江西省銅鼓中學(xué)高三下學(xué)期第一次階段性測試數(shù)學(xué)試卷

高三下學(xué)期第一次階段性測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．4．曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A． B． C．1 D．25．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的離心率為，則其兩條漸近線所成的銳角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．從三個(gè)班級(jí)，每班隨機(jī)選派兩名學(xué)生為代表，這六名同學(xué)被隨機(jī)安排在一個(gè)圓桌會(huì)議室進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)”座談，會(huì)議室的圓桌正有好有六個(gè)座位，則同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．8．趙爽是我國古代著名的數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”．亦稱“趙爽弦圖”．如圖1，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，若圖2中，，則（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分）9．已知，則（

）A．B．C． D．10．如圖，正方體中，，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A． B．平面C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為11．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．在的展開式中的系數(shù)為.13．動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為.14．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5題，共77分）15．（13分）（甲、乙兩支女子排球隊(duì)進(jìn)行排球比賽，每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在每局比賽中，甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)獲勝的概率為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求乙隊(duì)獲勝的概率；(2)設(shè)比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)和乙隊(duì)共進(jìn)行了局比賽，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．16．（15分）在遞增的等比數(shù)列中，，，為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，是正三角形，，是AB的中點(diǎn)．

(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．18．（17分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，過點(diǎn)作直線交橢圓于不同于的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，試問：是否為定值？若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.19．（17分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：.參考答案：1．D【詳解】由，即，，.2．B【詳解】結(jié)合題意：，所以.3．A【詳解】由，，所以，因?yàn)?，所以，得，所以?．C【詳解】因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，因?yàn)椋?，所以?．B【詳解】設(shè)公差為d，由兩式作差可得，，故，由得1，故，故，所以.6．A【詳解】因?yàn)镃的離心率為，所以它的漸近線方程為，即漸近線的斜率分別為，，即直線的傾斜角大于，則可取兩條漸近線上的向量，，漸近線所成的銳角即這兩個(gè)向量的夾角，.7．C【詳解】由題意可知，個(gè)元素圓桌環(huán)形排列的所有情況為，故所有的情況數(shù)是種，同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰好排在一起相鄰而坐的情況數(shù)為：首先三個(gè)班的兩名同學(xué)捆綁，形成新的三個(gè)元素，環(huán)排共有種，又每個(gè)班兩名同學(xué)可以排序，則有種，同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為.8．C【詳解】在中，，而，所以，，由正弦定理得，，即，解得，所以，在中由余弦定理，即，所以，，所以.9．AB【詳解】對(duì)A：由，故，則，即，故A正確；對(duì)B：由，且為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，故B正確；對(duì)C：當(dāng)，時(shí)，有，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)，時(shí)，有，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.10．ACD【詳解】對(duì)于A中，如圖（1）所示，在正方體中，連接，連接，在正方形中，可得，由平面，平面，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，連接，同理可證平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)點(diǎn)不與重合時(shí)，過點(diǎn)作，因?yàn)?，所以，所以平面即為平面，如圖所示，在正方形中，與不垂直，所以與平面不垂直，所以B不正確不正確；對(duì)于C中，分別連接，在正方體，因?yàn)?，平面平面，所以平面，同理可證：平面，因?yàn)榍移矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槭巧系囊粍?dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，且為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確；對(duì)于D中，將繞著展開，使得平面與平面重合，如圖（2）所示，連接，當(dāng)為和的交點(diǎn)時(shí)，即為的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)檎襟w中，，可得，，在等邊中，可得，在直角中，可得，所以的最小值為，所以D正確.

11．ACD【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.12．【詳解】結(jié)合題意可得：所以的系數(shù)為.13．【詳解】令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線：可化為，易知過定點(diǎn)，由，故點(diǎn)在圓外，則圓心與定點(diǎn)所在直線與直線垂直，圓心與直線距離最大，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.14．【詳解】，即，令，則．令，則，則在上遞增，所以，即．所以原題等價(jià)于在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即對(duì)恒成立，而的值域是，所以．15．（1）由題意知，比賽三局且乙隊(duì)獲勝的概率，比賽四局且乙隊(duì)獲勝的概率為，比賽五局且乙隊(duì)獲勝的概率為，所以乙隊(duì)獲勝的概率為．（2）依題意隨機(jī)變量的可能取值為，，，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為345所以．16．（1）設(shè)遞增的等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，即，解得或（舍去），故，，因?yàn)?，，所以，，，故，，?）因?yàn)?，所以，，則，，故，故.17．（1）

證明：取AD的中點(diǎn)，連接EF，PF，BD，因?yàn)槭钦切?，所以．又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD．因?yàn)槠矫鍭BCD，所以．因?yàn)槭茿B的中點(diǎn)，所以．又底面ABCD是菱形，所以，從而．因?yàn)椋矫?，所以平面PEF．因?yàn)槠矫鍼EF，所以．（2）解：連接BF，因?yàn)?，所以是正三角形，所以．以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)P所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．令，則，，，則，．設(shè)平面CEP的法向量為，則，令，則，，得．由題可知，是平面ACE的一個(gè)法向量．，由圖可知，二面角為銳角，則二面角的余弦值為．18．（1）解：由已知得，，解得，則橢圓的方程為．（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得，得當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，令由得則.………①，………②

而………③將