第22講 解直角三角形整體復習 (原卷版)

第22講《解直角三角形》單元總復習考點一特殊角的三角函數(shù)值ABABC基本定義：如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，則范圍：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞1各三角函數(shù)間的轉化公式：、、、特殊角的三角函數(shù)值：α30°45°記憶方法：sinα是增函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸增大，分別是記憶方法：sinα是增函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸增大，分別是，分母都是2；cosα是減函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸減少，分別是，分母都是2；tanα是增函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸增大，分別是，分母都是3；sinαcosαtanα1【類題訓練】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，．則cosA的值為（）A． B． C． D．3．在△ABC中，若，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．105°4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，若將△ABC各邊都擴大5倍，則tanA的值為（）A． B． C．5 D．5．三角函數(shù)sin70°，cos70°，tan70°的大小關系是（）A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70°6．銳角α、β滿足，，則tan（α+β）＝．7．在△ABC中，，則△ABC一定是．8．比較大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．9．當∠A為銳角，且＜cosA＜時，∠A的取值范圍是．10．在Rt△ABC中，若AB＝2AC，則cosB＝．11．計算：4cos60°+8sin30°﹣5tan45°．考點二解直角三角形【知識點睛】解直角三角形是指求出一個直角三角形三條邊長、三個內角的度數(shù)共六個元素的過程解直角三角形口訣——“直乘斜除，對正鄰余”釋義：一個直角三角形中，要求直角邊，一般用乘法，要求斜邊一般用除法；求已知角的對邊一般用正弦或正切，求已知角的斜邊一般用余弦；銳角是可以存在與所有三角中的，如果需要用的銳角不在直角三角形中，通常通過做垂線，構造直角三角形，之后再利用解直角三角形的方法繼續(xù)求解?！绢愵}訓練】1．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C均在格點上，則sinC的值是（）A． B． C． D．2．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE⊥AC于點E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，則AC的長度是（）A． B．2 C．8 D．3．閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數(shù)學定理，運用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2+c2﹣2bccosA；b2＝a2+c2﹣2accosB；c2＝a2+b2﹣2abcosC．現(xiàn)已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，則AC的長為（）A．2 B．+1 C．﹣1 D．34．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，則AB的長是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+25．如圖，點A、B、C在正方形網格的格點上，sin∠BAC＝（）A． B． C． D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的長為（）A．m?tanα?cosα B． C． D．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，BC＝3，AC＝4，則cos∠DCB的值為（）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．9．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，經過點B且半徑為5的⊙O與AB交于D，與CB的延長線交于E，則線段DE的長為（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．810．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，AD＝BC，，則tanB的值是．11．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，解這個直角三角形．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分別是AB邊上的中線和高，BC＝6，cos∠ACD＝，求AB，CH的長．考點三利用直角三角形解決實際問題【知識點睛】在實際問題中用三角函數(shù)求解未知量一般步驟：審題——審圖形、審已知、審未知找出有關的直角三角形，把實際問題轉化為直角三角形的問題（當所需用直角三角形不存在時，常做垂直構造）；根據直角三角形邊角之間的關系解有關的直角三角形【類題訓練】1．如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，則船與觀測者之間的水平距離BC＝（）A．米 B．50米 C．米 D．100米2．綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀ABCD為正方形，AB＝40cm，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點H．經測量，點A距地面2m，到樹EG的距離AF＝10m，BH＝30cm．則樹EG的高度為（）??A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.93．廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架的中柱AD（D為底邊中點）長10米，∠B＝36°，則跨度BC的長是（）A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米4．某停車場入口欄桿如圖，欄桿從水平位置AB繞點O旋轉到CD的位置，已知AO＝a，若欄桿的旋轉角∠BOC＝36°，則欄桿端點A上升的垂直高度DE的長為（）A．asin36° B．acos36° C． D．atan36°5．如圖1為某款“不倒翁”，圖2為它的主視圖，PA、PB分別與所在圓相切于點A、B．連接PO并延長交于點M，若該圓半徑是6cm，PA＝8cm，則sin∠AMB的值為（）A． B． C． D．6．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，則點A到OC的距離等于（）A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx7．如圖，CD是平面鏡，光線從A點出發(fā)經CD上點O反射后照射到B點，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則sinα的值為（）A． B． C． D．8．如圖所示，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為150米，則這棟樓的高度為米．9．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，距離燈塔35海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔的正東方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離PB的長可以表示為（）A．35海里 B．35cos37°海里 C．35tan37°海里 D．35sin37°海里10．某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據圖中數(shù)據計算AB的長為（）m．A．+1.6 B．﹣1.6 C．+0.9 D．﹣0.911．“十一”假期，小明和同學一起到游樂場游玩，游樂場的大型摩天輪的半徑為15m，旋轉1周需要24min（勻速）．小明乘坐最底部（離地面約1m）的車廂按逆時針方向旋轉開始1周的觀光，啟動10min時，小明離地面的高度是m．12．如圖，準備在寬24米的迎賓大道AB路邊安裝路燈，設計要求：路燈的燈臂CD長4米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，燈柱BC與大道路面AB垂直，此時O恰好為AB中點．（1）∠DOB的度數(shù)為°．（2）現(xiàn)在由于道路兩邊都要裝路燈，要求，且燈臂CD縮短為1米，其它的位置關系不變．則現(xiàn)在路燈的燈柱BC高度應該比原設計高度縮短了米．13．如圖1，圖2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（與地面平行）或繞定點P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下轉動（轉動過程中始終保持AP＝A′P，BP＝B′P）．通過向下踩踏點A到A′（與地面接觸點）使點B上升到點B′，與此同時傳動桿BH運動到B'H'的位置，點H繞固定點D旋轉（DH為旋轉半徑）至點H'，從而使桶蓋打開一個張角∠HDH′．如圖3，桶蓋打開后，傳動桿H′B′所在的直線分別與水平直線AB、DH垂直，垂足為點M、C，設H′C＝B′M．測得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，EH＝14cm，F(xiàn)G＝0.3cm．（1）要使桶蓋張開的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB離地面的高度至少等于cm；（2）當tan∠HDH'＝時投入一個小球，并能順利蓋上垃圾桶蓋，小球的最大半徑為cm．14．如圖1是小鳥牙簽盒實物圖，圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側面示意圖，D、E為連接桿AB上兩個定點，通過按壓點B，連接桿AB繞點E旋轉，從而帶動連接桿DF上升，帶動連接桿FH與FG繞點G旋轉，致使牙簽托盤HI向外推出，在取牙簽過程中固定桿EG位置不變且DF與EG始終平行，牙簽托盤HI始終保持水平，現(xiàn)測得FG＝FH＝1cm，EB＝cm，DF＝EG＝7cm，∠HFG＝46°與∠B＝90°，桿長與桿長之間角度大小不變，已知，牙簽盒在初始狀態(tài)，D、H、F三點共線，在剛好取到牙簽時，E、H、G三點共線，且點C落在線段HI上，（參考數(shù)據：tan23°＝）（1）從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時，牙簽托盤HI在水平方向被向外推出cm；（2）鳥嘴BC的長為cm．15．消防車是救援火災的重要裝備．圖1是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖2是其工作示意圖，起重臂AB可伸縮，伸縮范圍為10m≤AB≤40m，且起重臂AB可繞點A在一定范圍內轉動，張角為∠CAB，張角范圍為90°≤∠CAB≤150°，轉動點A距離地面MN的高度AC為5m．（參考數(shù)據：（1）當起重臂AB長度為20m，張角為135°時，求云梯消防車最高點B距地面的高度；（結果保留根號）（2）某棟樓高39m，若該樓中有居民家突發(fā)險情，請問該消防車能否實施有效救援？請說明理由．16．蓮花湖濕地公園是當?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為3m，當擺角∠BOC恰為26°時，座板離地面的高度BM為0.9m，當擺動至最高位置時，擺角∠AOC為50°，求座板距地面的最大高度為多少m？（結果精確到0.1m；參考數(shù)據：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）?17．如圖1，小紅家陽臺上放置了一個曬衣架．如圖2是曬衣架的側面示意圖，立桿AB、CD相交于點O，B、D兩點立于地面，經測量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm．現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF＝32cm．（1）求證：AC∥BD；（2）求扣鏈EF與立桿AD的夾角∠OEF的度數(shù)．（精確到0.1）（參考數(shù)據：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈1.873）18．如圖1，某款線上教學設備由底座，支撐臂AB，連