考研數(shù)學(xué)重要公式

1.矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣關(guān)系：A^=\A\E

0,r(A)<n—1

2.矩陣行列式：4一1=二4’-1

⑷=|A|"(kA)*=HZ*r(A*)=<1,r(A)=n—l

n,r(A)=n

r(AB)<min{r(A),r(B)}

r(A+B)<r(A)+r(B)

3.矩陣與其秩：r(A,B)<r(A)+r(B)

r(A,B)>max(r(A)+r(B))

4.齊次方程組Ax=0：非0解O線性相關(guān)O7?(A)=n

5.非齊次方程組Ax=6有解o尺(4)=尺(彳)0線性表出

6.相似與合同：相似一n階可逆矩陣A,B如果存在可逆矩陣P使得尸一14。=3則A與B相

似，記作：A~B；合同一A,B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣C使得3=C「AC則稱A

與B合同。(等價(jià)，A與B等價(jià)一A與B能相互線性表出。)

7,特征值與特征向量：Aa=Aa,求解過(guò)程：求行列式正歸-旬=0中參數(shù)%即為特征

值，再求解(4石-A)x=0即可求出對(duì)應(yīng)的特征向量。矩陣A的特征值與A的主對(duì)角元及

nn、

=\a.?

行列式之間有以下關(guān)系：111"L上式中tra(A)=￡4.稱為矩陣的跡。

4辦.口=聞汩

8.特征值特征向量、相似之間的一些定理及推論：實(shí)對(duì)稱矩陣A的互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向

量線性無(wú)關(guān)；若n階矩陣的特征值都是單特征根，則A能與對(duì)角矩陣相似；n階矩陣A與

對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于A的每一個(gè)左重特征根,齊次方程組(2,.E-A)x=0的

基礎(chǔ)解析由匕個(gè)解向量組成即對(duì)應(yīng)每一個(gè)左重特征根4R{\E-A)=n-ki.

9.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，如果A為一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，那么對(duì)應(yīng)于A的不同特征值

的特征向量彼此正交。任意n階實(shí)對(duì)稱矩陣A都存在一個(gè)n階正交矩陣C,使得

C?AC=C-iAC為對(duì)稱矩陣。

10.施密特正交矩陣化方法：一般地，把線性無(wú)關(guān)向量組/,用..名化為與之等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正

交向量組的施密特正交過(guò)程如下：

A=%

（。2'B\）

A=a、

（A，A）

Q,￡2）

83=%

（4，八（四，四）

R_a_（%'）o_（a.,￡2）o__（%'Bs-1）R

氏一'—（四,A）4一（四二），一…一（即,4T/T

再令:F"

則%,%…八是一組與%4等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

11.正交矩陣的定義：如果實(shí)矩陣A滿足：A'A=AAT=E則稱A為正交矩陣。

12.設(shè)A,B為n階方陣，如果存在可逆矩陣C,使得3=CTAC,則稱A與B合同。

13用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型步驟：

a）寫出二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣A；

b）求A的特征值4.和特征向量，（—A|=0）%；

c）將特征向量/正交化（實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量彼此正交，多重

特征根在取特征向量時(shí)盡量取正交向量，方便計(jì)算）、單位化得月

X]]「1

%

尤2

d）令一]…>,C=\J3\,%..G，Y=%則X=cy,是正交變換，且

Xn,

[%」

/（匹,々,=4y；+%￡+…+4城=

14.如果任一非零向量X都使得二次型X'AX>0,則稱之為正定二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣

A為正定矩陣。二次型為正定矩陣的充要條件是矩陣A的特征值全部為正實(shí)數(shù)、正慣性指

數(shù)是n、矩陣A與E合同、矩陣A的順序主子式全大于零，且以上條件等價(jià)。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重要知識(shí)點(diǎn)及公式:

1.條件概率：P（A|B）=：鑿）如果P（A\B）=P（A）P（B），則A與B獨(dú)立。

P(ADB)=P(A)+P(B)—P(AcB)

2.常用概率公式：P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB)(對(duì)于給定如：AuB這樣的條

p(AB)=P(A|B)P(B)

件，常常通過(guò)畫圖（如下圖）來(lái)解決，直觀明了）

p(AB)=p(B)-p(AB)

p(AB)=p(A)-p(AB)

3.全概率公式：P（A）=Jp（4）P（A|B）

i=l

4.貝葉斯公式：p（4|A）=P（ABi）=〃p（q）p（耳A）（結(jié)合條件概率公式和全概率公

P（Si）n

j=i

式推導(dǎo)而出）

5.幾個(gè)重要分布：

nmn

a）二項(xiàng)分布（n次重復(fù)，伯努利類型）：p（A）=C'ln'p（l-p）-

b）泊松分布：二項(xiàng)分布當(dāng)m,很大，p很小且叩=4時(shí)，

儲(chǔ)

X?p[x=k]=—e~A,k=0,1,2...

c)均勻分布：X=<b-a>

Q.otherelse

d)指數(shù)分布：/(x)=\'>

0,x<0

1(%*2

e)正態(tài)分布：X?N(U,B2)廳——e

而/3

6.隨機(jī)變量的數(shù)字特征:

A）數(shù)學(xué)期望：存在前提］：|力（%）辦;要絕對(duì)可積，那么石（x）=t%Pj,

i=lrz=l

E(x)=[xf(x)dx；

J-00

D(X)=E{(x-E(x))2)

B）方差:

D(X)=E(X2)-E2(%)

E(C)=C

C)期望性質(zhì)：＜E(cX)=cE(X),X,Y獨(dú)立則E(xy)=E(X)E(y)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D（C）=0

D）方差性質(zhì)：\D（cX）=C2D（X），若X,Y相互獨(dú)立則

D（X±y）=o（x）+D（y）±2cov（x,y）

D(x±y)=D(x)+D(y).o

7.常用分布數(shù)字特征：

a)(0,1)分布￡(2)=夕;。(2)=夕(1一”)

b)b(n,p)二項(xiàng)分布E(z)="p;Z)(z)=秋(1一夕)

c)泊松分布——”匕石(2)=%。(2)=無(wú)

k\

d)均勻分布：U[aME(z)=_,D(z)=(\j;

e)指數(shù)分布：＜,,E(z)=；￡＞(z)=!；

0,otherelse\2

f)正態(tài)分布：N(〃?2),E(Z)=〃,Z)(2)=32;

8.協(xié)方差：定義式cov(X,y)=E{[九-E(x)][y-E(y)]}

計(jì)算式cov(X,K)=E(xy)-E(x)E(y)

COV

cov(X,Yl+Y2)=(X,X)+cov(X,Y2)

性質(zhì)：＜cov(aX,6y)=a6cov(X,y)

cov(Z,Z)=D(Z)

9.相關(guān)系數(shù)：p廣：一.廣)j區(qū)1

孫1D(X)D(Y)11

10.幾種特殊函數(shù)的分布問(wèn)題：

a)極值分布Z]=max(X,y),Z2=min(X,F)

FZi(z)=P(max(X,y)<z)=P(X<z,Y<z)

=P(X<z)P(Y<z)=Fx(z)Fy(z)

FZi(z)=P(min(X,y)<z)=1-P(min(X,Y)>z)

=1-P(X>z)P(Y>z)

=p[x<z}][l-p{y<z}]=l-[l-Fy(z)]

b)和的分布：Z=X+Y分分布函數(shù)是

Fz(z)=P{X+Y<z}=jj/(x,y)dxdy;

x+y<z

p+oo

X(z)=Jf(x,z-x)dx

J—CD

一般的X與Y相互獨(dú)立，且X~N(M，5：),y~N(〃2，<g)，則

z=x+y~N（〃i+〃2，%+s；）,其概率密度公式為:

1（%-3+4））2

/（2；〃1+〃2。；+蘇）=1七一2（淄+年）

52?。；+量）

c）商的分布Z=%分布函數(shù)是:

￡(z)=P(ZVz)=||f(x,y)dxdy

x/y<z

<(Z)=J：yf(zy,y)dy—J：yf(zy,y)dy=f(zy,y)dy

11.參數(shù)估計(jì)：

a）矩估計(jì)方法：構(gòu)造關(guān)于參數(shù)組成的k階原地矩與樣本k階原點(diǎn)矩之間的等式關(guān)系：

1n

九?0,…e〃）=—解此方程組解為&=a（%,%2,…天）就作為a的矩估

幾日

計(jì)。

b）極大似然估計(jì)方法：基本思想是按照最大可能性的準(zhǔn)則進(jìn)行推斷，把己經(jīng)發(fā)生的事

件，看成最可能出現(xiàn)的事件，即認(rèn)為它具有最大的可能性。

求法，寫出最大似然函數(shù)，并求最大似然函數(shù)的最大值點(diǎn)，一般取最大似然函數(shù)的

O1T

對(duì)數(shù)方便運(yùn)算，即求解如下的似然方程組旦2—=0次=1,2,3…，加，似然方程組

的解可能不唯一，這時(shí)需要微積分知識(shí)進(jìn)一步的判定哪一個(gè)是最大值點(diǎn)，若似然函

數(shù)關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，就無(wú)法得到似然方程組，因此必須回到極大似然股及

的定義式直接求解。

13.矩估計(jì)的優(yōu)良性：若￡（0=6則稱。是e的無(wú)偏估計(jì)量，若%%是。的無(wú)偏估計(jì)量，

且D?）＜。（。2）則稱4為。的最小無(wú)偏估計(jì)量。

14.數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念:灰=空X.（樣本均值）

1n―

s2=——y（x,.-x）2（樣本方差）

1〃

Ak=-Yx^（樣本k階原點(diǎn)矩）

〃Z=1

1n一

Mk=—￡（X「X）k（樣本k階中心矩）

〃/=1

15.三個(gè)重要分布：

a）設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立并且都服從正態(tài)分布N（O,1）的隨機(jī)變量X,,X2,...,X“記

i=\

則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的力2分布。對(duì)于給定的正數(shù)a（O＜a＜l）,稱滿足關(guān)

系式尸（/＞（n））=[7,（x）公=。的數(shù)％；（〃）為％2（〃）的上側(cè)臨界值或上

側(cè)分位數(shù)。

性質(zhì)：E（/）=〃,￡＞（/）=2〃

設(shè)Y心相互獨(dú)立，且乂~/（勺）,乂~%2（%）則有/（%+%）

b）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X~N（0,l）,y~%2（〃），記

X

T=--則隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布。

師

C）設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，X~%2（勺）,y?/（小）記/^=犁L則隨機(jī)變量F服

從第一自由度為々第二自由度為〃2的F分布。

16設(shè)X1,X2，...,X〃是正太總體N(〃,筋)的樣本，滅,S2分別是樣本均值和樣本方差，則有

X與S?相互獨(dú)立，則有

-,川、

X~N(〃,——)

n

~gTS2~/("T)

s/G

一1n1n

E(X)=E(-YXi)=—ZE(XJ=〃

〃9n1

上式中，

一1n1X2

D(X)=。(—XX,)=—D(X,.)=一

ni=inn

17.設(shè)X1,X2，...,X“和幾A，…，4分別是來(lái)自正態(tài)總體N(M4),NC4奇)的樣本，并

且它們相互獨(dú)立，無(wú)S；,7,S；分別是這兩組樣本的均值和樣本方差，則有：

A)尸=今審~/(勺—1'"2—1)；

B)當(dāng)3=茲=*時(shí)，T=(X—7(2)其中,

鼠尸

S=g—1闊+(%百［。

①y%+%—2

18.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),分布函數(shù)在x=a處不連續(xù)，則

P{X-a}-F(x-d)-limF(x)o(P{x=a}=F(a)-F(a-O))

x-^>(r

19.概率密度函數(shù)滿足：「"/(x)“c=l,通常用此條件求概率密度函數(shù)中的參數(shù)值。

J-00

20.多重概率密度函數(shù)同樣滿足：jjf(x,y^dS=1G為積分空間.

G

微積分部分:

1,無(wú)窮小與無(wú)窮大：當(dāng)x->0時(shí)，有下列等價(jià)無(wú)窮小

sin%~tan%?x,arcsin%?％,arctan無(wú)?％,

y/1+x—1—,1—cosx—%?tanx—sinx—x3,

n22

ln(x+l)?x,log(l+x),——x,ex-1?羽優(yōu)-1?xlntz;

—flIna

arcsinx-x-----,x-arctanx-----,tanx-x-----,

633

,13

tan%-sin%^-x

2

limf(x)g(x)

2,若limf(x)=0,limg(x)=0則lim[l+/(%)產(chǎn)=2.

x—%—>而％—>與

3.導(dǎo)數(shù)概念：/(x0)=lim/(x°+Ax)-KU

微分概念：Ay=/(/+Ax)-/(玉))=AAx+o(Ax)稱f(x)在％可微，力=AAx為Ay的

線性主部。切線方程：y—%=/'（%0）（%_、）法線方程：y_%=-、（%_/）

/J（不）

4,極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限。

1，，

（U±V）（X）=W（X）±V（X）

(uv)(X)=u(x)v(x)+u(x)v(x)

U'u(x)v(x)-w(x)v(x)

5.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：■

v2(x)

(V"-學(xué)V(x)

10:23:04

少說(shuō)話。多做事

過(guò)勞死

6,常用導(dǎo)數(shù)和不定積分:

?=0(x")'=〃x"T(ax)=ax\na(a>0,O'=e'

awl)

八、，1

(1嗚x)=(-)'=-(sinx)=cosx(cosx)=-sinx

x\naInxx

(tanx)=sec2x(cotx)=-esc2X(secx)=secx?tanx(escx)=

-escx*tanx

/.、,1(arccosx)-(arccotx)=

(arcsmx)=./<1

I(arctanx)=------7__1_

1+X

7i-%2l+x2

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：y=%sin%(x>0),求y。解：l”=sin%,ln%

(shx)=chx

1.11.

—y=cosxlnx+—smx

y犬

y'=}?/(cosxI1nx+—1si.nx)、

X

1.兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)2.兩邊同時(shí)求導(dǎo)

(x=x(t)1dv

參數(shù)求導(dǎo)法：確定的y=y(x)求竺

[y~y(OJdx

dy=y⑺dy=dydt=dy1=(⑺)二階號(hào)數(shù)d2yd辦dt

dx九⑺'dxdtdxdxdx%⑺dx2dtdxdx

dt

反函數(shù)求導(dǎo)：(")心)=下二，(廣，6)|-。=:

/(y)八磯/

高階導(dǎo)數(shù)：

(n)

sin(/1)x=sin(x+cosx=cos(%+嗎)[ln(l+x)](n)=(/)(")=(Inn)%”

(_1尸(-I)!

')(i+xr

(%。嚴(yán)=

(xn)(M)=n\

a[a-1)(?-2)...(a-n+l)xa-M1(?)=(-ir?!

xxn+{

基本積分公式:

r1

jOdx=C\xadx=-^—xa+'+C

—dx=lnx+Cx

J1+aJX\adx^—+C

Jln〃

Jexdx=ex+CJcosxdx=sinx+CJsinxdx=—cosx+CJsec2xdx=tanx+C

jsecxtanxdx=

jCSC2Azzx=-cot%jcscxcotxJx=f/1dx=arcsin

secx+C

+C-cscx+C

+c

pl,jtanxdx=jcotxdx=

----dx=arctanxs^cxdx=

J1+x2I

-ln|cosx|+Cln|sinx|+Clnsecx+tanx|

+C+c

Jescxdx=rdxdx

r^^dx

JJ22一f;12

ln|cscx-cotx|+C7a-xJa-xlx±a

.x1ix-a-22

arcsin—+C—In----+CInX+A/X±a+c

alax+a

1.將復(fù)雜部分求導(dǎo)

2.主要處理根式部分

3.將復(fù)雜部分用新變量t替換

4.分部積分主要處理兩類函數(shù)乘積的積分

5.有理公式處理真分式積分。

6.萬(wàn)能代換。

7.羅爾定理：/(%)eC[a,/cZXa/)且/(a)=f(b)則3^e(a,b)使得f'?=0

8.看到函數(shù)值差，聯(lián)想單拉格朗日定理/3)-/(a)=f/)(b—a),b>a用于求極限證明不

等式。

9.柯西定理：若f(x),g(x)eC[a,句cZ>(a,ZO且,Vxe(a,b),g(x)90則三1e(a,b)使得

f3)-f(a)/記)

g(b)-g(a)g'C)

10.駐點(diǎn)%,/'(%)=0的點(diǎn)；極值點(diǎn)/(%)，根據(jù)實(shí)際情況判斷，通?？丛诹?。兩側(cè)的一

階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有次判斷是極大值或極小值；拐點(diǎn)(/,/(%)),拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)/(%)=0,

且在與兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)。

11.累指數(shù)函數(shù)極限的一般處理方法：山^/二^皿/^二/皿^對(duì)于「未定式，一般

j_

limif=lim[(l+ay]m，=elimm，,(tz=M-1)

12.可分離變量微分方程：朱=/(x)g(y)解法J磊=Jf(x)dx

13./依,0)=〃/Qx,/y)令"!有/(%,y)=f(tx,ty)=/(I,馬=夕(2)稱之為其次方程，

XXX

引入變量1/=上則包="+工生帶入方程包=9(2)^u+x—=9(a)兩邊同時(shí)積分求

xdxdxdxxdx

解。

14.一階線性非齊次方程：包+P(x)y=Q(x)通解為：y=Q(x)e"""+c]

dx

15.伯努利方程：@+P(x)y=Q(x)y",令2=產(chǎn)則半半,即

dxdxdx

y-n@=-^――帶入原式得—+(1-n)P(x)z=(1-九)Q(x)。

dx\-ndxdx

16.y"=/(x,y)型高階微分方程求解：令p=y則原式化為半=/(%,功用上述方法求解

dx

可得y'=(p(x,CJ,于是再積分可得y=，9(x，G)dX+C2

I7.y"=)型高階微分方程求解：可令y=p(y),則y=與=半=半半=口半

dxdxaydxdx

于是y,=f(y,y)變?yōu)?f(y,P)求得通解為P=9(%￡)即包=9(y,G)，分離變

aydx

量積分得["y=%+。2。

J

(p(y,C1)

18.二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法：y'+py+qy^O(p,q為常數(shù))即

{D-+pD+q)y^Q(D為微分算子)，可得特征方程/++q=0,特征方程的兩個(gè)根

為u三，分三種情況：

1,22

a)當(dāng)o?一4q〉0解為y=C^r'x+C^v

b)當(dāng)°?—4q=0解為y=(G+C^x)en

c)當(dāng)p?—4q<0,特征方程有一隊(duì)共軌復(fù)根6=?+/,々=￡一場(chǎng),則通解為

ax

y=e(Qcos/3x+C2sinJ3x)

19.二階線性非齊次線性方程的解法:一般形式y(tǒng)'+0/+qy=/(x)(p、q為常數(shù))

Ax1.幾不是對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的根，

f(x)=pm(x)e,p(x)是m次多項(xiàng)式

則y*=2(》)/

2.2是單根，則對(duì)應(yīng)的特解為

y=xQm(x)e^

3.2是重根，則對(duì)應(yīng)的特解為

2

/=x2m(%)^

kXx

/(x)=[片(％)coscox+Pnsincox]y*=xe[R?coscox+R：)sincox\,其中

壽)(%),/4)是系數(shù)待定的m次多項(xiàng)式，

m=max{/,〃}而k按X+z3不是或是特征

方程的根分別取0或1.

20.多元函數(shù)微分：z=/(x,y)在點(diǎn)(%,光)處的全微分dz=A(x0,yQ)dx+B(x0,y0)dy,

,,,,.z、8z.八/、8z.

其中A?,為)=茄1(和強(qiáng))，3(X0，為)=耳Q,%)。

21.bay)=0,可由包=—”求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于尸(x,y,z)=0偏導(dǎo)數(shù)可由三=一&,

卜'yX'K'z

bzF

—=——求得。

3yF:

22.空間曲線L的參數(shù)方程

L\x=xQ),y=yQ),z=zQ),a<t<b\

曲線上一點(diǎn)z°),則向量s=(九就是曲線L在點(diǎn)M處切線的方

向向量，也稱為切向量，于是在M點(diǎn)的切線方程為七血=匕也=三亙，法平面方程

%(幻y(%)z(%)

為x(幻(x-Xo)+y(roXy-yfJ+zGoXz-Zo)：=。。

23.空間曲線由兩平面方程確定=°h則可確定曲線L：于是在點(diǎn)

G（x,y,z）=OJ[z=z（x）

Mo處的切向量為S=O''O'Z（》））Mo

24.方向?qū)?shù):設(shè)函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)0（%,%）處可微，則函數(shù)在此點(diǎn)處存在沿任一方向的/

的方向?qū)?shù)，則方向?qū)?shù)它=（迓cose+它c(diǎn)os/）晨加，其中cos。,cos尸為/方向上

dldxdy

的方向余弦。

25.梯度：gradf=嗎+*,它是一個(gè)向量，可將二元函數(shù)/（x,y）沿任一方向/的方向

oxdy

導(dǎo)數(shù)寫成向量?jī)?nèi)積的形式：^=gradf4=|ga，|cos。，6是/與grad/之間的夾角。

方向?qū)?shù)的最大值為忸“川|=,當(dāng)。=0,即/的方向就是gm力■的方向

名最大，也就是沿著梯度方向，函數(shù)的變化率最大，函數(shù)值增長(zhǎng)最快。。="時(shí)，/取

時(shí),

dl

負(fù)梯度方向-grad/時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值-旭心力>!=-'（詈V+（為）2也就是沿負(fù)梯度

方向函數(shù)值減少最快。

26.極值的充分條件：設(shè)函數(shù)/（x,y）在點(diǎn)（%,為）額某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有

刀（不，%）=0，{（%，穌）=0,

令令（%為）=令匕（/，%）=%（的%）=B,九5,%）=c，函數(shù)在點(diǎn)（%,%）的黑塞

（fa匕、（AB}

矩陣為：Hf（x0,y0）=丫丫=，則有一下結(jié)論：

JyyJ（%0，%）'1（%，%）

1）若AC—5?>0,A>0,則為正定矩陣，故/（%,%）為極小值。

2）若AC—8?>0,A<0,則為負(fù)定矩陣，故/（%,%）為極大值。

3）若AC-Ivo,則%為不定矩陣，故/（%,%）為不是極值。

27.有界區(qū)域上的最大值與最小值：求出/（x,y）在D內(nèi)所有的駐點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值，求

出/Xx,y）在邊界上的最大（小）值，對(duì)比上面求出的函數(shù)值，其中最大的就是/（x,y）在

D上的最大值，最小的就是最小值。

28.條件極值和拉格朗日數(shù)乘法：u=f(Xl,x2,...,x?)在m個(gè)條件

0(X],9,…,X”)=0(，=1,2,…下的極值。求解步驟如下:

a)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：E(x,y,z，4,4)=/(x,y,z)+49i(x,_y,z)+4°2(x，y，z)

b)對(duì)F求x,y,z，4,4的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，即

工=0

工=0

￡=0

.=9i(x,y,z)=0

.=°2(Xy,z)=o

c)求解(xO,%,z°),4,4°

d)根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)判斷(%,%,z0)是否為極值點(diǎn)。

29.二重積分的計(jì)算，熟悉x型y型積分區(qū)域的計(jì)算，以及改變積分順序。

30.極坐標(biāo)'c°s"＞則ds=也也。，那么=[[/(rcos。,，

y=rsinO??

I'1LtL)

使用時(shí)注意積分上下限的變換。

x=rcosO

31.柱坐標(biāo)下的極坐標(biāo)變換：＜y=rsin0,dV=rdrdOdz那么

2=2

JJJ/(x,y,z)dV=/(rcos仇rsin6)rdrd6dz

vV

32.球坐標(biāo)下計(jì)算三重積分：0＜夕＜+oo,0＜0〈肛0＜。42萬(wàn)

x二Psin0cos。

<y=2sin/sin。，dV=p1sin(pdpd(pdO

2=pcos(p

則球坐標(biāo)下三種積分的計(jì)算公式為：

JJJ/(x,y,z)dV=jjj/(psincosa「sin。sin6,0cos夕)夕？sincpdpdcpdO

VV

33.曲線的弧長(zhǎng)：曲線L：y=y(x),(〃KxKb)弧微分ds="+y'(%)為:,則曲線弧段的長(zhǎng)

為s=fJ+y'2(x)dx；曲線參數(shù)方程x=xQ),y=y⑺用)，弧微元為

ds=,]x\t)+y\t)dt,s=/Jx2⑺+Y2(M同理，三元函數(shù)有

%=r(e)cos。

s=fJx'2⑺+y2⑺+z'2⑺力o平面曲線由[y=r(6)sin。確定，則

ds=⑴⑼+/⑼油=，產(chǎn)(。)+廠2(。)切長(zhǎng)度為s=[J/(e)+1⑻de。

34.第一類曲線積分的計(jì)算：設(shè)函數(shù)〃x,y)平面弧線L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為

/X*{a<t</3),貝i|[f(x,y)ds=1y(t)]y[x^)+y\t)dt(a<尸)。

b=xoiJa

35.曲面S的方程為z=z(x,y)在xoy上的投影為與，函數(shù)z=z(x,y)在D孫上具有連續(xù)的

22

偏導(dǎo)數(shù),則S為光滑曲面，則s=ff1+(—)+(—)dxdy，同理在yoz面上的投影為Dvz,

則有1+(—)~+(—)-dzdy,在zox上的投影為D.則有

dzdy

DK

36.第一類曲面積分的計(jì)算:設(shè)函數(shù)/(x,y,z)在曲面S上連續(xù)，S的方程為z=z(x,y),S在

光0y面上的投影區(qū)域?yàn)?。函?shù)z=z(x,y)在￡)▽上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，貝心

U/(x,y,z)dS=jjf[x,y,z(x,y)]+2；(x,y)+zj(x,y)dxdy?

37.第二類曲線積分：

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=jF(x,y)ds={P[x(t),y(t)]x\t)+Qx?),y(t)]y(t)}dt

LL

38.對(duì)于y=y(x)計(jì)算公式可為

jP(x,y)dx+Q(x,y)dy=/{P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y(x)}dt?應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)沿著曲線L運(yùn)動(dòng),

在場(chǎng)力E(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q{x,y,z)j+R{x,y,z)k的作用下所做的功為

39.第二類曲面積分：曲面S,曲面面積微兀向量dS=nods

F{x,y,z)=尸(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k則：

jjF(x,y,z)dS=jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy。

ss

40.第二類曲面積分的計(jì)算一一分面投影法：將

JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy的三項(xiàng)分別化在坐標(biāo)平面

上的二重積分，其中函數(shù)尸(羽y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在S上連續(xù)，求解步

驟：

1)將被積函數(shù)R(x,y,z)中的變量z換為表示曲面的函數(shù)z=z(x,y)

確定正負(fù)號(hào)，曲面S取上側(cè)，即單位法向量々與z軸的正向夾角為銳角，則

取正號(hào)，若曲面S取下側(cè)，即單位法向量的與z軸的正向夾角為鈍角，則取

負(fù)號(hào)。

2)對(duì)函數(shù)R[x,y,z(x,y)]在曲面S的投影區(qū)域。燈上計(jì)算二重積分。

jjR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy

3)同理：

jjP(x,y,z)dydz=±jjP[x(y,z),y,z]dydz

jjQ(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(x,z),z]dzdx。

SDa

41.第二類曲面積分的計(jì)算一一合一投影法：將第二類曲面積分

jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy中的三項(xiàng)都化為某一坐標(biāo)平面上的

s

二重積分。

計(jì)算步驟：

1.計(jì)算法向量n并確定正負(fù)號(hào)，若曲面S取上側(cè)，即法向量n與z軸的正向夾角為銳

角時(shí)，則取正號(hào)；若曲面S取下側(cè)，即單位法向量n與z軸的正向夾角為鈍角時(shí)，則

取負(fù)號(hào)。

2.將被積函數(shù)B(x,y,z)中的變量在z換為表示曲面的函數(shù)z(x,y),并與向量九或一八

做點(diǎn)積。

3.對(duì)點(diǎn)積廠?”或/?(-〃)在曲面S的投影區(qū)域。皿上計(jì)算二重積分。

n=(.-zx,-zy,l)

jjF(x,y,z)dS=jjF[x,y,z(x,y)].[±n(x,y)]dxdy

SDxy

同理，投影到其他平面上有：

jjF(x,y,z)dS=jjF[x,y(z,x),zH±n(z,x)]dxdz,〃=(一%』,一%)

s%

UF(x,y,z)dS=jjF[x(y,z),y,z].[±n(y,z)]dydz,n=(l,-xy,-xz)

D

Szx

42.微積分基本定理的推廣：

格林公式：設(shè)D是由分段光滑的曲線L圍成

1.jj(-^-^-)dxdy=(Pdx+Qdy

的平面單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在

D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)。則有1式。其中Ljj(-^-^)dxdy=(Pdx+Qdy+

是D的取正向的邊界曲線。

設(shè)D是由分段光滑的曲線4與乙圍成的平fPdx+Qdy

JJ'

面復(fù)聯(lián)通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有2式。其中乙是

D的取正方向的外邊界曲線，4是D的取正

向的內(nèi)邊界的曲線。

高斯公式：設(shè)空間區(qū)域V是由分片光滑的閉

用產(chǎn)dQSR_rrPdydz+Qdxdz

曲面S所圍成，函數(shù)dxdydz"+Rdxdy

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上具有

一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有右式成立，其中S是V

的邊界曲面的外側(cè)。

斯托克斯公式：設(shè)L為分段光滑的空間有向tr,ORdQ.,,.dPdR、i[.dQdP.,

11(----------)dydz+(----------)dzdx+(-----------)dxdzy

閉曲線，S為以L為邊界額分片光滑的有向J?dydzdzdxdxdy

=jPdx+Qdy+Rdz

曲面，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

L

在包含曲面S在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有一階

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有右式成立，其中，L的方

向與S的側(cè)符合右手規(guī)則，即用右手四指表

示L的方向，大拇指的防線與曲面S的側(cè)同

向。

Pdx+Qdy+Rdz=

L

dydzdxdzdxdy

d88

通常寫為：JJ

sdxdydz

PQR

cosacos°cos;

ddd

dS

udxdydz

s

PQR

43.曲線積分與路徑的無(wú)關(guān)性：

a)設(shè)D為平面上的單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

則以下四個(gè)命題等價(jià)：

i.對(duì)于D內(nèi)任一分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線L有：

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

L

ii.曲線積分，。(無(wú)丁)辦：+。(元,丁)力的值在口內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。

L

iii.被積表達(dá)式尸(%?)公+Q(x,y)辦在D內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)"(x,y)的全微分，即

du-P(x,y)dx