安徽省六校教育研究會(huì)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期下學(xué)期第二次素養(yǎng)測(cè)試（2月）數(shù)學(xué)試題

安徽六校教育研究會(huì)2024屆高三年級(jí)第二次素養(yǎng)測(cè)試數(shù)學(xué)試題2024.2考生注意：1．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合，再求出集合，最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：B2.若，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算公式，化解復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的公式，即可求解.詳解】，則，.故選：C3.的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令，即可求出展開(kāi)式中的系數(shù)，從而得解.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（其中且），令可得，所以，解得.故選：B4.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”.根據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是A.甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 B.乙地：總體均值為1，總體方差大于0C.丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D.丁地：總體均值為2，總體方差為3【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由于甲地總體均值為，中位數(shù)為，即中間兩個(gè)數(shù)（第天）人數(shù)的平均數(shù)為，因此后面的人數(shù)可以大于，故甲地不符合.乙地中總體均值為，因此這天的感染人數(shù)總數(shù)為，又由于方差大于，故這天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為，眾數(shù)為，出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)，故丙地不符合，故丁地符合.考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差5.橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將點(diǎn)代入橢圓方程得，即可得橢圓方程，由題意離心率公式求解即可.【詳解】將代入可得，化簡(jiǎn)可得，解得或（舍去），故橢圓方程為，所以，故，故，故選：A6.若函數(shù)在區(qū)間恰存三個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的取值范圍求出，再結(jié)合題意及正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可.詳解】當(dāng)，則，，依題意可得，解得，即的取值范圍是.故選：A7.已知棱長(zhǎng)為8的正四面體，沿著四個(gè)頂點(diǎn)的方向各切下一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個(gè)球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出正四面體的外接球半徑,再求出，再結(jié)合外接球知識(shí)求出該八面體的外接球半徑,結(jié)合球的表面積計(jì)算即可.【詳解】如圖：設(shè)為正四面體的外接球球心，為的中心,為的中心,為的中點(diǎn)，因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為8，易得平面，易得，平面，平面，則，由正四面體外接球球心為，則在，則為外接球半徑，由得，解得，即,在正四面體中，易得，，所以，則該八面體的外接球半徑,所以該球形容器表面積的最小值為，故選：D.8.已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先將方程改寫(xiě)成；再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，得出，即，將方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，列出不等式，求解即可.【詳解】由題目條件可得：.令，可得：，則，即，.令，則；.因?yàn)椋裕瑒t函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)椋?，得；令，?所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.則.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，解得：.又因，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查方程與函數(shù)思想、利用導(dǎo)數(shù)確定判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值等.解題關(guān)鍵在于將方程改寫(xiě)成；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，得出，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分、共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，取最大值D.當(dāng)時(shí)，的最小值為19【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)，結(jié)合分析公差判斷即可；對(duì)B，根據(jù)作差法結(jié)合A中結(jié)論分別判斷的正負(fù)即可；對(duì)C，由判斷即可；對(duì)D，根據(jù)可得，再分析時(shí)滿(mǎn)足判斷即可.【詳解】對(duì)A，則，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，即.因?yàn)?，若公差，則，不滿(mǎn)足，故，則.則，故A正確；對(duì)B，由A，，故.則，則，又，故，故B正確；對(duì)C，由可得，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，，可得.故當(dāng)時(shí)，需要滿(mǎn)足，故的最小值為19，故D正確.故選：ABD10.已知直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)為，則（）A.的最小值為B.的最大值為4C.定值D.存在定點(diǎn)，使得為定值【答案】ACD【解析】【分析】利用直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)進(jìn)行逐項(xiàng)分析，對(duì)于A，根據(jù)和直線(xiàn)垂直時(shí)，取最小值求解即可；對(duì)于B，驗(yàn)證直線(xiàn)能否過(guò)圓心即可；對(duì)于C，聯(lián)立直線(xiàn)和圓的方程，將表示出來(lái)求解即可；對(duì)于D，利用，結(jié)合直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半求解即可.【詳解】直線(xiàn)，即，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),且圓的圓心為，半徑為2,，故在圓內(nèi)，對(duì)于A，當(dāng)和直線(xiàn)垂直時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離最大，距離，此時(shí)最小，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為圓的直徑，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)圓心，方程無(wú)解，故直線(xiàn)不可能過(guò)圓心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立圓得，，此時(shí)當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立圓，得，即，，，,,帶入得：，故為定值，故C正確；對(duì)于D，中點(diǎn)為，故,且在上，所以,故是直角三角形，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為定值，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域均為，，，，且當(dāng)時(shí)．，則（）A.B.C.函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D.方程有且只在2個(gè)實(shí)根【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，構(gòu)造方程，通過(guò)解方程組求出函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，然后利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A：由，可得，所以所以，即所以，得，故為周期函數(shù)，且周期為，又，可得，故，令可得，令中的可得所以，A正確；對(duì)于B：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，由得，所以由得，所以，又，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，可得，故，即，，由，可得，故，即，所以故為奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且周期為，又當(dāng)時(shí)．，作出的圖象如下：由圖可知函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于D：方程，即，由圖可知，函數(shù)的圖象和的圖象有個(gè)交點(diǎn)，即方程有個(gè)實(shí)根，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系，我們可以通過(guò)構(gòu)造方程組來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，就像解方程組一樣，想求什么就消去什么就行了.另外，對(duì)于方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,則______．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合題意求出及直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得到，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)在第四象限，因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,所以，解得，不妨設(shè)，所以，所以直線(xiàn)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，可得,所以，，解得，所以.故答案為：.13.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】如圖，以線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，,又，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，以線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，即，解得，,因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最大值為.故答案為：.14.設(shè)是以定點(diǎn)為球心半徑為的球面，是一個(gè)固定平面，到的距離為．設(shè)是以點(diǎn)為球心的球面，它與外切并與相切．令A(yù)為滿(mǎn)足上述條件的球心構(gòu)成的集合．設(shè)平面與平行且在上有A中的點(diǎn)．設(shè)是平面與之間的距離．則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】過(guò)作的垂線(xiàn)，交于，建立空間直角坐標(biāo)系，使得的坐標(biāo)為，且，再根據(jù)球相切的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得最小值.【詳解】過(guò)作的垂線(xiàn)，交于.以為原點(diǎn)，為面建立空間直角坐標(biāo)系使得的坐標(biāo)為.則平面與之間的距離為.當(dāng)且僅當(dāng)，即，故.因此，當(dāng)時(shí)取最小值.故答案為：四、解答題：本題共5小題、共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求角C；（2）若，求角的平分線(xiàn)的長(zhǎng)度.【答案】15.16.1【解析】【分析】（1）利用兩角和正弦公式及正弦定理化簡(jiǎn)得，再利用輔助角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）利用余弦定理求得，根據(jù)面積相等建立方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】由得.由正弦定理得，得，得.因?yàn)?，所以，即，又，所?【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，可得，又，所以，即，所以.16.如圖，四棱錐的底面是菱形，點(diǎn)分別在棱上，．（1）證明：平面；（2）若二面角大小為120°，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取棱上一點(diǎn)，使得，連接，再證明四邊形為平行四邊形，從而根據(jù)證明即可；（2）取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，根據(jù)幾何關(guān)系證明平面，再分別以為為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角與線(xiàn)面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】取棱上一點(diǎn)，使得，連接，，，且，，，且，，且，故四邊形平行四邊形，.又平面平面，平面.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，菱形中，，為等邊三角形，，是二面角的平面角，即，且平面，，即，又，又平面，，又，平面，平面，平面.分別以為為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，所以，，設(shè)平面，記與平面所成角大小為，由，取，，綜上，與平面所成角的正弦值為．17.（1）已知，證明：；（2）證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造，，分別求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合，證明即可；（2）結(jié)合第（1）問(wèn)，對(duì)任意的恒成立，再令，得到，再累加求和證明即可.【詳解】（1）證明：令則在單調(diào)遞增，所以即；令則在單調(diào)遞增，所以即所以，所以綜上，；（2）結(jié)合第（1）問(wèn)，對(duì)任意的恒成立，令，則，即．即，，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，并結(jié)合證明常用不等式；（2）有累加形式證明的不等式，通常根據(jù)前問(wèn)的結(jié)論，代入特殊值可得不等式，最后累加求和進(jìn)行證明.18.某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿(mǎn)足學(xué)生的不同口味和需求．（1）現(xiàn)在對(duì)學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？性別就餐區(qū)域合計(jì)南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計(jì)711788（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）沒(méi)有關(guān)聯(lián)（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)卡方計(jì)算公式計(jì)算，與臨界值比較即可求解，（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率，結(jié)合全概率公式即可求解（?。?，根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解（ⅱ）.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)表中數(shù)據(jù)，，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)．【小問(wèn)2詳解】設(shè)“第天去甲餐廳用餐”，“第天去乙餐廳用餐”，“第天去丙餐廳用餐”，則兩兩獨(dú)立，．根據(jù)題意得，．（?。┯桑Y(jié)合全概率公式，得，因此，張同學(xué)第2天去乙餐廳用餐的概率為．（ⅱ）記第天他去甲，乙，丙餐廳用餐的概率分別為，則，由全概率公式，得故①同理②③④由①②，，由④，，代入②，得：，即，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，所以于是，當(dāng)時(shí)綜上所述：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：（1）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累加法求解；（4）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累乘法求解.19.已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)，直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)．證明：的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由雙曲線(xiàn)定義得到點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，求出答案；（2）設(shè)，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線(xiàn)，求出的坐標(biāo)，同理得到的坐標(biāo)，得到的中點(diǎn)坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由題意可