2023-2024學(xué)年甘肅省武威市涼州區(qū)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年甘肅省武威市涼州區(qū)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復(fù)數(shù)2滿足（2+。2=2—43則2的虛部為（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

2.cos52°cos7°+sin52°sin7°=()

A.一匚B.—C.JD.

222

3.已知向量五，方滿足|E|=2,且云與方的夾角為著，則位+方）,（2萬一方）=（）

A.6B.8C.10D.12

4.△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=2V~Gc=4,cosA=則b=()

A.2y/~2B.2y/~5C.4D.6

5.冰丘建算經(jīng)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，

書中有如下問題：“今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為

方亭；令上方六尺；問斬高幾何？”其意思為：己知方錐（即

正四棱錐）下底邊長為20尺，高為30尺，現(xiàn)欲從方錐上面截

去一段，使之成為方亭（即正四棱臺），且使方亭上底邊長為

8尺（如圖所示），則截去小方錐的高為（）

A.24尺B.18尺C.6尺D.12尺

6.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，密碼被成功破譯的概率為土已知甲單獨破譯密碼的概

率為a則乙單獨破譯密碼的概率為（）

A]B.lD.l

7.已知sina+\T~2cosa=0,則tan2a=（）

A.24~2B.-2V-2C.。D.匚

4

8.同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體一次.記事件2=｛第一個

四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)｝,B=｛第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)｝,C=｛兩個四面體向

下的一面或者同時出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時出現(xiàn)偶數(shù)｝,則（）

A.P(4)=；B.P(C)=jC.P(4B)=D.P(ABC)=j

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.若落b，不是任意的非零向量，則下列敘述正確的是()

A.若五=衛(wèi),則|初=\b\

B.若a.e=九高則方=b

C.若蒼〃石,b//c，則為〃口

D.若|五+旬=|日一3|,則213

10.在△4BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,則()

A.若|荏+而|=|同-前I，則△ABC為直角三角形

B.若a=4,B=*符合條件的△ABC有一個，則2<b<4

O

C.若sinA>sinB,則a>b

D.若sin24=sin2B,則4ABC為等腰三角形

11■已知向量五，b滿足|引=1,|b|=2,|五+b|=，"5，下列說法中正確的有()

A.a-K=-1B.(a+K)1(a-K)

C.三與方的夾角為掾D.|a—ft|=>/~7

12.仇章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱p.

之為鱉麟如圖,在鱉腌P-4BC中，P41平面4BC,4BJ.BC,\\

且48=2.若鱉嚅P-4BC外接球的體積為36兀，則當(dāng)該鱉喘\

的體積最大時，下列說法正確的是()\

AP4=4……j)>C

B.8C=4

C.該鱉臊體積的最大值為號B

D.該鱉腌的表面積為8+8H

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.長方體48。。一41當(dāng)。也中，棱4B=BC=5,AAr=y/~5,則BQ與劣劣所成角的余弦

值是.

14.已知向量五=(2,5),K=(l,m),若方〃石，則m的值為.

15.在△4BC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,b,c,若sinC=2sin4,b=Ca，則3=

16.甲，乙二人單獨解一道題，若甲，乙能解對該題的概率分別是m,九則此題被解對的概

率是.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知|五|=1,|3|=。，五與石的夾角為45。.

（1）求m+B）?方的值；

（2）求|2/一方|的值.

18.（本小題12.0分）

如圖，長方體ABCD-ZiBiGDi的底面4BCD是邊長為2的正方形，441=4,點E為棱441的

中點.

（1）求證：BE_L平面EBiG；

（2）求點A到平面CE&的距離.

19.（本小題12.0分）

已知△4BC中，a=bcosC+i^csinB.

（I）求48的大?。?/p>

（口）若b=3,c=2,求a.

20.（本小題12.0分）

甲、乙兩人射擊同一個標(biāo)靶，每人一發(fā)，其中甲命中概率為主乙命中概率為:，若甲、乙的

射擊相互獨立，求

(1)標(biāo)靶被擊中的概率:

(2)標(biāo)靶未被擊中的概率.

21.(本小題12.0分)

正方體-中，M、N分別為的中點，E、尸分別是當(dāng)^、加久的中

點.

(1)求證：E、F、B、。共面;

(2)求證：平面AMN〃平面EFDB.

22.(本小題12.0分)

為了解我市高三學(xué)生參加體育活動的情況，市直屬某校高三學(xué)生500人參加“體育基本素質(zhì)

技能”比賽活動，按某項比賽結(jié)果所在區(qū)間分組：第1組：[25,300,第2組:[30,35),第3組:

[35,40),第4組：[40,45),第5組：[45,50],得到不完整的人數(shù)統(tǒng)計表如下：

年齡所在區(qū)間[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]

人數(shù)5050a150b

其頻率分布直方圖為：

(1)求人數(shù)統(tǒng)計表中的a和b的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該項比賽結(jié)果的中位數(shù)；

(3)用分層抽樣的方法從第1,2,3組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加上一級比

賽活動，求參加上一級比賽活動中至少有1人的比賽結(jié)果在第3組的概率.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：（2+i）z=2-43

_2-4i_(2-4i)(2-i)

=2+i=(2+i)(2-i)~2i,其虛部為一2.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：cos52°cos7°+sin52°sin7°=cos（52°-7°）=cos45°=號，

故選：B.

運用兩角差的余弦公式和特殊角的三角函數(shù)值，可得所求值.

本題考查三角函數(shù)的求值，注意運用兩角和差的三角函數(shù)公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因為|為|=2,面="，且為與另的夾角為也

所以百?方=|a||K|cos1=23，

因此（百+石）?（2商一方）=2|初2+港萬一|可2=8+3—3=8，

故選：B.

根據(jù)向量的數(shù)量積運算以及運算法則，直接計算，即可得出結(jié)果.

本題考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)與運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由已知利用余弦定理即可計算得解.

【解答】

解：???a=2V~~5?c=4,cosA=

222

二由余弦定理a?=b4-c—2bccosA9可得:20=b+16—2xhx4x|,

二整理司得：3爐—16b—12=0,解得：b=6或—1（舍去）.

故選。.

5.【答案】D

【解析】解：設(shè)截去小方錐的高為九則盤=4，

解得h=12（尺）.

故選：D.

利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征即求.

本題主要考查錐體的空間特征，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：設(shè)乙單獨破譯密碼的概率是p,

則乙不能破譯密碼的概率是（1-p）,

???密碼被成功破譯的概率為全

???密碼不能被成功破譯的概率為1-H，

???甲單獨破譯密碼的概率為|,

二甲不能破譯密碼的概率為|,

???密碼被成功破譯的概率為專

???密碼不能被成功破譯的概率為1-5=￡

?1?|（1-p）=|）解得：p=j.

故選：A.

根據(jù)對立事件和相互獨立事件求出答案即可.

本題考查了相互獨立事件，對立事件，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：因為sina+\T~2cosa=0，

所以sina=-V~~2cosa,

可得tcma=巴巴=

2tana_2x(—V-2)

則ta?22a==2A/~~2.

1—tan2al-(-V-2)2

故選：/.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tana的值，進而利用二倍角的正切公式即可求解tan2a

的值.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查古典概率公式的應(yīng)用，以及相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可得，P(Z)=：，P(B)=；，P(C)=I，再結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解.

【解答】

解：由題意可得，P(A)='P(B)=*P(C)=.

???4B是相互獨立事件，

P(4B)=PQ4)P(B)=那=%

P(ABC)=0,

故選C.

9.【答案】ACD

【解析】解：對應(yīng)4若五=石,則向量方范長度相等，方向相同，故|五|=|3|,故4正確；

對于氏由五々=石.乙可得0—51=0,即五一方與下垂直或者五=石，即百，石可以不相等，故

3錯誤；

對于c,若方〃ab//c,則百茫方向相同或相反，瓦萬方向相同或相反，

故五發(fā)的方向相同或相反，故五〃乙故C正確；

對于若|五+b|=|二一b|,則42+2萬./+才=a2—2a-b+b，

所以五?石=0，所以方1b，故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)平面向量的定義、數(shù)量積定義、共線向量定義進行判斷.

本題考查平面向量的有關(guān)定義，性質(zhì)，數(shù)量積與向量間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：對于4：因為|荏+而|=|而一元^\AB+AC\2=\AB-AC\2,

則荏之+2荏?前+2前2=AB2-2AB-AC+2AC2'整理得通?就=0，

所以4B14C,即AABC為直角三角形，故A正確；

對于B：若a=4,B=J,貝iJasinB=4xsinJ=2,

oo

若符合條件的△ABC有一個，則b=2或b>4,故B錯誤；

對于C：若s譏力〉sinB,則由正弦定理可得a>b,故C正確；

對于。：若sin24=sin2B,即sin[(4+B)+(A—B)]=sin[(4+B)—(4—B)],

展開整理得cos(4+B)sinQ4-F)=0,

"0<A+B<n,—兀<A—B<兀，[A+B=]或4-B=0,

??.△ABC為直角三角形或等腰三角形，故。錯誤.

故選；AC.

對于4根據(jù)平面向量的模長以及數(shù)量積的運算律分析運算：

對于凡利用正弦定理分析運算；

對于C：利用正弦定理可判斷：

對于D：利用兩角和差的正弦公式求解.

本題考查利用正余弦定理和三角恒等變換知識解三角形，屬于中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解：???同=1,|b|=2.\a+b\=V~3>

(a+b)2=a.2+b+2a-h=l+4+2a-6=3>

a-fa=—1>

cos<五,E>=高》=一;，且<行，1〉e[0,網(wǎng)，

2

???,<一a,b工>、=—兀,

.-.\a-b\=J(a-b)2=Ja2+b2-2a-b=V1+4+2=

乂位+b)?@—b)=/—b=1—4H0，五+b不與萬一b垂直?

故選：4D.

對|五+B|=/?兩邊平方，進行數(shù)量積的運算可求出蒼小=-1，從而判斷A正確；可求出cos<

a,b=-\,從而判斷C錯誤；可求出位+另).位-從而判斷8錯誤；進行數(shù)量積的運算

可判斷。正確.

本題考查了數(shù)量積的運算，向量夾角的余弦公式，向量垂直的充要條件，向量長度的求法，考查

了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ABD

【解析】解：因為四個面都為直角三角形，所以PC的中點0到四個頂點的距離都相等，

故點。是鱉腌外接球的球心，所以外接球的體積為36兀，

所以外接球半徑R=3,

故PC=6.設(shè)PA=a,BC=b,

tiiPA2+AB2+BC2=PC2,解得a2+Z?2=32,

+i,.11c,1,-1a2+b216

''^r-VP-ABC=ox7x2i>xa=-ai)<-x--———?

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時，VPYBC取得最大值冬

此時PB=AC=742+22=2/3，

所以表面積S=2xix2x4+2x|x4x2仁=8+8V~5.

故選：ABD.

根據(jù)鱉席的幾何特征，分別根據(jù)外接球半徑求出邊長判斷48選項;

根據(jù)體積及表面積公式計算判斷C,。選項即可.

本題主要考查幾何體的表面積，屬于中檔題.

13.【答案】邙

6

【解析】解：由長方體的性質(zhì)知：BMJ/BD,

故BC】與名劣所成角即為NDBG，

而BD=5y/~2)Z)G=BC1=V30,

故COSKDBQ=蕓=%

故答案為：邙.

6

由長方體性質(zhì)及異面直線所成角的定義找到其平面角，進而求其余弦值.

本題考查異面直線所成角，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：，.,向量五=(2,5),b=(l,m)?且萬〃b，

:.2m—5=0,

5

故答案為:|.

根據(jù)平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求解.

本題主要考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案嗎

【解析】解：由sEC=2sE4及正弦定理可得：c=2a,

因為b=V~~3n,

所以由余弦定理得:COSB=心空式=如。2-3包=1,

2ac2ax2a2

又因為0<B<7T,

所以B=熱

故答案為：皋

利用正弦定理可得c=2a,根據(jù)余弦定理可求出cosB的值，即可得B的大小.

本題考查利用正、余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】m+n-mn

【解析】解：由題意甲、乙兩人單獨解一道題，若甲乙能解對該題的概率分別是m,n,

二事件題未被解對的概率是(1-m)(l-n),

事件兩人同時解題，則題被解對的概率是1-(1一m)(l-n)=m+n-mn.

故答案為：m+n—mn.

由題意事件“兩人同時解題，則題被解出”包括的情況較復(fù)雜，而其對立事件“題未被解對”只

包含一種情況，故可求出事件“題未被解對”的概率，再由概率的性質(zhì)求出事件“兩人同時獨立

解題，則題被解對”的概率.

本題主要考查了對立事件的概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：⑴va2—|a\2-l,a-b—|a||b|cos45°=1x2x=1,

(a+b)-a=a.2+a-b=1+1=2^

(2)vb2=@2=2，

\2a-b\2=^2a-b)2=4~a+b-4五1=4+2—4=2，

???\2a-b\=V-2.

【解析】(1)先求片方小，再根據(jù)運算法則展開計算即可；

(2)根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及定義，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解.

本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)與定義，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

18.【答案】(1)證明由已知可得B1G，平面4BB14.

因為BEu平面A8B14,所以BiG1BE,

在AB/E中，=4,BE=2A/-2=B-iE>

所以8道2=BE?+8避2,所以BE_LBIE,

又因為BiCir)BiE=&,所以BE1平面EBiG；

(2)解取CBi的中點F,BC的中點P,連接E尸，AP,PF,PB「PE,

易得4E〃PF,且4E=PF,所以四邊形4PFE為平行四邊形，所以4P〃EF.；

又APC平面CEBi，EFu平面CEB］，所以4P〃平面CEBi，

所以點4到平面CEB1的距離等于點P到平面CEB1的距離.飛篇》

易知Up-CEB］=%-PC8「

22222

在^CEB1中，CE=V2+2+2=2/3,EB1=V2+2=2/7,CBr=

V42+22=2A/-5>

所以CE2+E*=CB爾從而ACEBi為直角三角形.

設(shè)點P到平面CE&的距離為dp,

所以］xSACEBIxdp=§xS^PCBIXAB,

即3gx2V_3x2V_2xdP=jx|xlx4x2,

解得dp=?，所以點4到平面CEB】的距離為?.

【解析】(1)由已知可得B$2=BE2+8花2,進百可得BE_LBiE,又名G^BE,從而可證BE，平

面EBiG；

(2)取CBi的中點凡BC的中點尸，連接EF,AP,PF,PBr,PE,可證4P〃平面CE/,進而點4到

平面CEB1的距離等于點P到平面CEB1的距離.利用等體積法可求點P到平面CEB1的距離，可求解.

本題考查線面垂直的證明，考查點到面的距離的求法，屬中檔題.

19.【答案】解：(I)因為口=bcosC+，~^cs譏8,

所以由正弦定理可得si7h4=sinBcosC+y/~~3sinCsinBf

又sin/=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBs出C=sinCsinB,

因為sinC00,

所以cosB=y/~3sinBy即tanB=?，

因為BE(0㈤,

所以8=也

o

(n)因為b=3,c=2,B=l，

所以由余弦定理加=a?+,2-2accosB,可得9=a?+4一2，？a,即a?-2，？a-5=0,

解得a=q+21L或V■有一2，N(舍去).

【解析】(I)由正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得tanB=

行,結(jié)合范圍86(0,兀)，可得B的值.

(口)由題意利用余弦定理可得。2一2g-5=0,解方程可得a的值.

本題考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的

綜合應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：⑴設(shè)“甲命中標(biāo)靶”為事件4,“乙命中標(biāo)靶”為事件B,則「(力)=|,P(B)=i,

且事件4B相互獨立，

記“標(biāo)靶被擊中”為事件C,

則P(C)=P(4B)+P(AB)+P(痛)=|xJ+Jx：+,xJ=J+，+：=，；

J乙J4J乙oooo

(2)記“標(biāo)靶未被擊中”為事件D,

因為事件C與事件D互為對立事件，

r-1

所以P(D)=1-P(C)=1=i

【解析】(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式、互斥事件的加法求標(biāo)靶被擊中的概率；

(2)由(1),利用對立事件概率求法求標(biāo)靶未被擊中的概率.

本題考查相互獨立事件的概率乘法公式和概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】證明：⑴連接Bi1,由題意可得：E,尸分別為BQ,

G5的中點，

則E尸〃/Di，

vBB[〃DD],BBi=DD],

則BB15D為平行四邊形，

二BD

則EF〃BC,

故E、F、B、。共面.

(2)由題意可得：M,N分別為4B1，的中點，

則

,:EF"B\D[,則MN〃EF,且MNu平面4MN,EFU平面4MN,

E/7/平面4MN,

連接NE,由題意可得：N,E分別為為必，8傳1的中點