2023-2024學年黑龍江省哈爾濱四中高二（上）第一次月考數學試卷（含解析）

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱四中高二（上）第一次月考數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復數z在復平面內對應的點為（0,1）,則?=（）

A.1+iB.1-iC.—1+iD.-l-i

2.已知A4BC的面積為。且b=2,c=V~~3,則4=()

A.30°B.60°C.150°D.120°或60°

3.已知源=石,BA=c，則就=（)

A.+B.b+cC.b-cD.c-b

4.如圖，在4048中，P為線段48上的一點，且雨=4瓦若加=xOA+

yOB,則（）

A31

A.%=",y=-

4J4

5.半徑為R的球內接一個正方體，則該正方體的體積是（）

A.2yJ~2R3B.3R3C.早R3D.1AT3/?3

?5yv

6.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，根據四名同學的統計結果，可以判斷出一定沒有

出現點數6的是（）

A.平均數為3,中位數為2B.中位數為3,眾數為2

C.平均數為2,方差為2.4D.中位數為3,方差為2.8

7.已知△ABC的外接圓圓心0,且2股=萬+而，|就|=|荏|，則向量瓦?在向量近上的投影向量為（）

A.ifiCB.^-BCC.-^BCD.-^-BC

4444

8.如圖，在山腳力測得山頂P的仰角為a,沿傾斜角為/7的斜坡向上走a米到B,在B處測得山頂P的仰角為y,

則山高九=（）

acosasin(y-a)asinasin(y-a)

*sin(y-B)?sin(y-/?)

acosasin(y-^')asinasin(y-p)

'sin(y—a)?sin(y-a)

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知復數z滿足（l-i）z=2i,下列關于復數z的結論中正確的有（）

A.|z|=<2B.復數z的共軌復數為￡=1+i

C.復平面內表示復數z的點位于第二象限D.復數z是方程/+2x+2=0的一個根

10.已知直線m、n,平面a、￡,給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若zn_La,n10,且zn_Ln,則a_L夕

B.若m〃a,aPI/?=n,則m〃n

C.若m_La,n//p,且mJ.n,則a_L/?

D.若m1a,n//P，且粗〃?1,則a1B

11.若平面向量落b，［兩兩的夾角相等，且|磯=1,|瓦=1，?=3,則|五+方+方=（）

A.yl~2B.2C.V-5D.5

12.如圖，在四棱錐P—ABC。中，四邊形48CD是邊長為2的正方形，ACp

與BD交于點。，PAl^ABCD,且P4=2,則以下說法正確的是（

A.BD平面P4C

B.PD與平面P4C所成角為30。

C.CC〃面PAB

D.點。到面24C的距離為2

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知直線的傾斜角為30。，則直線的斜率為.

14.4,4,6,7,7,8,9,9,10,10的上四分位數為

15.正方形ZBCD的邊長為a,E是的中點，尸是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M,則乙EMF

的余弦值.

16.過zkABC所在平面a外一點P作P。_La,垂足為。，連接P4,PB,PC

(1)若P4=PB=PC,則點0是4ABC的心；

(2)若PA1PB,PB1PC,PC1PA,貝IJ點0是4ABC的心.

四、解答題(本大題共4小題，共40.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知同=3,|力=4,且五與石的夾角8=120。,

(1)求五??，|五+??；

(2)若2+4石與Z垂直，求4的值.

18.(本小題10.0分)

從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發(fā)現他們的用電量都在50?350k勿?%之間，進行適當分

組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

(1)求直方圖中x的值；

(2)在被調查的用戶中，求用電量落在區(qū)間［100,250)內的戶數；

(3)根據頻率分布直方圖，估計該小區(qū)月用電量的平均數(同一組中的數據以該組區(qū)間的中點值作代表).

19.(本小題10.0分)

已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊，acosC+\/~3asinC—b—c=0

⑴求4

(2)若a=2,△4BC的面積為門；求b,c.

20.(本小題10.0分)

四棱錐P-/BCD中，PAI平面ABCD,四邊形4BCD為菱形，乙4DC=60。，PA=AD2,E為4D的中點,

產為PC中點.

(1)求證：EF〃平面PAB；

(2)求二面角4-PD-C的正弦值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：復數z在復平面內對應的點為(0,1),則?=牛=3=1

故選：B.

直接利用復數的運算法則化簡求解即可.

本題考查復數的運算法則的應用，是基本知識的考查.

2.【答案】D

【解析】解：因為S=；bcs譏4=|,則有：x2xV?si?i4=|,所以sin4=?，

因為0。<4<180。，所以4=60。或120。.

故選：D.

由三角形的面積公式求出sinA=?即得解.

本題主要考查三角形的面積公式，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：BC^BA+AC=BA-CA=c-b.

故選：D.

根據向量加法的幾何意義和相反向量的定義即可用M才表示出記.

本題考查了向量加法的幾何意義，相反向量的定義，考查了計算能力，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：由而=4遍可得加河

所以加=而+前=礪+3或

=OB+^(OA-OB)=^OA+^OB,

31

???%=不y=4-

故選：A.

由已知，點P是線段B4的一個四等分點，得出前與瓦?的關系，再由向量的線性運算即可求得x,y的值.

本題考查平面向量基本定理，屬基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：,??半徑為R的球內接一個正方體，設正方體棱長為a,

正方體的對角線過球心，可得正方體對角線長為：Ca=2R,

可得a=篝，

正方體的體積為=(存)3=

故選：D.

根據半徑為R的球內接一個正方體，根據正方體的對角線過原點，可以求出正方體的棱長，從而根據體積公

式求解

此題主要考查圓的性質和正方體的體積公式，考查學生的計算能力，是一道基礎題，難度不大.

6.【答案】C

【解析】解：對于4當投擲骰子出現結果為1,1,2,5,6時，滿足平均數為3,中位數為2,可以出現點

數6,故A錯誤；

對于B,當投擲骰子出現結果為2,2,3,4,6時，滿足中位數為3,眾數為2,可以出現點數6,故8錯誤；

對于C,若平均數為2,且出現6點，則方差S2>"(6—2)2=3.2>2.4,

???平均數為2,方差為2.4時，一定沒有出現點數6,故C正確；

對于D,當投擲骰子出現結果為1,2,3,3,6時，滿足中位數為3,

—1

平均數為：%=1(1+2+3+3+6)=3

方差為S2=9(1-37+(2-37+(3—3>+(3-3)2+(6—3溝=2.8,可以出現點數6,故。錯誤.

故選：C.

根據題意舉出反例，即可得出正確選項.

本題考查命題真假的判斷，考查平均數、中位數、眾數、方差等基礎知識，考查運算求解能力，考查數學

運算核心素養(yǎng).

7.【答案】A

【解析】解：根據題意，△ABC中，2而=而+左，則。是的中點,

又由。是BC的中點，則BC為圓。的直徑，則旬同|=|而|=|而

又由|刀|=|荏|，則△4B。為等邊三角形，N4B0=*

則向量瓦?在向量近上的投影向量為|BA|cos2x喘蘇=^BC.

故選：A.

根據題意，分析可得。是BC的中點，進而可得BC為圓。的直徑，由此可得AAB。為等邊三角形，由投影向

量的定義分析可得答案.

本題考查投影向量，涉及向量數量積的性質以及應用，屬于基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：在△尸48中，^PAB=a-p,^BPA=(^-a)-(^-Y)=Y-a,

由正弦定理得卷=而勒，可得PB=黑蜀，

所以PQ=PC+CQ=PB-siny+asinp="黑篝產

故選：D.

在A/MB中，根據正弦定理求得PB=黑鬻，結合PQ=PC+CQ,即可求解.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：因為(l-i)z=2i,

所以|z|=J(—1)2+12=>J~2,故A正確；

z=—1—3故8錯誤；

復平面內表示復數z的點的坐標為(-1,1),位于第二象限，故C正確；

因為(-1+i)2+2(-1+i)+2=—2i-2+2i+2=0,所以復數z是方程/+2x+2=0的一個根，故D

正確.

故選：ACD.

根據復數除法計算法則求出復數，根據復數的模、共扼復數的概念、復數的幾何意義、復數乘法運算的知

識判斷選項從而得出答案.

本題主要考查了復數的四則運算及復數幾何意義的應用，屬于基礎題.

10.【答案】AD

【解析】解：對于4項，m1a,m_Ln,n〃a或nua,又n10,二a_L。，故A正確;

對于B項，如圖所示，在正方體4“中，FH=m,面ABCO=a,面BG/G=￡,

aC\p=BC,而FH與BC不平行，故8錯誤；

對于C項，如圖所示，在正方體4〃中，GB=m,面4BC。=a,AB=n,面FEHG=0,

符合條件，而a〃口，不垂直，故C錯誤；

對于。項，rmla,m//n,■.n1a,又n]",：.aLB，故。正確.

故選：AD.

根據線面位置關系的性質定理與判定定理一一判定即可.

本題考查線面位置關系的性質定理與判定定理等基礎知識，考查推理論證能力，屬于中檔題.

11.【答案】BD

2

【解析】解：?五+石+司=J(3+K+?)2=J+b+2a-b+2a-c+2b-c'

因為平面向量以b，兩兩的夾角相等，

所以夾角有兩種情況，

當夾角為0°時，|五+3+司=5;

當夾角為120。時,\a+b+c\=2.

故選：BD.

根據題意平面向量出3,乙兩兩的夾角相等，可知他們的夾角為0°或120。，再根據模長公式即可得出答案.

本題考查平面向量的數量積與向量的模，考查學生的分類討論能力與運算能力，屬于基礎題.

12.【答案】ABC

【解析】解：?.?四邊形4BCD是邊長為2的正方形，??.C1BD,

又PAJ■面4BCD,BDCL^ABCD,-.PAA.BD,

■■PAr\AC=A,BD1]&PAC,故A正確；

p

連接P。，由4可知，PC與平面P4C所成角為NOPD,

由己知條件可得4C=BD=2，々P。=y/~6,OD=M，

tan/OP。=登=9,得乙OPD=30°,故B正確；

由已知得CD〃4B,又4Bu面PAB,CDC面PAB,得CD〃面PAB,故C正確；

由4可知點D到面P4C的距離為OD,而?！?gt;=，T,故D錯誤.

故選：ABC.

利用直線與平面垂直的判定判斷出利用線面角定義判斷8,利用直線與平面平行的判定判斷C；求出點到

平面的距離判斷D.

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題.

13.【答案】?

【解析】解：因為直線的傾斜角為30。，所以直線的斜率上=1皿30。=?.

故答案為：

根據直線的傾斜角與斜率關系計算即可.

本題考查直線的斜率與傾斜角的關系的應用，屬于基礎題.

14.【答案】9

【解析】解：4,4,6,7,7,8,9,9,10,10共有10個數字，

則10*75%=7.5,即該組數據的上四分位數為第8個數，

故該組數據的上四分位數為9.

故答案為：9.

根據已知條件，結合百分位數的定義，即可求解.

本題主要考查百分位數的求解，屬于基礎題.

15.【答案】Q

10

【解析】解：建立如圖平面直角坐標系,

而=（W）,DE=^,-d）,

AF^DE

???COSZFMF=EiEi=

/FH函一元,

故答案為：

根據條件建立坐標系，求出點的坐標，利用向量數量積的坐標運算進行求解即可.

本題考查了向量的坐標運算，屬于基礎題.

16.【答案】外垂

【解析】解：(1)若P4=PB=PC,

???P01a,垂足。，

Rt△PAO=Rt△PBO三Rt△PBO

可得4。=B0=CO,得點。是AABC的外心

(2)若P41PB,PC1PA,PC1PA,

?:PB、PC是平面PBC內的相交直線

PAJ■平面PBC,可得24IBC

???4。是PA在平面ABC內的射影，

???AO1BC,同理可得B。LAC.CO1AB

因此，點0是△ABC的垂心

故答案為：外、垂

(1)根據線面垂直的性質，可得若P4=PB=PC,可得4。=B0=CO,貝I］點。是△4BC的外心;

(2)由線面垂直的判定定理，得PA1PB,PC1PAW\PA_L平面PBC,得PA1BC.結合三垂線定理，得到4。1

BC.同理可得BO14C、COLAB,由此可得點。是△ABC的垂心.

本題給出三棱錐P-4BC滿足的條件，求點。與三角形4BC的關系，著重考查了線面垂直的判定與性質和三

角形的五心等知識，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由條件可得：a-K=|a|-|K|-cos0=3x4x(-i)=-6,

\a+b\=J(五+1)2=ja2+b2+2a-b=V9+16-12=

(2)因為日+海與五垂直，

所以(蒼+，方)?方=片+4方小=9-64=0=A=參

【解析】(1)利用平面向量的數量積公式及模的關系計算即可；

⑵根據平面向量垂直性質計算即可.

本題考查平面向量的數量積和模的計算，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖得：(0.0024x2+0.0036+x+0.0060+0.0012)x50=l=x=

0.0044；

⑵由圖可知用電量落在區(qū)間［100,250)內的頻率為：(0.0036+0.0060+0.0044)X50=0.70,

故戶數為0.70X100=70；

(3)由圖可知用戶用電量的平均數約為：(0.0024x75+0.0036x125+0.0060x175)X50+(0.0044X

225+0.0024X275+0.0012X325)x50=186.

【解析】(1)根據頻率分布直方圖的小矩形面積之和為1,計算即可；

(2)根據頻率分布直方圖直接計算即可；

(3)根據頻率分布直方圖計算平均數的公式計算即可.

本題考查頻率、頻數的求法，考查頻率分布直方圖的性質，平均數的求法等基礎知識，考查運算求解能力,

是基礎題.

19.【答案】解：(1)由正弦定理得：acosC+\T~3asinC—6—c=0,

^PsinAcosC+y/~^3sinAsinC=sinB+sinC

??.sinAcosC+y/~3sinAsinC=sin(4+C)+sinC,

即—cosA=1

1

???sin(4-30°)=右

???A-30°=30°

???A=60°；

(2)若a=2,△ABC的面積=1bcsinA——^bc—，弓，

??.be=4.①

再利用余弦定理可得:a2=b2+c2-2bc-cos/1

=(b+c)2—2bc—be=(b+c)2—3x4=4,

??.匕+c=4.②

結合①②求得b=c=2.

【解析】（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到sin（A-30°）=