基于混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格上的NS方程求解及應(yīng)用研究

基于混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格上的NS方程求解及應(yīng)用研究一、本文概述本文旨在探討基于混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格上的Navier-Stokes（NS）方程求解及其應(yīng)用研究。NS方程是描述流體動力學(xué)行為的基礎(chǔ)方程，廣泛應(yīng)用于氣象學(xué)、海洋學(xué)、航空航天、水利工程等領(lǐng)域。NS方程的求解通常涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算和龐大的計算資源，研究有效的數(shù)值求解方法具有重要的理論和實際意義?；旌暇W(wǎng)格和多重網(wǎng)格方法作為兩種高效的數(shù)值求解技術(shù)，近年來在NS方程求解中得到了廣泛關(guān)注?；旌暇W(wǎng)格方法結(jié)合了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的優(yōu)點，能夠在保證計算精度的同時，提高計算的靈活性和效率。多重網(wǎng)格方法則通過在不同尺度的網(wǎng)格上進行迭代計算，實現(xiàn)了快速收斂和高效求解。本文首先介紹NS方程的基本理論和數(shù)值求解方法，然后重點分析混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格方法在NS方程求解中的應(yīng)用原理和技術(shù)實現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，本文將通過具體算例，探討這兩種方法在NS方程求解中的實際效果和性能表現(xiàn)。本文將總結(jié)研究成果，并展望未來的研究方向和應(yīng)用前景。通過本文的研究，旨在為NS方程的數(shù)值求解提供新的思路和方法，推動流體動力學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的研究和發(fā)展。也希望本文的研究結(jié)果能為實際工程應(yīng)用提供一定的參考和借鑒。二、混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格理論基礎(chǔ)在數(shù)值求解流體動力學(xué)中的Navier-Stokes（NS）方程時，混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格方法被證明是非常有效的工具。這些方法的理論基礎(chǔ)主要源自偏微分方程數(shù)值解法和計算流體力學(xué)。混合網(wǎng)格是一種將結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格相結(jié)合的技術(shù)。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在計算效率上具有優(yōu)勢，因為它們允許使用簡單的、計算效率高的數(shù)值方法，如有限差分法和有限體積法。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在復(fù)雜幾何形狀的適應(yīng)性上有所不足。相反，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格能夠靈活適應(yīng)各種復(fù)雜的幾何形狀，但計算效率相對較低?；旌暇W(wǎng)格方法通過在幾何形狀簡單的區(qū)域使用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，而在形狀復(fù)雜的區(qū)域使用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，從而實現(xiàn)了計算效率和適應(yīng)性的平衡。多重網(wǎng)格方法則是一種基于網(wǎng)格層次結(jié)構(gòu)的數(shù)值求解技術(shù)。它通過在不同粗細程度的網(wǎng)格上交替進行迭代計算，實現(xiàn)了快速收斂和高效的計算效率。多重網(wǎng)格方法的基本思想是利用不同分辨率的網(wǎng)格來捕捉不同尺度的信息。在較粗的網(wǎng)格上，可以快速消除解的低頻誤差；而在較細的網(wǎng)格上，可以精細處理解的高頻誤差。這種逐層逼近的方法大大提高了求解的效率和穩(wěn)定性。在NS方程的求解中，混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格方法常常結(jié)合使用。利用混合網(wǎng)格技術(shù)生成適應(yīng)性強、計算效率高的網(wǎng)格。在這個網(wǎng)格基礎(chǔ)上，應(yīng)用多重網(wǎng)格方法進行快速、穩(wěn)定的數(shù)值求解。這種結(jié)合不僅提高了NS方程求解的精度和效率，還使得方法能夠適用于更廣泛的流體動力學(xué)問題?；旌暇W(wǎng)格和多重網(wǎng)格的理論基礎(chǔ)為NS方程的數(shù)值求解提供了有效的工具和方法。它們不僅提高了計算效率和穩(wěn)定性，還增強了數(shù)值方法的適應(yīng)性和魯棒性。這些理論的發(fā)展和應(yīng)用將進一步推動流體動力學(xué)和計算流體力學(xué)領(lǐng)域的研究和發(fā)展。三、方程的基本理論及數(shù)值求解方法Navier-Stokes（NS）方程是描述粘性流體運動的基本方程，其理論基礎(chǔ)建立在質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒這三大物理定律之上。這些定律通過一系列偏微分方程來表達，其中包括連續(xù)性方程、動量方程和能量方程。對于不可壓縮流體，通常只考慮前兩個方程，因為它們對于許多流動問題已經(jīng)足夠。在數(shù)值求解NS方程時，常用的方法有有限差分法、有限元法和有限體積法。這些方法都是基于離散化連續(xù)方程組的思想，即將連續(xù)的空間和時間域離散成有限的網(wǎng)格點，然后在這些網(wǎng)格點上求解方程。由于NS方程的非線性特性和對流項的復(fù)雜性，直接求解通常面臨計算量大、穩(wěn)定性差等問題。研究者們提出了一系列數(shù)值技術(shù)來改進求解過程，如時間積分方法、空間離散化方法、湍流模型等。近年來，混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格方法在NS方程求解中得到了廣泛應(yīng)用?；旌暇W(wǎng)格方法結(jié)合了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的優(yōu)點，能夠更好地適應(yīng)復(fù)雜流場的計算需求。通過合理布置網(wǎng)格，可以在關(guān)鍵區(qū)域提高計算精度，同時減少計算量。多重網(wǎng)格方法則利用不同分辨率的網(wǎng)格層次，通過逐層迭代求解，加速收斂過程。這種方法在處理大規(guī)模、高復(fù)雜度的NS方程求解問題時表現(xiàn)出色。在實際應(yīng)用中，NS方程求解方法的選擇和應(yīng)用需要根據(jù)具體問題的特點進行。例如，在航空航天領(lǐng)域，高速、高溫、高壓力等極端條件下的流體運動需要高精度、高效率的求解方法；在水利工程領(lǐng)域，流動區(qū)域通常較大，需要利用多重網(wǎng)格等方法來加速計算過程。隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，并行計算、云計算等新技術(shù)也為NS方程的高效求解提供了有力支持。NS方程的基本理論及數(shù)值求解方法是研究流體運動規(guī)律的關(guān)鍵。通過選擇合適的數(shù)值方法和技術(shù)手段，可以更好地解決各種復(fù)雜流體運動問題，為實際應(yīng)用提供有力支撐。四、基于混合網(wǎng)格的方程求解算法研究隨著計算流體力學(xué)的發(fā)展，對于復(fù)雜流動現(xiàn)象的模擬，傳統(tǒng)的單一網(wǎng)格方法往往難以滿足精度和效率的需求?；诨旌暇W(wǎng)格的求解算法成為了近年來的研究熱點?；旌暇W(wǎng)格結(jié)合了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的優(yōu)點，能夠在保持較高計算效率的更好地處理復(fù)雜的幾何形狀和流動現(xiàn)象。在混合網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，我們提出了一種針對NS方程的高效求解算法。該算法結(jié)合了有限體積法和有限差分法，充分發(fā)揮了兩種方法在數(shù)值計算中的優(yōu)勢。在結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格區(qū)域，我們采用有限體積法，該方法具有守恒性好、計算穩(wěn)定等特點，適合處理大規(guī)模的流場計算。而在非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格區(qū)域，我們采用有限差分法，該方法靈活性強，能夠很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀。為了進一步提高計算效率，我們還引入了多重網(wǎng)格技術(shù)。多重網(wǎng)格方法通過在不同分辨率的網(wǎng)格上交替進行迭代計算，實現(xiàn)了快速收斂。在混合網(wǎng)格中，我們將多重網(wǎng)格技術(shù)與傳統(tǒng)的迭代方法相結(jié)合，有效提高了NS方程的求解速度。在實際應(yīng)用中，我們選取了一些典型的流動問題進行驗證。通過對比實驗數(shù)據(jù)和計算結(jié)果，驗證了基于混合網(wǎng)格的NS方程求解算法的有效性和可靠性。我們還發(fā)現(xiàn)，在處理復(fù)雜流動問題時，該算法能夠捕捉到更多的流動細節(jié)，為后續(xù)的流動控制和優(yōu)化提供了更為準確的數(shù)據(jù)支持?；诨旌暇W(wǎng)格的NS方程求解算法研究是一項具有重要意義的工作。通過結(jié)合結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的優(yōu)點，以及引入多重網(wǎng)格技術(shù)，我們能夠更好地處理復(fù)雜流動問題，提高計算精度和效率。未來，我們將繼續(xù)深入研究該方法的應(yīng)用范圍和優(yōu)化策略，為流體力學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展做出更大的貢獻。五、基于多重網(wǎng)格的方程求解算法研究多重網(wǎng)格方法是一種高效的數(shù)值求解偏微分方程的方法，特別適用于求解具有復(fù)雜邊界條件和源項的非定常Navier-Stokes（NS）方程。該方法的核心思想是在一系列不同分辨率的網(wǎng)格上交替進行松弛和插值操作，以快速減少誤差并逼近精確解。在本研究中，我們針對NS方程的特點，設(shè)計了一種基于多重網(wǎng)格的求解算法。我們在較粗的網(wǎng)格上進行初步求解，得到一個較為粗糙的解。我們通過插值操作將這個解傳遞到更細的網(wǎng)格上，并在細網(wǎng)格上進行進一步的求解和松弛操作。我們可以在不同的網(wǎng)格尺度上逐步逼近精確解，同時有效地減少計算量和計算時間。在算法實現(xiàn)過程中，我們采用了多種優(yōu)化策略以提高求解效率和穩(wěn)定性。我們使用了高效的線性求解器和松弛方法，以加快在每個網(wǎng)格上的求解速度。我們采用了適當(dāng)?shù)牟逯邓阕雍拖拗扑阕?，以確保在不同網(wǎng)格之間的信息傳遞和誤差控制。我們還結(jié)合了并行計算技術(shù)，將計算任務(wù)分配到多個處理器上并行執(zhí)行，從而進一步提高計算效率。為了驗證所提出的多重網(wǎng)格求解算法的有效性，我們將其應(yīng)用于多個典型的NS方程求解問題中，并與傳統(tǒng)的單網(wǎng)格求解方法進行了比較。實驗結(jié)果表明，在相同的計算資源下，基于多重網(wǎng)格的求解算法在求解精度和計算效率方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的單網(wǎng)格方法。我們還發(fā)現(xiàn)，通過合理的網(wǎng)格劃分和參數(shù)設(shè)置，可以進一步提高算法的求解性能和穩(wěn)定性?；诙嘀鼐W(wǎng)格的NS方程求解算法是一種高效且穩(wěn)定的數(shù)值求解方法。在未來的工作中，我們將繼續(xù)優(yōu)化和完善該算法，并探索其在更復(fù)雜工程問題中的應(yīng)用。六、混合網(wǎng)格與多重網(wǎng)格在方程求解中的綜合應(yīng)用混合網(wǎng)格與多重網(wǎng)格方法在NS方程求解中的綜合應(yīng)用，無疑為流體動力學(xué)領(lǐng)域提供了一種新的高效求解策略?；旌暇W(wǎng)格方法允許我們在復(fù)雜幾何形狀和流動特性變化大的區(qū)域使用細網(wǎng)格，而在流動特性相對簡單或變化較小的區(qū)域使用粗網(wǎng)格，從而有效地平衡了計算精度和計算成本。另一方面，多重網(wǎng)格方法通過在不同分辨率的網(wǎng)格之間傳遞信息，顯著加速了收斂過程，提高了計算效率。在綜合應(yīng)用中，我們首先利用混合網(wǎng)格方法構(gòu)建出適應(yīng)于特定問題的網(wǎng)格系統(tǒng)。接著，我們在最粗的網(wǎng)格級別上初始化NS方程的解，并在此級別上執(zhí)行多重網(wǎng)格的迭代求解過程。隨著迭代的進行，當(dāng)解在粗網(wǎng)格級別上收斂到一定程度后，我們將解插值到下一級更細的網(wǎng)格上，并在該細網(wǎng)格級別上繼續(xù)執(zhí)行多重網(wǎng)格迭代。這個過程持續(xù)進行，直到達到最細的網(wǎng)格級別，此時我們得到的解即為最終的解。這種綜合應(yīng)用策略不僅保留了混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格各自的優(yōu)點，而且還通過二者的相互協(xié)作，進一步提高了NS方程求解的效率和精度。例如，在處理具有復(fù)雜幾何形狀和流動特性的問題時，混合網(wǎng)格方法能夠確保我們在關(guān)鍵區(qū)域獲得足夠的計算精度，而多重網(wǎng)格方法則幫助我們在這個過程中更快地收斂到解?；旌暇W(wǎng)格與多重網(wǎng)格在NS方程求解中的綜合應(yīng)用，是一種高效且精確的求解策略，它對于解決流體動力學(xué)領(lǐng)域中的復(fù)雜問題具有重要的應(yīng)用價值。未來，我們期待這種方法能夠在更多的實際問題中得到應(yīng)用，并推動流體動力學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。七、結(jié)論與展望本研究針對基于混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格上的Navier-Stokes（NS）方程求解進行了深入探討，并在多個應(yīng)用場景中進行了實際應(yīng)用。通過理論分析、算法設(shè)計和數(shù)值實驗，我們驗證了混合網(wǎng)格與多重網(wǎng)格技術(shù)在NS方程求解中的有效性，為復(fù)雜流動問題的數(shù)值模擬提供了新的思路和方法。在結(jié)論部分，我們總結(jié)了本研究的主要成果和創(chuàng)新點?；旌暇W(wǎng)格的引入顯著提高了計算的靈活性和效率，特別是在處理具有復(fù)雜邊界和流場變化的流動問題時表現(xiàn)出色。多重網(wǎng)格方法的引入加速了迭代收斂速度，減少了計算時間，使得大規(guī)模、高精度的NS方程求解變得更為可行。通過在實際應(yīng)用中的案例研究，我們驗證了混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格技術(shù)在不同流動場景中的適用性和可靠性。展望未來，我們認為以下幾個方面值得進一步研究和探索：針對更廣泛的流動問題，如何進一步優(yōu)化混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格技術(shù)以提高計算效率和精度是一個重要的研究方向。隨著高性能計算和云計算技術(shù)的發(fā)展，如何利用這些先進技術(shù)進一步提升NS方程求解的性能和可擴展性也是一個值得關(guān)注的問題。將混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格技術(shù)與其他先進數(shù)值方法（如機器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)驅(qū)動方法等）相結(jié)合，以應(yīng)對更加復(fù)雜和多樣化的流動問題，也是未來研究的一個重要方向。本研究為基于混合網(wǎng)格和多重網(wǎng)格上的NS方程求解及應(yīng)用研究提供了有益的參考和借鑒。未來，我們將繼續(xù)致力于相關(guān)領(lǐng)域的研究工作，為流動問題的數(shù)值模擬和實際應(yīng)用做出更多貢獻。參考資料：《稀疏網(wǎng)格譜方法及其在電子結(jié)構(gòu)薛定諤方程上的應(yīng)用》是依托中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，由于海軍擔(dān)任項目負責(zé)人的面上項目。描述原子和分子中電子分布的薛定諤方程是一個3N維的偏微分方程,其中N是電子的數(shù)目.求解這樣的一個高維方程是非常困難的.電子結(jié)構(gòu)計算的傳統(tǒng)方法包括早期的Hückel方法、Hartree-Fock方法和將3N維方程化成3維方程的密度泛函理論.這些方法要么需要估計很多實驗參數(shù),要么對原始薛定諤方程的解在特定情況下做近似,都不能稱為直接精確求解算法.另一方面,近幾年來處理高維問題的稀疏網(wǎng)格方法得到了很大發(fā)展,相關(guān)數(shù)學(xué)分析表明稀疏網(wǎng)格方法很適用于逼近高維薛定諤方程的解.但是用稀疏網(wǎng)格方法求解薛定諤方程的一些初期嘗試效果并不理想.在本項目中,我們將找出目前所用稀疏網(wǎng)格方法效率不高的原因,構(gòu)造高效的稀疏網(wǎng)格譜方法,嘗試從數(shù)值上驗證、數(shù)學(xué)上證明精心設(shè)計的稀疏網(wǎng)格方法在求解高維薛定諤方程時具有維度可擴展性,也就是計算量不指數(shù)的依賴于維度N.相關(guān)高效方法的建立能為計算化學(xué)領(lǐng)域提供一個新的可靠工具.稀疏網(wǎng)格方法是逼近高維偏微分方程的一個有效方法。我們提出并研究了一類基于正交多項式基函數(shù)的稀疏網(wǎng)格譜方法，并將其應(yīng)用到了求解高維電子結(jié)構(gòu)薛定諤方程中。具體的,針對時諧薛定諤方程的特點，我們發(fā)展了求解高維無界區(qū)域內(nèi)橢圓性偏微分方程問題的稀疏網(wǎng)格譜方法。此方法使用正交映射切比雪夫基函數(shù)，形成對角化質(zhì)量矩陣和稀疏的剛度矩陣，大大提高了求解效率。針對薛定諤方程中原子核處的奇性，我們發(fā)展了基于譜元思想的勒讓德拼接基函數(shù)方法和拉蓋爾拼接基函數(shù)方法，提高了方法的收斂速度。我們還針對橢圓方程中可能出現(xiàn)的其它奇性，設(shè)計了一般化的稀疏網(wǎng)格譜元方法。對于含時的問題，我們研究了適用于譜方法離散的無條件穩(wěn)定時間格式以及在研究相變問題中出現(xiàn)的極小作用方法。這些研究為高維薛定諤方程以及其它科學(xué)與工程應(yīng)用領(lǐng)域中的高維偏微分方程的高精度數(shù)值求解提供了一些新的計算工具。摘要：本文將探討非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程的方法，并介紹其在商用軟件Fluent中的應(yīng)用。通過對比結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的優(yōu)缺點，闡述非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程的原理和算法。將展示Fluent軟件在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程中的實踐應(yīng)用，并探討其在實際工程問題中的潛在價值。隨著計算流體動力學(xué)（CFD）技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值模擬已成為研究流體動力學(xué)問題的重要手段。在數(shù)值模擬中，網(wǎng)格生成是關(guān)鍵步驟之一，而結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格是兩種常見的網(wǎng)格類型。本文將重點介紹非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程的方法及其在商用軟件Fluent中的應(yīng)用。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格是一種規(guī)則的網(wǎng)格類型，其節(jié)點和單元按照一定的規(guī)律排列。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在處理規(guī)則形狀的流體域時具有優(yōu)勢，但在處理復(fù)雜形狀的流體域時，其適應(yīng)性較差。而非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格則是一種不規(guī)則的網(wǎng)格類型，其節(jié)點和單元可以根據(jù)流體域的實際形狀進行靈活排列。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格在處理復(fù)雜形狀的流體域時具有更高的適應(yīng)性。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程的基本原理是采用有限體積法或有限元法等數(shù)值方法，將連續(xù)的流體動力學(xué)問題離散化為一系列離散點上的代數(shù)方程。通過求解這些代數(shù)方程，可以得到流體域內(nèi)各點的速度、壓力等物理量的近似值。（1）建立離散方程：根據(jù)流體動力學(xué)的基本方程（如Navier-Stokes方程）和數(shù)值方法（如有限體積法或有限元法），建立離散方程。（2）求解離散方程：采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法（如迭代法或直接法），求解離散方程，得到流體域內(nèi)各點的物理量近似值。（3）更新網(wǎng)格：根據(jù)計算結(jié)果，對非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進行更新，以適應(yīng)流體域形狀的變化。Fluent是一款廣泛應(yīng)用的商用CFD軟件，它提供了豐富的物理模型和數(shù)值方法，可用于求解各種復(fù)雜的流體動力學(xué)問題。Fluent支持結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，可以靈活地處理各種形狀的流體域。在Fluent中，用戶可以通過前處理軟件生成非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。將生成的網(wǎng)格導(dǎo)入Fluent中進行計算。Fluent提供了多種數(shù)值方法和算法，可用于求解非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的離散方程。Fluent還提供了豐富的后處理功能，可用于分析計算結(jié)果。本文介紹了非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程的方法及其在商用軟件Fluent中的應(yīng)用。通過對比結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的優(yōu)缺點，闡述了非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程的原理和算法。展示了Fluent軟件在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程中的實踐應(yīng)用。隨著CFD技術(shù)的不斷發(fā)展，非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程將在更廣泛的領(lǐng)域得到應(yīng)用。未來，我們可以進一步研究高效、穩(wěn)定的算法和優(yōu)化技術(shù)，以提高非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程的計算效率和精度。也可以將更多的物理模型和數(shù)值方法應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格差分求解方程中，以拓展其應(yīng)用范圍并解決更多實際問題。在計算機圖形學(xué)和三維重建領(lǐng)域中，對三角形網(wǎng)格模型頂點的曲率進行計算是一項重要的任務(wù)。曲率是描述曲面在某一點處的彎曲程度的量，對于三維模型，尤其是由三角形網(wǎng)格表示的模型，曲率的變化可以影響表面的光照和渲染效果，也可以用于評估模型的形狀復(fù)雜度。確定頂點的位置：我們需要知道每個頂點的三維坐標。這些可以通過直接從輸入的三角形網(wǎng)格模型數(shù)據(jù)中獲取，或者通過其他算法進行估算。計算法向量：對于三角形網(wǎng)格模型中的每個頂點，我們需要知道其周圍的三角形的法線方向。這可以通過計算鄰接三角形的公共邊，并使用向量叉積來計算法線向量得出。估算曲率：一旦我們有了頂點的位置和法線向量，我們就可以計算曲率。曲率可以通過計算法線向量的變化率來得到，這可以通過計算頂點處相鄰三角形的法線向量的向量叉積的模得到。具體來說，對于一個給定的頂點vi，我們可以首先找到它的所有鄰接點，然后計算這些鄰接點的法線向量。我們可以計算這些法線向量對于vi的變化率，即。我們可以通過以下公式計算vi的曲率：這個算法的