15°,

：.ZDAO=ZEAO-ZEAD=45°,

?.ZABC。是菱形，

，ABAD=2ADAO=9Q°,

，菱形ABC。是正方形.……6分

16.解：(1)小亮選擇盛唐密盒的概率=,；……2分

4

(2)畫樹狀圖為：

共用16種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮剛好在同一個節(jié)目前觀看的結(jié)果數(shù)為4種，

41

所以小明和小亮剛好在同一個節(jié)目前觀看的概率=二……6分

164

17.解：(1)如圖所示，點尸即為所求.……3分

(2)如圖所示，確定點M,然后連接連接AW交AC于點。，點。即為所求.……6分

圖1圖2

四、(本大題共3個小題，每小題8分，共24分)

瓜解：⑴設(shè)年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式為>

將（40,600）、（45,550）代入y=6+6,得:

‘40左+〃=600,僅=一10

\,解得：《,

[45攵+0=550,=1000

...年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+1000.……3分

(2)設(shè)此設(shè)備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設(shè)備的利潤為(x-30)萬元，銷售數(shù)量為(-lOx+1000)臺,

根據(jù)題意得：(x—30乂-10x+l(XX))=l(XXX),……5分

整理，得：%2-130^+4000=0,

解得：玉=50,x2=80.……6分

???此設(shè)備的銷售單價不得高于70萬元，

x=5().

答：該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是50萬元/臺.

19.(1)證明：???NAB￡>=90°,E是的中點，

/?BE-DE-AE，

?：AD=2BC,

/.BC=DE,

?；AD//BC,

：.四邊形8C0E為平行四邊形，……2分

BE=DE,

四邊形8C0E為菱形；……4分

(2)解：由(1)得：四邊形3CDE為菱形，

BC=BE,

???AD//BC,

：.四邊形ABCE為平行四邊形，

：ACLBE,

四邊形ABCE為菱形，……6分

:.BC=AB=2,AD=2BC=4,

???ZABO=90°,

BD=yjAD2-AB2=A/42-22=2"……8分

20.W：(1)解：..?一元二次方程/+2%+左一3=0有實數(shù)根.

AA>0,即2?—4(%—3)20,

解得ZW4；……3分

(2)?.?關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k-3=0的兩個實數(shù)根分別為當(dāng)，

/.玉+/=-2,x}x2=k-3t...4分

—])(%2-1)+=15,

**?石&—(玉+W)+1+X；%；=15,

.?.&-3+2+1+(左-3『=15,

解得攵=6或Z=-1,……7分

?：k<4,

/.k=—1...8分

五、（本大題共2小題，每小題9分共18分）

21.（1）證明：?.?四邊形A3C。菱形，

/.且BC=OC,

/.NOBC=NODC,

,/AFLBC,：.ZAFB=ZCOD=90°，

:./XBFEADOC；……3分

（2）證明：由（1）得AC_L8。，BO=OD,

:.ZCAE+ZAEC=90°,

???四邊形ABC。是菱形，

/.AD//BC,BD=2OD,

：.AEA.AD即ZEAD=90°=ZCAE+ZOAD,

：.ZAEO=ZOAD,ZAOE=ZAOD=90,

/XAOD4EAD,……5分

.ADED

??----=-----,

ODAD

：.AD?=OD?ED,

：.AD2=-DExBD；……6分

2

（3）解：?.?菱形ABC。面積為6出，AFA.BC,：.AFxBC=6y/3,

,：DE=2BE,：.BE=-BD,：.AE=-AF,

33

設(shè)BE=m,則DE=2m,BD=3m,

由（2）得：AD2=-DExBD,:.AD=?n,

2

在RtZ\AO￡）中，AD->/3m,OD='m,：.AO=^~m,

22

iion

此時S選形ABC。=萬A。?BD=-x垂>mx3m=in2=6乖）,/?tri1=4,

解得：m=2或機=-2（不合題意，舍去），...8分

GEBE

VEGLAE,AD±AF,：.GE//AD,

ADBD

...GE=—.……9分

3

22.（1）BE的長為"；（2）275.

4

解：（1）在RtZXABC中，?；ZACB=90°,AC=8,BC=6,：.AB=>JAC2+BC2=10,

由翻折可知：BE=FE,BD=FD,IBE=BD,：,BE=FE=BD=FD,

，四邊形BEFD是菱形，...AB〃。/，，空=生，.?.里=―匚，

DFDC