數(shù)學學習的心理過程

關(guān)于數(shù)學學習的心理過程一、數(shù)學學習理論的心理學基礎(chǔ)幾個基本內(nèi)容基于行為主義的學習觀基于認知主義的學習觀基于人本主義的學習觀基于建構(gòu)主義的學習觀第2頁,共136頁，2024年2月25日，星期天1、基于行為主義的學習觀行為主義心理學起源于20世紀初，代表人物有：桑代克、華生、赫爾、斯金納、布魯姆第3頁,共136頁，2024年2月25日，星期天基本學習觀：

（1）行為主義把數(shù)學學習看成是“刺激—反應”的聯(lián)結(jié)

（2）行為主義把數(shù)學學習看成是試誤的過程

（3）行為主義認為數(shù)學學習是在機械練習中形成習慣

（4）斯金納強調(diào)“強化”在學習中的作用

第4頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對行為主義學習理論的反思：

對于一些簡單材料的學習，或?qū)τ趶碗s學習的開始階段，可以用刺激反應的聯(lián)結(jié)作出解釋，但是，當學習材料復雜程度增加而不要高級智力參與時，聯(lián)結(jié)主義理解就很難自圓其說。

（1）數(shù)學學習不是“刺激—反應”的簡單連接

例如：有理數(shù)的運算，代數(shù)式的運算，解一元一次方程組等。第5頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）數(shù)學知識的學習不能理解為建立在大量的機械練習上第6頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、基于認知主義的數(shù)學學習觀與行為主義注重學習者的外顯行為相反，認知主義注重學習著的心理變化。揭示了學習者認知過程的內(nèi)部心理機制。代表人物：皮亞杰，維果茨基，布魯納，奧蘇泊爾。第7頁,共136頁，2024年2月25日，星期天基本觀點：（1）數(shù)學學習是個體的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)不斷得到發(fā)生、變化和發(fā)展的過程第8頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）加涅的信息加工論接受加工貯存提取第9頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）皮亞杰的兒童認識發(fā)展皮亞杰是瑞士著名的心理學家，認為兒童的認知機構(gòu)上的差異與年齡有關(guān)，并將其劃分為：

感覺運動階段、前運演階段、具體運演階段、形式運演階段。第10頁,共136頁，2024年2月25日，星期天感覺運動階段（0—2歲）：用身體的本能的反射來學習和認識世界。第11頁,共136頁，2024年2月25日，星期天前運演階段（2—7歲）：這一階段的兒童，思維處于邏輯結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)的萌芽狀態(tài)。對相關(guān)概念、符號等的理解，需要形象、具體的事物的幫助。（Ⅰ）前運演階段的兒童對概念的理解停留在對“指代物”的依賴上，還不能獨立理解概念或命題的抽象表征。第12頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：對數(shù)字“3”的認識，總是與某指代物相聯(lián)系，以“3個蘋果”、“3棵樹”等之類的實物作為中介，去理解認識“3”是所有由3個元素構(gòu)建的集合的共同本質(zhì)。這個階段的兒童，對概念或命題的學習還停留在對“指代物”的依賴上，還不能獨立的理解其抽象的表征。例如：“3+2=？”必須要同諸如“樹上原有3只鳥，又飛來2只鳥“之類的事物聯(lián)系在一起。第13頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）原始狀態(tài)的推理開始提出“為什么”的問題，但是沒有建立起邏輯上的因果關(guān)系。思維不可逆例如：能計算3+2=5.但是不能由此推導出5-2=3思維具有間接性和跳躍性不是一種直接的邏輯關(guān)系例如：A>B,B>c,則A>C。這一階段的兒童能立即這種“傳遞性”第14頁,共136頁，2024年2月25日，星期天具體運演階段（Ⅰ）概念性思維的形成不再完全依賴實物的表象認識概念，但是“具體事物”仍然是學習過程中的輔助，不能完全脫離。（Ⅱ）思維具有可逆性（Ⅲ）能進行初步的演繹推理第15頁,共136頁，2024年2月25日，星期天形式運演階段：此階段，思維逐步脫離具體對象朝著抽象水平進行思維活動，形式化推理逐步形成。例如：函數(shù)單調(diào)性的證明第16頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對認知主義學習觀的反思：人的思維還不能完全用計算機模擬認知心理學不關(guān)注人的非認知因素第17頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、基于人本主義的數(shù)學學習觀人本主義認為，有意義的數(shù)學學習并非只涉及記憶和思維的純粹認知上的學習。而是一種與人的生活及實踐活動息息相關(guān)的人格化的、內(nèi)在的學習。人的認知與情行為和個性等方面均融于其中，產(chǎn)生整合效應，從而導致人的整體的改變。代表人物：馬斯洛、羅杰斯第18頁,共136頁，2024年2月25日，星期天基本觀點（1）行為主義把學習解釋為由外部刺激引起個體的行為改變忽視人的主觀能動性；認知主義把學習解釋為信息加工的過程，強調(diào)個體知識系統(tǒng)的建立、豐富和發(fā)展，忽視非認知因素在學習中的作用。人本主義強調(diào)“情、意、志”在學習中的作用（2）重視個體的經(jīng)驗。經(jīng)驗是人類認識與變化的基礎(chǔ)，學習活動一旦與人的生活經(jīng)驗相聯(lián)系，成效顯著。第19頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）羅杰斯的基本理念（Ⅰ）意義學習的四要素學習具有個人參與的性質(zhì)，即整個人（包括情感和認知）都投入學習活動中；學習是自發(fā)的；學習是滲透性的，會使學生的行為、態(tài)度乃至個性都產(chǎn)生變化；學習由學生自我評價。第20頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）以自由為基礎(chǔ)的學習原則人皆有天賦的學習潛力；教材有意義且符合學生目的才會產(chǎn)生學習；（教材有意義指學習者對教材的知覺和看法，能滿足學生的好奇心，能提高他們的自尊感，符合他們的生活經(jīng)驗，這樣的教材才是有意義的。在較少威脅的教育情境下才能有效學習；自發(fā)地全身心投入的學習才會產(chǎn)生良好效果；自評學習結(jié)果可以養(yǎng)成學生獨立思維能力和創(chuàng)造里；重視知識之外的生活能力以適應社會的發(fā)展。第21頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（4）我國于2001年，教育部頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》。課程總體目標中的子目標“情感與態(tài)度”方面的具體要求為：能積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲；在數(shù)學學習中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的一直，建立自信心；初步認識數(shù)學活動中充滿的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結(jié)論的確定性；形成事實求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣。第22頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對人本主義的反思：從嚴格意義上，人本主義心理學并沒有建立一套完整的學習理論。但是，從行為控制到認知加工，再到人本主義走向人格建構(gòu)，無疑豐富了學習的理論內(nèi)涵，使人們對學習的本質(zhì)有了多層次的理解和多視角的認識。但也存在一定的不足之處：（Ⅰ）教育目標的含糊性情感態(tài)度方面的教學目標的界定比較困難，人本主義心理學家在揭示一些心理現(xiàn)象時，常用一些易造成一定程度上的誤解和難以做出評價。比如“真誠感”。第23頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

（Ⅱ）數(shù)學學習不能脫離數(shù)學學科自身的邏輯性人本主義并不主張教學內(nèi)容的系統(tǒng)性，認為教學內(nèi)容的選取與編排應合乎兒童的興趣和要求。比如，羅杰斯認為：呈現(xiàn)教材并不重要，重要的是引導學生從教材中獲取個人意義。第24頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅲ）數(shù)學學習離不開教師的主導

羅杰斯認為：教師應幫助引出并且弄清學生希望做的事情；幫助學生組織已認可的經(jīng)驗，提供廣泛的學習活動與學習材料；教師作為一種靈活的資源為學生服務；建立融洽的課堂氣氛；作為學習參與著參加學生的學習活動；主動與小組成員分享感情和思想；認知并承認自己的缺點。第25頁,共136頁，2024年2月25日，星期天從上述原則，可以看出人本主義對建立師生的平等關(guān)系，促進師生和諧與融洽，建立良好的教學氛圍等，起到了積極的作用。但是這種平等的交流很難把控，會導致教師的導學作用散失，學生放任自流。第26頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學學科的抽象性決定數(shù)學學習不能只是依賴與學生的“內(nèi)發(fā)”，教師的“外鑠”也是必要的。數(shù)學——由成人建構(gòu)的抽象理論要靠兒童自己去發(fā)現(xiàn)學習、自發(fā)學習、自我建構(gòu)是不現(xiàn)實的。美國教育家——杜威的“做中學”第27頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二、數(shù)學知識的分類和表征1、數(shù)學知識的分類數(shù)學知識分為：陳述性知識、程序性知識、過程性知識（1）陳述性知識是關(guān)于事實的知識，是人們所知道的有關(guān)事物狀況的知識。數(shù)學教材中的概念、命題均可視為陳述性知識。第28頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）程序性知識

是關(guān)于人們怎樣做事的知識，由完成一件事所規(guī)定的程序步驟以及策略組成的知識。第29頁,共136頁，2024年2月25日，星期天按照上述定義，程序性知識本質(zhì)上表現(xiàn)為一種技能，又渴分為兩個亞類：一類是通過練習，其運用能達到相對自動化，很少或者不需意識控制的知識，稱之為，智慧技能。另一類是受意識控制的，其運用難以達到自動化的程度，稱之為認知策略。第30頁,共136頁，2024年2月25日，星期天受意識控制的程序性知識智慧技能自動化的程序性知識簡單操作性技能復雜操作性技能認知策略第31頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）過程性知識是伴隨數(shù)學活動過程的體驗性知識第32頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、知識的表征

知識的表征指人在自己的工作記憶和長時記憶中對信息的貯存、表示和再現(xiàn)方式。第33頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（1）陳述性知識的表征陳述性知識的表征表象表征命題網(wǎng)絡表征層次網(wǎng)絡模型激活擴散模型第34頁,共136頁，2024年2月25日，星期天層次網(wǎng)絡模型：指人們在表征事物時，按概念的從屬關(guān)系相應地實行分級貯存，在每一級概念的水平上，只貯存該級概念獨有的特征，而同一級的各概念所具有的共同特征則貯存在上一級概念水平上。第35頁,共136頁，2024年2月25日，星期天三角形有三條邊內(nèi)角和1800任意兩邊之和大于第三邊等腰三角形等邊三角形直角三角形勾股定理斜邊中線長等于斜邊的一半底角相等三線合一各個內(nèi)角相等外心與內(nèi)心重合第36頁,共136頁，2024年2月25日，星期天層次網(wǎng)絡模型體現(xiàn)了概念、命題之間的縱向聯(lián)系，忽視了各層次概念間和同一層次概念間的橫向聯(lián)系。第37頁,共136頁，2024年2月25日，星期天激活擴散模型：與層次網(wǎng)絡模型不同，激活擴散模型放棄了概念的層次結(jié)構(gòu)，而以語義聯(lián)系或語義相似性將概念組織起來，不僅說明概念間的縱向聯(lián)系，而且還刻畫了概念間的橫向聯(lián)系，因此，激活擴散模型對陳述性知識的表征更加合理。第38頁,共136頁，2024年2月25日，星期天表象表征：指人們借助于對事物知覺的表象去記憶或貯存陳述性知識的方式。人在知覺事物時會在頭腦中形成該事物的形象，而在記憶該事物時，往往以表象的形式呈現(xiàn)出來。在數(shù)學學習中，由于數(shù)與形有對應關(guān)系，因而在表征數(shù)學對象時往往借助于表象。第39頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：正弦函數(shù)個體頭腦中首先會呈現(xiàn)出它們的圖像，而不是它們的代數(shù)意義。表象表征是數(shù)學學習中對陳述性知識表征的一種重要形式。第40頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：直角三角形，等腰三角形等是以圖形表象的形式貯存在學習者的知識系統(tǒng)中第41頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學概念的表象不僅是對事物在知覺基礎(chǔ)上所形成的感性形象，而更多的情形是一種“想象表象”或“實例表象”，即個人通過自己的想象去構(gòu)造一種可以表述對象的模型。例如：對于集合語言“A是B的真子集”，可以想象成“圓A位于圓B中。第42頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：三角公式：1sinxcosxtanxsecxcscxcotx第43頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：一元二次方程：第44頁,共136頁，2024年2月25日，星期天【注】陳述性知識的表象表征，有助于學生理解知識，有助于學習者減輕記憶負擔。但也會造成一種思維定勢或者以特殊代替一般的錯誤認知。第45頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）程序性知識的表征程序性知識是以“產(chǎn)生式”這種動態(tài)形式來表征。產(chǎn)生式：是一條“如果.....那么.....”的規(guī)則，即一個產(chǎn)生式是對某一或某些特定的條件滿足時，才發(fā)生某種行為所編的程序。事實上，程序性知識的表征，是“如果....那么....”一系列重疊產(chǎn)生式組成一個產(chǎn)生式系統(tǒng)。第46頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：一元二次方程的判定如果：目標是考查判定對象是否是一元二次方程那么：提取已建構(gòu)的標準式且找出判定對象與標準的異同，得出結(jié)論第47頁,共136頁，2024年2月25日，星期天【注】陳述性知識與程序性知識的異同由定義可以看出兩類知識沒有嚴格的分解，把一個概念或一個規(guī)則作為一種事實靜態(tài)看待，它是陳述性知識，如果應用這個概念或法則解決問題，那么，它是一種程序性知識。陳述性知識是程序性知識的基礎(chǔ)，程序性知識由陳述性知識轉(zhuǎn)化而來。第48頁,共136頁，2024年2月25日，星期天差異：兩種知識的表征形式不同兩種知識獲得的速度不同陳述性知識獲得的速度比程序性知識快。例如，多位數(shù)加、減、乘、除這類運算是不可能只嘗試解決一兩個問題便能獲得，要真正使某一復雜的認知技能自動化，可能需要付出上萬次的努力與練習。第49頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對兩種知識作出改變的難以程度不同由于陳述性知識的基本單位所付出的的代價相對低，即可以較快地獲得，因而對這些基本單位做修正也是相對容易。當然，其中一些定了型的圖式要改變是比較困難的。同陳述性知識相比程序性知識僅在早期的獲得容易改變，一旦它們在人的記憶中變好了程序，且達到自動化的程度后，再要對其作出改變就相當困難。第50頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)定義：數(shù)學知識結(jié)構(gòu)：是數(shù)學課程與教材的知識體系，是由數(shù)學概念、公理、定理和方法形成的知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學認識結(jié)構(gòu)：是存在于學生頭腦里的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與認識結(jié)構(gòu)有機結(jié)合而形成的心理結(jié)構(gòu)。第51頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二者的異同：聯(lián)系：學生的認知機構(gòu)是由數(shù)學科學中的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來，而數(shù)學認識結(jié)構(gòu)是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)賴以形成的基礎(chǔ)和依據(jù)。第52頁,共136頁，2024年2月25日，星期天區(qū)別：（1）內(nèi)涵不同數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是反映人類對數(shù)量關(guān)系和空間形式的認識工具。數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是經(jīng)過學生主觀改造的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，具有數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的客觀性和個體建構(gòu)的主觀性。第53頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）結(jié)構(gòu)的構(gòu)造不同作為課程內(nèi)容的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是一個相對嚴密的邏輯體系，其內(nèi)容前后連貫有序，相對完善，具有數(shù)學科學的結(jié)構(gòu)特征。而學生頭腦里的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)往往出現(xiàn)殘缺不全、曲解等現(xiàn)象，可能淡化了邏輯順序和層次性，不同內(nèi)容之間呈現(xiàn)融合趨勢。第54頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）完備性不同數(shù)學知識結(jié)構(gòu)在內(nèi)容上都是相對系統(tǒng)的。完備的無缺口的，結(jié)構(gòu)本身涵蓋了它的全部內(nèi)容。而數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學習者在數(shù)學知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的主觀建構(gòu)?？赡軙霈F(xiàn)各種各樣的錯誤，主要因為學習者本身在接受、理解上的失誤和學習后的遺忘等原因，在內(nèi)容上常常是有缺口的、不完備的。第55頁,共136頁，2024年2月25日，星期天刻畫數(shù)學認知結(jié)構(gòu)優(yōu)良程度的參數(shù)：可利用性指原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念是否可以用來與新觀念建立聯(lián)系。為新概念提供生長的固著點。固著點能有利于學生新概念的理解。固著點可以是一些顯性的概念、命題也可以是相關(guān)的數(shù)學思想方法或思維、方式?？梢岳玫闹R，觀念缺乏，造成認知的障礙。第56頁,共136頁，2024年2月25日，星期天可辨別性：指原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的觀念和新觀念之間是否可以清晰地辨別。穩(wěn)定性：指數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中起固著點作用的觀念是否穩(wěn)定、清晰。這將影響到能否為新的學習提供強有力的固著點，而且還影響到新舊知識之間的可辨別性。第57頁,共136頁，2024年2月25日，星期天良好數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的特征：足夠多的觀念是問題解決的必要條件具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式層次分明的觀念網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)一定的問題解決策略的觀念第58頁,共136頁，2024年2月25日，星期天三、數(shù)學知識的學習方式1、認知學習過程分析認知順應新的認知結(jié)構(gòu)量的變化原有認知結(jié)構(gòu)同化質(zhì)的變化認知同一認知沖突擴充延伸調(diào)整改組激活第59頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅰ）同化學習當新的內(nèi)容輸入以后，主體并不是消極地接受它們，而是利用已有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)對新知識內(nèi)容進行編碼，使新內(nèi)容納入到原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中。在同化過程中，主要是辨識新舊知識的聯(lián)系，并由原來的舊知識作為固著點，把新知識歸屬于原有認知結(jié)構(gòu)，使原有認知結(jié)構(gòu)得到分化和擴充。第60頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）順應學習如果新舊知識的學習想通過與相關(guān)舊知識建立聯(lián)系來獲得新知識的意義比較困難。此時，必須對原有數(shù)學知識進行改組，使之與新知識內(nèi)容相適應。第61頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

定義：客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學概念的構(gòu)成：

內(nèi)涵：概念反映的所有對象的共同本質(zhì)屬性的總和

外延：概念反映的所有對象的全體2、數(shù)學概念學習第62頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（1）數(shù)學概念學習的基本形式（Ⅰ）數(shù)學的表征學習數(shù)學的表征學習是將數(shù)學的名詞、符號所代表的具體對象在認知結(jié)構(gòu)里建立等值關(guān)系。這種具體對象稱為數(shù)學名詞符號的指代物。第63頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：學習“三角形”學生只要與自己認知結(jié)構(gòu)中的三角尺、房頂、紅領(lǐng)巾等指代物聯(lián)系起來，就是進行“三角形”這一名詞概念的表征學習。在數(shù)學表征學習的這個層次上，學生對“三角形”這一名詞已獲得了意義。第64頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

在表征學習中的“指代物”并非都是些具體事物。大部分數(shù)學名詞符號的指代物本身就是抽象的。例如：函數(shù)的指代物：第65頁,共136頁，2024年2月25日，星期天【注】：①數(shù)學概念學習僅僅停留在表征學習階段是不行的，因為指代物畢竟不是數(shù)學名詞符號的本質(zhì)屬性，只停留在指代物學習階段（水平），容易導致非本質(zhì)屬性泛化的錯誤。例如：把函數(shù)總寫成統(tǒng)一表達式的形式，容易造成本質(zhì)理解的片面。學習函數(shù)：辨析函數(shù)：第66頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：三角形的高第67頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

②數(shù)學的抽象性很強，早期進行表征學習，可以增強數(shù)學名詞符號的直觀性。獲得有關(guān)的直觀背景和豐富經(jīng)驗，成為對象意義學習的必要階段。第68頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）數(shù)學的概念學習是要獲得數(shù)學名詞的概念意義，即掌握它們所以代表的一類事物的共同本質(zhì)屬性。例如：三角形這個名詞的概念意義，脫離各種具體的有三角形狀的實物，僅僅理解為：三條線段，首尾相連的封閉圖形，而與材料，顏色、大小等無關(guān)。第69頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）數(shù)學概念的獲得方式（Ⅰ）概念的形成一般是針對由弱抽象形成的概念。如果某些對象的關(guān)鍵屬性主要是由學生在對大量同類數(shù)學對象的不同例證進行分析、類比、猜測、聯(lián)想、歸納等活動的基礎(chǔ)上，獨立概括出來的，那么這個概念的獲得方式稱為概念形成。第70頁,共136頁，2024年2月25日，星期天問題情境：面積為2平方米的長方形一邊為3米，則另一邊為（）米面積為S平方米的長方形邊長為a米，則另一邊為（）米

一箱蘋果售價p元，總重量m千克，箱重n千克，則每千克蘋果的售價為（）元案例：分式第71頁,共136頁，2024年2月25日，星期天案例：函數(shù)汽車以60千米/小時，均勻行駛，行程為S千米，行駛時間為t，先填下表，再用含t的式子表達S.第72頁,共136頁，2024年2月25日，星期天每張電影票的售價為10元，如果早場售出150張，午場售出205張，晚場售出310張，三場的總收入是多少？設一場電影售出x張票，票房收入為y元，怎樣用含有x的式子表示y？畫面積為10平方厘米的圓，半徑應該取多少？面積為20平方厘米，半徑應該如何?。吭鯓佑煤娣eS的式子表示r？第73頁,共136頁，2024年2月25日，星期天“過程”對概念學習的意義：案例：平均數(shù)問題：三個小朋友分別進行了3次一分鐘套圈比賽。明明的成績?yōu)椋?,4,4亮亮的成績?yōu)椋?,5,7強強的成績?yōu)椋?,7,3如何表示三個同學套圈的整體水平？第74頁,共136頁，2024年2月25日，星期天意義：學生除了學習到相關(guān)的數(shù)學概念，同時也學習了解決問題的方法。過程可以幫助學生更好的理解數(shù)學概念。第75頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）概念同化一般是針對由強抽象形成的概念。如果學習過程是以定義形式直接向?qū)W生呈現(xiàn)概念的關(guān)鍵特征，學生主動將新概念與原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相互聯(lián)系，相互作用并領(lǐng)會新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得新概念。第76頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學命題學習數(shù)學命題：主要指數(shù)學對象即數(shù)學概念的屬性（包括性質(zhì)、定理、判定等）；以及對象之間的關(guān)系（主要表現(xiàn)為運算法則）第77頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（1）上位學習

上位學習是通過對已有觀念的歸納、綜合與概括，改進原有的認知結(jié)構(gòu)為新的認知結(jié)構(gòu)而完成的。第78頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

在上位學習中，已有概念,被認為是新概念A的具體事例，上位概念A是根據(jù)一組新的、能包攝這些下位概念的關(guān)鍵屬性來下定義的新概念A

原有概念第79頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例1、二次曲線

（新概念）

原有概念圓

拋物線

橢圓

雙曲線第80頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例2、有理數(shù)的混合運算（新概念）

原有概念加法

乘法

減法除法乘方第81頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例3、分式（新知識）

原有概念第82頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例4、函數(shù)（新知識）

原有概念第83頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例1、例2，中的上位關(guān)系，主要是不同知識間的上位關(guān)系，但是，在某個具體概念的學習過程中，如果學生通過“概念形成”的方式獲得概念，這個過程中也體現(xiàn)了上位學習，如例3、例4.第84頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）下位學習

把新知識歸屬于認知結(jié)構(gòu)的適當部位，并使之相互聯(lián)系的過程稱為類屬過程，通過類屬過程獲得有意義的學習就是下位學習。第85頁,共136頁，2024年2月25日，星期天原有概念A新概念：第86頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例5、三角形

原有概念：等腰三角形（新概念）直角三角形第87頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例5、三角形

原有概念：等腰三角形（新概念）直角三角形第88頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例6、原有概念：平行四邊形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)(新概念）第89頁,共136頁，2024年2月25日，星期天原有概念：方程一元一次方程一元二次方程(新概念）例7、第90頁,共136頁，2024年2月25日，星期天[注]（1）上位學習比下位學習困難，困難的原因在于：上位學習要通過改造原有的認知結(jié)構(gòu)才能完成，即新知識與原有認知結(jié)構(gòu)的作用是順應，而下位學習中依靠的是同化。（2）在上位學習中，上位的形式更具一般化，統(tǒng)籌性更強，抽象程度越高，因此，學習困難比較大。第91頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）并列學習

當新知識與認知結(jié)構(gòu)中原有知識在意義學習中可能產(chǎn)生結(jié)合意義時，這種學習便稱為并列結(jié)合學習。新知識與原有相關(guān)知識并不存在相互包含的關(guān)系，但是，卻具有一定的聯(lián)系。第92頁,共136頁，2024年2月25日，星期天立方根定義平方根性質(zhì)運用類比第93頁,共136頁，2024年2月25日，星期天圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系判別方法類比第94頁,共136頁，2024年2月25日，星期天4、數(shù)學有意義接受學習和有意義發(fā)現(xiàn)學習數(shù)學有意義接受學習：學習的全部內(nèi)容以定論的形式呈現(xiàn)給學習者，即把問題的條件、結(jié)論以及推導過程都敘述清楚，不需要學生獨立發(fā)現(xiàn)，但是，要求他們積極主動地與自己認知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識建立非人為和實質(zhì)性聯(lián)系，使新舊知識融為一體。第95頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學有意義發(fā)現(xiàn)學習：在學習過程中，不是把學習的主要內(nèi)容提供給學生，只是提供問題或背景材料，由學生自己獨立發(fā)現(xiàn)主要內(nèi)容。包括：揭示問題的隱蔽關(guān)系，發(fā)現(xiàn)結(jié)論和推導方法，將所有提供的信息經(jīng)過加工和重新組合，然后與認知結(jié)構(gòu)中的適當知識聯(lián)系起來。第96頁,共136頁，2024年2月25日，星期天《義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》和《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》都強調(diào)動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式，這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神很有幫助．然而，這并不是說接受學習就不需要、不重要了．

第97頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

在義務教育階段，由于某些數(shù)學知識的超經(jīng)驗性、不可證明性、程序性、學習的基礎(chǔ)性、傳承性、意志性、學生認知結(jié)構(gòu)的不完善性和身心發(fā)展的漸進性，有些知識是不適宜探究的，學生對有些知識的理解是有層次的，完全理解是難以做到的，接受學習是大量存在的.第98頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例、乘法交換律自然數(shù)乘法交換律分數(shù)乘法交換律小數(shù)乘法交換律有理數(shù)乘法交換律無理數(shù)乘法交換律第99頁,共136頁，2024年2月25日，星期天自然數(shù)乘法交換律數(shù)雞蛋第100頁,共136頁，2024年2月25日，星期天第101頁,共136頁，2024年2月25日，星期天自然數(shù)的乘法交換律，可以通過對一些實際問題的觀察，歸納出原則，可以進行探究發(fā)現(xiàn)學習。但是，分數(shù)、小數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的乘法交換律很難開展探究式的發(fā)現(xiàn)學習，更合適有意義的接受學習。第102頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：分式的加減一：問題甲工程對完成一項工程需要N天，乙工程對要比甲對多用3天才能完成這項工程，兩隊共同工作一天完成這項工程的幾分之幾？第103頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二、分式的加減法則：（1）同分母相加減，分母不變，分子相加（2）異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，在加減。第104頁,共136頁，2024年2月25日，星期天分析：（1）如何開展分式加減法則的探究學習？（2）與分數(shù)的加減法法則聯(lián)系起來，直接講授分式加減法則。（3）更適合采用有意義的接受學習第105頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（4）“分式的加減”與“分數(shù)的加減”屬于并列學習。在并列的對比學習中，學生在認知結(jié)構(gòu)里可以建立起清晰的認知，從而形成優(yōu)良的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。第106頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例：圓1、如何開展“圓”的探究發(fā)現(xiàn)學習？2、圓的學習方式應該屬于“概念形成”還是“概念同化”？3、圓的抽象方式屬于“弱抽象”還是“強抽象”第107頁,共136頁，2024年2月25日，星期天4、圓的抽象方式是“弱抽象”。弱抽象的概念不一定要用“概念形成”的方式獲得概念。圓的概念不可能通過總結(jié)具體對象的特征，由學生獨立歸納出來，必須是教師直接定義。學生在回到具體對象中進一步認識圓的抽象定義。第108頁,共136頁，2024年2月25日，星期天第五講數(shù)學教學理論數(shù)學教學過程數(shù)學教學原則數(shù)學教學設計第109頁,共136頁，2024年2月25日，星期天一、數(shù)學教學過程

1、定義：數(shù)學教學過程是數(shù)學教師組織和引導學生系統(tǒng)地學習和掌握數(shù)學知識，進行積極的思維活動，形成良好的認識與發(fā)展相統(tǒng)一的育人過程。第110頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、教學過程的實質(zhì)（1）從結(jié)構(gòu)上看，它是一個以教師、學生、教學內(nèi)容、教學方法等為基本要素的多位結(jié)構(gòu)。（2）從性質(zhì)上講，它是一個有目的、有計劃的多邊活動過程；（3）從功能上講，它又是一個教師引導下的學生主動探究、發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)數(shù)學知識，發(fā)展數(shù)學能力，促進情感、態(tài)度、價值觀等各方面素質(zhì)全面發(fā)展的育人過程第111頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學教學過程的因素分析（1）教師教師是教學目標的貫徹者、數(shù)學知識的傳授者、學生進行數(shù)學學習的合作者，是整個數(shù)學教學過程的組織者、引導著和調(diào)控者。第112頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）學生學生是構(gòu)成數(shù)學教學過程的又一核心因素。是學的活動的主體，起主體功能體現(xiàn)為積極的智力參與、個人體驗以及主動的意義建構(gòu)。第113頁,共136頁，2024年2月25日，星期天學生在數(shù)學教學過程中具有特殊性。具體表現(xiàn)：學生的認識對象以間接經(jīng)驗為主，要用最短的時間去掌握前人經(jīng)過漫長歲月發(fā)現(xiàn)發(fā)明的數(shù)學知識。學生的認知條件是在教師的指導下進行，使學生能夠避免或減少許多認知上的失誤學生的認知不僅僅在于掌握數(shù)學的基本知識和基本技能，而且要發(fā)展數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力第114頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）教學內(nèi)容教學內(nèi)容是師生活動的載體。是教師引導學生學習的客觀依據(jù)和信息源泉，是教學過程中教師與學生、學生與學生發(fā)生相互作用的中介。第115頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（4）教學方法教學方法是教師根據(jù)實際情況選擇的，具體指引數(shù)學教學過程展開的行動方式。教學方法由許多教學方式和手段構(gòu)成的。它的表達方式和手段是靈活多樣的，教師需要根據(jù)具體的數(shù)學教學內(nèi)容、教學環(huán)境和條件、學生的實際認知水平等情況靈活地選用，使教學方法與數(shù)學教學過程的其他要素協(xié)調(diào)起來，才能達到理想的教學效果。第116頁,共136頁，2024年2月25日，星期天講授法數(shù)學“情境——問題”教學法活動教學閱讀法探究法第117頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：三角形的初步認識第118頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二、數(shù)學教學原則1、定義數(shù)學教學原則是指導數(shù)學教學的一般性原則，是進行數(shù)學教學活動所應遵循的準則。數(shù)學教學是根據(jù)數(shù)學教育目標、學科特點、學生學習數(shù)學的心理特征以及數(shù)學教學的實踐經(jīng)驗等概括而成的第119頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學教學原則包括：數(shù)學教學的一般原則和數(shù)學教學的特殊原則第120頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、數(shù)學教學的一般原則理論聯(lián)系實際的原則發(fā)展性原則啟發(fā)性原則直觀性原則第121頁,共136頁，2024年2月25日，星期天鞏固性原則系統(tǒng)性原則量力性原則（可接受原則）應材施教原則第122頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學