14.3.1提公因式法（解析版）

提公因式法知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類(lèi)探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類(lèi)探究知識(shí)點(diǎn)一：因式分解概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.特別說(shuō)明：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.題型一：判斷是否是因式分解【例題1】（2022·山東青島·八年級(jí)期中）下列各式從左到右是分解因式的是（

）A．20=4xy·5 B．+4x－6=(x－1)(x+5)－1C．9－6ab+= D．(a－b)(a+b)=－【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義，把左邊的多項(xiàng)式因式分解成幾個(gè)整式相乘的形式進(jìn)行判斷即可．【詳解】A選項(xiàng)，左邊是單項(xiàng)式，不符合因式分解的定義，故選項(xiàng)A不符合題意；B選項(xiàng)，右邊是個(gè)多項(xiàng)式，沒(méi)有因式分解成幾個(gè)整式相乘的形式，故選項(xiàng)B不符合題意；C選項(xiàng)，左邊是多項(xiàng)式，分解成右邊幾個(gè)整式相乘的形式，故選項(xiàng)C符合題意；D選項(xiàng)，從右往左是分解因式，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的概念，熟練理解和掌握因式分解的定義是解決本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期中）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．由定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，故不符合題意；B．是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，故不符合題意；C．x2+2x+1＝（x+1）2，是因式分解，符合題意；D．，因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，牢固掌握因式分解的定義，能夠根據(jù)定義對(duì)所給的式子進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·湖南永州·七年級(jí)期中）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，因式分解是把多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式積的形式，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B.原式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C.原式左右兩邊不相等，故本選項(xiàng)不符合題意；D.原式符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，因式分解與整式的乘法是互為逆運(yùn)算，要注意區(qū)分．【變式1-3】（2022·福建三明·八年級(jí)期中）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式變成幾個(gè)整式的乘積的形式叫做因式分解，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、不是把多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的乘積形式，不是因式分解，不符合題意；B、，不是把多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的乘積形式，不是因式分解，不符合題意；C、是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，不是因式分解，不符合題意；D、是因式分解，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，熟知因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．題型二：利用因式分解求值【例題2】（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期中）將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，得到，則，分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算（x-9）（2x-n），根據(jù)乘法與因式分解的關(guān)系得到關(guān)于m、n的方程，求解即可．【詳解】解：∵（x-9）（2x-n）=2x2-18x-nx+9n=2x2-（18+n）x+9n，又∵2x2+mx-18因式分解得到（x-9）（2x-n），∴2x2+mx-18=2x2-（18+n）x+9n，∴m=-（18+n），9n=-18，∴n=-2，m=-16．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的因式分解，掌握乘法與因式分解的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·四川達(dá)州·八年級(jí)期中）已知多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為，則的值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】把根據(jù)乘法法則計(jì)算后與比較即可．【詳解】解：=2(x2+x-2x-2)=2x2+2x-4x-4=2x2-2x-4，∵=2x2-2x-4，∴b=-2，c=-4，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，以及多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，熟練掌握因式分解與乘法運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期末）多項(xiàng)式可分解為，則a的值是(

)A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及因式分解可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，∵多項(xiàng)式可分解為，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握因式分解及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）若多項(xiàng)式可分解為，則的值為（

）A．—2 B．—1 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，把（x-2）（x+b）利用多項(xiàng)式乘法法則展開(kāi)即可求解．【詳解】解：∵（x-2）（x+b）=x2+bx-2x-2b=x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1，∴b-2=-a，-2b=-1，∴b=0.5，a=1.5，∴a+b=2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)二：公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.特別說(shuō)明：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.題型三：公因式【例題3】（2022·廣西桂林·七年級(jí)期中）與的公因式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)找公因式的方法解答，即可求解．【詳解】解∶與的公因式為．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查公因式的確定，解題的關(guān)鍵在于掌握找公因式的方法：（1）公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2022·陜西·紫陽(yáng)縣師訓(xùn)教研中心八年級(jí)期末）多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用公因式的確定方法可得答案，這兩項(xiàng)的系數(shù)1與3，它們的最大公約數(shù)是1；兩項(xiàng)的字母部分a2b3與abc都含有字母a和b，其中a的最低次數(shù)是1，b的最低次數(shù)是1，因此公因式為ab．【詳解】解：∵a2b3與2abc這兩項(xiàng)的系數(shù)1與3，∴它們的最大公約數(shù)是1；∵兩項(xiàng)的字母部分a2b3與abc都含有字母a和b，其中a的最低次數(shù)是1，b的最低次數(shù)是1，∴多項(xiàng)式a2b3+2abc中各項(xiàng)的公因式為ab，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式，解題的關(guān)鍵是掌握確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式的方法，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．【變式3-2】（2021·陜西銅川·八年級(jí)期末）使用提公因式法分解時(shí)，公因式是（

）A． B． C．2ab D．【答案】C【分析】在找公因式時(shí)，一找系數(shù)的最大公約數(shù)，二找相同字母的最低次冪．同時(shí)注意首項(xiàng)系數(shù)通常要變成正數(shù)．【詳解】解：使用提公因式法分解4a2b﹣6ab2+2a3b3時(shí)，公因式是2ab．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公因式的定義，正確理解公因式的概念是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·河北滄州·八年級(jí)期末）將多項(xiàng)式利用提公因式法分解因式，則提取的公因式為（）A． B．a(chǎn)b C．a(chǎn) D．b【答案】D【分析】利用提公因式法進(jìn)行分解即可．【詳解】解：a2b-2b=b（a2-2），將多項(xiàng)式a2b-2b利用提公因式法分解因式，則提取的公因式為：b，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解-提公因式法是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)三：提公因式把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說(shuō)明：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.題型四：提公因式【例題4】（2021·海南鑫源高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）因式分解（1）（2）【答案】（1）；（2）；【分析】（1）提出公因式，提公因式法因式分解即可；（2）提出公因式，提公因式法因式分解即可；【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2021·上海市南洋模范初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）因式分解：﹣6m3n+4mn2﹣2mn．【答案】-2mn(3m2-2n+1)．【分析】原式提取-2mn，即可分解．【詳解】解：-6m3n+4mn2-2mn=-2mn(3m2-2n+1)．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】利用提公因式法即可完成．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是找出公因式，當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，連負(fù)號(hào)提出，此時(shí)括號(hào)里的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．【變式4-3】（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】用提公因式法即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法——提公因式法，當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，提公因式時(shí)連負(fù)號(hào)一同提出來(lái)．題型五：提多項(xiàng)式公因式【例題5】（2021·海南鑫源高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）因式分解【答案】【分析】提出公因式，提公因式法因式分解即可；【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式5-1】（2021·江門(mén)市第二中學(xué)九年級(jí)二模）分解因式：______．【答案】【分析】先將提取負(fù)號(hào)，再提取公因式即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是提公因式法因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握找公因式的方法，以及提負(fù)號(hào)的方法．【變式5-2】（2021·湖南七年級(jí)期中）因式分解（a﹣b）2﹣a+b的結(jié)果是_______________．【答案】（a﹣b）（a﹣b﹣1）【分析】先整理，再根據(jù)提取公因式法分解因式即可得出答案．【詳解】解：（a﹣b）2﹣a+b＝（a﹣b）2﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b﹣1）．故答案為：（a﹣b）（a﹣b﹣1）．【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式，熟練掌握提取公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2021·常州市第二十四中學(xué)七年級(jí)月考）因式分解：____________．【答案】【分析】將y(1-m)變形為-y（m-1），再提取公因式即可．【詳解】∵x（m-1）+y(1-m)=x（m-1）-y（m-1），=（x-y）（m-1），故答案為：（x-y）（m-1）．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練進(jìn)行代數(shù)式的變形構(gòu)造公因式是解題的關(guān)鍵．題型六：利用提公因式求值【例題6】（2022·貴州黔西·中考真題）已知，，則的值為_(kāi)____．【答案】6【分析】將因式分解，然后代入已知條件即可求值．【詳解】解：．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式6-1】（2021·山東）邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為10，面積為3，則ab2+a2b的值為_(kāi)_．【答案】15【分析】直接利用矩形周長(zhǎng)和面積公式得出ab，a+b，進(jìn)而利用提取公因式法分解因式得出答案．【詳解】解：∵邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為10，面積為3，∴ab＝3，2(a+b)＝10，則，a+b＝5，故ab2+a2b＝ab(a+b)＝3×5＝15，故答案為：15【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法和矩形的性質(zhì)應(yīng)用，正確分解因式是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2021·江蘇蘇州草橋中學(xué)七年級(jí)期末）若，則________．【答案】15【分析】將原式首先提取公因式xy，進(jìn)而分解因式，將已知代入求出即可．【詳解】解：∵x?2y＝5，xy＝3，∴．故答案為：15．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2021·江西吉安市·）若x﹣y＝3，xy＝﹣1，則代數(shù)式2x2y﹣2xy2的值為（）A．3 B．-3 C．-6 D．6【答案】C【分析】首先因式分解2x2y﹣2xy2，然后把x﹣y＝3，xy＝﹣1代入，求出算式的值即可．【詳解】解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y）當(dāng)x﹣y＝3，xy＝﹣1時(shí)，原式＝2×（﹣1）×3＝﹣6．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用提取公因式法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，樹(shù)立整體思想，整體代入求值．鏈接中考體驗(yàn)真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做因式分解．A、右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，不符合題意；B、形式上符合因式分解，但等號(hào)左右不是恒等變形，等號(hào)不成立，不符合題意；C、符合因式分解的形式，符合題意；D、從左到右是整式的乘法，從右到左是因式分解，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解決本題的關(guān)鍵是充分理解并應(yīng)用因式分解的定義．【真題2】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，平方差公式，因式分解計(jì)算即可．【詳解】A.選項(xiàng)，3x2與4x3不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B.選項(xiàng)，原式=，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C.選項(xiàng)，原式=，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D.選項(xiàng)，原式=，故該選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展開(kāi)有三項(xiàng)是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．【真題3】（2022·廣西柳州·中考真題）把多項(xiàng)式a2+2a分解因式得（）A．a(chǎn)（a+2） B．a(chǎn)（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）【答案】A【分析】運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解知識(shí)點(diǎn)，掌握提公因式法是解題的關(guān)鍵．【真題4】（2022·廣東廣州·中考真題）分解因式：________【答案】【分析】直接提取公因式3a即可得到結(jié)果．【詳解】解：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解時(shí)有公因式要先提取公因式，再考慮是否可以用公式法．【真題5】（2022·江蘇常州·中考真題）分解因式：______．【答案】xy(x+y)【分析】利用提公因式法即可求解．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法分解因式的知識(shí)，掌握提公因式法是解答本題的關(guān)鍵．滿(mǎn)分沖刺能力提升，突破自我滿(mǎn)分沖刺【拓展1】（全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，，則之值為何？（）.A．101 B．－101 C．808 D．－808【答案】D【分析】先提取公因式101，然后利用數(shù)的拆分進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，從而求解.【詳解】======【點(diǎn)睛】本題考查提取公因式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)的拆分使計(jì)算簡(jiǎn)便是解題關(guān)鍵.【拓展2】（2020·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：，且當(dāng)時(shí)，求原式的值．【答案】，-1【分析】原式逐步提取公因式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式……∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．【拓展3】（2020·華南師范大學(xué)中山附屬中學(xué)八年級(jí)期中）“閱讀素養(yǎng)的培養(yǎng)是構(gòu)建核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，華師中山附中以實(shí)施百書(shū)計(jì)劃為突破口，著力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．”全校師生積極響應(yīng)和配合，開(kāi)展各種活動(dòng)豐富其課余生活．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們從書(shū)上認(rèn)識(shí)了很多有趣的數(shù)，其中有一個(gè)“和平數(shù)”引起了同學(xué)們的興趣．描述如下：一個(gè)四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和為y，如果x=y，那么稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因?yàn)閤=y，所以1423是“和平數(shù)”．(1)直接寫(xiě)出：最大的“和平數(shù)”是___．(2)將一個(gè)“和平數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱(chēng)交換前后這兩個(gè)“和平數(shù)”為“相關(guān)和平數(shù)”，例如：1423與4132為“相關(guān)和平數(shù)”．設(shè)任意一個(gè)“和平數(shù)”千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，則該“和平數(shù)”和它的“相關(guān)和平數(shù)”的數(shù)值分別為：“和平數(shù)”值，“相關(guān)和平數(shù)