概率論第概率的公理化定義及概率的性質(zhì)

關(guān)于概率論第概率的公理化定義及概率的性質(zhì)發(fā)生的概率定義為如果樣本空間為有界區(qū)間、空間有界區(qū)域，則“面積”改為“長度”、“體積”幾何概型的定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為有界區(qū)域事件試驗結(jié)果落在區(qū)域

中的面積的面積稱為幾何概型注：①②事件

發(fā)生的概率與位置無關(guān),只與

的面積有關(guān)，這體現(xiàn)了某種“等可能性”

第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

(約會問題)兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去。試求這兩人能會面的概率。這是一個幾何概型，所求概率是

設(shè)

分別表示兩人達到的時間，則兩人能會面的充要條件是解例第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例3蒲豐投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.第4頁,共32頁，2024年2月25日，星期天解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以

表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間

滿足：0

x

d/2;0

.

形成x-

平面上的一個矩形，其面積為：S

=d(

/2).

第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

l

sin(

/2).

針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實際去做N次試驗，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：

2lN/(dn).歷史上有一些實驗數(shù)據(jù).

的隨機模擬第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天(三)概率的基本性質(zhì)性質(zhì)①證因為概率為實數(shù),故性質(zhì)②若是兩兩不相容的事件,則證故由可列可加性，有有限可加性第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)③若則證因互不相容,故由有限可加性有再由概率非負(fù)性得事件解釋為區(qū)域概率解釋為區(qū)域面積事件與概率的圖示第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)④性質(zhì)⑤性質(zhì)⑥對任何事件有(加法公式)對于三事件有挖挖挖補由定義第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天挖補原理多事件的加法公式對于

個事件，有全加減二加三挖補規(guī)律:加奇減偶減四第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的對立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例4

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.第12頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例5解：因為P(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

第13頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例6解：因為A、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/6+1/6

0=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例7口袋中有n

1個黑球、1個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對立事件解：記A為“第k次取到黑球”，則A的對立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例8解：用對立事件進行計算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點的概率.第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天甲參加有獎問答競猜活動，他能答出第一道題的概率是0.8，能答出第二道題的概率是0.3，例9兩道題都能答出的概率是0.2，試求：（1）能答出第一道題而答不出第二道題的概率（2）至少有一道題能答不出的概率（3）兩道題都答不出的概率解已知？？0.80.3（1）（2）（3）第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天因為概率是事件(集合)的函數(shù)，所以先討論事件(集合)的“極限”.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4

概率的連續(xù)性第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不增事件序列，其極限事件為第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)P(·)是一個集合函數(shù)，

(1)

若任對單調(diào)不減集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性

(2)若任對單調(diào)不增集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是上連續(xù)的.

第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)1.3.7

若P(·)是事件域F上的一個概率函數(shù)，

則P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1.3.8若P(·)是事件域F上滿足：非負(fù)、正則的集合函數(shù)，則P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、N

M個合格品.(口袋中有M個白球，N

M個黑球)常見模型(1)——

不返回抽樣從中不返回任取n個,則此n個中有m個不合格品的概率為：此模型又稱超幾何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天口袋中有5

個白球、7個黑球、4個紅球.從中不返回任取3

個.求取出的3

個球為不同顏色的球的概率.思考題第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、N

M個合格品.

從中有返回地任取n個.則此n個中有m個不合格品的概率為：常見模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天n個不同球放入N個不同的盒子中.每個盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n個盒子中各有一球的概率(n

N)

常見模型(3)——

盒子模型第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天求n個人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個球放入N=365個盒子中.P(至少兩人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天n個人、n頂帽子，任意取，至少一個人拿對自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個人拿對自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用對立事件公式.用加法公式：常見模型(4)——

配對模型第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配對模型(續(xù))第29頁,共32頁，2024年2月25日