【數(shù)學】高一下學期數(shù)學期中考試模擬卷-2023-2024高一下冊期中模擬卷人教A版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高一下學期數(shù)學期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．測試范圍：人教A版2019必修第二冊第6章-第八章8.33．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知單位向量的夾角為，則（

）A． B．0 C．1 D．22．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）A． B．2 C． D．3．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，則（

）A．2 B． C． D．14．已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，則（

）A． B． C．4 D．25．已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．在中，是的外心，為的中點，是直線上異于M、O的任意一點，則（

）A．3 B．6 C．7 D．97．已知復數(shù)，和滿足，若，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．18．已知邊長為等邊三角形中，點為邊上一點，，，則下列結(jié)論一定正確的為（

）A． B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得09．已知滿足，則（

）A．B．復平面內(nèi)對應的點在第一象限C．D．的實部與虛部之積為10．已知圓錐的側(cè)面積為，底面圓的周長為，則（

）A．圓錐的母線長為4B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．圓錐的體積為D．沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為11．梯形中，，，，與交于點，點在線段上，則（

）A．B．C．為定值8D．若，則的最小值為三．填空題本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標為.13．如圖，圓臺的母線長為6，兩底面半徑分別為2，7，則此圓臺的表面積為．

14．我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸，構(gòu)成的坐標系，稱為“@未來坐標系”，如圖所示，分別為正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“@未來坐標”，記，已知，分別為向量，的“@未來坐標”，若向量，的“@未來坐標”分別為，，則向量，的夾角的余弦值為.

四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（13分）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為，且為純虛數(shù)（是z的共軛復數(shù)）.(1)求m的值；(2)復數(shù)在復平面對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.16．（15分）如圖，在平面四邊形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．17．（15分）現(xiàn)需要設計一個倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

(1)若，，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為，當為多少時，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？18．（17分）已知中，所對的邊分別是，邊上的中線，設=（，），=（，），且，若動點滿足．(1)求角的集合；(2)求的最小值；(3)若，且，為的面積，求的最大值及此時的值．19．（17分）已知，是平面內(nèi)任意兩個非零不共線向量，過平面內(nèi)任一點O作，，以O為原點，分別以射線、為x、y軸的正半軸，建立平面坐標系，如左圖.我們把這個由基底，確定的坐標系稱為基底坐標系.當向量，不垂直時，坐標系就是平面斜坐標系，簡記為.對平面內(nèi)任一點P，連結(jié)OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一實數(shù)對，使得，則稱實數(shù)對為點Р在斜坐標系中的坐標.

今有斜坐標系（長度單位為米，如右圖），且，，設(1)計算的大?。?2)質(zhì)點甲在上距O點4米的點A處，質(zhì)點乙在Oy上距O點1米的點B處，現(xiàn)在甲沿的方向，乙沿的方向同時以3米/小時的速度移動.①若過2小時后質(zhì)點甲到達C點，質(zhì)點乙到達D點，請用，，表示；②若時刻，質(zhì)點甲到達M點，質(zhì)點乙到達N點，求兩質(zhì)點何時相距最短，并求出最短距離.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及運算律結(jié)合已知條件直接求解即可.【詳解】因為單位向量的夾角為，所以，故選：A2．C【分析】根據(jù)題意，由斜二測畫法還原該平面圖形的原圖，計算可得．【詳解】在直角梯形中，，，則，直角梯形對應的原平面圖形為如圖中直角梯形，，所以該平面圖形的高為.故選：C.3．D【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理列出關于方程，即可求解.【詳解】在中，因為，由余弦定理得，即，可得，解得或（舍去）.故選：D.4．B【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則與共軛復數(shù)定義計算即可得.【詳解】，則，故.故選：B.5．C【分析】設圓錐的底面半徑，母線為，外接球的半徑為，依題意求出、，即可得，最后由球的表面積公式計算可得.【詳解】依題意圓錐高，設圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則，解得，可知，所以圓錐的外接球球的表面積.故選：C.6．B【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.【詳解】

因為是的外心，為的中點，設的中點為，連接，所以，，設，則，又是的外心，所以，所以.故選：B7．B【分析】先利用復數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到，再將時各復數(shù)的取值取出，即可得到的最大值.【詳解】根據(jù)題意，得，當，，時，，此時，所以.故選：B.8．B【分析】利用余弦定理求出，從而求出，即可判斷A、B，再由正弦定理判斷C，利用余弦定理求出，，即可判斷D.【詳解】依題意，，，且，由余弦定理，即，解得或，當時，符合題意，當時，不符合題意，所以，則，所以，，故A錯誤，B正確；又，，所以，所以，故C錯誤；又，所以，故D錯誤.故選：B9．ACD【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的運算法則進行運算，求出復數(shù)，逐一判斷各選項是否正確.【詳解】設，則由已知得，即，所以解得所以，則，故A項正確，B項錯誤；，的實部為，虛部為1，所以的實部與虛部之積為，故C，D項正確.故選：ACD10．ACD【分析】先求出圓錐的母線和底面半徑的長，逐項計算后可得正確的選項.【詳解】

對于A，設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，則，故，故A正確.對于B，圓錐的高為，則，故圓錐的母線與底面所成角的正弦值為，故B錯誤.對于C，圓錐的體積為，故C正確.對于D，沿著圓錐母線的中點截圓錐所得小圓錐的體積為，故所得圓臺的體積為，故D正確.故選：ACD.11．AC【分析】由平面向量的線性運算即可判斷A，由線段的比值結(jié)合三角形的面積公式即可判斷B，由平面向量數(shù)量積的運算律代入計算，即可判斷C，由平面向量三點共線定理結(jié)合基本不等式代入計算，即可判斷D【詳解】由幾何圖形關系可得，因為，所以．因為，所以，所以，故A正確；因為，所以，因為，所以，所以，故B錯誤；因為，所以在上的投影向量為為定值，故C正確；因為，且三點共線，所以，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，故D錯誤．故選：AC．12．【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求得，根據(jù)投影向量的概念，即可求得答案.【詳解】由題意知，故，所以，而，則，故，則在方向上的投影向量為，即在方向上的投影向量的坐標為，故答案為：13．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓臺的側(cè)面積公式和圓的面積公式，準確計算，即可求解.【詳解】由題意知，圓臺上底面半徑，下底面半徑，母線長，由圓臺表面積公式，可得：．故答案為：.14．【分析】由題意可得，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】依題意，，，所以，，，所以，即向量，的夾角的余弦值為.故答案為：15．(1)；(2)；【分析】（1）結(jié)合復數(shù)的幾何意義，再利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，由已知條件可求得實數(shù)m的值；（2）利用復數(shù)的除法求，再結(jié)合復數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）由題意，復數(shù)，所以，

則，因為為純虛數(shù)，所以，解得；（2）復數(shù)，因為復數(shù)在復平面對應的點在第一象限，所以，解得16．(1)(2)【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；（2）和中，由余弦定理求出和，得和，進而可求四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）在中，，，則，，在中，由正弦定理得，.（2）在和中，由余弦定理得，，得，又，得，則，，四邊形ABCD的面積.17．(1)(2)，【分析】（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對應公式求解；（2）先根據(jù)面積關系建立函數(shù)解析式，，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求其最值.【詳解】（1）由知.因為，所以正四棱錐的體積正四棱柱的體積所以倉庫的容積.（2）設，下部分的側(cè)面積為，則，，，設，當，即時，，.即當為時，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是.18．(1)；(2)；(3)時，取得最大值.【分析】（1）由題意可得，分和分別求解即可；（2）由題意可得三點共線，且點在線段上，于是有，令可得，即可得答案；（3）由題意可得，再由正弦定理及面積公式可得，從而有，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.【詳解】（1）解：由，得，則，若，則或，求得；若則，求得，所以角的集合為；（2）解：因為，又因為，所以三點共線，且，所以點在線段上，故，設則，所以當時取得最小值；（3）解：由（1）的結(jié)論和可得，又，所以由正弦定理得：，所以，于是，所以當時，取得最大值.19．(1)(2)①；②小時后，兩質(zhì)點相距最短，最短距離為