2023-2024學(xué)年湘西州瀘溪一中高二數(shù)學(xué)8月開學(xué)考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年湘西州瀘溪一中高二數(shù)學(xué)8月開學(xué)考試卷

（考試時(shí)間120分鐘；試卷滿分150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合〃={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={xeZlU+2)(x-l)<0},則，,A=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-3,2,3}D.{-1,0,1)

2.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,-1),則|z+i|=()

A.75B.2C.y/2D.1

3.將一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為()

A.—B.遍C.-D.邈

3866

4.已知向量”=(1,1),b=(2,-1),若(“+如J_(￡-5),則實(shí)數(shù)4=()

A.8B.-8C.2D.-28

5.如圖，四棱錐尸-AfiC。的底面ABCO為矩形，PAL平面A8CD,且EC=2PE,若AE=

xAB+yAD+zAP,則x+y+z=（）

124

A.-B.-C.1D.-

333

6.設(shè)點(diǎn)P（x,y）滿足ar+Ay+c=0,則“。=2a”是“|x+2y+2|+|x+2y-1為定值”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.過(guò)點(diǎn)（0,-2）與圓/+>2-2工-1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝ljcosa=（）

1

A.-B.-cD

54-4-4

&已知〃若函數(shù)行）有最小值，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是，）

A.（1，+°°）B.1，+=?）C.D.<，+00]

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知x,V是正數(shù)，且x+y=2,下列敘述正確的是（）

A.孫最大值為1B.2、+2',有最大值4

C.4+6的最大值為2D.-+：的最小值為9

10.2022年10月22日，黨的二十大勝利閉幕.為了更好的學(xué)習(xí)二十大精神，某市市委宣傳部面向全市

各部門開展了二十大宣講活動(dòng).某部門為了鞏固活動(dòng)成果，面向其下屬甲、乙、丙三個(gè)單位開展“領(lǐng)悟二

十大精神”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)頻率分布直方圖，則下列結(jié)論中正確的

是（）

A.?=O.O3B.眾數(shù)為80

C.第71百分位數(shù)是82D.平均分是75.5

11.（多選）已知直線/：x-〃?y+〃Ll=0,則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.直線/的斜率可以等于0

B.若直線/與V軸的夾角為30。，則或加=-正

33

C.直線/恒過(guò)點(diǎn)（2,1）

D.若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則機(jī)=1或機(jī)=-1

12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A88-AAGP中，。是棱。。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在點(diǎn)Q,使得GQ//AC

B.存在點(diǎn)Q,使得GQ^AC

C.對(duì)于任意點(diǎn)Q,。到AC的距離的取值范圍為[乎，乎]

D.對(duì)于任意點(diǎn)Q,△ACQ都是鈍角三角形

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知直線/：x+）」l=0：與圓C:（x-3）2+（y+4）2=5交于A,B兩點(diǎn)，則|陰=.

2

14.為了得到函數(shù)〉=31卜+2)的圖象，只需把函數(shù)y=cosx的圖象向(填“左、右”)平移個(gè)

單位長(zhǎng)度.

15.在正四棱錐P-ABCD中，PB=AB=l,點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，則直線R4和剛所成角的余弦值

為.

16.已知圓G：/+y2-履一),=0和圓什-1=0的公共弦所在的直線恒過(guò)定點(diǎn)”，且點(diǎn)用在

直線/nx+〃y=2上，則機(jī)2+1的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空

氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，次日

(1)求此人到達(dá)當(dāng)日該市空氣重度污染的概率；

(2)求此人在該市停留期間恰有1天空氣重度污染的概率.

18.直線/過(guò)點(diǎn)P(3,2)且與x軸、丫軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn).

⑴若直線與直線2x+3y-2=0的法向量平行，求直線/的方程；

⑵如圖，若AP=2P8,過(guò)點(diǎn)戶作平行于x軸的直線交V軸于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)E、尸分別在線段"尸和04上,

若直線EF平分直角梯形OAPW的面積，求證：直線EF必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

19.已知銳角二W的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.且2asin(c+t)=b+c.

⑴求角A；

(2)若c=l,求ABC面積的取值范圍.

20.如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A冉GR中，平面ABCD,四邊形A88為菱形，

ZABC=60,AB=2A4,=24百.

3

⑵點(diǎn)M是棱8c上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求二面角M-AD.-D的余弦值.

21.已知圓。:/+丁=4,過(guò)點(diǎn)P(-2夜,0)的直線/與圓。相交于不重合的A,5兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn),

(2)A3。的面積為S,求S的最大值，并求取得最大值時(shí)Z的值.

22.已知函數(shù)/(》)=,-1-%2+奴(”eR,a為常數(shù)).

⑴若函數(shù)y=/(x)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)記g(x)="^,若y=g(x)與y=2在(0,+oo)有兩個(gè)互異的交點(diǎn)片,三，且%，求證：4々-3%<4-2.

x

1.C

【分析】先求出集合A,再根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解.

【詳解】由(x+2)(x—1)40,得—2?xG,則/1={-2,—1,0,1},

又因?yàn)?7={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以電4={-3,2,3}.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何含義以及復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的定義計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,-1),所以z=—2-i,

所以z+i=-2，

所以.

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出該正方體的內(nèi)切球的體積即可作答.

4

【詳解】棱長(zhǎng)為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，當(dāng)磨成的球是這個(gè)正方體的內(nèi)切球時(shí)，球體零件

體積最大，

此時(shí)球體的半徑為「=1，球體的體積為孚，3="xd)3=J.

23326

故選：C

4.A

【分析】根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求得九

、1..

【詳解】由4=(1,1),6=(2,-1),可得而+?=(2+4,--2),a-b=(-l,2),

因?yàn)?"+2〃)“”一人)，所以(/l+4)x(-l)+U-2)x2=0,解得；1=8.

故選：A.

5.D

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算及空間向量基本定理求出了、>、z,即可得解.

【詳解】因?yàn)镋C=2P￡,所以PE=；PC,

所以AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-(AC-AP)=—AP+-AC

33、'33

=-AP+-(AB+AD\=-AB+-AD+-AP,

33、>333

又A￡=xAB+yAD+zAP,

1

x=-

3

14

所以<>=§,則x+y+z=§.

2

z=-

[3

故選：D.

6.B

【分析1根據(jù)幾何意義，將所求式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而研究圖像求解.

【詳解】若|x+2y+2|+|x+2yT卜同1+々+，+卜+2刃］為定值,

即點(diǎn)尸(x?)到直線x+2y+2=0,x+2y-l=0兩條直線距離之和為定值，

顯然，這兩條直線平行，如圖，

5

所以當(dāng)點(diǎn)P（x,y）在與這兩條直線平行的直線上時(shí)，此時(shí)直線以+外+c=0滿足必*0且b=2a,

即b=2a,且aHO,〃wO,|x+2y+2]+|x+2y-為定值，

所以"b=2a”是"|x+2y+2|+|x+2y-l|為定值”的必要不充分條件.

故選：B

7.A

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，記點(diǎn)尸（0,-2）,求出|「。，在RlP8C中，計(jì)算出sin”的值，再利用

二倍角的余弦公式可求得cosa的值.

【詳解】圓x2+y、2x-l=0可化為（x-iy+y2=2,則圓心C（l,0）,半徑為

設(shè)尸（0,—2）,切線為R4、PB,則|PC|="71=。，

在Rt..PBC中，sin￡=H=得，所以cosa=l-2sin23=l-2x(W)=：

故選：A.

8.B

【解析】分0<awg、g<a<l、。=1、”>1四種情況討論，分析函數(shù)“力在區(qū)間（9[]和仕內(nèi)）上的

單調(diào)性，結(jié)合題可得出關(guān)于實(shí)數(shù)“的不等式組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】①當(dāng)0<a《g時(shí)，二次函數(shù)/（力=加一》的對(duì)稱軸為直線x=521,

此時(shí)函數(shù)/（x）在區(qū)間（9,1]上單調(diào)遞減，此時(shí)“X）2”1）=a-1,

函數(shù)/"）=優(yōu)-'—I在區(qū)間（1,.）上單調(diào)遞減，此時(shí)，-l</（x）<0,

6

若使得函數(shù)=有最小值，則”1V-1,解得440,不合乎題意;

②當(dāng);<a<1時(shí)，二次函數(shù)f（x）=ax2-x的對(duì)稱軸為直線x=2<1，

函數(shù)〃x）=a，T_i在區(qū)間0,+8）上單調(diào)遞減，此時(shí)，_1</（%）<0,

若使得函數(shù)"X）=最小值，則-;4-1,解得0<。4，不合乎題意;

a-l,x>l4a4

③當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/（力=12_九=（尤_3）

則函數(shù)“X）在區(qū)間（3』上的最小值為/&）=-；,

當(dāng)X€（l,+oo）時(shí)，/（X）=O.

此時(shí)，函數(shù)/（力=卜:一:，:1有最小值，合乎題意；

[a-l,x>1

④當(dāng)a>1時(shí)，二次函數(shù)/（x）=cvc-x的對(duì)稱軸為直線x=；<1,

函數(shù)〃x）=a*T_i在區(qū)間0,y）上單調(diào)遞增,此時(shí)興力>0,

若使得函數(shù)〃X）=有最小值，則-；40,解得a>0,此時(shí)a>l.

[a-l,x>l4a

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[I,—）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)存在最小值求參數(shù)的取值范圍，分析每支函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，

考查計(jì)算能力，屬于中等題.

9.AC

【分析】根據(jù)題意，由基本不等式對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】X,>'是正數(shù)，2=x+yN2而，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)孫VI,故A正確；

2'+2y>2\l2x-2y=2>/2^=4>當(dāng)且僅當(dāng)x=〉=l時(shí)取等號(hào)，.?.2,+2,有最小值4,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?+4）2=x+y+2而42（x+y）=4,則4+4?2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，故C正確;

7

14(x+y)=J5+上+竺9

對(duì)于D,1+1當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)取等號(hào)，故

xyy)Xy.

D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.ACD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，小矩形面積之和為1可判斷A；利用眾數(shù)的定義可判斷B；根據(jù)百分位

數(shù)計(jì)算公式可判斷C；利用平均數(shù)的計(jì)算公式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻率分布直方圖可知，(0.010+0.015+0.040+4+0.005)x10=1,解得〃=0.030,

故A正確；

對(duì)于B,眾數(shù)的估計(jì)值為75,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為(0.010+0.015+0.040)x10=0.65,

前四組數(shù)據(jù)的頻率之和為(0.010+0.015+0.040+0.030)x!0=0.95,

則設(shè)第71百分位數(shù)是(80,90),

所以0.65+(x-80)x0.030=0.71,解得x=82,所以第71百分位數(shù)是82,故C正確；

對(duì)于D,由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)為

0.010x10x55+0.015x10x65+0.040x10x75+0.030x10x85+0.005x10x95=75.5,故D正確.

故選：ACD.

11.BD

【分析】討論機(jī)=0和〃z/0時(shí)直線的斜率和截距情況，判斷AD的正誤；利用傾斜角和斜率的關(guān)系判斷

B的正誤；將方程化為(》-1)-他()」1)=0判斷直線過(guò)定點(diǎn)，判斷C的正誤.

【詳解】當(dāng)〃?=0時(shí)，直線/:x=l,斜率不存在，

當(dāng)加工0時(shí)，直線/的斜率為工，不可能等于0,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

m

?..直線/與>軸的夾角角為30。，

直線/的傾斜角為60?；?20°,而直線/的斜率為上，

m

**?—=tan60°=或一=tan120°=—\[3,m=,故B選項(xiàng)正確；

mm33

直線/的方程可化為(％-1)-機(jī)(y-1)=0,所以直線/過(guò)定點(diǎn)(1,1),故c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)〃2=0時(shí)，直線/：x=i,在y軸上的截距不存在，

m—1

當(dāng)加wO時(shí)，令x=0,得丁=----,令y=o,得元=1一m，

m

ni—1

令——=1-777,得加=±1,故D選項(xiàng)正確.

m

8

故選：BD.

12.BC

【分析】根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，

即可得到結(jié)果.

【詳解】由題知，在正方體ABCQ-ABCR中，。是棱OR上的動(dòng)點(diǎn)，

建立以A為原點(diǎn)，分別以A8,AO，44,的方向?yàn)椤份S、V軸、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

所以A(O,O,1),C(1,1,O),C,(1,1,1),設(shè)Q(O,l,a),其中04a41,

所以GQ=(—l,0,a-l),AC=(U,—1)，

-1=2

當(dāng)即(T,o,a-i)=2(i,i,-i),所以，0=4,顯然方程組無(wú)解,

a—\——A.

所以不存在2使得GQ=%AC，即不存在點(diǎn)。，使得GQ〃AC,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)GQ-AC=—1+0+1-〃=0時(shí)，解得。=0,故B項(xiàng)正確；

因?yàn)?Q=(0,l,a-D，其中0Va<l，

所以點(diǎn)。到AC的距離為JAQ(-爺芾

2("W)+[J變必]，故C項(xiàng)正確：

e|_V,3-

因?yàn)椤?，04=(0，-1，1一4)，其中04a41，

所以cos(QC,%=當(dāng)當(dāng)=_十=」“丁”40,

|QC||QA|JI+二?JI+(J)2Vi+a2?J[+(]-a)2

所以三角形ACQ為直角三角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

13.25/3

9

【分析】根據(jù)題意，利用圓的弦長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由圓C:（x—3y+（y+4）2=5,可得圓心坐標(biāo)為C（3,-4）,半徑為逐,

又由圓心C到直線/x+y-1=0的距離為d=B[O,

VI2+12

根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得|明=277彳=2月歷=2出.

故答案為：26

14.右（或左）—（或巴+2E,ZeZ中的任何一個(gè)值）（或一-（或一-+2kit,ZeZ中

6666

的任何一個(gè)值））

【分析】首先變形＞=8$]=$山1+5）,sgy=cosx=sinfx-y\再根據(jù)平移規(guī)律，即可求解.

【詳解】函數(shù)y=cosx=sin[x+]J,而丫=$山(、+]]=$布(光+5-已

IT1T

所以y=cosx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，或是向右平移w+2E,keZ中的任何一個(gè)值，即可得到

66

函數(shù)y=sin(x+^J的圖象.

或是y=cosx=sin1-g),y=sinLr+^j=sin3兀117T

X------+------

26

所以y=cosx的圖象向左平移詈個(gè)單位長(zhǎng)度，或是向左平移子+2E,%eZ中的任何一個(gè)值，即可得

66

到函數(shù)丫=5泊[+1]的圖象.

故答案為：右；y（或J+2E,keZ中的任何一個(gè)值）；或左；坐（或坐+2E,ZeZ中的任何

6666

一個(gè)值）

15.3

33

【分析】作出輔助線，得到乙BMO為異面直線R4和則所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)邊長(zhǎng)求出4欣陽(yáng)=90。，

求出cosNBMO=Q2=立，得到答案.

BM3

【詳解】如圖，連接AC,8。相交于。，連接。河，則。為AC的中點(diǎn)，

10

又M為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)M〃AP,

所以N8MO為異面直線期和所成的角或其補(bǔ)角.

又；PCB為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1,故8知=且，

2

又OM=《PA=:，OB=-BD=—,所以8河2=0〃2+082,

2222

1

所以ZMOB=90。，所以8$/8河。=器=}=坐.

BMV33

T

異面直線PA和BM所成的角的余弦值為且.

3

故答案為：也.

3

4

16.-##0.8

5

【分析】利用圓與圓之間的關(guān)系求出公共直線所過(guò)的定點(diǎn)，將其代入"猶+胡=2中，用機(jī)表示〃，代入

m2+n2中轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

【詳解】由圓&：爐+y2一履一y=。和圓C2+y2—2心，-1=0,

可得圓C1和。2的公共弦所在的直線方程為Mx-2y)+(y-1)=0,

[x-2y=0(x=2/、

聯(lián)立《7=0,解得|),=1，即點(diǎn)"(2,1),

又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線/必+〃y=2上，即2m+〃=2,

所以〃=2-2加，

所以＞+n2=nr+(2-2nt)2=5m2-8w+4=5(7n-^)2,

44

當(dāng)加=]取等號(hào)，所以加2+"的最小值為；

4

故答案為：—

11

【分析】（1）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，明確空氣質(zhì)量重度污染的天數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即

可求得答案.

（2）明確此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的事件等價(jià)于此人在4日或5日或7日或8日到達(dá),

由此可求得答案.

【詳解】（1）由圖看出，1日至13日這13天的時(shí)間內(nèi)，空氣質(zhì)量重度污染的是5日、8日共2天，

2

故此人到達(dá)當(dāng)日該市空氣重度污染的概率為5.

（2）此人在該市停留兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)的所有情況為（86,25）,（25,57）,（57,143）,（143,220）,

（220,160）,（160,40）,（40,217）,（217,160）,（160,121）,（121,158）,（158,86）,（86,79）,（79,37）,共

13種情況，

其中只有1天空氣重度污染的是（143,220）,（220,160）,（40,217）,（217,160）,共4種情況，

4

故此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為

18.（l）3x-2y—5=0（2）證明見解析，（3,1）.

【分析】（1）由題設(shè)直線/：3x—2y+C=0,代入點(diǎn)尸（3,2）求出C,即可得解；

（2）設(shè)A（“,0）,8（0,b）,根據(jù)AP=2P8求出。、b,從而求出直角梯形Q4P”的面積，設(shè)E（〃?,2）,

F（n,0）,依題意可得〃?+〃=6,當(dāng)，"K〃時(shí)，求出直線EF的方程，即可求出直線EF過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)

加=〃=3時(shí)，也可得到直線EF過(guò)定點(diǎn).

【詳解】（1）由題設(shè)直線/：3x-2y+C=0,將點(diǎn)（3,2）代入得9一4+。=0,

解得C=-5,故直線/：3x-2y-5=0.

（2）因?yàn)锳因=2尸8,設(shè)4（”,0）,8（0,6）,由尸（3,2）,AP=（3-a,2）,PB=（-3,b-2）,

即有（3—a,2）=2（-3,b—2）,

可得a=9,b=3,M（0,2）,\OM\=2,\PM\=3,

梯形AQW尸的面積為gx2x（3+9）=12,由題意可得梯形尸的面積為6,

設(shè)后（見2）,F（A?,0）,可得gx2（加+〃）=6,即m+九=6,

2

當(dāng)加片〃時(shí)，直線EF的方程為＞=----（x-〃），

m-n

將〃=6—機(jī)代入上式可得2m（＞—1）一（2x+6y-12）=0.

—]=0（x—3

由1:s八，解得一丁則直線政經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3,?

[6y+2x-12=0Iy=1

12

當(dāng)機(jī)="=3時(shí)，石廠的方程為％=3,口過(guò)點(diǎn)（3,1）,綜上所述直線收過(guò)定點(diǎn)（3,1）.

19.⑴AJ(2)

8，

【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊化角，然后結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解;

（2）根據(jù)題意利用正弦定理和面積公式，并結(jié)合三角恒等變換可得SvA3C=,求角。的范

圍，結(jié)合tan。的范圍運(yùn)算求解.

【詳解】(1)因?yàn)?asin(C+t)="c,

可得a(cosC+GsinC)=Z?+c,

由正弦定理得sinA^cosC+\/3sinCj=sinB+sinC,

又因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sin4cosc+cosAsinC,

可得VisirtAsinC=sinCcosA+sinC,

且Cc%，則sinC>0,可得及inA二cosA+1，則sin（A-已1=；,

71兀兀

又因?yàn)樨?可得A-F=F，所以A=9

66?3663

（2）由正弦定理名=—彳，可得6=駕

sinnsinCsmC

jit-C

則."C面積」㈤田旦型二3二

VAK24sinC4sinC

1?.G

—sinCr+——cosCr

622

=----X

4sinC

0<C<-

27TIT

因?yàn)锳BC為銳角三角形，故解得

八r127r/?,Tt

0<B=------C<—o2

32

所以tanC>立，則0<6

3<f2，

所以S八叱的取值范圍為

20.（1）證明見解析（2）噤

13

【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，結(jié)合菱形對(duì)角線互相垂直，得到線面垂直，證明出結(jié)論;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的大小.

【詳解】（1）四棱臺(tái)ABCO-A4CQ中，4A，CG延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，故A,C,C「A共面，

因?yàn)開L平面A8Cr）,8Du平面故

連接AC,AG，因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛8CO為菱形，故AC180,

因?yàn)锳41cAC=A,A%,ACu平面ACC,A,,

故Ml平面ACCH，

因?yàn)镃Gu平面ACGA,

所以BOLCG；

（2）過(guò)點(diǎn)A作8C的垂線交BC與N點(diǎn)，以AN作為x軸，以A。,A4,分別為>軸，z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)AA=1,貝IjA8=2AA,=2ABi=2,

由于ZA8C=60,故BN=1,AN=6,

4I

由于點(diǎn)M是棱8c上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，故

33

則A（0,0,0）,Q（0,1,1）,0（0,2,0）,M

則AR=（O,l』）,AM=,AZ）=（O,2,O）,

AD、-/?=（0,l,l）（6Z,Z?,c）=Z?+c=0

記平面AM。的法向量為”=（S,c）,則，瑪=總+60,

令b=l,則。=一^^，-1,即n=

平面A。烏的法向量可取為〃2=（1,0,0）,

14

則|cos(”,a)卜

故二面角〃?i的余弦值為第

由圖知二面角M-AD.-D為銳二面角,

取得最大值時(shí)k=±3

21.(l)(-l,0)U(0,l)(2)S的最大值為2,

3

【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線/的方程：y=k（x+2夜），可以考慮求得圓心到直線的距離，然后由

直線與圓相交列出不等式，或者聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理列出不等式，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，分別結(jié)合弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式，表示出A3。的面積，結(jié)合函數(shù)的最值即可

得到結(jié)果.

【詳解】（1）解法一；設(shè)直線/的斜率為左，則直線/的方程：y=%1+2血卜

由題意知：圓心到直線的距離1=駛出，

“2+1

因?yàn)橹本€/與圓。相交于不重合的A8兩點(diǎn)，且A6,。三點(diǎn)構(gòu)成三角形，

所以得〈I解得一1<%<1且ZNO,

所以左的取值范圍為（T0）U（0,l）.

解法二：設(shè)直線/的斜率為上,則直線/的方程：y=k（x+141）,

聯(lián)立,=小+2閭

化簡(jiǎn)得:伊+1b2+4限「+8左2-4=0.

x2+y2=4

A=32k4-4(Jl2+l)(8)t2-4)=16-16A:2>0,得一1〈左<1,

因?yàn)锳8,。三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以女二0,

所以左的取值范圍為（T,0）U（0,l）.

（2）直線/:尸％1+2夜），即依-y+2揚(yáng):=0,

點(diǎn)。到直線/距離：4=留&,

^/F7T

所以|AB|=2j22-7=2",4

15

所以S=3ABM=，X4\^^>=4忘#k<1且左二。).

2112Yi+二7F7Ii+公

設(shè)％2+l=f(l</<2),則公=-1，

所以S=4夜.衛(wèi)孚巨=40.產(chǎn)字巨=4夜?何3m.

所以當(dāng)L即即人士且時(shí)，5nm=2.

t433

所以S的最大值為2,取得最大值時(shí)k=±且.

3

22.(1)—1<"