第3節(jié)圓周運動

第四章曲線運動萬有引力與宇宙航行第3節(jié)圓周運動目錄CONTENT立足“四層”·夯基礎著眼“四翼”·探考點聚焦“素養(yǎng)”·引思維020301鎖定“目標”·提素能04Part01立足“四層”·夯基礎?一、圓周運動1.勻速圓周運動（1）定義：做圓周運動的物體，若在相等的時間內(nèi)通過的弧長

相等

?，其所做的運動就是勻速圓周運動。（2）速度特點：速度的大小

不變

?，方向始終與半徑垂直。相等

不變

2.描述圓周運動的物理量意義公式/單位線速度（v）（1）描述做圓周運動的物體運動

快慢

?的物理量（2）是矢量，方向沿圓周切線方向角速度（ω）描述物體繞圓心

轉(zhuǎn)動

?快慢的物理量周期和轉(zhuǎn)速（T和n）物體沿圓周運動

一周

?的時間叫周期，單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)叫轉(zhuǎn)速向心加速度（an）（1）描述速度

方向

?變化快慢的物理量（2）方向指向圓心，時刻在改變快慢

轉(zhuǎn)動

rad/s

一周

方向

ω2r

二、勻速圓周運動的向心力1.作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的

方向

?，不改變速度的

大小

?。

3.方向：始終沿半徑方向指向

圓心

?，時刻在改變，即向心力是一個變力。4.來源：向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的

合力

?提供，還可以由一個力的

分力

?提供。方向

大小

mrω2

圓心

合力

分力

三、離心現(xiàn)象1.定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供做圓周運動所需

向心力

?的情況下，就做逐漸遠離圓心的運動。2.本質(zhì)：做圓周運動的物體，由于本身的

慣性

?，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢。向心力

3.受力特點（如圖所示）（1）當F

＝mω2r時，物體做勻速圓周運動，如圖所示；（2）當F＝0時，物體沿切線方向飛出；（3）當F＜mω2r時，物體逐漸遠離圓心，F(xiàn)為實際提供的向心力。慣性

?

現(xiàn)在有一種叫作“魔盤”的娛樂設施，如圖所示。當“魔盤”轉(zhuǎn)動很慢時，人會隨著“魔盤”一起轉(zhuǎn)動，當盤的速度逐漸增大時，盤上的人便逐漸向邊緣滑去，離轉(zhuǎn)動中心越遠的人，這種滑動的趨勢越明顯，當“魔盤”轉(zhuǎn)動到一定速度時，人會“貼”在“魔盤”豎直壁上而不會滑下。（1）人隨“魔盤”一起做勻速圓周運動時，其角速度是不變的。

（

√

）（2）人隨“魔盤”一起做勻速圓周運動時，其合外力是不變的。

（

×

）√×（3）人隨“魔盤”一起做勻速圓周運動的向心加速度與半徑成反比。

（

×

）（4）隨“魔盤”一起做勻速圓周運動時，人離“魔盤”中心越遠，人運動得越快。

（

√

）（5）“魔盤”的轉(zhuǎn)速逐漸增大時，盤上的人便逐漸向邊緣滑去，這是人受沿半徑向外的離心力作用的緣故。

（

×

）×√×Part02著眼“四翼”·探考點?考點一

描述圓周運動的物理量

[素養(yǎng)自修類]1.[圓周運動各物理量間的關系]如圖所示的旋轉(zhuǎn)脫水拖把，拖把桿內(nèi)有一段長度為35cm的螺桿通過拖把桿下段與拖把頭接在一起，螺桿的螺距（相鄰螺紋之間的距離）d＝5cm，拖把頭的半徑為10cm，拖把桿上段相對螺桿向下運動時拖把頭就會旋轉(zhuǎn)，把拖把頭上的水甩出去。某次脫水時，拖把桿上段1s內(nèi)勻速下壓了35cm，該過程中拖把頭勻速轉(zhuǎn)動，下列說法正確的是（

）A.拖把頭邊緣的線速度為1.4πm/sB.拖把桿向下運動的速度為0.1πm/sC.拖把頭轉(zhuǎn)動的角速度為7πrad/sD.拖把頭的轉(zhuǎn)速為1r/s

2.[同軸傳動類圓周運動問題]（2023·揚州中學檢測）硬盤是電腦主要的存儲媒介之一，由一個或者多個鋁制或者玻璃制的碟片組成。碟片外覆蓋有鐵磁性材料。如圖所示，電動機使磁盤以5400r/min的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動，磁頭在讀、寫數(shù)據(jù)時是不動的，磁盤每轉(zhuǎn)一圈，磁頭沿半徑方向跳動一個磁道。外磁道某一點P與內(nèi)磁道某一點Q相比，有（

）A.nP＞nQB.ωP＞ωQC.vP＜vQD.aP＞aQ解析：D

P、Q兩點同軸轉(zhuǎn)動，故兩點有相同的角速度，即ωP＝ωQ，根據(jù)ω＝2πn有nP＝nQ，A、B錯誤；由于P點的半徑大于Q點的半徑，根據(jù)v＝rω、rP＞rQ得vP＞vQ，C錯誤；根據(jù)a＝ω2r、rP＞rQ得aP＞aQ，D正確。3.[齒輪傳動類圓周運動問題]在如圖所示的齒輪傳動中，三個齒輪的半徑之比為2∶3∶6，當齒輪轉(zhuǎn)動的時候，小齒輪邊緣的A點和大齒輪邊緣的B點（

）A.線速度大小之比為1∶1B.角速度之比為1∶1C.角速度之比為1∶3D.向心加速度大小之比為1∶3解析：A

題圖中三個齒輪邊緣線速度大小相等，A點和B點的線速度大小之比為1∶1；由v＝ωr可得，線速度大小一定時，角速度與半徑成反比，A點和B點角速度之比為3∶1；由an＝ω2r可知，A點和B點的向心加速度大小之比為3∶1。故選項A正確，B、C、D錯誤。?1.勻速圓周運動各物理量間的關系2.三種傳動方式及特點（1）皮帶傳動：皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等。（2）齒輪傳動：兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現(xiàn)象時，兩輪邊緣線速度大小相等。（3）同軸傳動：兩輪固定在同一轉(zhuǎn)軸上轉(zhuǎn)動時，兩輪轉(zhuǎn)動的角速度大小相等。考點二

水平面內(nèi)的勻速圓周運動

[互動共研類]1.向心力的來源向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力。2.運動模型運動模型向心力的來源示意圖運動模型向心力的來源示意圖飛機水平轉(zhuǎn)彎?火車轉(zhuǎn)彎?圓錐擺?飛車走壁?運動模型向心力的來源示意圖運動模型向心力的來源示意圖汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎?水平轉(zhuǎn)臺（光滑）?【典例1】

天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小圓環(huán)P可繞過懸掛點的豎直軸無摩擦地旋轉(zhuǎn)。一根輕繩穿過P，兩端分別連接質(zhì)量為m1和m2的小球A、B（m1≠m2）。設兩球同時做如圖所示的圓錐擺運動，且在任意時刻兩球均在同一水平面內(nèi)，則（

）A.B球周期大于A球周球B.兩球的向心加速度大小相等C.球A、B到P的距離之比等于m2∶m1D.球A、B到P的距離之比等于m1∶m2審題指導

光滑的小圓環(huán)P相當于光滑的定滑輪，因此連接小球的繩子上的拉力大小相等，分別以兩球為研究對象，受力分析列方程即可解答。尤其要注意兩球的角速度關系：二者角速度相等。

答案

C?

把【典例1】中A、B兩個小球改為如圖所示，則A、B兩個小球轉(zhuǎn)動的角速度、線速度、向心加速度及運動周期之比是多少？

｜一題悟通｜

（2）雙圓錐擺模型（如圖乙所示）：P、Q隨旋轉(zhuǎn)圓盤繞中心軸勻速轉(zhuǎn)動，則它們做圓周運動的角速度相等，故它們的線速度、向心加速度均與軌道半徑成正比，且在豎直方向上受到的合力為零?！镜淅?】

如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿直徑方向放著用輕繩相連的物體A和B，A和B質(zhì)量都為m。它們分居圓心兩側(cè)，與圓心的距離分別為RA＝r，RB＝2r，A、B與盤間的動摩擦因數(shù)相同且均為μ。若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，下列說法錯誤的是（

）A.繩子的張力為FT＝3μmgC.A所受摩擦力方向沿繩指向圓外D.燒斷繩子，物體A、B仍將隨盤一塊轉(zhuǎn)動審題指導

A、B剛好未發(fā)生滑動時，二者與接觸面間都達到最大靜摩擦力，都是拉力與最大靜摩擦力的合力提供向心力。不同的是，B所受的靜摩擦力沿半徑指向圓心，A所受的靜摩擦力沿半徑背離圓心。

答案

D?（1）圖甲為水平轉(zhuǎn)盤基本模型：當轉(zhuǎn)動的角速度多大時，物體就要相對轉(zhuǎn)盤發(fā)生滑動？

（2）把【典例2】中A、B兩個物體改為如圖乙所示，物體A與轉(zhuǎn)軸之間的距離為r，A、B之間的繩長仍為3r，隨著轉(zhuǎn)盤緩慢加速，則繩子何時出現(xiàn)拉力？若A、B與轉(zhuǎn)盤始終保持相對靜止，轉(zhuǎn)盤的角速度需要滿足什么條件？

｜一題悟通｜水平面內(nèi)圓周運動臨界問題的分析方法幾何分析目的是確定圓周運動的圓心、半徑等運動分析目的是確定圓周運動的線速度、角速度、向心加速度等受力分析目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運動時，外界所提供的向心力?1.[圓錐擺模型]如圖所示，用一根質(zhì)量不計、不可伸長的細繩，一端系一可視為質(zhì)點的小球，另一端固定在O點。當小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動的角速度為ω時，懸點O到軌跡圓心高度為h，細繩拉力大小為F，小球的向心加速度大小為a，線速度大小為v，下列描述各物理量與角速度ω的關系圖像正確的是（

）

2.[火車轉(zhuǎn)彎問題]

A.外軌對外側(cè)車輪輪緣有擠壓B.內(nèi)軌對內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓C.這時鐵軌對火車的支持力等于mg

3.[水平面內(nèi)圓周運動臨界問題]（2023·江蘇金陵中學模擬）如圖，相同的物塊a、b用沿半徑方向的細線相連放置在水平圓盤上。當圓盤繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，物塊a、b始終相對圓盤靜止。下列關于物塊a所受的摩擦力隨圓盤角速度的平方（ω2）的變化關系正確的是（

）解析：D

轉(zhuǎn)動過程中a、b角速度相同。當圓盤角速度較小時，a、b由靜摩擦力充當向心力，細線拉力為零，此過程中a、b所需要的摩擦力分別為fa＝mraω2，fb＝mrbω2，因為rb＞ra，故fb＞fa，又因為a、b與平臺的最大靜摩擦力相同，所以隨著角速度增大，b先達到最大靜摩擦力，當b達到最大靜摩擦力f0時繩子開始出現(xiàn)拉力，此時對于a、b有fa－T＝mraω2，f0＋T＝mrbω2，聯(lián)立可得fa＝m（ra＋rb）ω2－f0，由上述分析可知，細線拉力出現(xiàn)之前fa－ω2圖像的斜率為mra，細線拉力出現(xiàn)之后圖線的斜率為m（ra＋rb），所以細線有拉力時圖線斜率變大。故選D。輕“繩”模型輕“桿”模型情境圖示??彈力特征彈力可能向下，也可能等于零彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖??力學方程考點三

豎直面內(nèi)的圓周運動

[方法模型類]輕“繩”模型輕“桿”模型臨界特征v＝0，即Fn＝0，此時FN＝mg模型關鍵（1）“桿”對小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力。（2）小球通過最高點的速度最小可以為0【典例3】

如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力。忽略空氣阻力，則球B在最高點時（

）A.球B的速度為零C.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg

答案

C?1.[輕“桿”模型]一長為l的輕桿的一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做角速度為ω的勻速圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是（

）A.在最高點桿給小球有豎直向下的拉力B.在最低點桿給小球可以是有豎直向下的彈力C.在B點桿給小球的拉力F＝mω2l

2.[輕“繩”模型]如圖甲所示，一長為l的輕繩，一端固定在過O點的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量未知、可視為質(zhì)點的小球，整個裝置繞O點在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。小球通過最高點時，繩對小球的拉力F大小與其速度平方v2的關系如圖乙所示，重力加速度為g，下列判斷正確的是（

）C.繩長不變，用質(zhì)量較小的球做實驗，得到的圖線斜率更大D.繩長不變，用質(zhì)量較小的球做實驗，圖線b點的位置變化

3.[“雙繩”模型]如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根輕繩的拉力大小為（

）C.3mg

Part03聚焦“素養(yǎng)”·引思維?“形同質(zhì)異”慎解題─斜面上圓周運動的臨界問題在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、繩控制、桿控制，物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同。下面列舉三類實例。類型一

斜面上靜摩擦力控制下的圓周運動【典例1】

如圖所示，有一傾斜的勻質(zhì)圓盤（半徑足夠大），盤面與水平面的夾角為θ，繞過圓心并垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，有一物體（可視為質(zhì)點）與盤面間的動摩擦因數(shù)為μ（設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），重力加速度為g。要使物體能與圓盤始終保持相對靜止，則物體與轉(zhuǎn)軸間最大距離為（

）

答案

C類型二

斜面上輕桿控制下的圓周運動【典例2】

如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的輕桿，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做圓周運動。g取10m/s2。若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B的最小速度是（

）A.4m/s

答案

A類型三

斜面上輕繩控制下的圓周運動【典例3】

如圖所示，一傾角為θ＝30°的斜劈靜置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一輕繩的一端固定在斜面上的O點，另一端系一小球。在圖示位置垂直于繩給小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圓周運動。已知O點到小球球心的距離為l，重力加速度為g，整個過程中斜劈靜止，下列說法正確的是（

）C.小球運動過程中，地面對斜劈的摩擦力大小不變D.小球運動過程中，地面對斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和

小球在斜面上受重力、支持力和繩的拉力作用做變速圓周運動，其所受重力與斜面的支持力大小和方向均保持不變，繩的拉力大小和方向均不斷變化，根據(jù)牛頓第三定律，以斜劈為研究對象，斜劈在小球恒定的壓力、繩沿斜面方向不斷變化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡，繩的拉力沿斜面方向不斷變化，故其在水平和豎直方向上的分量也在不斷變化，根據(jù)斜劈的平衡條件可知，它受到的水平方向上的摩擦力大小是變化的，地面對斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和，選項C、D錯誤。答案

BPart04鎖定“目標”·提素能?1.“旋轉(zhuǎn)紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)會交替出現(xiàn)。拉動多次后，紐扣繞其中心的轉(zhuǎn)速可達50r/s，此時紐扣上距離中心1cm處的點向心加速度大小約為（

）A.10m/s2B.100m/s2C.1000m/s2D.10000m/s2解析：C

紐扣在轉(zhuǎn)動過程中ω＝2πn＝100π

rad/s，則向心加速度a＝ω2r≈1

000

m/s2，故選C。2.陀螺是人們小時候特別喜歡玩的玩具，在公園里也經(jīng)?？梢姾芏嗬洗鬆斖ㄟ^玩陀螺來健身。如圖所示，陀螺上a、b、c三點釘了三顆質(zhì)量均為m＝0.01kg的小釘子，其中釘子c距離中心的距離為R＝5cm，則當陀螺以角速度ω＝10rad/s旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)軸在豎直方向，重力加速度g取10m/s2，下列說法正確的是（

）A.三顆釘子的向心加速度aa＞ab＞acB.三顆釘子的線速度va＞vb

＞vcD.釘子c受到陀螺對它的作用力為5×10－2N

3.（2023·泰州中學檢測）單板滑雪是2022年北京冬奧會的比賽項目之一。如圖所示，單板滑雪U形池場地可簡化為固定在豎直面內(nèi)的半圓形軌道場地，雪面不同曲面處的動摩擦因數(shù)不同。因摩擦作用，

滑雪運動員從半圓形場地的坡頂下滑到坡底的過程中速率不變，則（

）A.運動員下滑的過程中加速度不變B.運動員下滑的過程所受摩擦力先增大后減小C.運動員下滑過程中與雪面的動摩擦因數(shù)變小D.運動員滑到最低點時對軌道的壓力等于物體的重力

4.質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道的內(nèi)側(cè)運動，如圖所示，經(jīng)過最高點而不脫離軌道的速度臨界值是v，當小球以2v的速度經(jīng)過最高點時，對軌道的壓力值是（

）A.0B.mgC.3mgD.5mg

5.如圖所示，甲、乙為兩輛完全一樣的電動玩具汽車，以相同且不變的角速度在水平地面上做勻速圓周運動。甲運動的半徑小于乙運動的半徑，下列說法正確的是（

）A.甲的線速度大于乙的線速度B.甲、乙兩輛車的摩擦力相同C.若角速度增大，乙先發(fā)生側(cè)滑D.甲的加速度大于乙的加速度

6.如圖所示，一可視為光滑的玻璃球，設其可在碗內(nèi)不同的水平面上做勻速圓周運動，下列說法不正確的是（

）A.玻璃球越靠近碗口其對碗的壓力越大B.玻璃球越靠近碗口其向心加速度越小C.玻璃球越靠近碗口其線速度一定越大D.玻璃球的重力與碗內(nèi)壁對它的彈力的合力提供玻璃球做圓周運動所需的向心力

7.（2023·江蘇揚州模擬預測）氣嘴燈安裝在自行車的氣嘴上，騎行時會發(fā)光，一種氣嘴燈的感應裝置結(jié)構(gòu)如圖所示，一重物套在光滑桿上，重物上的觸點M與固定在B端的觸點N接觸后，LED燈就會發(fā)光。下列說法正確的是（

）A.感應裝置的原理是利用離心現(xiàn)象B.安裝氣嘴燈時，應使感應裝置A端比B端更靠近氣嘴C.要在較低的轉(zhuǎn)速時發(fā)光，可以減小重物質(zhì)量D.車速從零緩慢增加，氣嘴燈轉(zhuǎn)至最高點時先亮解析：A

感應裝置的原理是利用離心現(xiàn)象，使兩觸點接觸而點亮LED燈，故A正確；由離心運動原理可知，B端在外側(cè)，所以B端比A端更靠近氣嘴，故B錯誤；轉(zhuǎn)速較小時，向心力較小，則可以增加重物質(zhì)量、減小彈簧勁度系數(shù)或增大轉(zhuǎn)動半徑來增大彈力，從而使N點更容易與M點接觸來發(fā)光，故C錯誤；當車速緩慢增加時，氣嘴燈轉(zhuǎn)至最高點時，彈力最小，在最低點彈力最大，所以應在最低點先亮，故D錯誤。8.如圖甲所示，輕桿的一端固定一小球（可視為質(zhì)點），另一端套在光滑的水平軸O上，O軸的正上方有一速度傳感器，可以測量小球通過最高點時的速度大小v；O軸處有一力傳感器，可以測量小球通過最高點時O軸受到的桿的作用力F，若取豎直向下為F的正方向，在最低點時給小球不同的初速度，得到的F－v2（v為小球在最高點處的速度）圖像如圖乙所示，取g＝10m/s2，則（

）A.O軸到小球的距離為0.5mB.小球的質(zhì)量為3kgC.小球恰好通過最高點時的速度大小為5m/s

?9.（2023·江蘇泰州模擬）關于如圖所示的四種圓周運動模型，下列說法正確的是（

）A.如圖（a）所示，汽車安全通過拱橋最