14.3.2公式法（二）完全平方公式（解析版）

公式法（二）完全平方公式知識點管理知識點管理歸類探究夯實雙基，穩(wěn)中求進歸類探究知識點一：因式分解-完全平方公式要點一、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.要點二、因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學(xué)到）．要點三、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．題型一：判斷能否利用完全平方公式因式分解【例題1】（2021·湖南長沙·八年級期末）下列多項式能直接用完全平方公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式進行分解逐一判斷，即可解答．【詳解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合題意；B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合題意；C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合題意；D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2021·遼寧沈陽·八年級期末）下列多項式能直接用完全平方公式進行因式分解的是（

）A．x2＋2x﹣1 B．x2﹣x＋ C．x2＋xy＋y2 D．9＋x2﹣3x【答案】B【分析】根據(jù)能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍進行分析即可．【詳解】解：A、x2＋2x﹣1不能直接用完全平方公式進行因式分解，故此選項不合題意；B、x2﹣x＋＝(x﹣)2，能直接用完全平方公式進行因式分解，故此選項符合題意；C、x2＋xy＋y2不能直接用完全平方公式進行因式分解，故此選項不合題意；D、9＋x2﹣3x不能直接用完全平方公式進行因式分解，故此選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了公式法分解因式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式：．【變式1-2】（2020·江蘇鹽城·七年級期中）下列各式中，能直接運用完全平方公式進行因式分解的是（

）A．4x2+8x+1 B．x2-4x+16 C．x2-6xy-9y2 D．【答案】B【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：由所以能直接運用完全平方公式進行因式分解的是，故選：B．【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·江蘇連云港·七年級期末）下面的多項式中，能因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】完全平方公式的考察，【詳解】A、C、D都無法進行因式分解B中，，可進行因式分解故選：B【點睛】本題考查了公式法因式分解，常見的乘法公式有：平方差公式：，完全平方公式：題型二：使用完全平方公式因式分解【例題2】（2022·山東濟南·中考真題）因式分解：______．【答案】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題考查了公式法的運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2021·寧夏銀川·一模）分解因式：___________________．【答案】##【分析】運用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：【點睛】此題考查了公式法進行因式分解，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2021·廣東·梅州市學(xué)藝中學(xué)八年級期中）因式分解：m2-8m+16=________．【答案】（m-4）2【分析】先將原式寫成完成平方公式的形式，然后運用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：m2-8m+16=m2-8m+42=（m-4）2．故答案是（m-4）2．【點睛】本題主要考查了運用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·吉林四平·八年級期末）因式分解：____________．【答案】【分析】先把括號里邊的展開，然后利用公式法因式分解即可．【詳解】解：原式===故答案為：【點睛】本題主要考查公式法因式分解，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．題型三：先提公因式再完全平方公式因式分解【例題3】（2022·河北·高邑縣教育局教研室七年級期末）因式分解：．【答案】2x（x﹣2）2【分析】先提取公因式，再用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：＝2x（x－4x＋4）＝2x（x﹣2）2．【點睛】此題考查了乘法公式和因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2021·山東棗莊·八年級階段練習(xí)）因式分解：﹣3ax2+6axy﹣3ay2；【答案】【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式分解即可；（1）解：﹣3ax2+6axy﹣3ay2＝﹣3a（x2﹣2xy+y2）＝；【點睛】本題考查因式分解，用到了提公因式法與公式法，解題的關(guān)鍵是注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．【變式3-2】（2022·山東德州·八年級階段練習(xí)）因式分解：(2)2x3y+4x2y2+2xy3．【答案】2xy(x+y)2【分析】直接提取公因式2xy，再利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式＝2xy(x2+2xy+y2)＝2xy(x+y)2；【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·江蘇揚州·七年級期中）分解因式：【答案】5b(a－2b)2【分析】先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；（1）解：原式=5b(a2－4ab+4b2)=5b(a－2b)2【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．題型四：已知能使用完全平方公式因式分解求參數(shù)【例題4】（2022·福建漳州·八年級期中）已知能運用完全平方公式因式分解，則的值為（

）A．12 B． C．24 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，由此即可得到答案．【詳解】解：能運用完全平方公式因式分解，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2022·廣東肇慶·八年級期末）關(guān)于x的二次三項式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，則a的值是（）A．﹣6 B．±6 C．12 D．±12【答案】D【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出a的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的二次三項式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，∴ax=±12x．故選：D．【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021·湖南永州·七年級期中）若多項式能因式分解為，則k的值是（

）A．12 B．12 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式先確定a，再確定k即可．【詳解】解：解：因為多項式能因式分解為，所以a=±6．當(dāng)a=6時，k=12；當(dāng)a=-6時，k=-12．故選：A．【點睛】本題考查了完全平方式．掌握完全平方公式的特點，是解決本題的關(guān)鍵．本題易錯，易漏掉k=-12．【變式4-3】（2022·河北唐山·七年級期末）在多項式添加一個單項式，使得到的多項式能運用完全平方公式分解因式，則下列表述正確的是（

）嘉琪：添加，陌陌：添加，嘟嘟：添加，A．嘉琪和陌陌的做法正確 B．嘉琪和嘟嘟的做法正確C．陌陌和嘟嘟的做法正確 D．三位同學(xué)的做法都不正確【答案】A【分析】利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：添加，，故嘉琪的表述是正確的；添加，，故陌陌的表述是正確的；嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是錯誤的，故選：A【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．題型五：含多項式完全平方公式因式分解【例題5】（2022·黑龍江綏化·中考真題）因式分解：________．【答案】【分析】將看做一個整體，則9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查應(yīng)用完全平方公式進行因式分解，整體思想，能夠熟練逆用完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式5-1】（2021·山西運城·八年級期末）分解因式．【答案】（x+y）2（x-y）2．【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．解：=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2020·上海市蒙山中學(xué)）分解因式：_____________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式可直接進行求解．【詳解】解：；故答案為．【點睛】本題主要考查利用乘法公式進行因式分解，熟練掌握公式法因式分解是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇無錫·七年級期中）因式分解：【答案】【分析】直接根據(jù)完全平方公式因式分解，再根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．解：原式＝=

=．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型六：完全平方公式因式分解結(jié)合非負數(shù)性質(zhì)求值【例題6】（重慶南開（融僑）中學(xué)校七年級期末）若a，b滿足a2+b2-2a+6b+10=0，則a+b的值是___________.【答案】-2【分析】已知等式左邊利用完全平方公式變形，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【詳解】由a2+b2-2a+6b+10=0，得a2-2a+1+b2+6b+9=0，即(a-1)2+(b+3)2=0，∵(a-1)2≥0，(b+3)2≥0，∴a-1=0，b+3=0，即a=1，b=-3，∴a+b=1-3=-2，故答案為：-2．【點睛】本題考查了因式分解-運用公式法，非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式6-1】（山東八年級月考）已知，則________.【答案】2【分析】先把元二元二次方程化簡，得到利用非負數(shù)性質(zhì)求出x，y，即可求出x+y的值.【詳解】解：整理得：∴∴，∴，∴；故答案為：2.【點睛】本題考查了因式分解和整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方式的變形求值.【變式6-2】（上海市田林第三中學(xué)七年級月考）若，則____________【答案】4.【分析】利用完全平方公式化簡，求得x，y的值，然后計算即可.【詳解】解：方程可化為：則有∴，，解得，，∴.故答案為：4.【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟悉完全平方公式是解題的關(guān)鍵.【變式6-3】（全國七年級單元測試）若，則______，______．【答案】24【分析】將原式變形為，然后利用絕對值和完全平方式的非負性求解.【詳解】解：∵且∴m-2=0;n-4=0∴m=2;n=4故答案為：2；4.【點睛】本題考查完全平方公式的因式分解和絕對值及完全平方式的非負性，熟練掌握相關(guān)計算方法和性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵.鏈接中考體驗真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·廣西河池·中考真題）多項式因式分解的結(jié)果是(

)A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：．故選：D．【點睛】本題主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答關(guān)鍵．【真題2】．（2021·江蘇蘇州·中考真題）因式分解______．【答案】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【詳解】解：（x﹣1）2．故答案為：（x﹣1）2．【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．【真題3】（內(nèi)蒙古巴彥淖爾·中考真題）分解因式：a2-6a+9=___________.【答案】（a-3）2【分析】根據(jù)完全平方公式進行因式分解即可得.【詳解】a2-6a+9=a2-2×a×3+32=(a-3)2，故答案為（a-3）2.【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.【真題4】（2021·浙江紹興·中考真題）分解因式：=___________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：=故答案為：．【點睛】此題考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解決此題的關(guān)鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（全國七年級單元測試）若是完全平方式，則的值為多少？【答案】.【分析】首先把分類整理為，再進一步利用多項式乘法計算展開，把看作整體，在配方成完全平方式，進一步探討即可得出答案．【詳解】∴，即.【點睛】此題考查完全平方式的運用，注意常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．【拓展2】（2021·湖南湘鄉(xiāng)市·七年級期末）下面是某同學(xué)對多項式因式分解的過程．解：設(shè)，則原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）解答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的方法是（）A．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“徹底”或“不徹底”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式進行因式分解．【答案】