2017年高考理科數(shù)學新課標全國3卷逐題解析

年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國）理科數(shù)學（試題及答案解析）一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）．已知集合22A(x,y)xy1，B(x,y)yx，則AB中元素的個數(shù)為（）A．3B．2C．1D．0

【答案】B【解析】A表示圓22xy1上所有點的集合，B表示直線yx上所有點的集合，故AB表示兩直線與圓的交點，由圖可知交點的個數(shù)為2AB元素的個數(shù)為2，故選B.．設(shè)復數(shù)滿足(1i)z2i，則z（）A．12B．22C．2D．2【答案】C【解析】由題，2i2i1i2i2zi1，則z222，故選C.1i1i1i2．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．-1-2014年2015年2016年根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

【答案】A【解析】由題圖可知，2014年月到月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤，故選A.．5(xy)(2xy)的展開式中33xy的系數(shù)為（）A．B．C．40D．80

【答案】C【解析】由二項式定理可得，原式展開中含33xy的項為23322333xCyyC2xy40xy，則5533xy的系數(shù)為40，故選C.22xy5．已知雙曲線C：221（a0，b0）的一條漸近線方程為ab22xy1有公共焦點．則C的方程為（）123222222xyxyxyA．1B．1C．18104554【答案】B5yx，且與橢圓2D．22xy4315b5【解析】∵雙曲線的一條漸近線方程為yx，則①2a222xy2229又∵橢圓1與雙曲線有公共焦點，易知c3，則abc②123

22

xy

1由①②解得a2,b5，則雙曲線C的方程為，故選B.45-2-．設(shè)函數(shù)πf(x)cos(x)，則下列結(jié)論錯誤的是（）3A．f(x)的一個周期為2πB．yf(x)的圖像關(guān)于直線8πx對稱3C．f(x)的一個零點為πxD．f(x)在6π(,)2單調(diào)遞減【答案】D【解析】函數(shù)πfxcosx的圖象可由ycosx向左平移3π個單位得到，3如圖可知，fx在π,π2上先遞減后遞增，D選項錯誤，故選D.yOx

-6．執(zhí)行右圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】程序運行過程如下表所示：SM初始狀態(tài)01001第1次循環(huán)結(jié)束100102第2次循環(huán)結(jié)束9013此時S9091首次滿足條件，程序需在t3時跳出循環(huán)，即N2為滿足條件的最小值，故選D.．已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．πB．π4C．π２D．π4【答案】B【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑2213r1，22則圓柱體體積2πVrh，故選B.π4-3-．等差數(shù)列an的首項為，公差不為．若（）a，3，6成等比數(shù)列，則n前6項的和為2A．24B．3C．3D．8

【答案】A【解析】∵an為等差數(shù)列，且a2,3,a6成等比數(shù)列，設(shè)公差為.則2aaa，即326211d15d又∵11，代入上式可得又∵d0，則d2220dd6565Sad，故選A.616224∴612210．已知橢圓C22xy:1（ab0）的左、右頂點分別為1，A2，且以線段12為直徑22ab的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為（）6A．3【答案】AB．33C．2３D．13【解析】∵以12為直徑為圓與直線bxay0相切，∴圓心到直線距離等于半徑，∴da22ab又∵a0,b0，則上式可化簡為2222c2222322∵bac，可得bac，可得aac，即a23∴eca63，故選A11．已知函數(shù)2x1x1fxxxa有唯一零點，則a（）()2(ee)A．1２B．13C．12D．1【答案】C【解析】由條件，2x1x1f(x)x2xe)，得：22x1(21f(2x)(2x)2(2x)e)21xx1x4x442xa(ee)2x1x1x2xa(ee)∴f(2x)f(x)，即x1為f(x)的對稱軸，由題意，f(x)有唯一零點，∴f(x)的零點只能為x1，-4-即21111f(1)121a(ee)0，解得1a．212．在矩形ABCD中，AB1，AD2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若APABAD，的最大值為）A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】由題意，畫出圖．設(shè)BD與C切于點E，連CE．

以A為原點，AD為軸正半軸，AB為軸正半軸建立直角坐標，

C點坐標為(2,1)．∵|CD|1，|BC|2．∴BD2225．

∵BD切C于點E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt△BCD中斜BD上的高．12|BC||CD|222△BCD|EC|5

|BD||BD|55即C的半徑為255．∵P在C上．422(x2)(y1)∴P點的軌跡方程為5．設(shè)P點坐標(x0,y0)，可以設(shè)出P點坐標足的參數(shù)方程如下：yBCPgx0225cos5EAODx()y0215sin5而AP(x0,y0)，AB(0,1)，AD(2,0)．∵APABAD(0,1)(2,0)(2,)∴215y15sin．x1cos，00525兩式相加得：25

15sin1cos

55255222()()sin()

552sin()≤3(其中sin55，cos255)當且僅當π22kπ，kZ時，取得最大值．-5-二、填空題：（本題共4小題，每小題分，共20分）xy≥0,xy2≤0,則z4y的最小值為________．

13．若x，滿足約束件y0,≥【答案】1【解析】由題，畫出可行域如圖：3z

目標函數(shù)為z3x4y，則yx縱截距越大，值越小．

44由圖可知：A1,1處取最小值，故min31411．xyy20A(1,1)xB(2,0)xy014．設(shè)等比數(shù)列n滿足【答案】8121，133，則a________．4【解析】an為等比數(shù)列，設(shè)公比為．a(chǎn)a12aa1313，即aaq11aaq11213①②，顯q1，10，②得1q3q2a1，即，代入①式可得，1①33aaq128．4115．設(shè)函數(shù)f(x)xx≤1,0,x2,x0,則滿足1f(x)f(x)1的的取值范________．2【答案】14,【解析】fxxx≤1,0x2,x0，1fxfx1，即21fx1fx2由圖象變換可畫出1yfx與y1fx的圖象如下：2y1yf(x)211

(,)

4411x22

y1f(x)-6-由圖可知，滿足1fx1fx的解為214,.16．，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與，都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當直線AB與成60角時，AB與成30角；②當直線AB與成60角時，AB與成60角；

③直線AB與所成角的最小值為45；④直線AB與所成角的最大值為60．其中正確的是________（填寫所有正確結(jié)論的編號）【答案】②③【解析】由題意知，、、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故|AC|1，AB2，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，為半徑的圓．以C為坐標原點，以CD為軸正方向，CB為軸正方向，CA為軸正方向建立空間直角坐標系．則D(1,0,0)，A(0,0,1)，直線的方向單位向量a(0,1,0)，|a|1．B點起始坐標為(0,1,0)，直線的方向單位向量b(1,0,0)，|b|1．設(shè)B點在運動過程中的坐標B(cos,sin,0)，其中為BC與CD的夾角，[0,2)．那么AB'在運動過程中的向量AB(cos,sin,1)，|AB|2．設(shè)AB與所成夾角為則π[0,]2，(cos,sin,1)(0,1,0)22cos|sin|[0,]22aAB．故ππ[,]42，所以③正確，④錯誤．設(shè)AB與所成夾角為π[0,]2，cosABbbAB(cos,sin,1)(1,0,0)

.bAB22|cos|當AB與夾角為60時，即π，312sin2cos2cos2322．∵22cossin1，-7-∴|cos|22．∴21cos|cos|22．∵π[0,]2．∴=π，此時AB與夾角為60．3∴②正確，①錯誤．三、解答題：（共70分．第17-20題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共分．17．（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，c，已知sinA3cosA0，a27，b2．

（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC，求△ABD的面積．【解析】（1）由sinA3cosA0得π2sinA0，3即πAkkZ，又A0,π，π3∴πA，得32πA.3由余弦定理222abcbcA又∵2cos1a27,b2,代入并整理得22c125，故c4.（）∵AC2,BC27,AB4，22227abc由余弦定理cosC.7∵ACAD，即△ACD為直角三角形，則ACCD，得CD7.由勾股定理22ADCDAC3.又2πA，則32πππDAB，3261π△ADABsin3.ABD2618．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，

每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間202530020瓶，為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫101515202025253030353540天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．-8-（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的Y（單位：元）．當六月份這種酸奶一天的進

貨量（單位：瓶）為Y的數(shù)學期望達到最大值？【解析】⑴易知需求量可取200,300,500PX20021613035PX300362303525742

PX500.

3035則分布列為：X200300500P2525⑵①當n≤200時：Yn642n，此時max400，當n200時取到.②當200n≤300時：41Y2n2002n20025588002n800n555此時max520，當n300時取到.③當300n≤500時，122Y2002n20023002n3002n255532005此時Y520.④當n≥500時，易知一定小于③的情況.綜上所述：當n300時，取到最大值為520.19ABCDABC是正三角形，△ACD是直角三角形．?ABD?CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD^平面ABC；D（2）AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分．求二面角D-AE-C的余弦值．CEBD【解析】⑴取AC中點為O，連BO，DO；AABC為等邊三角形∴BOAC∴ABBCABBCCEOBDBDABDCBD.BABDDBC∴ADCD,即ACD為等腰直角三角形，ADCA為直角O為邊AC中點-9-∴DOAC令ABa，則ABACBCBDa23易得：ODa，OBa22222∴ODOBBD由勾股定理的逆定理可得DOB2即ODOBODACODOB

zACOBOACABC平面OD平面ABCDOBABC平面又∵OD平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABCCE⑵由題意可知VVDACEBACEO即B,D到平面ACE的距離相等By即E為BD中點以O(shè)為原點，OA為軸正方向，OB為軸正方向，OD為軸正方向，設(shè)ACa，建立空間直角坐標系，xAaa則O0,0,0，A,0,0，D0,0,，223B0,，23aE0,a,44易得：a3aaaaAE,a,，AD,0,，OA,0,0244222設(shè)平面AED的法向量為n，平面AEC的法向量為1n，2則AEn1ADn100，解得13,1,3AEn2OAn200，解得20,1,3若二面角DAEC為，易知為銳角，則cosnn12nn127720．（12分）已知拋物線2C:y=2x，過點（，0）的直線交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線與圓M的方程．【解析】⑴顯然，當直線斜率為時，直線與拋物線交于一點，不符合題意．設(shè)l:xmy2，A(x1,1)，B(x2,y2)，聯(lián)立：22yxxmy2得2240ymy，-10-24m16恒大于，12，uOAOBxxyy1212124．(my2)(my2)122(m1)yyyy)4121224(m1)2m(2m)40

u∴OAOB，即O在圓M上．u⑵若圓M過P，則APBP0(x4)(x4)(y2)(y2)01212(my2)(my2)(y2)(y2)012122(m1)yy(2m2)(yy)801212化簡得22mm10解得1m或2①當1m時，l:2xy40圓為2x,y)，00yy11912y，0y02，02224半徑r|OQ|229142則圓918522M:(x)(y)4216②當m1時，l:xy20圓為0,y0)，yy1201，x0y023，2半徑r|OQ|322則圓22M:(x3)(y1)1021．（12分）已知函數(shù)f(x1alnx．（1）若f(≥0，求的值；（2）m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，111(1)(1)(1n)m++?<m的最小值．2222【解析】⑴f(x)x1alnx，x0則f(x)1axaxx，且f(1)0當a≤0時，fx0，fx在0，上單調(diào)增，所0x1時，fx0，不滿足題意；當a0時，當0xa時，f(x)0，則f(x)在(0,a)上單調(diào)當xa時，f(x)0，則f(在(a,)上單調(diào)增．①若a1，f(x)在(a,1)上單調(diào)增∴當x(時f(x)f(1)0矛盾②若a1，f(x)在)上單調(diào)x)時f(x)f(1)0矛盾③若a1，f(x)在(0,1)上單調(diào)在(1,)上單調(diào)增∴f(x)≥f(1)0滿足題意綜上所a1．⑵當a1時f(x)x1lnx≥0即lnx≤x1則ln(x1)≤x當且僅當x0時等號成立-11-∴l(xiāng)n(11)1kk，22*kN一方面：1111111ln(1)ln(1)...ln(1n)...n1n1，222222222即111(1)(1)...(1)en．2222另一方面：111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)22n2322222264當n≥3時，111(1)(1)...(1)(2,e)2n222∵*111mN，2nm，(1)