2023-2024學年天津市靜海區(qū)高一年級下冊學業(yè)能力調研數學試題

2023-2024學年天津市靜海區(qū)高一下冊3月學業(yè)能力調研數學試題

一、單選題

i.下列命題：①若忖=可，則

②若a=b<b=c，則a=c;

③a=〃的充要條件是M=W且〃〃b:

④若：//），bile）則

⑤若A、B、C、。是不共線的四點，則4B=QC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條

件.其中，真命題的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】A

【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以

及充分條件、必要條件的定義可判斷③⑤；取6=0可判斷④.

【詳解】對于①，因為卜卜但〃、人的方向不確定，則〃、b不一定相等，①錯；

對于②，若a=b，h=c則。=c,②對；

對于③，且a//b0〃=匕或4=一/?，

所以，所以，訓=忖且：〃>'是％=6”的必要不充分條件，③錯；

對于④，取人=0,則a、C不一定共線，④錯；

對于⑤，若A、B、C、。是不共線的四點，

當AB=OC時，則AW/CO且=此時，四邊形ABCD為平行四邊形，

當四邊形ABCD為平行四邊形時，由相等向量的定義可知A8=OC,

所以，若A、B、C、。是不共線的四點，則A8=￡>C是四邊形為平行四邊形的充

要條件，⑤對.

故選：A.

2.在..43C中，內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,不解三角形，確定下列判斷正

確的是（）

A.8=60。，c=4,b=5,有兩解B.B=60°,c=4,b=3.9,有一解

C.B=60°,c=4,b=3,有一解D.8=60°,c=4,b=2,無解

【正確答案】D

【分析】已知8=60。，c=4的前提下，利用直角A/M構造出關于匕的不等式，即可得出三

角形的個數解.

【詳解】因為B=60。，c=4,如圖于Q,

由直角..4)3可得A￡>=cxsin6(T=2G.

當匕=26或b"時，有一解;

當6<2陋時，無解;

當2石<%<4時，有兩解.

結合四個選項，可知，選項A,B,C三項錯誤.

故選：D

3.已知MV=a+5人，NP=-2(a-4b),PQ=3(a-b),則()

A.M,N,P三點共線B.M,N,。三點共線

C.M,P,。三點共線D.N,P,Q三點共線

【正確答案】B

【分析】利用平面向量共線定理進行判斷即可.

【詳解】NP=—2a+8b，PQ=3(d-b),

:.NQ=NP+PQ=-2a+Sb+3(a-b)=a+5b,

MN=a+5b，

MN=NQ,

由平面向量共線定理可知，MN與NQ為共線向量,

又、MN與N。有公共點N,

:.M,N,。三點共線，

故選:B.

4.在二ABC中，若滿足$出咽=$也23+若sinB-sinC+sin^C,則4等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】D

【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得cosA的值，進而求得A.

【詳解】由正弦定理得"=b2+c2+>/3bc,b2+c2-a2=-y/3bc,

由于0°<A<180。，所以。=150。.

故選：D

5.5知向量同=2,|川=1,且,-3.=J7,則向量a,句的夾角是（）

A.—B.-C.—D.

663

【正確答案】D

【分析】由卜-361=7可求得a.b，根據向量夾角公式可求得結果.

【詳解】3d=同2_64.6+9時=13-6人。=7,,-.a-b=1>

.ab1「、7r

「.cosva,">=同忖=2,又<a、b>G[0,TT],:.<a,b>=-.

故選：D.

6.在J1BC中，若NA=30。，b=\,S詆=6則的值為（）

sinA+sin6

A.2屈B.2歷C.y/37D.V13

【正確答案】B

【分析】利用三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理進行求解.

【詳解】在ABC中，設角A8,C所對的邊分別為a,b,c,

由題知，S..pc=6=；bcsinA,又NA=30°,b-\,

所以C=4X/5,由余弦定理有：a2=b2+c2-2hccosA>解得a=

aha+b_后m

所以由正弦定理有：而X=蓊=sinA+sin廠丁V，故A,C,D錯誤.

2

故選：B.

7.設。是AA3C所在平面內一定點，尸是平面內一動點，若

(PB-PC》(OB+OC)=(PC-PA)(OA+OC)=0，則點0是AAfiC的

A.內心B.外心C.重心D.垂心

【正確答案】B

設8cAe的中點分別為3E,可得OB+OC=2OE>,O4+OC=2OE,再由已知可得

CB2OD=。，得OD1BC,同理可得。ElAC,即可得出結論.

【詳解】設8cAe的中點分別為O,E,

OB+OC=2OD,OA+OC=2OE,

(PB-PC》(OB+OC)=CB-2OD=CBVOD,

所以ODLBC,點。在線段8c的垂直平分線上，

同理點。在線段AC的垂直平分線上，

所以。為AABC的外心.

故選:B.

本題考查三角形外心的向量表示，考查向量線性運算以及垂直的向量表示，考查數形結合思

想，屬于中檔題.

二、填空題

8.已知向量.、b不共線，^.c=xa+b,d=a+(2x-\)b,若c與d共線，則實數x的值為

【正確答案】1或

【分析】利用向量共線的充要條件以及一元二次方程求解.

【詳解】已知向量〃、〃不共線，c=xa+b,d=a+[2x-\)h,所以cwO,dwO,

若c與d共線，則存在實數f，使c=〃，即刈+6=g+(2》-1間,

x-tBP2x2-x-1=0,解得x=l或-g.

所以

1=/(2x-l)

故1或一：.

2

9.在銳角AABC中，角A、B、C的對邊分別為“、b、c,若(〃+加_c)anC=c力，則

角C的值__________.

【正確答案】5

6

【詳解】在AABC中，由(/+從-C)曲。="，整理得正即cosC=2^C,

’72ab2tanC2sinC

QcosC^O,.'.sinC=-,C為AABC內角，，?=鄉(xiāng)或學，因為AABC為銳角三角形，

266

；.c=m，故答案為g.

66

【思路點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要

,222

熟記兩種形式：(1)a2=b2+c2-2bccosA；(2)cos己二一"一，同時還要熟練掌握運

2hc

用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住30",45",60"等

特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.

10.已知一貨輪航行到〃處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20海里，隨后

貨輪按北偏西30。的方向航行30分鐘后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為

海里每小時.

【正確答案】20(76-72)

【分析】設貨輪最后的位置為N,根據題意，畫出示意圖，利用正弦定理求出MN的長,

即可求解貨輪的速度，得到答案.

【詳解】設貨輪最后的位置為N,

由題意如圖所示，ZM=300+15°=45°,ZS=45°-15°=30°,Z/V=105°,

>/6+yp2

在中,MS=20,sin105°=sin(45°+60°)=

4

MN_MS

因為

sinZSsinNN

20x1

所以MN=a盤=1。即塔,

4

10(V6-V2)

所以貨輪的速度為----j-=-2--0-(-6海里每小時

2

故答案為.20(卡-0)

11.若(4+6+c)S+c—a)=3Ac,且sinA=2sin8cosC,那么.ABC是___________三角形

【正確答案】等邊三角形

根據余弦定理得到A=?，再根據正弦定理結合余弦定理得到方=c,得到答案.

【詳解】由題設可得62+。2-02=兒，故C0SA="2+：：_"'故A=J,

2bc23

根據正弦定理得到：a=2hcosC9故岳〃一，即從一。2=0,即8=。，

2ab

即該三角形是等邊三角形.

故等邊三角形.

本題考查了利用正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀，意在考查學生的計算能力和應用能

力.

12.如圖，在A3C中，。是AB的中點，。是CQ上一點，且CO=2O￡＞，過點。作一條直

3

線與邊AC3C分別相交于點E,F,若CE==C4,CF=〃C8,則4=.

4141

【分析】利用線性運算得到C°=§CE+*b,然后根據￡。,尸三點共線得到J0",

最后解不等式即可.

3112141

【詳解】。=不。0=彳。1+7c3=彳叱+丁CF,所以00=百庭+丁CF,因為瓦O,歹三

22232〃93〃

413

點共線，所以A+丁=1，解得〃=：.

93〃5

故答案為《3

13.在邊長為6的正三角形ABC中，E為BC的中點，F在線段AC上且AF=：FC.若AE

2

與M交于M,則"4"8=.

77

【正確答案】

4

【分析】先以A8,AC為基底表示出再利用向量數量積的定義即可求得MA.M8的

值.

【詳解】令A8=c,AC=6,則=

令AM=2AE=5（c+b）,

貝ijBM=AM-AB=^c+b^-c=-b+-^-c

二1

—=一〃

23

由BM//BF，可得BM=〃BF,則；，解之得＜

X—21

----=―〃

22

11Q

貝ljAM=i（c+/?）,BM=-b--c

則MB=_'（（?+〃）?（--/?+—c|=―--c2+—Z?2--h-c

4、…44J16168

3c/1rw1//九27

=x36+——x36——x6x6cos—=---

1616834

三、解答題

14.平面內給出三個向量方=(3,2),h=(—1,2),c=(4,1),求解下列問題:

⑴求向量〃在向量方向上的投影向量的坐標;

（2）若向量a+人與向量mc+Z,的夾角為銳角，求實數機的取值范圍;

（3）若（a+人U（2〃-a），求實數人的值.

1?

【正確答案】(1)(-§,7

14

⑵ZM＞一］且，

(3)--

18

【分析】（1）根據投影向量坐標公式計算即可；

⑵根據￡+石與涼+》的夾角為銳角得到（a+b）―（/c+b）>0且a+J與板+。不同向共線,

然后列不等式求解即可；

（3）根據（a+h）_L（2〃一a）得到（a+女）?（力一力=0,然后解方程即可.

【詳解】（1）a在b方向上的投影向量坐標為

（2）a+方=（2,4）,mc+h=^4m-l,m+2^,

因為a+6與機c+力的夾角為銳角，所以（。+辦但c+b）=8，〃-2+4〃?+8>0,且“+/,與

”?c+〃不同向共線，即2（，〃+2）工4（4，”—1）,解得〃?>-；且

（3）a+kc=（3+4k,2+k）,2Z?-a=（-5,2）,

因為（〃+丘），（26-“），所以（a+h）（26-a）=-5（3+4k）+2（2+%）=0,解得出=-*

15.在一ABC中，內角48、C所對的邊長分別為a、b、c,且滿足"8sA二駕.

csmC

⑴求A；

（2）若。=46,匕=4,求548c.

7T

【正確答案】（1）§

(2)473

【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式得出A；

（2）由正弦定理得出sinB=g,再由面積公式求解.

?、洋皿、/八聲d20cosAsinB.口2sinBcosAsinB

【詳解】（1）因為-------=丁二，由正弦定理可得，———_■=下）

csinCsmCsinC

因為sinBsinC/O,所以cosA='

2

TT

因為A為三角形的內角，所以4=§

（2）因為a=46，b=4,A=g,

4^_4

由正弦定理可得：忑一而i，所以sinB=]

T

因為A為三角形的內角，所以8=mTT，C=TfT

6o

5AziBC=，a3sinC=gx4Kx4xg=4#.

16.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，。是8c的中點.

（1）求向量AO與向量AC-2AB的夾角；

⑵若。是線段AO上任意一點，求。OB的最小值；

（3）通過本題的解答，試總結利用平面向量解決平面問題的基本方法

27r

【正確答案】（1）彳；

（2）-1；

4

（3）詳見解析.

【分析】（1）利用向量夾角公式即可求得向量4。與向量AC-2A8的夾角；

（2）先求得。小。8的代數表達式，再利用二次函數最值即可求得0405的最小值;

（3）合理使用平面向量基本定理和向量數量積是解決平面向量問題的基本方法.

【詳解】（1）由題意可得AZ>.AC=AZ>（AQ+DC）=AT>2=3，

271

ADAB=AD(AD+DB)=AD=3,AB-AC=2x2cos—=2,

3

AD\AC-2AB)

cos<AD,AC-2AB>=

|AD||AC—2ABi

ADAC-2343_3-2x3

|AD|^AC2-4AC-AB+4AB'\AD\yIAC-4AC-AB+AAB'

__________-3_________

^XV22-4X2+4X222

因為0AD,AC-2AB><n,

故向量AO與向量AC-2AB的夾角為亍.

(2)OA-OB=OA-(OA+AB)=OA-AO-AB

=|OA|2_|OA|.|AB|.COS==|OA|2-@OA|=\OA\-

6

當|0A=3時，0408取得最小值，且最小值為一;

24

（3）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義；利用數量積的幾何意義；利用向量的坐標運

算.具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用.

四、雙空題

17.如圖，在平面四邊形A8C3中，ABLAD,AB=BC=26,ZABC=y，且A>AC=12,

則,4=,若M是線段A8上的一個動點，則。MCM的取值范圍是

D

【正確答案】4[—,18]

4

【分析】根據題意求出NC4O=?,AC=26再根據平面向量數量積的定義可得|A“；

設AM=fA8(04Y1),將。M和CM化為AB、AC、AO表示，利用定義求出DM-。旅關

于f的二次函數，根據二次函數知識可求得結果.

【詳解】因為4B=BC=26，4BC=(,所以叢BC為正三角形，所以AC=2百，

NBAC=生,

3

因為所以NC4O=生，

6

7rIAD1=I?_4

因為AO,4C=12，所以IA0?AC|COS7=12,所以、國6

62V3x-

2

因為“是線段AB上的一個動點，所以可設AM=rAB(O<r<l),

所以。M?CM=(AM-ADY(AM-AC)=(tAB-AD)(tAB-AC)

=rAB2-tABAC-tABAD+ADAC

=(2>/3)2r2-r-2>/3x2^xl-0+12

…1、245

=127/-67+12=12Q-二)+—,

44

因為04/1,所以f=!時，12(r-1)2+f取得最小值f,當/=i時，i2”!)2+f取得

444444

最大值18,

所以。的取值范圍是[子』8].

4

45

故4；[亍,18]

4

關鍵點點睛：將DW和CM化為AB、AC、A。表示，利用定義求出0M是解題關鍵.

五、解答題

18.已知向量根=卜山,1),〃=(缶0誄10$2[,函數f(x)=，W-〃.

(1)求函數f(x)的最大值及相應自變量的取值；

⑵在一MC中，角A&C的對邊分別為《b、c,若〃A)=g,a=2,求b+c的取值范圍.

7T

【正確答案】(1)1;x=-+lai,keZ

O

(2)(2,4]

【分析】(1)利用向量坐標運算，二倍角公式和輔助角公式表示出f(x),即可求出其最大值

以及相應自變量的取值；

(2)結合(1)中的/(x),求出A=],再利用余弦定理和基本不等式變形即可求出結果.

【詳解】(1)由題知，

f(x)=〃?■〃=gsinxcosx+~cos2x

,rJ。/J1

——sin2xH—cos2x—sin2x4—

22I

所以當2_r+j2r='jr+2E,%€Z,

62

即x=2+時，/(x)最大，且最大值為1；

o

(2)由⑴知，〃力=5皿(2%+2}

則"A)=sin(2A+e)=g,

解得A=或互+E?eZ,

3

所以一ABC